2019極坐標(biāo)參數(shù)方程150題教師版

專題：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(師)

一、解答題

1.在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的方程為y2=4x.

(1)以坐標(biāo)原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求。的極坐標(biāo)方程；

(2)直線/的參數(shù)方程是仔:*為參數(shù))，/與c交于4,B兩點,MB|=4V6,求1的傾斜角.

【來源】【市級聯(lián)考】河南省六市2019屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)(文)試題

【答案】(1)psin20—4cos8=0；(2)或a=午

【解析】

【分析】

(1)由題意利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式可將直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程；

(2)聯(lián)立直線參數(shù)方程與拋物線方程，結(jié)合參數(shù)的幾何意義求得sina的值即可確定直線的傾斜角.

【詳解】

ri'..(x=pcos6代入V=4%,

*ky=psind，

psin20—4cos0=0.

(2)不妨設(shè)點4B對應(yīng)的參數(shù)分別是《2，

把直線Z的參數(shù)方程代入拋物線方程得：/si/a_4cosat-8=0,

fti+t=竺等

2V16+16sin2a

???型a，則|4B|=|t】T2l==4V6,

sin2a

(量2=有

?.?7T_ix37r

..sina=—,??a=-或a=—.

【點睛】2

本題主要考查直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程的方法，直線參數(shù)方程的幾何意義等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力

和計算求解能力.

(%=1-已8為參數(shù))

2.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線G的參數(shù)方程：2；，，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極

Iy彳

軸建立極坐標(biāo)系，曲線C?的極坐標(biāo)方程為P=2asin(。+?)(a>0).

(1)若曲線G與曲線C2相切，求a的值；

(2)若曲線G與曲線交于48兩點，且[48|=n，求a的值.

【來源】江西省吉安市2019屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)(文)試題

【答案】⑴a=~(2)V2

4

【解析】

【分析】

(1)先把曲線G和曲線化成普通方程，再根據(jù)點到直線距離等于半徑列等式可解得；

(2)聯(lián)立直線與曲線C2的參數(shù)方程，利用參數(shù)的幾何意義可得答案

【詳解】

(1)直線C1的直角坐標(biāo)方程為x+y-1=0.

22

圓。2的普通方程為(％-亨a)+(y—乎a)=Q2.

因為直線，與圓C?相切，所以償q°T=ana=

(1V2

IX=1——t

(2)把G的參數(shù)方程：1廠2(t為參數(shù))代入曲線C2的普通方程：

.Iy苧_.

得產(chǎn)—\[2t—y/2a+1=0,故04-12=五,ht?=-V2a+1,

\AB\=5/6=1^-t2\=J(ti+126—%7=a=V2.

【點睛】

本加考查了簡單曲線的極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，較為簡單

3.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

(%=24--t

在直角坐標(biāo)系久Oy中，過點P(-2,-4)的直線Z的參數(shù)方程為21為參數(shù)),以坐標(biāo)原點。為極點，以％軸

正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為psin28=2cos0,記直線Z與曲線C分別交于M,N兩點.

(1)求曲線。和/的直角坐標(biāo)方程；

(2)證明：|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列.

【來源】【全國市級聯(lián)考】河北省定州市2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(理)試題

【答案】⑴y2=2x,y=x-2.(2)見解析.

【解析】

【分析】

(1)曲線C的極坐標(biāo)方程左右兩邊同乘p，再利用x=pcosJ,y=psin?？汕笃渲苯亲鴺?biāo)方程；消參可求直線的普

通方程；

(2)把直線2的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，利用韋達定理分別表示,利用等比中項

法即可證明。

【詳解】

(1)由psiMe=2cos0,得/sin/=2pcos0,

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=2x,

(x=-2+—t

由《2，消去參數(shù)3得直線I的普通方程為y=x—2.

(y=-4+^t

x=—2+—t

(2)證明：將直線I的參數(shù)方程12代入2=2%中，得/—107^+40=0.

^=_4+-t

設(shè)MN兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為052，則有Q+t2=10V2,trt2=40,

22

所以|MN『=k-t2\-(J+t2)-4口12=40.

因為|PM|x\PN\=|小2|=40=\MN\2,

所以|PM|,\MN\,|PN|成等比數(shù)列.

【點睛】

本題考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化，直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題。

4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為儼=8c°sa(a為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點0為極點，x軸的正

半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點M的極坐標(biāo)為卜魚,斗)，直線1的極坐標(biāo)方程為psin(0-9+2&=0.

(1)求直線1的直角坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程；

(2)若N是曲線C上的動點，P為線段MN的中點，求點P到直線1的距離的最大值.

