復(fù)習(xí)案07等比數(shù)列（原卷版）

復(fù)習(xí)案07等比數(shù)列【知識回顧】1.等比數(shù)列的概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q≠0).數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù)).(2)等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).此時G2＝ab.2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1；通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an.(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.(3)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為qn.常用結(jié)論：1.若數(shù)列{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則數(shù)列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也是等比數(shù)列.2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0.3.在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.4.三個數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為eq\f(x,q)，x，xq；四個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為eq\f(x,q3)，eq\f(x,q)，xq，xq3.【重點(diǎn)題型剖析】題型一等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式一、單選題1．（2022·吉林·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足：對任意的m，n∈N?，都有aman=A．320 B．±320 C．32．（2022·福建省永春第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=3×13A．以1為首項(xiàng)，13為公比的等比數(shù)列 B．以3為首項(xiàng)，1C．以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列 D．以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列3．（2022·陜西·寶雞中學(xué)模擬預(yù)測）數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2n+1?c，則“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2022·上海金山·一模）已知角α的終邊不在坐標(biāo)軸上，則下列一定成等比數(shù)列的是（

）A．sinα,cosα,C．sin2α,cos5．（2022·安徽·六安二中高三階段練習(xí)）若1,a2,a3,4成等差數(shù)列；A．12 B．?12 C．±6．（2022·山西·高三階段練習(xí)）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S10=244SA．3 B．2 C．4 D．－37．（2022·陜西·延安北大培文學(xué)校高二階段練習(xí)（理））在等比數(shù)列{an}中，a1=1,A．16 B．16或－1C．32 D．32或－32二、多選題8．（2022·山西·晉城市第二中學(xué)校高二階段練習(xí)）在等比數(shù)列{an}中，a2=2,a6A．?1 B．?2 C．2 D．49．（2022·湖南·嘉禾縣第六中學(xué)高二階段練習(xí)）在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列an中，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1aA．q=2 B．?dāng)?shù)列SnC．S8=510 D．?dāng)?shù)列三、填空題10．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）已知等比數(shù)列{an}中，a1=2,a211．（2022·北京·日壇中學(xué)高三階段練習(xí)）已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)乘積為Tn，T2=12．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn四、解答題13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=32，且an+1=λan+114．（2022·上海寶山·一模）已知數(shù)列an滿足a1=1(1)求證：數(shù)列an(2)求數(shù)列an(3)寫出i=15題型二等比數(shù)列的性質(zhì)一、單選題1．（2022·陜西渭南·高二期末（理））已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a3?a7A．3 B．4 C．5 D．62．（2022·江蘇南京·高二階段練習(xí)）若數(shù)列an為等比數(shù)列，且a2?a6是方程xA．?2 B．1 C．?1 D．±13．（2022·湖南長沙·高二階段練習(xí)）已知等比數(shù)列an，a3a10aA．1 B．2 C．4 D．84．（2022·山東·臨沂第四中學(xué)高二階段練習(xí)）在等比數(shù)列{an}中，且a3aA．16 B．8 C．4 D．25．（2023·山東濟(jì)南·高三期中）已知等比數(shù)列an,a3aA．1 B．2 C．4 D．86．（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））已知等比數(shù)列an滿足：a1+a3+aA．6332 B．6328 C．327．（2022·江蘇省前黃高級中學(xué)高二階段練習(xí)）正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a2=2，a4A．4 B．8 C．32 D．648．（2022·山東·廣饒一中高三階段練習(xí)）若數(shù)列?9，m，x，n，?16是等比數(shù)列，則x的值是（

