2022-2023學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題之期末典例專項(xiàng)練習(xí)十四表面積的增減變化問題

20222023學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列之期末典例專項(xiàng)練習(xí)十四：表面積的增減變化問題（解析版）一、填空題。1．用6個(gè)棱長1厘米的正方體拼成一個(gè)長方體，這個(gè)長方體的表面積可能是()平方厘米或()平方厘米，體積都是()立方厘米。【答案】

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6【分析】如下圖所示，用6個(gè)棱長1厘米的正方體拼成一個(gè)長方體，有兩種拼法，根據(jù)“長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2”代入數(shù)據(jù)分別計(jì)算出它們的表面積；兩種長方體都是用用6個(gè)棱長1厘米的正方體拼成，體積都是6立方厘米。【詳解】（1）（6×1＋6×1＋1×1）×2＝13×2＝26（平方厘米）（3×1＋3×2＋1×2）×2＝11×2＝22（平方厘米）則這個(gè)長方體的表面積可能是26平方厘米或22平方厘米。（2）1×1×1×6＝6（立方厘米），體積都是6立方厘米。【點(diǎn)睛】本題考查立體圖形的切拼。掌握長方體的表面積和正方體的體積公式是解題的關(guān)鍵。2．一個(gè)正方體，如果高減少2厘米，這時(shí)表面積比原來減少40平方厘米。現(xiàn)在長方體的表面積是()平方厘米，體積是()立方厘米。【答案】

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75【分析】正方體的高減少2厘米，表面積比原來減少40平方厘米，表面積減少的只是4個(gè)側(cè)面的面積，減少的4個(gè)側(cè)面是完全相同的長方形，用減少的面積除以4求出減少一個(gè)面的面積，用面積除以寬（2厘米），求出正方體的棱長，即長方體的長和寬，根據(jù)正方體表面積公式：表面積＝棱長×棱長×6，代入數(shù)據(jù)，求出正方體表面積，再減去40，即可求出長方體表面積；再用正方體棱長－2厘米，求出長方形的高，再根據(jù)長方形體積公式：體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)，即可解答。【詳解】棱長：40÷4÷2＝10÷2＝5（厘米）現(xiàn)在長方體的表面積：5×5×6－40＝25×6－40＝150－40＝110（平方厘米）現(xiàn)在長方體的體積：5×5×（5－2）＝25×3＝75（立方厘米）如圖所示，一個(gè)正方體，如果高減少2厘米，這時(shí)表面積比原來減少40平方厘米?，F(xiàn)在長方體的表面積是110平方厘米；體積是75立方厘米。【點(diǎn)睛】本題考查立體圖形的切拼，以及長方體表面積公式、長方體體積公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出正方體的棱長。3．如圖所示，一個(gè)正方體，如果高減少2厘米，這時(shí)表面積比原來減少64平方厘米?，F(xiàn)在長方體的表面積是()平方厘米，體積是()立方厘米。

【答案】

320

384【分析】正方體的高減少2厘米，表面積比原來減少64平方厘米，表面積減少的只是4個(gè)側(cè)面的面積，減少的4個(gè)側(cè)面是完全相同的長方形，用減少的面積除以4求出減少一個(gè)面的面積，用面積除以寬（2厘米），求出正方體的棱長，即長方體的長和寬，根據(jù)正方體表面積公式：表面積＝棱長×棱長×6，代入數(shù)據(jù)，求出正方體表面積，再減去64，即可求出長方體表面積；再用正方體棱長－2厘米，求出長方形的高，再根據(jù)長方形體積公式：體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻?4÷4÷2＝16÷2＝8（厘米）8×8×6－64＝64×6－64＝384－64＝320（平方厘米）8×8×（8－2）＝64×6＝384（立方厘米）如圖所示，一個(gè)正方體，如果高減少2厘米，這時(shí)表面積比原來減少64平方厘米。現(xiàn)在長方體的表面積是320平方厘米；體積是384立方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查立體圖形的切拼，以及長方體表面積公式、長方體體積公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出正方體的棱長。4．一個(gè)棱長是4分米的正方體，它的體積是()立方分米；如果將正方體的高增加3分米，表面積比原來增加()平方分米。【答案】