【來源】【校級聯(lián)考】山東省郛城一中等學(xué)校2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)(文)試題

【答案】⑴x-y-4=0,C：y+y2=1；(2)苧

【解析】

【分析】

(1)直接利用極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程和普通方程互化的公式求直線1的直角坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程：(2)

設(shè)N(gcosa,sina),aG[0,2").先求出點P到直線1的距離d=受竺字—再求最大值.

72

【詳解】

(1)因為直線1的極坐標(biāo)方程為psin(。一習(xí)+2a=0,

即psin0—pcos0+4=0.由x=Pcos0,y=psin0,

可得直線1的直角坐標(biāo)方程為x—y—4=0.

將曲線C的參數(shù)方程儼=Bc°sa消去參數(shù)a,

得曲線C的普通方程為9+y2=i.

(2)設(shè)N(V3cosa,sin。)，Q￡[0,2n).

點M的極坐標(biāo)(2V2,？)，化為直角坐標(biāo)為(一2,2).

4

則pgcosa—1jsina+1).

所以點p到直線1的距離d=吸。陛n=媽#＜明

V2\22

所以當(dāng)a=日時，點M到直線1的距離的最大值為苧.

【點睛】'

本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查點到直線的距離的最值

試卷第2頁，總79頁

的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為儼=8cosaQ為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點。為極點，”軸的正半軸

為極軸的極坐標(biāo)系中，點M的極坐標(biāo)為卜魚,學(xué)，直線/的極坐標(biāo)方程為psin(9-力+2e=0.

(1)求直線，的直角坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程；

(2)若N是曲線C上的動點，P為線段MN的中點，求點P到直線/的距離的最大值.

【來源】【校級聯(lián)考】山東省郛城一中等學(xué)校2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題

【答案】(1)x-y-4=0,*+y2=1；(2)壁.

【解析】

【分析】

(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式即可求得直線I的直角坐標(biāo)方程，將曲線C的參數(shù)方程消參數(shù)a即可求得曲線C

的普通方程，問題得解。

(2)求出點M的直角坐標(biāo)，再利用橢圓的參數(shù)方程表示點P的坐標(biāo)為P(4cosa-l,/ina+l),利用點到直線距離

公式及兩角差的正弦公式即可整理點P到直線I的距離d=回譬回，問題得解。

【詳解】

(1)因為直線/的極坐標(biāo)方程為psin(。一力+2或=0,

即Psin。一Pcos。+4=0.

由x=Pcos0,y=Psin0,

可得直線/的直角坐標(biāo)方程為x—y—4=0.

將曲線C的參數(shù)方程儼=8c°sa消去參數(shù)a,

Iy=sina

得曲線C的普通方程為9+f=1.

(2)設(shè)N(V5cosa,sina),aG［0,2n).

點M的極坐標(biāo)(2夜，-)化為直角坐標(biāo)為(-2,2).

4

則P(fcosa-l,|sina+1).

所以點P到直線，的距離d==回鑼<苧，

加，V2V22

所以當(dāng)a="時，點M到直線/的距離的最大值為雷.

【點睛】

本題主要考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，還考查了參數(shù)方程化為普通方程，考查了點到直線的距離公式及

兩角差的正弦公式，還考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題。

6.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為｛;12魯EG為參數(shù)，「>°)，以坐標(biāo)原點為極點，刀軸的正半軸為極

軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為p=4sin。.

(1)求Ci的普通方程和極坐標(biāo)方程；

(2)若G與相交于4、B兩點,S.\AB\=2遍，求p的值.

【來源】江西省贛州市2019屆高三3月摸底考試數(shù)學(xué)(理)試題

【答案】⑴&的普通方程為丫2=2「%(720).極坐標(biāo)方程為。5比2。=2「85。(0<。號).

z\3V3

⑵oP=—

【解析】

【分析】

(1)首先可根據(jù)參數(shù)方程的定義寫出曲線G的普通方程，再根據(jù)極坐標(biāo)方程的y=psin。、x=pcos8即可寫出曲線

G的極坐標(biāo)方程；

(2)本題首先可以設(shè)4為原點，然后根據(jù)=2K寫出點B的極坐標(biāo)，將點B的極坐標(biāo)代入的極坐標(biāo)方程中求出。的

值，最后將點B的極坐標(biāo)代入G的極坐標(biāo)方程中即可求出p的值。

【詳解】

(1)由曲線G的參數(shù)方程為｛；［2般可得t=卷，

再將其帶入x=2Pt中，即可得到曲線G的普通方程為y2=2px(y>0),

將y=psin9、x=pcos。代入V=2px,

即可得到曲線G的極坐標(biāo)方程為psiM。=2pcos0(O<0<今。

(2)由題意可知，顯然G與G有一個公共點為原點，

不妨設(shè)點4為原點，由|48|=2百可設(shè)點B的極坐標(biāo)為(2舊,8)(0<6<^).

