第15講比例的應(yīng)用

第15講比例的應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】比例的應(yīng)用是對(duì)比例的意義和性質(zhì)的應(yīng)用拓展，重點(diǎn)在于靈活的根據(jù)題意尋找比例關(guān)系，然后利用比例的意義和基本性質(zhì)進(jìn)行解題．其中，方程的思想尤為重要．比例的應(yīng)用題實(shí)際上是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的另一種表達(dá)方式，而且熟練掌握比例的應(yīng)用對(duì)于之后學(xué)習(xí)百分比的應(yīng)用也有一定的幫助作用．【基礎(chǔ)知識(shí)】一：根據(jù)比例的意義和性質(zhì)1.根據(jù)比例的意義和性質(zhì)解題根據(jù)，若已知其中三個(gè)量，則可以求解第四個(gè)量的值．如：．簡單的比例問題，解題過程中，首先根據(jù)比例的意義尋找兩個(gè)比值相等的比，組成比例，然后利用比例的性質(zhì)，求解未知量．2.比例尺比例尺是表示圖上一條線段的長度與地面相應(yīng)線段的實(shí)際長度之比．即：比例尺=圖上距離:實(shí)際距離．二：和差關(guān)系與比例分配1.已知兩個(gè)量的數(shù)量比與數(shù)量和兩個(gè)量A、B，數(shù)量之比為a:b，數(shù)量之和為x，則A的數(shù)量為，B的數(shù)量為．2.已知兩個(gè)量的數(shù)量比與數(shù)量差兩個(gè)量A、B，數(shù)量之比為a:b（），數(shù)量之差為x，則A的數(shù)量為，B的數(shù)量為．3.設(shè)k法若A:B=a:b，可設(shè)A=ak，B=bk，其中，那么：，．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：根據(jù)比例的意義和性質(zhì)例1．用比例的方法解答：（1）10元錢可以買6個(gè)橙子，現(xiàn)要買21個(gè)橙子，需要多少錢？（2）10元錢可以買6個(gè)橙子，現(xiàn)共有25元，能買多少個(gè)橙子？【難度】★【答案】（1）35元；（2）15個(gè)．【解析】（1）設(shè)買21個(gè)橙子，需要元．由題意可得，解得．（2）設(shè)有25元，能買個(gè)橙子．由題意可得，解得．答：要買21個(gè)橙子，需要35元；有25元，能買15個(gè)橙子．【總結(jié)】本題考查了正、反比例應(yīng)用題，解答此題的關(guān)鍵是，先判斷題中的兩種相關(guān)的量成何比例，即兩個(gè)量的乘積是定值則這兩個(gè)量成反比例，兩個(gè)量的比值是定值則這兩個(gè)量成正比例，然后找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)量，列式解答即可．例2．火車站的檢票口5分鐘通過205人，那么1230位乘客全部通過檢票口需要______分鐘．【難度】★【答案】30．【解析】設(shè)1230位乘客全部通過檢票口需要分鐘．由題意可得，解得．【總結(jié)】本題利用正、反比例的概念解決實(shí)際問題．例3．15本相同厚度的練習(xí)本疊起來，總高度為20厘米．如果將21本這樣的練習(xí)本疊起來，那么總高度為多少？【難度】★【答案】28厘米．【解析】設(shè)總高度為厘米．由題意可得，解得．答：總高度為28厘米．【總結(jié)】本題利用正、反比例的概念解決實(shí)際問題．例4．小明讀一本書，如果每天讀30頁，6天可以讀完，若每天讀20頁，需要多少天才能讀完？試說明讀的天數(shù)之比與每天讀的頁數(shù)之比有怎樣的關(guān)系．【難度】★【答案】9天；天數(shù)之比與頁數(shù)之比成反比．