2024年新高一數(shù)學(xué)初升高銜接《充分條件與必要條件》含答案解析

數(shù)學(xué)PAGE1數(shù)學(xué)第04講充分條件與必要條件模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1．理解充分條件、必要條件的概念，理解充要條件的意義；2．了解充分條件與判定定理、必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系；3．培養(yǎng)邏輯思維能力，能夠在復(fù)雜情況下運(yùn)用充分條件與必要條件進(jìn)行推理，解決數(shù)學(xué)問題.知識(shí)點(diǎn)1充分條件與必要條件1、命題（1）命題的定義：一般地，我們把用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫命題．判斷為真的語句是真命題，判斷為假的語句是假命題．（2）命題的形式：中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多命題可以寫成“若p，則q”，“如果p，那么q”等形式．其中p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論．2、充分條件與必要條件（1）一般地，“若，則”為真命題，是指由條件通過推理可以得出結(jié)論.這時(shí)，我們就說，由可推出，記作，并且說，是的充分條件，是的必要條件．（2）如果“若，則”為假命題，那么由條件不能推出結(jié)論，記作.這時(shí)，我們就說，不是的充分條件，不是的必要條件．（3）充分條件與必要條件的關(guān)系是的充分條件反映了，而是的必要條件也反映了，所以是的充分條件與是的必要條件表述的是同一個(gè)邏輯關(guān)系，只是說法不同．而是的充分條件只反映了，與能否推出沒有任何關(guān)系．3、充要條件（1）充要條件的概念：如果“若，則”和它的逆命題“若，則”均為真命題，即既有，又有，就記作．此時(shí)，既是的充分條件，也是的必要條件，我們說是的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件．（2）充要條件的含義：若是的充要條件，則也是的充要條件，雖然本質(zhì)上是一樣的，但在說法上還是不同的，因?yàn)檫@兩個(gè)命題的條件與結(jié)論不同．（3）充要條件的等價(jià)說法：是的充要條件又常說成是成立當(dāng)且僅當(dāng)成立，或與等價(jià)．4、充分條件與必要條件的傳遞性（1）若是的充分條件，是的充分條件，即，，則有，即是的充分條件；（2）若是的必要條件，是的必要條件，即，，則有，即是的必要條件；（3）若是的充要條件，是的充要條件，即，，則有，即是的充要條件．5、條件關(guān)系判定的常用結(jié)論與的關(guān)系結(jié)論，但是的充分不必要條件，但是的必要不充分條件且，即是的充要條件且是的既不充分也不必要條件知識(shí)點(diǎn)2從不同角度理解充分必要性1、從命題的角度充分理解充分必要性若把原命題中的條件和結(jié)論分別記作和，則原命題與逆命題同與之間有如下關(guān)系:（1）若原命題是真命題，逆命題是假命題，則是的充分不必要條件；（2）若原命題是假命題，逆命題是真命題，則是的必要不充分條件；（3）若原命題和逆命題都是真命題，則和互為充要條件；（4）若原命題和逆命題都是假命題,則是的既不充分也不必要條件.2、從集合的角度理解充分必要性若條件p，q以集合的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則由A?B可得，p是q的充分條件，（1）若AB，則p是q的充分不必要條件；（2）若A?B，則p是q的必要條件；（3）若AB，則p是q的必要不充分條件；（4）若A＝B，則p是q的充要條件；（5）若A?B且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．充分必要條件判斷精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要條件，大集合是小集合的必要不充分條件；若兩個(gè)集合范圍一樣，就是充要條件的關(guān)系；知識(shí)點(diǎn)3充分、必要、充要條件的證明1、證明“充分不必要條件”“必要不充分條件”，一般先證明一個(gè)方面，然后驗(yàn)證另一個(gè)方面不成立。2、證明“充要條件”一般應(yīng)分兩個(gè)步驟，即分別證明“充分性”與“必要性”，但千萬要注意“誰”是“誰”的充分條件，“誰”是“誰”的必要條件。盡管證明充要條件問題中前者可以是后者的充分條件也可以是必要條件，但還是不能把步驟顛倒了。一般地，證明成立的充要條件為，在證明充分性時(shí)，應(yīng)以為“已知條件”，是在該步中要證明的“結(jié)論”，即；在證明必要性時(shí)，則是以為“已知條件”，在該步中要證明的“結(jié)論”，即考點(diǎn)一：命題的概念判斷例1．（23-24高一上·甘肅酒泉·期中）下列語句是命題的是（

）A．3是偶數(shù)嗎? B．三角形的內(nèi)角和等于180°C．這里的景色山真美啊! D．【變式1-1】（23-24高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）下列語句中，命題的個(gè)數(shù)是（

）①空集是任何集合的真子集；②請(qǐng)起立；③的絕對(duì)值為1；④你是高一的學(xué)生嗎?A．0 B．1 C．2 D．3【變式1-2】（23-24高一上·廣西河池·月考）有下列語句，其中是命題的個(gè)數(shù)為（