代入C2的極坐標(biāo)方程得2g=4sin。，即sin”^,又0<。轉(zhuǎn)，所以

再把(2百5)代入G的極坐標(biāo)方程得26x^=2pxi,解得p=當(dāng).

【點睛】.

本題考查極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的相關(guān)性質(zhì)，主要考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、普通方程的相互轉(zhuǎn)化，考查極坐標(biāo)

方程的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力，考查方程思想，是中檔題。

7.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線，的參數(shù)方程為產(chǎn)：二;士(t為參數(shù))，其中n>0.以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半

Iy一幾。

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為。=l(pER),曲線C2的極坐標(biāo)方程為P2cos2。=1.

(1)求QC2的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知點P(-2,0),1與G交于點Q，與C2交于4B兩點，S.\PA\-\PB\=\PQ\2,求，的普通方程.

【來源】【市級聯(lián)考】福建省泉州市2019屆普通高中畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢查文科數(shù)學(xué)試題

【答案】(1)x=0,x2—y2=1(2)y=|x+1或y=+V7.

【解析】

【分析】

(1)利用極角概念得出曲線C1的直角坐標(biāo)方程.對于。2先利用二倍角公式化簡再轉(zhuǎn)化.

(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程,利用參數(shù)的意義求出直線的斜率.

【詳解】

解：(1)曲線G的直角坐標(biāo)方程為x=0,

方程p2cos2。=1可化為p2(cos2。—sin20)=1,

『=pcosf代(*得久2一2=1

(y=psinQ,)

(2)由直線I的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，得知直線，過點P(-2,0)

另設(shè)直線/的參數(shù)方程為「二，?=鬟s氏(其中t為參數(shù)，a為/的傾斜角，且a6(0,?),

則點Q對應(yīng)的參數(shù)值為二即|PQ|=|二-I，

cosacosa

代入/—y2=1,得(—2+tcosa)2—(tsina)2=1,

整理，得(cos2a—sin2a)t2—4tcosa+3=0,

設(shè)4B對應(yīng)的參數(shù)值分別為Jt2,

則tl+J=:"Sa,3

cosza-sinzatt=cos/a-sin/a

因為|P川?|PB|=|PQ『，所以

cos'a-sin'acos'a

所以23=-4■或23=V-

cosza-sinzacoszacosza-smzacos4a

解得tana=之或tana=日，

故l的普通方程為y=|x+1或y=yx+y/7.

［點睛］

本題考查極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,以及直線與曲線的位置關(guān)系，參數(shù)的幾何意義，基礎(chǔ)題.

8.已知橢圓C:J+y2=1左頂點為4,。為原點，M,N是直線x=t上的兩個動點，且M。1ON,直線AM和AN分

別與橢圓。交于E,。兩點

(1)若￡=-1,求4M0N的面積的最小值；

(2)若E,0,。三點共線，求實數(shù)t的值.

【來源】【校級聯(lián)考】浙江省金麗衢十二校2019屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

【答案】(1)1;(2)V2±2

【解析】

【分析】

(1)由勾股定理、三角形面積可得：|MN|2=|0M|2+|0N|22210Ml?|0N|,\MN\=\0M\?\0N\,\MN\>2.再

利用S/JMON=g|MN|?1對x2=1,即可得出.⑵設(shè)E(夜cosasin。),可得4E方程為：丫=焉果&0+夜)，

可得M為9，靄黑),同理汽為&薪駕9,根據(jù)MO,ON利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出.

試卷第4頁，總79頁

【詳解】

(1)由勾股定理、三角形面積可得：

\MN\2=\OM\2+\0N\2>2\0M\?\0N\,\MN\=\OM\?\0N\,當(dāng)且僅當(dāng)|0M|=|0N|等號成立

\MN\>2.

S/MON=：|MN|?1對X2=1,

即4M0N的面積的最小值為1.

(2)設(shè)E(&cos8,sin61),

則M為［，等嚅)，同理W為3關(guān)署嚶)。，黯噌)，

\V2(cos0+1)/V2(1-COS0)\V2(l-cos0)/

VMO1ON,

OM?0/V=t2-=0,得t=&±2.

【點睛】

本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、橢圓的參數(shù)方程、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、勾股定理、基本不等式的性質(zhì),

考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

9.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知曲線G：(，為參數(shù))，C2：［；;望(機為參數(shù)).

(1)將G,C2的方程化為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；

(2)設(shè)曲線G與。2的交點分別為A,B,O為坐標(biāo)原點，求AO48的面積的最小值.