）A．12 B．±12 C．?12 D．?12.5二、填空題9．（2021·陜西·禮泉縣第一中學(xué)高三期中（文））在等比數(shù)列an中，若a4?10．（2022·北京·日壇中學(xué)高三階段練習(xí)）已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)乘積為Tn，T2=11．（2022·山西·晉城市第二中學(xué)校高二階段練習(xí)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a12a12．（2022·四川·德陽五中高二期中（文））正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a4?13．（2021·陜西·韓城市新蕾中學(xué)（完全中學(xué)）高二期中（理））已知等比數(shù)列an中，a5a11=9a814．（2022·江蘇省響水中學(xué)高二期中）已知數(shù)列an、bn滿足bn=log2a題型三等比數(shù)列的函數(shù)特性一、單選題1．（2022·北京·北大附中高三階段練習(xí)）已知an是公比為q的等比數(shù)列，則“q>0”是“an為遞增數(shù)列”的（A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，則“q>1”是“a2022<A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要3．（2022·全國·高二單元測試）對于無窮數(shù)列an①若an既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則a②若等差數(shù)列an滿足an≤2022③若等比數(shù)列an滿足an≤2022④若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足1≤an其中正確的命題個數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．44．（2022·安徽·高三開學(xué)考試）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)乘積為Tn，已知a5=1,TA．最大值為32 B．最大值為1024C．最小值為132 D．最小值為5．（2022·安徽省臨泉第一中學(xué)高二期末）無窮數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足SnA．a(chǎn)n為等比數(shù)列 B．a(chǎn)C．a(chǎn)n中存在三項(xiàng)成等差數(shù)列 D．a(chǎn)6．（2022·安徽·蚌埠二中模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，則“a1<a2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2022·天津·一模）在等比數(shù)列an中，公比是q，則“q>1”是“an+1>A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a1<0，則數(shù)列an是嚴(yán)格遞增數(shù)列的條件是公比A．q>1 B．q<1 C．0<q<1 D．q<09．（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比數(shù)列an，下列選項(xiàng)能判斷an為遞增數(shù)列的是(A．a(chǎn)1>0，0<q<1 B．a(chǎn)C．a(chǎn)1<0，q=1 D．a(chǎn)二、多選題10．（2022·江蘇·南京師大附中高三開學(xué)考試）已知等比數(shù)列an滿足a1>0，公比q>1，且aA．a(chǎn)B．當(dāng)n=2021時，a1C．當(dāng)n=1011時，a1D．存在n<1011，使得a11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列an滿足a1>0，公比q>1，且a1aA．a(chǎn)2024>1 B．當(dāng)n=2022時，C．當(dāng)n=1012時，a1a2???an12．（2022·全國·高二課時練習(xí)）關(guān)于遞增等比數(shù)列an，下列說法正確的是（

A．當(dāng)a1>0時，q>1 B．當(dāng)aC．當(dāng)a1<0時，0<q<1 13．（2022·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）以下敘述不正確的是（

）A．若等比數(shù)列{an}單調(diào)遞減，則其公比B．等比數(shù)列{an}滿足a1C．等差數(shù)列{an}滿足a2D．公差為負(fù)的等差數(shù)列{an}滿足a1=?6d，則當(dāng)且僅當(dāng)n=614．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列an滿足a1>0，公比q>1，且a1aA．a(chǎn)2021>1 B．當(dāng)n=2021時，C．當(dāng)n=1011時，a1a2???an題型四等比數(shù)列的前n項(xiàng)和一、單選題1．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)a1=1，且滿足an+1A．4093 B．4094 C．4095 D．40962．（2022·青?！や掖ㄖ袑W(xué)一模（理））已知數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn為等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，且a2+a5=1，a7A．18 B．38 C．343．（2022·貴州畢節(jié)·高三階段練習(xí)（理））在等比數(shù)列an中，a1+a4=9，a4A．31 B．47 C．63 D．814．（2022·福建·高三階段練習(xí)）在前n項(xiàng)和為Sn的等比數(shù)列an中，a2+a3=?2A．80 B．85 C．90 D．955．（2022·山西·高三階段練習(xí)）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S10=244SA．3 B．2 C．4 D．－36．（2019·吉林·四平市第一高級中學(xué)高二開學(xué)考試）在數(shù)列an中，已知對任意正整數(shù)n，有a1+a2A．2n?12C．4n?1 7．（2022·陜西省榆林中學(xué)高三階段練習(xí)（理））《九章算術(shù)》中有如下問題：今有蒲生一日，長四尺，莞生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：今有蒲第一天長高四尺，莞第一天長高一尺，以后蒲每天長高前一天的一半，莞每天長高前一天的兩倍．請問第幾天，莞的長度是蒲的長度的2倍（

）A．4天 B．5天 C．6天 D．7天8．（2022·江西·九江一中高三階段練習(xí)（理））等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=2，S5A．?2 B．2 C．14 D．?149．（2022·陜西商洛·高二期末（理））我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈.”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，問塔的頂層燈的盞數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．410．（2023·甘肅·蘭化一中高三階段練習(xí)（理））在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)”.其大意是：有人要去某關(guān)口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則下列說法：①此人第四天走了二十四里路；②此人第二天走的路程比后五天走的路程少九十里；③此人第二天走的路程占全程的14；④此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍.其中正確的有（

