專題18解析幾何（選填壓軸題）-2022年高考數(shù)學高分必刷必過題

專題18解析幾何（選填壓軸題）一、單選題1．（2021·河南高三月考（理））已知點，分別為橢圓的左、右焦點，點在直線上運動，若的最大值為，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知，，，直線為，設(shè)直線，的傾斜角分別為，，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)為第二象限的點，即，，則，.，，當且僅當，即時取等號，又得最大值為，，即，整理得，故橢圓的的離心率是.故選：C.2．（2021·山東肥城·高三模擬預(yù)測）已知是圓的一條弦，且，是的中點，當弦在圓上運動時，直線上存在兩點，使得恒成立，則線段長度的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題可知：，圓心，半徑，又，是的中點，所以，所以點的軌跡方程，圓心為點，半徑為，若直線上存在兩點，使得恒成立，則以為直徑的圓要包括圓，點到直線的距離為，所以長度的最小值為，故選：B．3．（2021·麗水外國語實驗學校高三期末）如圖，在棱長為1的正方體中，是線段的中點，是棱上的動點，為線段上的動點，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在上取點使得，由對稱性可知.連接，則，點、、都在平面內(nèi)，且，，.在所在平面內(nèi)，以為軸，為軸建立平面直角坐標系如圖所示.則，，，所以直線的方程為.設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即.因此，所以，當且僅當三點共線且時，有最小值.故選：C.4．（2021·四川成都七中高三三模（理））已知雙曲線的左右焦點分別為，，點是雙曲線右支上一點，滿足，點是線段上一點，滿足.現(xiàn)將沿折成直二面角，若使折疊后點，距離最小，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由雙曲線方程知，，，，設(shè)，則，，又，則，解得或3（舍），設(shè)折疊后點達到F點，如圖所示，作于A點，易知平面，，，設(shè)，則，在中，，，在中，由余弦定理知，，則，當且僅當，即時，等號成立，折疊后點，距離最小.此時MN為的角平分線，由角平分線定理知，，則，故選：C5．（2021·安徽師范大學附屬中學高三開學考試（理））已知是橢圓的左焦點，是該橢圓的右頂點，過點的直線（不與軸重合）與該橢圓相交于點．記，設(shè)該橢圓的離心率為，下列結(jié)論正確的是（）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，【答案】A【詳解】不失一般性，設(shè)在軸上方，在軸下方，設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，則，，，且.又.又直線的方程為，由可得，故，所以，故，同理，故，因為共線，故，整理得到即，若，，因為，，故，所以，故.故選：A.6．（2021·全國高三專題練習）已知過拋物線的焦點的直線與拋物線交于點、，若、兩點在準線上的射影分別為、，線段的中點為，則下列敘述不正確的是（）A． B．四邊形的面積等于C． D．直線與拋物線相切【答案】B【詳解】如圖，由題意可得，拋物線的準線方程為．設(shè)、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，利用根與系數(shù)的關(guān)系得，因為線段的中點為，所以，所以，，所以，，所以，，A選項正確；對于B選項，因為，所以，所以，所以，所以四邊形的面積等于，B選項錯誤；對于C選項，根據(jù)拋物線的定義知，，所以，，所以，，C選項正確；對于D選項，直線的斜率為，拋物線在點處的切線方程為，聯(lián)立，消去可得，由題意可得，可得，即，則.所以，直線與拋物線相切，D選項正確.故選：B.7．（2021·全國高三模擬預(yù)測（理））如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過右焦點作平行于一條漸近線的直線交雙曲線于點，若的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，可得直線的方程為，與雙曲線聯(lián)立，可得，，設(shè)，，由三角形的等面積法可得，化簡可得，①由雙曲線的定義可得，②在三角形中，為直線的傾斜角），由，，可得，可得，③由①②③化簡可得，即為，可得，則．故選：A．8．