【解析】設(shè)需要天才能讀完．由題意可得，解得．天數(shù)之比與頁數(shù)之比成反比．【總結(jié)】本題利用正、反比例的概念解決實(shí)際問題．例5．小明的身高是1.45米，他的影長是2米，在同一時(shí)間、同一地點(diǎn)測(cè)得一棵樹影長4米，則這棵樹實(shí)際高_(dá)_____米．【難度】★★【答案】．【解析】設(shè)這棵樹實(shí)際高米，則，解得．答：這棵樹實(shí)際高米．【總結(jié)】本題利用正、反比例的概念解決實(shí)際問題．例6．一幅地圖的比例尺是1:1000000，圖上6厘米表示實(shí)際距離______千米．實(shí)際距離150千米在圖上要畫______厘米．【難度】★★【答案】，．【解析】設(shè)圖上6厘米表示實(shí)際距離厘米，則，解得厘米千米；設(shè)實(shí)際距離150千米在圖上要畫厘米，則，解得，∴6厘米表示實(shí)際距離60千米，實(shí)際距離150千米在圖上要畫15厘米．【總結(jié)】本題主要考查了比例尺的意義，注意圖上距離與實(shí)際距離的單位要統(tǒng)一．例7．上海到北京的實(shí)際距離大約等于1100千米，在一幅地圖上量得兩地的距離為5.5厘米，則這幅地圖的比例尺為____________．【難度】★★【答案】．【解析】1100千米=110000000厘米，∴比例尺為．【總結(jié)】本題主要考查了比例尺的意義，注意圖上距離與實(shí)際距離的單位要統(tǒng)一．例8．某機(jī)床廠制造一批機(jī)床，3天生產(chǎn)了21臺(tái)，結(jié)果再生產(chǎn)12天就完成了任務(wù)，則這批機(jī)床共有多少臺(tái)？【難度】★★【答案】105臺(tái)．【解析】設(shè)這批機(jī)床共有臺(tái)，則，解得．答：這批機(jī)床共有105臺(tái)．【總結(jié)】本題利用正、反比例的概念解決實(shí)際問題．例9．某工廠有一批煤，原計(jì)劃每天燒12噸，可以燒50天，采取了節(jié)能措施后，每天比原計(jì)劃節(jié)約，問這批煤可以燒多少天？【難度】★★【答案】天．【解析】節(jié)約后每天用煤（噸），設(shè)這批煤可以燒天，則，解得．答：這批煤可以燒天．【總結(jié)】本題利用正、反比例的概念解決實(shí)際問題．例10．飛機(jī)每小時(shí)飛行480千米，汽車每小時(shí)行駛90千米，飛機(jī)飛行小時(shí)的路程，汽車要行駛多少小時(shí)？試說明在路程相等的情況下，速度之比與時(shí)間之比的關(guān)系．【難度】★★【答案】24小時(shí)，在路程相等的情況下，速度之比與時(shí)間之比成反比．【解析】設(shè)汽車要行駛小時(shí)，則，解得．，，∴【總結(jié)】本題利用正、反比例的概念解決實(shí)際問題．例11．已知的三邊之比為2:3:4，則相應(yīng)三邊上的高之比為____________．【難度】★★【答案】．【解析】∵三邊之比為2:3:4，∴設(shè)三邊長分別為、、，三邊上的高分別為、、，由題意得：，化簡得，∴．【總結(jié)】本題主要考查了三角形的面積公式及設(shè)法的使用，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的面積 的公式計(jì)算．例12．用6只雞可以換5只鴨，用4只鴨可以換3只鵝，那么40只雞可以換多少只鵝？【難度】★★【答案】25只．【解析】令雞、鴨、鵝分別用、、表示，則由題意可知：，，∵，，∴，設(shè)40只雞可以換只鵝，則，解得，答：40只雞可以換25只鵝．【總結(jié)】本題考查了簡單的等量代換問題，會(huì)運(yùn)用連比的性質(zhì)．例13．