吉林省白城市實驗高級中學2024−2025學年高二上學期11月期中考試數學試題含答案

吉林省白城市實驗高級中學2024?2025學年高二上學期11月期中考試數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．下列說法中正確的是（

）A．已知，平面內到兩點的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓B．已知，平面內到兩點的距離之和等于6的點的軌跡是橢圓C．平面內到兩點的距離之和等于點到的距離之和的點的軌跡是橢圓D．平面內到點距離相等的點的軌跡是橢圓2．若a2＋b2＝2c2（c≠0），則直線ax＋by＋c＝0被圓x2＋y2＝1所截得的弦長為（

）A． B．1 C． D．3．“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．過，且在軸上的截距比在軸上的截距大1的直線方程是（

）A． B．或C． D．或5．若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為

A．2 B． C． D．6．若直線l過點和，且點在直線l上，則b的值為（

）A．183 B．182 C．181 D．1807．設拋物線上一點到軸的距離為，到直線的距離為，則的最小值為A．2 B． C． D．38．如圖，在直三棱柱中，D為棱的中點，，，，則異面直線CD與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．我們把離心率為的橢圓稱為黃金橢圓，類似地，也把離心率為的雙曲線稱為黃金雙曲線，則（）A．曲線是黃金雙曲線B．如果雙曲線是黃金雙曲線，那么（c為半焦距）C．如果雙曲線是黃金雙曲線，那么右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的四分之一D．過雙曲線的右焦點且垂直于實軸的直線l交C于M、N兩點，O為坐標原點，若，則雙曲線C是黃金雙曲線10．過點且的雙曲線的標準方程是（

）A． B． C． D．11．已知過點的直線與橢圓交于A、B兩點，則弦長可能是（）A．1 B． C． D．312．已知直線和圓，則（

）A．直線恒過定點B．存在使得直線與直線垂直C．直線與圓相交D．直線被圓截得的最短弦長為三、填空題（本大題共4小題）13．已知是不共面向量，，若三個向量共面，則實數.14．已知與垂直，且與垂直，則＝.15．已知，，三點，這三點（填“是”或“否”）在同一直線上．16．已知直線的傾斜角，直線與的交點為，直線和向上的方向所成的角為，如圖，則直線的傾斜角為．

四、解答題（本大題共6小題）17．求直線關于直線對稱的直線的方程．18．如圖，在底面是正方形的四棱錐中，平面，，是的中點.（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.19．已知圓與圓外切，并且與直線相切于點，求圓的方程．20．若，又三點，，共線，求的值．21．已知圓，直線.(1)判斷直線與圓的位置關系；(2)若直線與圓交于不同的兩點，且，求直線的方程.22．如圖，在正方體中，M，N分別為棱和的中點，求CM和所成角的余弦值．