（2021·湖南天心·長郡中學高三二模）已知正方體的棱長為1，點，分別為線段，上的動點，點在平面內(nèi)，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：點關(guān)于的對稱點為，關(guān)于的對稱點為，記為直線與之間的距離，則，由，為到平面的距離，因為，而，故，故選：B.9．（2021·貴州貴陽·高三模擬預(yù)測（理））在平面內(nèi)，已知動點與兩定點的距離之比為，那么點的軌跡是圓，此圓稱為阿波羅尼斯圓.在空間中，也可得到類似結(jié)論.如圖，三棱柱中，平面ABC，，，，點為的中點，點在三棱柱內(nèi)部或表面上運動，且，動點形成的曲面將三棱柱分成兩個部分，體積分別為，，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，在平面PAB中，作,交AB于點N，則,又因，所以，所以，所以,所以.因為，所以,所以B、N重合且，所以點P落在以B為球心，為半徑的球面上.作于H，則，因為面ABC，所以BH，又因為，所以面，所以B到面的距離為，所以球面與面相切，而，所以球面不會與面相交，則，,所以，所以.故選：D.10．（2021·吉林高三月考（理））已知雙曲線：的左焦點為，過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，則.設(shè)雙曲線的右焦點為，由對稱性可知，則，所以.令，，則，令得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.所以，又當時，所以.故的取值范圍是.故選：B.11．（2021·浙江高三月考）如圖，橢圓，是直線上一點，過點作橢圓的兩條切線，，直線與交于點，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)若在橢圓的上半部分，則得，在橢圓上，，．∴過點的切線方程是，，即，同理可證當在下半圓時，過的切線方程也是，是橢圓的左右頂點時，切線方程也是．∴無論在橢圓的何處，切線方程都是．設(shè)，則過點的切線方程是，在直線，設(shè)，則由兩切線都過點∴，∴直線方程是，易知直線過定點，該定點為橢圓左焦點．直線方程為，則由，得，即，，，，∴，，，∴．當且僅當，即時等號成立．故選：A．12．（2021·吉林長春·高三模擬預(yù)測（理））已知是橢圓的一個焦點，若直線與橢圓相交于兩點，且，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖設(shè)分別為橢圓的左、右焦點，設(shè)直線與橢圓相交于，連接.根據(jù)橢圓的對稱性可得：四邊形為平行四邊形.由橢圓的定義有：由余弦定理有：即所以當且僅當時取等號，又的斜率存在，故不可能在軸上.所以等號不能成立,即即，所以故選：A13．（2021·山西陽泉·高三期末（理））已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過且斜率為的直線與雙曲線在第一象限的交點為，若，則此雙曲線的標準方程可能為（）A．x21 B．C． D．【答案】D【詳解】解：由題可知，，若，即為，可得，即有，由雙曲線的定義可知，可得，由于過F2的直線斜率為，所以在等腰三角形中，，則，由余弦定理得：，化簡得：，即，，可得，，所以此雙曲線的標準方程可能為：.故選：D．14．（2021·全國高三專題練習（理））已知為坐標原點，拋物線上一點到焦點的距離為，若點為拋物線準線上的動點，給出以下命題：①當為正三角形時，的值為；②存在點，使得；③若，則等于；④的最小值為，則等于或.其中正確的是（）A．①③④ B．②③ C．①③ D．②③④【答案】C【詳解】對于①，當為正三角形時，如下圖所示，拋物線的準線交軸于，,由拋物線定義可知，則與準線垂直，所以，則，所以,而，即，所以①正確；對于②，假設(shè)存在點，使得，即，所以點為的中點，由拋物線圖像與性質(zhì)可知，為拋物線上一點，為焦點，線段在軸右側(cè)，點在拋物線準線上，在軸左側(cè)，因而不可能為的中點，所以②錯誤；對于③，若，則，作垂直于準線并交于，準線交軸于，如下圖所示：由拋物線定義可知，根據(jù)相似三角形中對應(yīng)線段成比例可知，即，解得，所以③正確；對于④，作關(guān)于準線的對稱點，連接交準線于，作垂直于準線并交于，作垂直于軸并交于，如下圖所示：根據(jù)對稱性可知，此時即為的最小值，由拋物線定義可知，所以的橫坐標為，代入拋物線可知，的最小值為，，則，即，化簡可得，即，解得或，當p=12時，不滿足點A到焦點F的距離為4，所以④錯誤；綜上所述，正確的為①③.故選：C.15．