A．①③ B．①②④ C．②③④ D．③④二、填空題11．（2022·浙江·慈溪中學(xué)高二階段練習(xí)）記正項(xiàng)遞增等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a312．（2022·福建·上杭一中高三階段練習(xí)）已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)為32，公比為?12，前n項(xiàng)和為Sn13．（2022·上海市甘泉外國語中學(xué)高一期末）已知等比數(shù)列{an}滿足:a1=1,a14．（2022·上海虹口·一模）已知首項(xiàng)為2的等比數(shù)列bn的公比為1三、解答題15．（2022·河北·衡水市第二中學(xué)高二期中）已知遞增的等比數(shù)列an滿足a2+a3+a4=28，且a(1)求數(shù)列an(2)設(shè)cn=an+bn16．（2022·河北·衡水市第二中學(xué)高二期中）（1）已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=2，公差d=8，在an中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列（2）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為?1，前n項(xiàng)和為Sn.若S10S題型五等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)一、單選題1．（2022·湖南岳陽·高二期中）等比數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn,S3=732,A．?15 B．?20 C．?22 D．?252．（2022·廣西·靈川縣潭下中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S45?SA．2+322 B．2 C．23．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)an為等比數(shù)列，設(shè)Sn和Tn分別為an的前n項(xiàng)和與前A．若S2023≥S2022，則Sn不一定是遞增數(shù)列 C．若Sn為遞增數(shù)列，則可能存在a2022<a2021 4．（2022·遼寧葫蘆島·高二階段練習(xí)）Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且S7A．x2+3x?45=0 C．x2?3x?45=0 5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝10，S30＝130，則S40等于（

）A．－510 B．400C．400或－510 D．30或406．（2021·江蘇·沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝4，S6＝36，則公比q＝（）A．2 B．±2 C．4 D．27．（2022·重慶·高二期末）已知等比數(shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，且3a12，a34，A．27 B．18 C．9 D．18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=10，S6A．20 B．30 C．40 D．509．（2022·黑龍江·鐵人中學(xué)高二開學(xué)考試）等比數(shù)列an中，a1+a2+aA．90 B．120 C．240 D．480二、多選題10．（2022·遼寧·沈陽二中高二階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SA．若Sn=n+1B．若Sn=2C．若an是等差數(shù)列，則D．若an是等比數(shù)列，則S11．（2022·江蘇·南京市秦淮中學(xué)高二期末）已知等比數(shù)列an，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，則下列結(jié)論一定正確的是（A．若m+n=s+t，(m,n,s,t∈B．若am?anC．當(dāng)q>1時，數(shù)列anD．若Sn=kqn三、填空題12．（2022·江蘇連云港·高二期末）在等比數(shù)列an中，q=12，S13．（2022·甘肅·敦煌中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S314．（2022·四川·攀枝花七中高一階段練習(xí)（理））設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3【綜合檢測】等比數(shù)列綜合檢測卷一、單選題1．（2022·山東·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列an滿足：a2+a4+aA．20 B．10 C．5 D．52．（2023·全國·高三專題練習(xí)）方程x2?5x+4=0的兩根的等比中項(xiàng)是（A．?2和2 B．1和4 C．2和4 D．2和13．（2021·廣西桂林·高二階段練習(xí)（理））已知數(shù)列an?bn的通項(xiàng)公式滿足3an+1=anA．1681 B．89 C．6814．（2022·全國·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于任意正偶數(shù)n均有1?12+13A．假設(shè)n=kk∈B．假設(shè)n≥kk∈C．假設(shè)n=2kk∈D．假設(shè)n=2k+15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=2，an+1=anA．2n?1 B．2n?1 C．22n?16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在邊長為243的正三角形三邊上，分別取一個三等分點(diǎn)，連接成一個較小的正三角形，然后在較小的正三角形中，以同樣的方式形成一個更小的正三角形，如此重復(fù)多次，得到如圖所示的圖形（圖中共有10個正三角形），其中最小的正三角形的面積為（

）A．334 B．1 C．327．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=anA．12<S100<3 B．3<S8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知△AnBnCn(n=1,2,3,?)是直角三角形，An是直角，內(nèi)角AnA．S2n是遞增數(shù)列 B．SC．?dāng)?shù)列bn?cn存在最大項(xiàng)二、多選題9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知an為等差數(shù)列，滿足2a2?a4=1，bA．?dāng)?shù)列an的首項(xiàng)比公差多1 B．?dāng)?shù)列anC．?dāng)?shù)列bn的首項(xiàng)為2 D．?dāng)?shù)列bn10．（2021·江蘇·高二單元測試）已知等比數(shù)列an中，滿足a1=1，公比q=?3A．?dāng)?shù)列3aB．?dāng)?shù)列an+1C．?dāng)?shù)列anD．?dāng)?shù)列l(wèi)og311．（2022·全國·高二課時練習(xí)）記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若存在實(shí)數(shù)H，使得對任意的n∈N?，都有SnA．若數(shù)列an是等差數(shù)列，且公差d=0，則數(shù)列aB．若數(shù)列an是等差數(shù)列，且數(shù)列anC