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48【分析】根據(jù)正方體體積＝棱長×棱長×棱長，求出正方體體積；將正方體的高增加3分米，表面積增加了4個(gè)長方形，長方形的長＝正方體棱長，長方形的寬＝增加的高，據(jù)此求出一個(gè)長方形的面積，乘4就是增加的表面積?！驹斀狻?×4×4＝64（立方分米）4×3×4＝48（平方分米）它的體積是64立方分米；表面積比原來增加48平方分米。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用正方體體積公式，具有一定的空間想象能力。5．用4個(gè)棱長為1厘米的正方體拼成一個(gè)長方體，這個(gè)長方體的表面積最小是()平方厘米?！敬鸢浮?6【分析】根據(jù)題意，拼法有：、、、，前兩種拼法都是減少了6個(gè)面的面積，后兩種拼法都是減少了8個(gè)面的面積，所以要使長方體的表面積最小，采用后兩種拼法；通過觀察，要求后兩種拼法中長方體的表面積實(shí)際上是求（6×4－8）個(gè)正方形的面積。利用正方形的面積公式解答即可?！驹斀狻扛鶕?jù)分析得，6×4－8＝24－8＝16（個(gè)）1×1×16＝16（平方厘米）【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是通過組合圖形的拼搭，弄清組合后表面積的變化情況，再利用面積公式解決問題。6．用3個(gè)棱長是5cm的正方體拼成一個(gè)長方體，拼成長方體的表面積是()，體積是()。【答案】

350

375【分析】正方體的每個(gè)面都是完全相同的正方形，把3個(gè)棱長是5cm的正方體木塊拼成一個(gè)長方體，這個(gè)長方體的表面積比原來3個(gè)正方體的表面積之和減少了4個(gè)邊長為5cm的正方形的面積，根據(jù)正方體的表面積公式，求出原來3個(gè)正方體的表面積之和，再減去4個(gè)面的面積，據(jù)此求解即可；長方體的體積等于原來3個(gè)正方體的體積之和，根據(jù)正方體的體積公式，求出原來3個(gè)正方體的體積之和，即可得解?！驹斀狻?×5×6×3－5×5×4＝450－100＝350（cm2）5×5×5×3＝375（cm3）【點(diǎn)睛】此題主要考查長方體、正方體的切拼以及表面積和體積的計(jì)算方法。7．一個(gè)長方體的高增加2分米后變成一個(gè)棱長是10分米的正方體，原來長方體的表面積是()平方分米，體積是()立方分米?！敬鸢浮?/p>