）（1）數(shù)學(xué)真有趣；（2）0是自然數(shù)；（3）；（4）；（5）素?cái)?shù)都是奇數(shù).A．2 B．3 C．4 D．5【變式1-3】（23-24高一·江蘇·專題練習(xí)）以下語句：①；②；③；④，其中命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3考點(diǎn)二：命題的真假判斷例2.（23-24高一上·甘肅蘭州·月考）下列命題中，是真命題的是（

）A．是空集 B．是無限集C．是有理數(shù) D．方程的根是自然數(shù)【變式2-1】（23-24高一·全國(guó)·專題練習(xí)）下列語句中，為真命題的是（

）A．直角的補(bǔ)角是直角 B．同旁內(nèi)角互補(bǔ)C．兩個(gè)銳角的和是鈍角 D．過直線外一點(diǎn)作直線于點(diǎn)【變式2-2】（23-24高一·江蘇·專題練習(xí)）下列語句為真命題的是（

）A． B．四條邊都相等的四邊形為矩形C． D．今天是星期天【變式2-3】（23-24高一上·遼寧葫蘆島·期中）（多選）下列命題為真命題的是（

）A．存在兩個(gè)偶數(shù)，他們的商是奇B．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩C．所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都是正D．對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形考點(diǎn)三：充分、必要、充要條件的判斷例3.（23-24高一上·河南濮陽·月考）“四邊形是平行四邊形”是“四邊形是菱形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式3-1】（23-24高一上·湖南益陽·期末）已知，，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【變式3-2】（23-24高一下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·開學(xué)考試）對(duì)于實(shí)數(shù)，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式3-3】（23-24高一上·廣東潮州·期末）“故不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海.”這句來自戰(zhàn)國(guó)時(shí)期荀子的《勸學(xué)》里的名言.此名言中“成江?！笔恰胺e小流”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)四：充分、必要、充要條件的探究例4.（23-24高一上·江蘇宿遷·月考）（多選）使成立的一個(gè)充分條件是（

）A． B． C． D．【變式4-1】（23-24高一上·福建泉州·月考）使不等式成立的一個(gè)必要條件是（

）A． B． C． D．【變式4-2】（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·月考）已知，那么的一個(gè)充分不必要條件是（

）．A． B． C． D．【變式4-3】（22-23高一上·甘肅臨夏·月考）“”的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)五：由條件關(guān)系求參數(shù)取值范圍例5.（23-24高一上·廣東佛山·月考）集合，，若的充分條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式5-1】（23-24高一上·廣東韶關(guān)·月考）（多選）設(shè)，是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A． B．0 C．3 D．【變式5-2】（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）已知或，，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式5-3】（23-24高一上·廣東佛山·月考）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解的一個(gè)必要不充分條件的是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)六：充要條件的證明例6.（23-24高一上·廣西南寧·期中）求證：是是等邊三角形的充要條件.（這里，，是的三邊邊長(zhǎng)）.【變式6-1】（23-24高一上·安徽亳州·月考）設(shè)a，b，，求證：關(guān)于x的方程有一個(gè)根是1的充要條件為.【變式6-2】（22-23高三·全國(guó)·對(duì)口高考）設(shè)a，b，c為的三邊，求方程與有公共根的充要條件．【變式6-3】（23-24高一上·全國(guó)·期中）求證：等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立的充要條件是.一、單選題1．（23-24高一上·陜西延安·月考）已知，則下列判斷中，正確的是（

）A．p為真，q為假 B．p為假，q為真C．p為真，q為真 D．p為假，q為假2．（2023·天津·高考真題）已知，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件3．（23-24高一下·吉林白山·月考）““甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龍”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（23-24高一上·浙江溫州·期末）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（23-24高一上·全國(guó)·月考）設(shè)乙的充分不必要條件是甲，乙是丙的充要條件，丁是丙的必要不充分條件，那么甲是丁的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要6．（23-24高一上·天津北辰·月考）已知條件p：，條件q：，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍（

）A． B． C． D．二、多選題7．（23-24高一上·湖南湘西·月考）下列句子中是命題的是（

）A．三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 B．如果，則C．對(duì)于任意數(shù)，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊E．8．（23-24高一上·陜西西安·期中）使“”成立的一個(gè)必要不充分條件可以是（