【來源】【市級聯(lián)考】遼寧省遼陽市2019屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)(理科)試題

【答案】(1)cos0y=sin9(x-2),y2=4x,(2)2A/2.

【解析】

【分析】

(1)將x=2+tcos。兩邊同時乘以sin。，將丫=tsin。兩邊同時乘以cos。，進而消去參數(shù)f

(2)將曲線G與C2的方程聯(lián)立，利用面積之和可得

【詳解】

解：⑴由Ci：(X=2ttC°n6。為參數(shù))消去f得G：cos9v=sin。(x-2),

(y=tsint)

由儼=酬2(加為參數(shù))消去利得y=4x,

(y=4m

(2)如圖：聯(lián)立2勺4%2"也"消去工得/in。.4ycos0-8sin0=0,

設(shè)A(xi,yi),B(必然)，

則>'1+?2=弊，yi)，2=-8,又Cl與x軸的交點F(1,0)

sinb

小y

5-

4

3

y=4x

2

1

-----------------1---------0

-5-4-3-2-1

-1

-4

-5

**?S^OAB=S^AOF+S^BOF=1|OF]|VI|+||OF||y2l=卞。Q（比1+1丁2|）

=|x1x|yi-y2\

2

=1V（yi+y2）-4yiy2

1（駕尸+32

5、sinO

l-sin2e~

=2sin20+乙'

所以sinO=1時SOAB取得最小值2VL

【點睛】

本最考查了參數(shù)方程化成普通方程，屬中檔題.

10.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

日，G為參數(shù)），以原點。為極點，為軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)

在直角坐標(biāo)系xOy中，點M（0,D，直線/：

1十c

系，曲線C的極坐標(biāo)方程為7P2+P2cos20=24.

（1）求曲線。的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線Z與曲線C交于點4B,求高+焉的值.

\MA\\MB\

【來源】【市級聯(lián)考】廣東省湛江市2019年普通高考測試（二）理科數(shù)學(xué)試題

【答案】（1）?+?=1（2）g

【解析】

【分析】

x=里”為參數(shù)），與

（1）利用極坐標(biāo)與普通的互化求解即可；（2）將直線/的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為:

y=i+/

橢圓聯(lián)立，利用t的幾何意義求解高+焉即可

\MA\\MB\

【詳解】

（1）,?,7P2+p2cos28=24

7p2+p2（2cos20-1）=24

又???p2=x2+y2,x=pcos。

???曲線c的直角坐標(biāo)方程為：1+。=1

43

_2_

X一.；U為參數(shù)）,

（2）將直線I的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為：

y=i+W

代入曲線C方程，得19t2+-45=0.

△>0恒成立+t2=一等,t-2=—意

1.1_付1-七1__,（￡1+12）2一4亡[12_4

+上=西十兩一|titl-匕百—3

\MA\|MB|Itxl2

【點睛】

本題考查極坐標(biāo)與普通方程的互化，考查直線參數(shù)方程t的幾何意義，考查計算能力，計算Itil+LI的值注意判斷

試卷第6頁，總79頁

tlt2的正負(fù)是關(guān)鍵，是中檔題

11.在極坐標(biāo)系中，已知A(1,B(9,線段4B的垂直平分線，與極軸交于點C,求，的極坐標(biāo)方程及ZL4BC的面積.

【來源】【全國百強?！拷K省海安高級中學(xué)2019屆高三第二學(xué)期四月模擬考試數(shù)學(xué)試題

【答案】I的極坐標(biāo)方程及pcos(。-9=5,44BC的面積20V3.

【解析】

【分析】

將A(1,B(9,9轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)形式，然后求出線段AB的中點與直線AB的斜率，進而求出直線/在

直角坐標(biāo)系下的方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程；在直角坐標(biāo)系下，求出點C到直線AB的距離、線段A8的長度，從

而得出A4BC的面積.

【詳解】

解：以極點為原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系xoy

在平面直角坐標(biāo)系wy中，

4(埔)8(9,9的坐標(biāo)為相，步),8(|,等

線段AB的中點為4(|,竽)，kAB=V3

故線段4B中垂線的斜率為k=E~=W，

所以4B的中垂線方程為：y-W=J(x—|)

化簡得：x+V3y—10=0,

所以極坐標(biāo)方程為pcosJ+V3psin0-10=0,

即pcos(6—g)=5,

令y=0,則％=10,

故在平面直角坐標(biāo)系my中，C(10,0)

點C到直線AB-.y=百x的距離為d=嘿^=5V3,

線段4B=8,

故4ABC的面積為S=X5V3X8=20g.