（2021·全國高三專題練習（理））關(guān)于x的實系數(shù)方程和有四個不同的根，若這四個根在復平面上對應(yīng)的點共圓，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由已知x2﹣4x+5＝0的解為，設(shè)對應(yīng)的兩點分別為A，B，得A（2，1），B（2，﹣1），設(shè)x2+2mx+m＝0的解所對應(yīng)的兩點分別為C，D，記為C（x1，y1），D（x2，y2），（1）當△＜0，即0＜m＜1時，的根為共軛復數(shù)，必有C、D關(guān)于x軸對稱，又因為A、B關(guān)于x軸對稱，且顯然四點共圓；（2）當△＞0，即m＞1或m＜0時，此時C（x1，0），D（x2，0），且＝﹣m，故此圓的圓心為（﹣m，0），半徑，又圓心O1到A的距離O1A＝，解得m＝﹣1，綜上：m∈（0，1）∪{﹣1}.故選：D.16．（2021·信陽市實驗高級中學高三開學考試（理））在正方體中，球同時與以為公共頂點的三個面相切，球同時與以為公共頂點的三個面相切，且兩球相切于點.若以為焦點，為準線的拋物線經(jīng)過，設(shè)球的半徑分別為，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)拋物線的定義，點到點的距離與到直線的距離相等，其中點到點的距離即半徑，也即點到面的距離，點到直線的距離即點到面的距離，因此球內(nèi)切于正方體，不妨設(shè)，兩個球心和兩球的切點均在體對角線上，兩個球在平面處的截面如圖所示，則，所以.又因為，因此，得，所以.故選：D17．（2021·信陽市實驗高級中學高三開學考試（理））過拋物線的焦點作直線與拋物線在第一象限交于點，與準線在第三象限交于點，過點作準線的垂線，垂足為.若，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，設(shè)準線與軸的交點為，過點作.由拋物線定義知，所以，，，，所以.故選：C18．（2021·西工大附中分校高三模擬預(yù)測（理））設(shè)，為雙曲線的左、右焦點，點為雙曲線上一點，若的重心和內(nèi)心的連線與軸垂直，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【答案】A【詳解】畫出圖形如圖所示，設(shè)的重心和內(nèi)心分別為，且圓與的三邊分別切于點，由切線的性質(zhì)可得．不妨設(shè)點在第一象限內(nèi)，∵是的重心，為的中點，∴，∴點坐標為．由雙曲線的定義可得，又，∴，∴為雙曲線的右頂點．又是的內(nèi)心，∴．設(shè)點的坐標為，則．由題意得軸，∴，故，∴點坐標為．∵點在雙曲線上，∴，整理得，∴．故選A．19．（2021·河西·天津市新華中學高三月考）已知雙曲線的左、右焦點分別為，以線段為直徑的圓與的漸近線在第一象限的交點為，且.設(shè)的離心率為，則=A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，則①，又②，得＝，∵在漸近線上且，設(shè)為雙曲線右頂點，如圖，則，且，由得，于是，變形為，解得（舍去），故選B．20．（2021·陜西西安·高新一中高三二模（理））我們把焦點相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”，已知、是一對相關(guān)曲線的焦點，是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當時，這一對相關(guān)曲線中雙曲線的離心率是A． B． C． D．2【答案】A【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，橢圓的離心率為，則，．雙曲線的實半軸長為，雙曲線的離心率為，，，設(shè)，，則，當點P被看作是橢圓上的點時，有，當點P被看作是雙曲線上的點時，有，兩式聯(lián)立消去得，即，所以，又，所以，整理得，解得或（舍去），所以，即雙曲線的離心率為，故選A．二、多選題21．（2021·廣東茂名·高三月考）已知曲線：，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線與曲線沒有公共點B．直線與曲線最多有三個公共點C．當直線與曲線有且只有兩個不同公共點，時，的取值范圍為D．當直線與曲線有公共點時，記公共點為．則的取值范圍為【答案】ACD【詳解】由題設(shè)得：曲線為，A：由是和的漸近線，且與沒有公共點，故正確；B：由A中的分析知：與曲線最多有兩個公共點，故錯誤；C：由圖可知，若與曲線有兩個公共點或一個公共點，當時，與曲線有兩個公共點，，由對稱性知，，關(guān)于直線對稱，則，∴，（1）當時，．（2）當時，由，則．（3）當時，直線與曲線只有一個公共點，不合題意．（4）當或時，直線與曲線無公共點，綜上可知，C正確；D：由C的分析，時與曲線有且只有兩個不同公共點，則，即．