甲、乙兩個(gè)服裝廠，日生產(chǎn)西服的數(shù)量比是5:4，兩個(gè)廠生產(chǎn)的西服單價(jià)的比是12:7，那么這兩個(gè)廠的日產(chǎn)值的比是多少？【難度】★★【答案】．【解析】兩個(gè)廠的日產(chǎn)值的比是．【總結(jié)】本題考查了比的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是利用總價(jià)、數(shù)量和單價(jià)的關(guān)系求出產(chǎn)值的比．例14．甲、乙兩個(gè)倉庫原有鋼材的重量之比為4:3，若從甲倉庫拉走8噸鋼材，那么甲、乙兩個(gè)倉庫的鋼材的重量之比為2:3，求甲倉庫原有鋼材多少噸？【難度】★★【答案】16噸．【解析】設(shè)甲倉庫原有鋼材噸、乙倉庫原有鋼材噸．由題意得：，解得，（噸）∴甲倉庫原有鋼材噸．【總結(jié)】本題考查了比的應(yīng)用．考點(diǎn)二：和差關(guān)系與比例分配例1．公園中柳樹和楊樹的共40棵，且棵數(shù)之比為5:3，那么柳樹和楊樹各有多少棵？【難度】★【答案】柳樹25棵，楊樹15棵．【解析】柳樹的棵數(shù)為：（棵），楊樹的棵數(shù)為：（棵）．答：柳樹有25棵，楊樹有15棵．【總結(jié)】本題考查了按比例分配解決實(shí)際問題，兩個(gè)量、，數(shù)量之比為，數(shù)量之和為，則的數(shù)量為，的數(shù)量為．例2．師徒兩人加工一批零件，師傅和徒弟的工作效率之比為7:4，完成任務(wù)時(shí)，師傅比徒弟多加工了90個(gè)零件，求這批零件的總數(shù)．【難度】★【答案】330件．【解析】師傅加工零件個(gè)數(shù)為：（個(gè)），徒弟加工零件個(gè)數(shù)為：（個(gè)），（個(gè)）答：這批零件共330個(gè)．【總結(jié)】本題考查了按比例分配解決實(shí)際問題，兩個(gè)量、，數(shù)量之比為，（），數(shù)量之差為，則的數(shù)量為，的數(shù)量為．例3．（1）已知兩個(gè)數(shù)的比是2:7，且和為81，則這兩個(gè)數(shù)分別為______和______；（2）已知被減數(shù)與差的比是5:3，減數(shù)是120，被減數(shù)是____________．【難度】★【答案】（1）18，63；（2）300．【解析】（1），；（2）．【總結(jié)】本題考查了按比例分配解決實(shí)際問題．例4．小智和小方平均每人有50顆糖，小智的糖的顆數(shù)與小方的糖的顆數(shù)之比為7:3，求小智比小方多多少顆糖？【難度】★【答案】40（顆）【解析】∵小智和小方平均每人有50顆糖，∴兩人一共有顆糖，（顆）答：小智比小方多40顆糖．【總結(jié)】本題考查了按比例分配解決實(shí)際問題．例5．將300個(gè)蘋果按4:5:6的比例分給幼兒園的小班、中班和大班三個(gè)班，那么小班、中班和大班各分得多少個(gè)蘋果？【難度】★【答案】80，100，120．【解析】小班：（個(gè)），中班：（個(gè)），大班：（個(gè)）．答：小班、中班和大班各分得80，100，120個(gè)蘋果．【總結(jié)】本題考查了按比例分配解決實(shí)際問題．例6．三個(gè)數(shù)的平均數(shù)為120，這三個(gè)數(shù)的比是3:5:7，它們分別是______、______、______．【難度】★★【答案】72、120、168．【解析】由題意知三個(gè)數(shù)的和為，，，，∴這三個(gè)數(shù)分別是72、120、168．【總結(jié)】本題考查了按比例分配解決實(shí)際問題．例7．一個(gè)長方形的長和寬之比為5:3，周長為24，則這個(gè)長方形長是_____，寬是______，的面積為______．【難度】★★【答案】，，．【解析】長方形的長是：，長方形的寬是：，∴面積為．