【點睛】

本題考查了直線的極坐標(biāo)方程問題，解題時可以將極坐標(biāo)系下的問題轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系下的問題，從而轉(zhuǎn)化為

熟悉的問題.

12.在直角坐標(biāo)系久Oy中，曲線G的參數(shù)方程為卜=l+gos,“為參數(shù))，以原點。為極點，以x軸正半軸為極

(y=1+V2sm0

軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為近pcos(e-§=m,(me/?).

(1)當(dāng)m=4時，判斷曲線G與曲線。2的位置關(guān)系；

(2)當(dāng)曲線G上有且只有一點到曲線C2的距離等于注時，求曲線C1上到曲線C2距離為2口的點的坐標(biāo).

【來源】【校級聯(lián)考】江西省上饒市重點中學(xué)2019屆高三六校第二次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題

【答案】(1)相切；(2)(2,0)和(0,2)

【解析】

【分析】

(1)將C的參數(shù)方程化為普通方程，將/的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查圓心到直線的距離與半徑的大小即可

確定直線與圓的位置關(guān)系.

(2)由題意可得，圓心到直線的距離為2a,據(jù)此確定過圓心與直線/平行的直線方程，聯(lián)立直線方程與圓的方程即可

確定點的坐標(biāo).

【詳解】

(1)???圓C的方程為卜=1+fc°s。(。為參數(shù)).

(y=1+v2sin9

圓C的普通方程為(x-1)2+(y-I)2=2.

?直線，的極坐標(biāo)方程為V^pcos-習(xí)=m,(meR).

.??直線2的直角坐標(biāo)方程為：x+y-4=0.

???圓心(1,1)到直線，的距離為d=*=&.

二直線［與圓C相切.

(2)圓C上有且只有一點到直線1的距離等于近.

即圓心到直線，的距離為2注.

過圓心與直線I平行的直線方程為：x+y-2=0.

聯(lián)立方程組｛(二；；葭工=2,解得｛'I｛J=2>

故C上到直線，距離為2夜的點的坐標(biāo)為(2,0)和(0,2)

【點睛】

本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，直線與圓的位置關(guān)系等知識，意在

考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

13.在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為六=呼:彳③'。屹為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系的原點。為極點，x軸正

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)曲線，1的極坐標(biāo)方程為。=g(p20),曲線，2的極坐標(biāo)方程為。=3(P20)，求三條曲線c,G，，2所圍成圖

o3

形的面積.

【來源】【校級聯(lián)考】河北省示范性高中2019屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)(文)試題

【答案】(1)p=4sin(0+g)；(2)V3+^―.

【解析】

【分析】

(1)利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的關(guān)系，得到答案.(2)判斷出三條曲線圍成的圖形為一個三角形和一個扇形，然

后分別求出其面積，相加后得到答案.

【詳解】

(1)由條件得圓C的直角坐標(biāo)方程為(X-百)2+0-1)2=4,

得/+y2-2V3X-2y=0,將x=pcos。，y=psin。代入，

得p2—2V3/?cos0-2psin8=0,

即p=275cos。+2sin。，則p=4sin(0+今，

所以圓C的極坐標(biāo)方程為p=4sin(0+

(2)由條件知曲線人和6是過原點。的兩條射線，設(shè)。和12分別與圓。交于異于點。的點4和B，

將。代入圓C的極坐標(biāo)方程，得2(4,5,所以。4=4；

66

將。話代入圓C的極坐標(biāo)方程，得8(27轉(zhuǎn))，所以。8=2瘋

由(1)得圓C的圓心為C(遙,1),其極坐標(biāo)為C(2,g),故射線。經(jīng)過圓心C,

6

所以4COB=殳-&=&,/.ACB=2Z.COB=

3663

所以SZCOB=\-OCOB-sinzCOB=[?04?08?s嗚=后

扇形C4B的面積為SCAB=^^22=y,

故三條曲線C,I1，0所圍成圖形的面積為SZCOB+SEB=遍+學(xué)

【點睛】

本題考查直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)，求曲線圍成的不規(guī)則圖形的面積，屬于中檔題.

x=-1——t,

14.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為4e為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點，工軸的正半軸為極

y=2+當(dāng)

軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為pcos2。=sine.

(1)求直線/的普通方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線1與曲線C交于力，B兩點，P(-l,2),求|PA|?|PB|.

【來源】【市級聯(lián)考】河北省邯鄲市2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題(理科)

【答案】(1)x+y—1=0,y=x2；(2)2.

【解析]

【分析】

(1)由直線1的參數(shù)方程能求出1的普通方程.由曲線C的極坐標(biāo)方程能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程.

fx=-1--t

(2)將《廣，代人y=x2,得12+方￡-2=0,利用韋達定理能求出(k|P8|的值.