參考答案1．【答案】C【分析】根據橢圓的定義以及限制條件可判斷.【詳解】對于A，，則平面內到兩點的距離之和等于8的點的軌跡是線段，所以A錯誤；對于B，平面內到兩點的距離之和等于6，小于，這樣的點不存在，所以B錯誤；對于C，點到兩點的距離之和為，則所求動點的軌跡是橢圓，所以C正確；對于D，平面內到距離相等的點的軌跡是線段的垂直平分線，所以D錯誤.故選：C.【點睛】本題考查對橢圓定義的理解，屬于基礎題.2．【答案】D【詳解】試題分析：因為，所以設弦長為，則，即.考點：本小題主要考查直線與圓的位置關系——相交.3．【答案】A【詳解】直線和平行，則，等價于，即，故“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A.4．【答案】B【詳解】設直線在軸上的截距為，則在軸上的截距為，直線方程為，在直線上，或，則直線為或.故選：B.5．【答案】A【分析】先利用點到直線距離求出b與c的關系，再求離心率?！驹斀狻坑蓭缀侮P系可得，雙曲線的漸近線方程為，圓心到漸近線距離為，則點到直線的距離為，即，整理可得，雙曲線的離心率．故選A．6．【答案】A【詳解】因為直線l過點和，由直線的兩點式方程，得直線l的方程為，即.由于點直線l上，所以，解得.故選:A.7．【答案】A【詳解】分析：題設的直線與拋物線是相離的，可以化成，其中是點到準線的距離，也就是到焦點的距離，這樣我們從幾何意義得到的最小值，從而得到的最小值.詳解：由①得到，，故①無解，所以直線與拋物線是相離的.由，而為到準線的距離，故為到焦點的距離，從而的最小值為到直線的距離，故的最小值為，故選A.點睛：拋物線中與線段的長度相關的最值問題，可利用拋物線的幾何性質把動線段的長度轉化為到準線或焦點的距離來求解.8．【答案】A【詳解】解：以C為坐標原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.由已知可得，，，，則，，所以.又因為異面直線所成的角的范圍為，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.9．【答案】BD【解析】根據雙曲線的離心率以及黃金雙曲線的定義分別計算即可一一判斷；【詳解】解：對于A：，，，所以，所以，故A錯誤；對于B：雙曲線是黃金雙曲線，所以，由，所以，故B正確；對于C：雙曲線的一條漸近線，則到其距離，而由B可知，，故C錯誤；對于D：當時，，令，，則，，所以，則，由B可知，雙曲線C是黃金雙曲線，故D正確；故選：BD10．【答案】AC【詳解】∵，∴，當焦點在軸上時，設，代入點，得，此時雙曲線方程為，同理求得焦點在軸上時，雙曲線方程為，故選AC.11．【答案】BC【詳解】當直線的斜率存在時，設過點斜率存在的直線方程為：，由消去y，并整理得，恒成立，設，則，，當直線的斜率不存在時，因此，所以弦長可能是，.故選：BC12．【答案】BCD【詳解】對：由可得，，令，即，此時，所以直線恒過定點，故A錯誤；對：因為直線的斜率為，所以當時，直線的斜率為-2，此時直線與直線垂直，滿足題意，正確；對C:因為定點到圓心的距離為，所以定點在圓內，所以直線與圓相交，正確；對:直線恒過定點，圓心到直線的最大距離為，此時直線被圓截得的弦長最短為，D正確；故選：.13．【答案】4【詳解】以為空間一組基底，由于三個向量共面，所以存在，使得，即，整理得，所以，解得.故答案為：14．【答案】60°/【詳解】，，兩式相減得：，，代入上面兩個式子中的任意一個，得，，又，.故答案為：15．【答案】是【詳解】由題意可知直線的斜率，直線的斜率.因為，即兩條直線的斜率相同，并且它們過同一點，所以，，三點在同一直線上．故答案為：是16．【答案】【詳解】設直線的傾斜角為，因為和向上的方向所成的角為，所以，，故．故答案為：.17．【答案】【詳解】聯立方程組，解得所以直線與相交，且交點為，可得點也在直線上．再在直線上取點，設點關于直線的對稱點為，可得，解得，即點的坐標為，則直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故直線的方程為.18．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.【詳解】（1）證明：因為四棱錐底面是正方形，且平面，以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系.則，，因為是的中點，所以，所以，所以，且.

所以，，且.所以⊥平面.（2）假設在線段上存在點，使得//平面.設，則.因為//平面，⊥平面，所以.

所以.

所以，在線段上存在點，使得//平面.其中.19．【答案】或【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑為；設圓的方程為：，則圓心為，半徑為，則，解得：或，圓的方程為：或.20．【答案】【詳解】試題分析：∵、、三點共線，∴直線、的斜率相等，∴，解之得：．21．【答案】(1)直線與圓相交；(2)直線的方程為或.【詳解】（1）直線，整理得，令，解得，即直線l過定點，將P點坐標代入圓C方程得，故P