四川省廣安市第二中學2024−2025學年高二上學期第一次月考數(shù)學試題

四川省廣安市第二中學2024?2025學年高二上學期第一次月考數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知復數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．3．孝感市某高中有學生1200人，其中高一年級有學生400人，高二年級有學生600人，現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法抽取120人進行問卷調查，則被抽到的高二年級學生人數(shù)比高一年級學生人數(shù)多（

）A．20 B．30 C．40 D．504．已知直線的一個方向向量，且直線過點和兩點，則（

）A．0 B．1 C． D．35．空間內有三點，則點P到直線EF的距離為（

）A． B． C． D．6．在中，，且有，則線段的長為（

）A． B．2 C． D．17．已知直線的傾斜角為，并且，直線的斜率的范圍是（

）A． B．C．或 D．或8．已知四棱錐，，平分，點在上且滿足，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．在平面直角坐標系中，下列說法不正確的是（

）A．任意一條直線都有傾斜角B．直線的傾斜角越大，則該直線的斜率越大C．若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率為D．斜率相等的兩直線平行10．已知甲?乙兩位同學在高一年級六次考試中的數(shù)學成績的統(tǒng)計如圖所示，下列說法正確的是（

）A．若甲?乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，則B．若甲?乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，則C．甲成績的中位數(shù)大于乙成績的中位數(shù)D．甲成績的極差小于乙成績的極差11．在長方體中，，，動點P在體對角線上（含端點），則下列結論正確的有（

）A．當P為中點時，為銳角B．存在點P，使得平面APCC．的最小值D．頂點B到平面APC的最大距離為三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，且，則實數(shù).13．已知四點共面且任意三點不共線，平面外一點，滿足均大于，則的最小值.14．如圖，在四面體中，與均是邊長為的等邊三角形，二面角的大小為，則四面體的外接球表面積為.四、解答題（本大題共5小題）15．．(1)用向量表示向量，并求；(2)求．16．已知.(1)若四點可以構成平行四邊形，求點的坐標；(2)在（1）的條件下若點在第四象限的情況下，判斷構成的平行四邊形是否為菱形.17．四棱錐中，平面平面，，，，是正三角形，點是的中點．(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離．18．某高校承辦了成都世乒賽志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三?四?五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.(1)求的值；(2)估計這100名候選者面試成績的眾數(shù)?平均數(shù)和分位數(shù)（分位數(shù)精確到0.1）；(3)在第四?第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，以確定組長人選，求選出的兩人來自不同組的概率.19．在中，，，，分別是上的點，滿足且經過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點，如圖所示.(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的大??；(3)在線段上是否存在點，使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.