52+爭

【詳解】

(1)直線/的普通方程為x+y-l=0.

由pcos?。=sin?,得p2cos2。=psin?,

試卷第8頁，總79頁

則y=%2,故曲線C的直角坐標(biāo)方程為y=X2

%=-1--t

(2)將/，代人y=/,得產(chǎn)+療白一2=0,

y=2+裊

則￡也=一2，

故伊川?|PB|=|tit2|=2.

【點睛】

本題考查直線的普通方程和曲線的直線坐標(biāo)方程的求法，考查兩段積的求法，考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、直角坐

標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力.

15.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系xoy中，圓C的參數(shù)方程為（勿為參數(shù)），現(xiàn)以原點。為極點，X軸的正半軸為極軸建立極

V—oLTl（p

坐標(biāo)系.

（I）求圓C的極坐標(biāo)方程；

（H）設(shè)P,Q是圓C上的兩個動點，且NPOQ=%求|OP|+|OQ|的最大值.

【來源】【市級聯(lián)考】湖南省株洲市2019屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測（二模）文科數(shù)學(xué)試題

【答案】（I）p=2cos0；（1J）2V3

【解析】

【分析】

（I）先由參數(shù)方程寫出直角坐標(biāo)方程，再由x=pcosO,y=psin。代入化簡即可得到圓的極坐標(biāo)方程；

（）先根據(jù)4P0Q=g設(shè)出P,Q的極坐標(biāo)，再對|OP|+|OQ|化一，求出。的范圍進而求出|0P|+I0QI的最大值。

【詳解】

（I）圓C的直角坐標(biāo)方程為（X—1）2+y21,即％2+丫2-2尤=0,

所以圓C的極坐標(biāo)方程為p2-2pcos0=0,即p=2cos0.

(H)設(shè)P的極坐標(biāo)為(pi，0),Q(pz，0+p,則

|OP|=p1=2cos0/|OQ|=p2=2cos則

|OP|+|OQ|=2cos0+2cos(04--)=3cos0—V3sin0=2-\/3cos(04--),

36

--<9<-

又22■所以-汴。竦，

232

所以當(dāng)。=一狎，|OP|+|OQ|取最大值2后

【點睛】

本題考查參數(shù)方程，直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，以及極坐標(biāo)的應(yīng)用，注意。的范圍，側(cè)重計算能力的考查。

x=1H-----1

16.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為%（t為參數(shù)），以。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極

y=i+.

坐標(biāo)系，曲線c的極坐標(biāo)方程為psiM。=2acosJ.

（I）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（H）點直線/與曲線C交于兩點，^\PA\.\PB\=5,求a的值.

【來源】【市級聯(lián)考】廣東省汕尾市普通高中2019屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測理科數(shù)學(xué)試題

【答案】（I）x—2y+1=0,y2-2ax-,

（II）a=0或1.

【解析】

【分析】

（I）利用極直互化公式即可把曲線C的極坐標(biāo)方程化為普通方程，消去參數(shù)t求出直線的普通方程即可；

（n）聯(lián)立直線方程和c的方程，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于t的方程，由t的兒何意義列方程，解出即可.

【詳解】

（I）vC:psin20=2acos0.

???p2sin20=2apeos。，

y2=2ax,

2^5.

X=1+—t

而直線1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）,

1+與

(y=5

則1的普通方程是：x-2y+l=0；

(II)由(I)得：y2=2ax①，1的參數(shù)方程為《：(t為參數(shù))②,

(y=i+爭

將②代入①得：t2+(2V5-4V5a)t+5(1-2a)=0,

故1也=5(1—2a),

由伊川?|PB|=5,即5|1-2a|=5

解得：a=0或1.

【點睛】

本窗考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程以及普通方程的轉(zhuǎn)化，考查直線和曲線的位置關(guān)系，是一道常規(guī)題.

17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C】的參數(shù)方程為;請;:(其中t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點。為原點，x軸的非

負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為P=4V2sin(0+?).

(I)寫出曲線G的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

(II)設(shè)點P,Q分別在曲線G，C2上運動，若P,Q兩點間距離的最小值為2VL求實數(shù)小的值.

【來源】【市級聯(lián)考】安徽省淮南市2019屆高三第二次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷

22

【答案】(I)Ct:x+y—m+1=0,C2：(x—2)+(y-2)=8：(II)m=-3或m=13.

【解析】

【分析】

(i)消去參數(shù)后可得G的普通方程，利用仁二；黑可得的直角方程.

(II)利用PQ的最小值得到圓心到直線的距離，從而可求出ni.