當時，與曲線只有一個公共點，此點為．此時．故正確．故選：ACD．22．（2021·江蘇鼓樓·南京市第二十九中學高三開學考試）已知為拋物線：（）的焦點，下列結(jié)論正確的是（）A．拋物線的的焦點到其準線的距離為．B．已知拋物線與直線：在第一、四象限分別交于兩點，若，則．C．過作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于兩點，直線與交于，兩點，則四邊形面積的最小值為．D．若過焦點的直線與拋物線相交于兩點，過點分別作拋物線的切線，，切線與相交于點，則點在定直線上．【答案】BCD【詳解】A：拋物線的的焦點到其準線的距離為，故A錯誤；B：聯(lián)立，則，解得，由題意可知，，故，所以，故B正確；C：由題意可知直線，的斜率均存在，且不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，則，設(shè)兩交點為，結(jié)合韋達定理，所以；同理,所以，當且僅當時，等號成立；所以四邊形面積的最小值為，故C正確；D：設(shè)，不妨設(shè)因為（），若，則，所以，所以在點處的切線的斜率為，因此在處的切線方程為，即，同理在處的切線方程為，則，解得，因為直線過點，所以，即，所以，故點P在定直線上，故D正確；故選：BCD.23．（2021·全國高三模擬預(yù)測）已知點為橢圓（）的左焦點，過原點的直線交橢圓于，兩點，點是橢圓上異于，的一點，直線，分別為，，橢圓的離心率為，若，，則（）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】設(shè)橢圓的右焦點，連接，，根據(jù)橢圓對稱性可知四邊形為平行四邊形，則，且由，可得，所以，則，．由余弦定理可得，所以，所以橢圓的離心率．設(shè)，，則，，，所以，又，，相減可得．因為，所以，所以．故選：AC．24．（2021·全國高三專題練習（理））已知拋物線的焦點為，直線經(jīng)過點交于，兩點，交軸于點，若，則（）A． B．點的坐標為C． D．弦的中點到軸的距離為【答案】CD【詳解】由于得到，故A錯誤；拋物線方程為，過B點作BD垂直于y軸，垂足為D點，則,因為，所以,所以，即,代入拋物線方程，解得,故B錯誤；不妨取點的坐標為，所以直線的方程為：，聯(lián)立拋物線方程得到：，韋達定理可知：，由拋物線的弦長公式可知：，故C正確；弦的中點到軸的距離為，故D正確；故選：CD.25．（2021·江蘇南通·高三模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點分別為，，為坐標原點，圓，是雙曲線與圓的一個交點，且，則下列結(jié)論中正確的有（）A．雙曲線的離心率為B．點到一條漸近線的距離為C．的面積為D．雙曲線上任意一點到兩條漸近線的距離之積為2【答案】ABD【詳解】解：∵雙曲線，∴，又圓，∴圓O的半徑為c，∴為圓O的直徑，∴，故作圖如下：對于A，∵，∴，∴，令，則，∴，∴，又，∴雙曲線C的離心率，故A正確；對于B，由于到漸近線的距離，故B正確；對于C，由離心率得，，∴，∴，，∴的面積為，故C錯誤；對于D，由得雙曲線C的方程為：，故其兩條漸近線方程為，即，設(shè)為雙曲線C上任意一點，則，即①，到兩條漸近線的距離，，∴，故D正確；故選：ABD.26．（2021·廣東汕頭·高三二模）已知拋物線方程為，直線，點為直線上一動點，過點作拋物線的兩條切線，切點為，則以下選項正確的是（）A．當時，直線方程為 B．直線過定點C．中點軌跡為拋物線 D．的面積的最小值為【答案】ACD【詳解】解析：，，設(shè)，則，即，同理，都過點，直線，即，當時，.故A正確；，，直線過定點，故B錯誤；聯(lián)立，消去得，，，，中點坐標為，故其軌跡方程為，故C正確；，，，當時，，故D正確；故選：ACD三、填空題27．（2021·浙江高三模擬預(yù)測）設(shè)正四面體的棱長是，、分別是棱、的中點，是平面內(nèi)的動點.當直線、所成的角恒為時，點的軌跡是拋物線，此時的最小值是______.【答案】【詳解】設(shè)點在底面的射影點為，連接，則，，以點為坐標原點，、、分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，設(shè)點，則，，，整理可得，由題意可知，方程表示的曲線為拋物線，所以，故，即有，可得，則，當且僅當時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.28．（2021·全國高三開學考試（理））設(shè),分別是橢圓的左?右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，，若，則