【總結(jié)】本題考查了按比例分配應(yīng)用題，關(guān)鍵是靈活利用長方形的周長公式．例8．已知，且，求．【難度】★★【答案】16．【解析】設(shè)，，，代入得，解得，所以．【總結(jié)】本題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意比例的性質(zhì)及設(shè)法的運(yùn)用，設(shè)法，若，可設(shè)，，其中，那么：，．例9．甲、乙兩個(gè)班共種樹若干棵，已知甲班種的棵數(shù)的等于乙班種的棵數(shù)的，且乙班比甲班多種樹24棵，甲、乙兩個(gè)班級(jí)各種樹多少棵？【難度】★★【答案】甲班種樹96棵，乙班種樹120棵．【解析】甲班與乙班所種棵數(shù)比是：，甲班的棵數(shù)：（棵），乙班的棵數(shù)：（棵），答：甲班種樹96棵，乙班種樹120棵．【總結(jié)】本題考查了按比例分配應(yīng)用題，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出甲乙兩班所種棵數(shù)比．例10．一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合做20天完成，已知甲、乙兩隊(duì)每天完成的工作量的比是4:5，問甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需幾天？【難度】★★【答案】甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需45天，乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需36天．【解析】甲、乙兩隊(duì)合做20天完成，可知甲、乙兩隊(duì)的工作效率和為，（天），（天）．答：甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需45天，乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需36天．【總結(jié)】本題考查了工程問題，根據(jù)工作效率、工作時(shí)間和工作量三者之間的關(guān)系是完成本題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測(cè)】1.（青教院附中2019期中3）一輛汽車小時(shí)行駛30千米，行駛1千米需要多長時(shí)間，列式為()A.B.C.D.【答案】A；【解析】解：一輛汽車小時(shí)行駛30千米，行駛1千米需要多長時(shí)間，列式為，得，故答案選A.2.（2019進(jìn)才北12月考3）在一幅地圖上，量得A、B兩地距離是7厘米,已知兩地實(shí)際距離為350千米,則該地圖的比例尺是（）A.1:50B.1:5000C.1:500000D.1:5000000【答案】D；【解析】解：根據(jù)題意，該地圖的比例尺為：7厘米：350千米=7厘米：35000000厘米=1：5000000，故答案選D.3.（虹口區(qū)2019期末14）一幅地圖比例尺是1︰6000000，上海到杭州地圖上距離是3.5厘米，則上海到杭州的實(shí)際距離是千米．【答案】210；【解析】解：設(shè)上海到杭州的實(shí)際距離是x厘米，根據(jù)題意得，解得厘米，故千米.4.（川沙中學(xué)南校2019期末12）在一張比例尺為1：300000地圖上量得A、B兩地的距離是9厘米，那么A、B兩地的實(shí)際距離是千米.【答案】27；【解析】解：設(shè)A、B兩地實(shí)際距離是xcm，根據(jù)題意得，解得千米5，（盧灣中學(xué)2020期末12）在一張比例尺1:800000的地圖上，量得上海浦東磁懸浮的線路長度為4厘米，那么它的實(shí)際長度是____________千米.