【詳解】

(I)曲線Ci：x+y-m+1=0：曲線C2的極坐標(biāo)方程為

p=4>/2sin(0+9=4(sin8+cos。)，即p?=4psin。+4pcos0,

將x=pcosJ,y=psin。代入，得C2：(x—2)2+(y-2)2=8

(ID因為曲線G的半徑r=2&,若點P,Q分別在曲線G，C2上運動，P，Q兩點間距離的最小值為2&，即圓C2的

圓心到直線G的距離4近，

與翳-4V2,解得m=-3或m=13.

【點睛】

極坐標(biāo)方程與直角方程的互化，關(guān)鍵是旨二2個：，必要時須在給定方程中構(gòu)造pcosO,psinO.在極坐標(biāo)系中，當(dāng)

動點在不同的幾何對象上運動變化時，我們可把它們轉(zhuǎn)化到直角方程，在平面直角坐標(biāo)系中討論它們的位置關(guān)系.

18.在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線Ci的參數(shù)方程為(0為參數(shù))，以原點。為極點，x軸的非負(fù)半軸為極

軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為p=4cos6.

(1)求曲線G的普通方程和。2的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知曲線。3的極坐標(biāo)方程為。=a,o<a<7i,p&R,點A是曲線C3與C1的交點，點B是曲線C3與的交點，

且4B均異于原點0,且|4陰=4近，求實數(shù)a的值.

【來源】【市級聯(lián)考】甘肅省蘭州市2019屆高三實戰(zhàn)模擬考試(二診)數(shù)學(xué)(文)試題

【答案】(1)G的普通方程為/+。-2)2=4,的直角坐標(biāo)方程為(x—2)2+y2=4

(2)—

4

【解析】

【分析】

(1)利用cos2(p+siMw=1可得曲線G的普通方程,將p=4COS0左右兩邊同時乘以P，再化為直角坐標(biāo)方程。

(2)將曲線與曲線G，C2的極坐標(biāo)方程分別聯(lián)立，求出4B兩點的極徑，則|4B|=|PA-PBI.

【詳解】

(1)由曲線a的參數(shù)方程為(W為參數(shù))

消去參數(shù)得曲線G的普通方程為/+(y-2)2=4,

因為曲線C2的極坐標(biāo)方程為p=4cos0,

所以p2=4pcos8

所以C2的直角坐標(biāo)方程為％2+y2=4%,整理得(％-2)2+y2=4

(2)Ci：x2+(y-2)2=4化為極坐標(biāo)方程p=4sin0

所以|48|=|PA—pB\=4|sina-cosa|=4\/2|sin(a—=4/

所以sin(仇-3)=±1

試卷第10頁，總79頁

所以a—；=1+k7（kGZ）即a=午+kn（k6Z）

又因為Ovavm所以a=芋.

4

【點睛】

本題考查直線的參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程，是高考的重要考點，解題的關(guān)鍵是熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化。

19.直角坐標(biāo)系xOy中，曲線6的參數(shù)方程為卜=彳+營。5&（其中。為參數(shù)）；以。為極點，以x軸的非負(fù)半軸為

（y=1+y/Ssina

極軸建立極坐標(biāo)系，直線，的極坐標(biāo)方程為。=*p€R）,曲線C2：p=4sin0.

（I）求曲線a的普通方程和極坐標(biāo)方程；

（D）已知直線/與曲線6和曲線C2分別交于M和N兩點（均異于點。），求線段MN的長.

【來源】【市級聯(lián)考】山東省青島市2019屆高三3月教學(xué)質(zhì)量檢測（一模）數(shù)學(xué)（理）試題

【答案】（I）G的普通方程為（x-2）2+（y-=5,G的極坐標(biāo)方程為：p=4cos0+2sin0；（II）372.

【解析】

【分析】

（I）消去參數(shù)可得普通方程，再利用公式化成極坐標(biāo)方程；

（II）設(shè)M,N的極坐標(biāo)并分別代入G，C2可得Pi，P2,再利用|MN|=|p/+|p2|可得.

【詳解】

（I）因為曲線G的參數(shù)方程為卜=2+gosa為參數(shù)），

（y=1+\5sina

所以G的普通方程為（x-2）2+（y—I）2=5①，

在極坐標(biāo)系中，將]:[代入①得「2-4pcos。-2psin。=0,

化簡得，G的極坐標(biāo)方程為：p=4cos。+2sin。②.

（II）因為直線，的極坐標(biāo)方程為。=與（p6R）,

且直線嗚曲線G和和曲線C2分別交于M,N,可設(shè)N（P2,牛），

將M（Pi書代入②得ip=4cos牛+2si吟=4x（-y）+2xy=-y[2,

將N代入曲線Cz：P=4sin0得02=4sin午=4X孝=2vL

所以|MN|=Ip/+\p2\=|-V2|+2V2=3V2.