520

800【分析】根據(jù)題意可知，一個(gè)長方體如果高增加2分米，就變成了一個(gè)正方體；說明長和寬相等且都是10分米，高就是10－2＝8（分米），根據(jù)長方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，體積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！驹斀狻?0－2＝8（分米）（10×10＋10×8＋10×8）×2＝（100＋80＋80）×2＝260×2＝520（平方分米）10×10×8＝100×8＝800（立方分米）【點(diǎn)睛】此題主要考查長方體的表面積公式、體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。8．把一個(gè)棱長為2cm的正方體和一個(gè)長為4cm，寬為2cm、高為2cm的長方體拼成一個(gè)大長方體，這個(gè)大長方體的所有棱長之和是()cm?！敬鸢浮?0【分析】根據(jù)題意，把一個(gè)棱長為2cm的正方體和一個(gè)長為4cm，寬為2cm、高為2cm的長方體拼成一個(gè)大長方體，則大長方體的長是4＋2＝6（cm），寬是2cm，高是2cm，據(jù)此解答即可?！驹斀狻看箝L方體的長是4＋2＝6（cm），寬是2cm，高是2cm（6＋2＋2）×4＝10×4＝40（cm）【點(diǎn)睛】明確長方體和正方體拼組成一個(gè)新長方體，找出新長方體的長寬高是解答此題的關(guān)鍵；用到的知識(shí)點(diǎn)：長方體棱長和的計(jì)算方法。二、解答題9．一個(gè)長方體的高減少3分米后，得到一個(gè)正方體，表面積比原來減少24平方分米。原來長方體的體積是多少立方分米？【答案】20立方分米【分析】因?yàn)楦呷サ?分米后得到一個(gè)正方體，所以這個(gè)長方體的底面一定是正方形。表面積減少的部分是去掉3分米部分的四個(gè)側(cè)面的面積，用表面積減少的部分除以4求出一個(gè)側(cè)面的面積，用一個(gè)側(cè)面的面積除以3即可求出底面邊長，然后求出原來長方體的高，再用底面積乘高求出原來長方體的體積即可?！驹斀狻?4÷4÷3＝6÷3＝2（分米）2＋3＝5（分米）2×2×5＝4×5＝20（立方分米）答：原來長方體的體積是20立方分米。【點(diǎn)睛】根據(jù)截去后剩下是正方體，可知減少的部分是寬為3分米的4個(gè)面，從而可以分別求出長方體的長、寬、高，進(jìn)而利用長方體體積的計(jì)算方法即可求解。10．把一個(gè)長12厘米，寬和高都是4厘米的長方體，分割成棱長4厘米的正方體，表面積比原來增加了多少？【答案】64平方厘米【分析】根據(jù)題意可知，把這個(gè)長方體分割成棱長是4厘米的正方體，因?yàn)殚L是寬和高的3倍，所以可以分割成3個(gè)正方體，需要切2次，每切一次就增加兩個(gè)切面的面積，所以表面積增加了4個(gè)切面的面積，根據(jù)正方形的面積公式：S＝a2，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【詳解】4×4×4＝16×4＝64（平方厘米）答：表面積比原來增加了64平方厘米?！军c(diǎn)睛】此題考查的目的是理解掌握正方體、長方體表面積的意義及應(yīng)用，正方形的面積公式及應(yīng)用，關(guān)鍵是熟記公式。11．如果一個(gè)長方體的高減少4分米后，表面積就減少了1600平方厘米，這時(shí)正好變成了一個(gè)正方體，原長方體的體積是多少？【答案】5000立方厘米【分析】4分米＝40厘米，根據(jù)高減少40厘米，就剩下一個(gè)正方體可知，這個(gè)正方體比原長方體表面積減少的4個(gè)面是相同的，根據(jù)已知表面積減少1600平方厘米，1600÷4÷40＝10厘米，求出減少面的寬，也就是剩下的正方體的棱長，然后10＋40＝140厘米求出原長方體的高，再計(jì)算原長方體的體積即可?！驹斀狻繙p少的面的寬（剩下正方體的棱長）1600÷4÷40＝400÷40＝10（厘米）原來長方體的高：10＋40＝50（分米）原來的體積：10×10×50＝100×50＝5000（立方厘米）答：原長方體的體積是5000立方厘米?！军c(diǎn)睛】此題主要考查長方體的體積公式的靈活運(yùn)用，解答此題關(guān)鍵是求出原來長方體的高。12．一個(gè)長方體木塊，從它的上部和下部分別截去高4厘米和5厘米的長方體后，成為一個(gè)正方體，這樣表面積比原來減少了216平方厘米。原來長方體的體積是多少立方厘米？（提示：可以先畫出示意圖幫助理解）【答案】540立方厘米【分析】如圖，由題意可知，這是一個(gè)上、下面為正方形的長方體，從上部和下部分別截去高為4厘米和5厘米的長方體后，把截去的部分拼在一起，新增加的部分是一個(gè)展開后長為上、下底邊長4倍，寬為（4＋5）厘米的長方形；根據(jù)長方形的面積計(jì)算公式“S＝ab”，即可求出這個(gè)長方形的長，長方形的長除以4就是中間剩下的正方體的棱長，即原長方體的長、寬，高是長加上（4＋5）厘米；根據(jù)長方體的體積計(jì)算公式“V＝abh”即可求出原長方體的體積【詳解】如圖：根據(jù)分析得：216÷（4＋5）÷4＝216÷9÷4＝6（厘米）6×6×（6＋4＋5）＝36×15＝540（立方厘米）答：原來長方體的體積是540立方厘米?！军c(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)是求出中間所剩正方體的棱長，也就是原長方體的長、寬。13．如圖，從一個(gè)表面積為98平方厘米的長方體中鋸下一個(gè)正方體，剩下長方體的表面積是78平方厘米，鋸下正方體的表面積是多少平方厘米？【答案】30平方厘米【分析】根據(jù)圖形可知，長方體鋸下一個(gè)正方體，長方體的表面積減少的值相當(dāng)于正方體的一個(gè)側(cè)面積的4倍，用減少的值除以4，求出一個(gè)面的面積，再乘6，就是這個(gè)正方體的表面積，據(jù)此解答。【詳解】（98－78）÷4×6＝20÷4×6＝5×6＝30（平方厘米）答：鋸下正方體的表面積是30平方米?！军c(diǎn)睛】本題考查長方體的切拼，關(guān)鍵明確減少的部分為正方體的4個(gè)面的面積和。14．把一根長1.4米的長方體鋼材（橫截面是正方形）全部鋸成長0.35米的小段，表面積比原來增加了6平方分米，如果每平方分米鋼材重7.8千克，原來這根鋼材重多少千克？【答案】109.2千克【分析】根據(jù)題意，先求出鋸成幾段，用長方體鋼材長度除以0.35米，進(jìn)而求出有幾個(gè)橫截面，再用已知增加表面積除以橫截面的個(gè)數(shù)，求出一個(gè)橫截面的面積，再用一個(gè)橫截面的面積×長方體鋼材的長度，求出這個(gè)長方體鋼材的體積，最后再乘7.8千克，就是這個(gè)鋼材的重量，據(jù)此解答?！驹斀狻?.4米＝14分米1.4÷0.35＝4（段）增加的面數(shù)（4－1）×2＝3×2＝6（個(gè)）一個(gè)面的面積：6÷6＝1（平方分米）1×14×7.8＝14×7.8＝109.2（千克）答：這個(gè)鋼材重109.2千克?！军c(diǎn)睛】本題考查長方體體積公式的應(yīng)用，