【答案】32；【解析】解：設(shè)實(shí)際長度為x千米，則，解得x=32千米.6.（閔行區(qū)2020期末18）某校原有垃圾桶80個(gè)，其中老式垃圾桶和分類垃圾桶的比例是3：2，為了更好的落實(shí)“垃圾分類”，計(jì)劃把老式垃圾桶更換成分類垃圾桶.另外再采購更換總數(shù)的25%作為備用，那么此次共需采購個(gè)分類垃圾桶.【答案】60;【解析】解：設(shè)更換的垃圾桶為x個(gè)，依題3：2=x:(80x)，解得x=48個(gè)，所以需要采購的分類垃圾桶為：48×（1+25%）=60個(gè).7.（2019上南東12月考13）小A的身高是1.6米，他的影子長是2米.在同一地點(diǎn)測(cè)得一棵樹影子長4米，這棵樹高米.【答案】3.2;【解析】解：根據(jù)題意設(shè)樹高h(yuǎn)米，可得，解得h=3.2米.8.（哈爾濱松北2020期末18）如圖，兩個(gè)圓重疊部分的面積相當(dāng)于大圓面積的，相當(dāng)于小圓面積的，則大圓面積與小圓面積的比值為.【答案】4；【解析】解：設(shè)重疊部分的面積為s，則大圓面積為6s，小圓的面積為，故大圓與小圓的面積之比為：.9.（2019北蔡12月考18）兩塊同樣重量的銅鋅合金，第一塊合金中銅與鋅的質(zhì)量之比是2:5,另一塊合金中銅與鋅的質(zhì)量之比是1:3，現(xiàn)將兩塊合金合成一塊，則新合金中銅與鋅的質(zhì)量之比為.【答案】；【解析】解：設(shè)每塊銅鋅合金的重量為m,則第一塊合金中銅質(zhì)量為，鋅的質(zhì)量為，第二塊合金中銅質(zhì)量為，鋅的質(zhì)量為，故兩塊合金合成一塊，新合金中銅與鋅的質(zhì)量之比為：=.10（浦東南片十六校2020期末25）已知5公斤花生可榨油3公斤，問：（1）120公斤花生可以榨油多少公斤？（2）想得到60公斤油，需要花生多少公斤？【答案】（1）72公斤；（2）100公斤；【解析】解：（1）設(shè)120公斤花生可榨油x公斤，則，解得公斤；答：120公斤花生可以榨油72公斤（2）設(shè)需要花生y公斤，依題得，解得公斤.答：想得到60公斤油，需要花生100公斤.11．（2019大同初中12月考27）用解比例的方法求解：一位測(cè)量員把1.5米長的竹竿直立在地面上，測(cè)得竹竿的影長是1.2米，同時(shí)測(cè)得一根旗桿的影子是這竹竿的影長的6倍還多80厘米，求旗桿的長?【答案】10米；【解析】解：設(shè)旗桿的長度為x米，而旗桿的影子長為（6×1.2+0.8）米，則，解得x=10米.答：旗桿的長度為10米.12．（盧灣中學(xué)2020期末30）一只獵狗發(fā)現(xiàn)離它18米遠(yuǎn)的前方有一只狐貍在跑，它馬上緊追，現(xiàn)在知道獵狗跑2步的路程狐貍要跑3步，而獵狗跑5步的時(shí)間狐貍可跑7步，問獵狗能追上狐貍嗎？如果不能，請(qǐng)說明理由；如果可以，那么求出獵狗跑多少米追上狐貍？【答案】能，270米；【解析】解由題意得：獵狗與狐貍的速度比為：,即狐貍的速度是獵狗速度的；設(shè)獵狗追上狐貍時(shí)行了x米，則狐貍行了x米，可得方程：,，解得.答：獵狗跑270米追上狐貍.13．第一車坊工作間內(nèi)第一小組與第二小組的工作人員的人數(shù)之比是5:3，第二車坊工作間突然遇上緊急事件，需要增加人員，即刻從第一小組和第二小組各調(diào)離2名到第二車坊工作間，這時(shí)如果從第一小組再調(diào)出4人到第二小組之后，第一小組人數(shù)與第二小組人數(shù)之比是1:2，問第一小組和第二小組原來各有多少人？【答案】10人；6人；【解析】解：設(shè)第一小組原來5x人，第二小組原來3x人，則，整理得，，解得，所以，，答：第一小組原來10人，第二