參考答案1．【答案】D【詳解】因為，所以.故選：D2．【答案】A【分析】利用直線斜截式方程及斜率的定義即可求解.【詳解】由直線，得直線的斜率為，設直線的傾斜角為，所以，所以直線的傾斜角為.故選：A.3．【答案】A【分析】根據(jù)題意先求抽樣比，進而求高一，高二被抽到的學生生人數(shù)即可求解.【詳解】抽樣比等于，于是，高一被抽到的學生人數(shù)為，高二被抽到的學生人數(shù)為，所以高二年級學生人數(shù)比高一年級學生人數(shù)多.故選A.4．【答案】D【詳解】因為直線過點和兩點，所以，又直線的一個方向向量，所以，所以，所以，所以，解得，所以.故選：D5．【答案】A【詳解】因為，所以直線EF的一個單位方向向量為．因為，所以點P到直線EF的距離為．故選：A6．【答案】D【詳解】在中，由余弦定理可得，則，即，解得.則由即，可得，又，可知是的中點，故即為斜邊上的中線，則.故選：D.7．【答案】C【詳解】因為斜率，且，其中時直線無斜率，當時，得；當時，得；故選：C.8．【答案】B【詳解】根據(jù)題意，設點到平面的距離為，到平面的距離為，則有，而，，又由，，平分，則，則；故，而，則有，又由點在上且滿足，故到平面的距離為，則有，故．故選：B．9．【答案】BCD【詳解】任何一條直線都存在傾斜角，A正確；鈍角大于銳角，但是鈍角對應的斜率小于銳角對應的斜率，B錯誤；若一條直線的傾斜角，則斜率不存在，C錯誤；斜率相等的兩條直線可能是重合或平行，D錯誤；故選:BCD.10．【答案】ACD【詳解】由散點圖的點的分布可知，甲同學除第二次考試成績略低于乙同學,其他次考試成績都高于乙同學,所以，故選項A正確；由散點圖點的分步變化趨勢可知,甲同學的成績比乙同學的成績穩(wěn)定,由方差的意義可得.故選項B錯誤；因為統(tǒng)計了6次數(shù)學成績，故將一組數(shù)據(jù)從小到大排序后，第三個和第四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，由散點圖知，甲同學成績排序后的第三次和第四次成績均在90以上，而乙同學成績排序后的第三次和第四次成績均在90以下，故甲成績的中位數(shù)大于乙成績的中位數(shù).故選項C正確；因為極差為數(shù)據(jù)樣本的最大值與最小值的差,所以甲同學成績的極差小于乙同學成績的極差,故選項D正確.故選：ACD.11．【答案】ABC【詳解】如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，設，則，故，則，，對于A，當為中點時，，則，，則，，所以，所以為銳角，故A正確；當平面，因為平面，所以，則，解得，故存在點，使得平面，故B正確；對于C，當時，取得最小值，由B得，此時，則，，所以，即的最小值為，故C正確；對于D，，，設平面的法向量，則，可取，則點到平面的距離為，當時，點到平面的距離為0，當時，，當且僅當時，取等號，所以點到平面的最大距離為，故D錯誤.故選：ABC.12．【答案】/【詳解】因為，所以，解得.故答案為：.13．【答案】4【詳解】由可得,四點共面且任意三點不共線，所以，故，由于均為正數(shù)，所以，當且僅當，即等號成立，故答案為：414．【答案】【分析】設為的中心，為四面體的外接球的球心，過作，然后在中，由求出外接球的半徑，再由球的表面積公式計算可得.【詳解】如圖所示：設為的中心，為四面體的外接球的球心，則平面．因為二面角的大小為，即平面平面，設為線段的中點，外接球的半徑為，連接，過作于點，易知為的中心，則，因為，故，，在中，，故，則．所以外接球的表面積為，故答案為：.15．【答案】(1)，(2)【詳解】（1），則，所以.（2）由空間向量的運算法則，可得，因為且，所以，，則.16．【答案】(1)或或(2)不是菱形【詳解】（1）由題意得，，，設，若四邊形是平行四邊形，則，，即，解得，即.若四邊形是平行四邊形，則，，即，解得，即.若四邊形是平行四邊形，則，，即，解得，即.綜上所述，點的坐標為或或.（2）若的坐標為，因為，直線的斜率不存在，所以平行四邊形不是菱形.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：記點是的中點，連接，點是的中點，，且，，且，，且，四邊形為平行四邊形，，平面平面，平面．（2）解：連接，過點作于點，由題知，，，，，，平面平面，平面平面，平面，又平面，平面平面，作于點，又平面平面，則平面，即點到平面的距離為．由是正三角形，且得，點到平面的距離為．18．【答案】(1)，(2)眾數(shù)為，平均數(shù)為69.5，分位數(shù)為71.7(3)【詳解】（1）因為第三?四?五組的頻率之和為0.7，所以，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，所以.（2）眾數(shù)為平均數(shù)為，前兩個分組頻率之和為0.3，前三個分組頻率之和為0.75，所以分位數(shù)在第三組，且為.（3）第四?第五兩組志愿者分別有20人，5人，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，則第四組抽4人，記為，第五組抽1人，記為，則從這5人中選出2人，有共10種結果，兩人來自不同組有共4種結果，所以兩人來自不同組的概率為.19．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，或.【分析】（1）應用線面垂直的判定定理證明線面垂直關系，再由性質定理得到線線垂直關系，進而再利用判定定理證明所求證的線面垂直關系；（2）以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.用向量法求與平面所成角的大小；（3）假設存在點，使平面與平面所成角余弦值為，設，分別求解兩平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.【詳解】（1）因為在中，，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在平面內，所以平面；（2）由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.因為，故，由幾何關系可知，，，，故，，，，，，，，，設平面的法向量為，則，即，不妨令，則，，.設與