【點睛】

本題考查了簡單曲線的極坐標(biāo)方程，熟記參數(shù)方程與普通方程的互化方法、以及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可,

屬于?？碱}型.

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為匕：::吃（9為參數(shù)），直線1經(jīng)過點P（l,2），傾斜角a=；

（1）寫出圓C的普通方程和直線1的參數(shù)方程；

（2）設(shè)直線1與圓C相交于A,B兩點，求|PA|?|PB|的值.

【來源】【全國百強?！考质嶒炛袑W(xué)2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題

（x=1+—t

【答案】（1）x2+y2-16,\（t為參數(shù)）；（2）11

（7=2+^

【解析】

【分析】

（1）利用三角恒等式消參得到圓C的普通方程，根據(jù)直線的參數(shù)方程公式寫出直線的參數(shù)方程得解；（2）把直線

1的參數(shù)方程代入圓的普通方程消元整理，再利用直線參數(shù)方程t的兒何意義解答.

【詳解】

由t消去仇得圓C的普通方程為x2+y2=16.

（y=4smt7

又直線1過點P（l,2）且傾斜角a=g

6

（X=1+tCOSmx=1+—t

所以i的參數(shù)方程為￡m?（t為參數(shù)）.

[y=2+tsin-（^y=2+|t

x—1+—t,

（2）把直線1的參數(shù)方程12代入/+/=16,

[y=2+#

得（1+^t）2+（2+：t）216,

即/+(V^+2)t—11—0,所以t&=—11,

由參數(shù)方程的幾何意義得，YA|?|PB|=|titz|=ll.

【點睛】

本題主要考查直線的參數(shù)方程和t的幾何意義，考查參數(shù)方程和普通方程的互化，意在考查學(xué)生對這些知識的理解

掌握水平和分析推理能力.

21.［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

(x=2+-t

己知曲線/的參數(shù)方程為：(t為參數(shù))，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)

方程為p=4A/2COS(6-?).

(1)求曲線。的直角坐標(biāo)方程；

⑵設(shè)P(2,1).直線，與曲線C交于點4,B.求|PA||PB|的值.

【來源】【市級聯(lián)考】廣西壯族自治區(qū)南寧、梧州等八市2019屆高三4月聯(lián)合調(diào)研考試數(shù)學(xué)(理)試題

【答案】(1)。一2y+(y-2)2=8；(2)7

【解析】

【分析】

(1)先將p=4V2cos(0-弱化為p2=4pcos6+4psin9f進而可得出其直角坐標(biāo)方程；

(2)將直線參數(shù)方程代入(1)的結(jié)果，整理得到產(chǎn)+“一7=0,再設(shè)48兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為J，進而

可得|P川?由8|=|￡1日，即可求出結(jié)果.

【詳解】

(1)由。=4V2cos—§得p=4cos0+4sin0,

.,.p2=4pcos0+4psin6f

又％=pcos。，y=psind,

Ax2+y2=4%4-4y即曲線C的直角坐標(biāo)方程為。-2)2+(y-2)2=8.

2+-t

(2)將廣:代入C的直角坐標(biāo)方程,得尚/+(_白一1)2=8,

\y1--1

5

，￡2+g￡—7—0,

設(shè)48兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為七2，

.」也=-7.

則|P川“PB|=|tit2l=7.

【點睛】

本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)的互化，以及參數(shù)方程的應(yīng)用，熟記公式即可求解，屬于?？碱}型.

22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

I黑(。為參數(shù))，過點“(0,匈且傾斜角為a的直線/與曲線C交于

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為

4B兩點.

(1)求a的取值范圍；

(2)求4B中點Q的軌跡的參數(shù)方程.

【來源】【市級聯(lián)考】內(nèi)蒙古赤峰市2019屆高三4月模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題

x=--V-2si.n2?a?,

2

【答案】(1)(%4)(2)后r-(t為參數(shù)，-<a<-n).

y=———cos2a

/22

【解析】

【分析】

(1)求出曲線和直線的普通方程，通過直線與圓相交求出斜率的范圍，從而得出傾斜角的范圍;

(2)設(shè)出4BQ對應(yīng)的參數(shù)，聯(lián)立直線與圓的方程，借助韋達定理表示Q的參數(shù)，從而得出點Q的軌跡的參數(shù)方程.

【詳解】

解：(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為公+丫2=1,

當(dāng)a=1時，，與。交于兩點，

當(dāng)aH1時，記tana=/c,則I的方程為y=fcx+V2,

［與C交于兩點當(dāng)且僅當(dāng)|磊|V1,