）A． B．或 C． D．三、填空題9．（22-23高一上·上海靜安·期中）命題“如果，那么”是命題（填“真”或“假”）.10．（23-24高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)，一元二次方程有實(shí)數(shù)根的充要條件是．11．（23-24高一上·廣東佛山·月考）在下列所示電路圖中，下列說法正確的是.（填序號(hào)）.（1）如圖①所示，開關(guān)閉合是燈泡亮的充分不必要條件；（2）如圖②所示，開關(guān)閉合是燈泡亮的必要不充分條件；（3）如圖③所示，開關(guān)閉合是燈泡亮的充要條件；（4）如圖④所示，開關(guān)閉合是奵泡亮的必要不充分條件.四、解答題12．（23-24高一上·江蘇南京·月考）求證：“關(guān)于x的方程有一個(gè)根為2”的充要條件是“”．13．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知集合，或．（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．第04講充分條件與必要條件模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1．理解充分條件、必要條件的概念，理解充要條件的意義；2．了解充分條件與判定定理、必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系；3．培養(yǎng)邏輯思維能力，能夠在復(fù)雜情況下運(yùn)用充分條件與必要條件進(jìn)行推理，解決數(shù)學(xué)問題.知識(shí)點(diǎn)1充分條件與必要條件1、命題（1）命題的定義：一般地，我們把用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫命題．判斷為真的語句是真命題，判斷為假的語句是假命題．（2）命題的形式：中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多命題可以寫成“若p，則q”，“如果p，那么q”等形式．其中p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論．2、充分條件與必要條件（1）一般地，“若，則”為真命題，是指由條件通過推理可以得出結(jié)論.這時(shí)，我們就說，由可推出，記作，并且說，是的充分條件，是的必要條件．（2）如果“若，則”為假命題，那么由條件不能推出結(jié)論，記作.這時(shí)，我們就說，不是的充分條件，不是的必要條件．（3）充分條件與必要條件的關(guān)系是的充分條件反映了，而是的必要條件也反映了，所以是的充分條件與是的必要條件表述的是同一個(gè)邏輯關(guān)系，只是說法不同．而是的充分條件只反映了，與能否推出沒有任何關(guān)系．3、充要條件（1）充要條件的概念：如果“若，則”和它的逆命題“若，則”均為真命題，即既有，又有，就記作．此時(shí)，既是的充分條件，也是的必要條件，我們說是的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件．（2）充要條件的含義：若是的充要條件，則也是的充要條件，雖然本質(zhì)上是一樣的，但在說法上還是不同的，因?yàn)檫@兩個(gè)命題的條件與結(jié)論不同．（3）充要條件的等價(jià)說法：是的充要條件又常說成是成立當(dāng)且僅當(dāng)成立，或與等價(jià)．4、充分條件與必要條件的傳遞性（1）若是的充分條件，是的充分條件，即，，則有，即是的充分條件；（2）若是的必要條件，是的必要條件，即，，則有，即是的必要條件；（3）若是的充要條件，是的充要條件，即，，則有，即是的充要條件．5、條件關(guān)系判定的常用結(jié)論與的關(guān)系結(jié)論，但是的充分不必要條件，但是的必要不充分條件且，即是的充要條件且是的既不充分也不必要條件知識(shí)點(diǎn)2從不同角度理解充分必要性1、從命題的角度充分理解充分必要性若把原命題中的條件和結(jié)論分別記作和，則原命題與逆命題同與之間有如下關(guān)系:（1）若原命題是真命題，逆命題是假命題，則是的充分不必要條件；（2）若原命題是假命題，逆命題是真命題，則是的必要不充分條件；（3）若原命題和逆命題都是真命題，則和互為充要條件；（4）若原命題和逆命題都是假命題,則是的既不充分也不必要條件.2、從集合的角度理解充分必要性若條件p，q以集合的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則由A?B可得，p是q的充分條件，（1）若AB，則p是q的充分不必要條件；（2）若A?B，則p是q的必要條件；（3）若AB，則p是q的必要不充分條件；（4）若A＝B，則p是q的充要條件；（5）若A?B且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．充分必要條件判斷精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要條件，大集合是小集合的必要不充分條件；若兩個(gè)集合范圍一樣，就是充要條件的關(guān)系；知識(shí)點(diǎn)3充分、必要、充要條件的證明1、證明“充分不必要條件”“必要不充分條件”，一般先證明一個(gè)方面，然后驗(yàn)證另一個(gè)方面不成立。2、證明“充要條件”一般應(yīng)分兩個(gè)步驟，即分別證明“充分性”與“必要性”，但千萬要注意“誰”是“誰”的充分條件，“誰”是“誰”的必要條件。盡管證明充要條件問題中前者可以是后者的充分條件也可以是必要條件，但還是不能把步驟顛倒了。一般地，證明成立的充要條件為，在證明充分性時(shí)，應(yīng)以為“已知條件”，是在該步中要證明的“結(jié)論”，即；在證明必要性時(shí)，則是以為“已知條件”，在該步中要證明的“結(jié)論”，即考點(diǎn)一：命題的概念判斷例1．（23-24高一上·甘肅酒泉·期中）下列語句是命題的是（

）A．3是偶數(shù)嗎? B．三角形的內(nèi)角和等于180°C．這里的景色山真美啊! D．【答案】B【解析】對(duì)于A：命題是陳述句不是疑問句，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：這是陳述句，同時(shí)對(duì)事件作出判斷，是命題，B正確；對(duì)于C：這是感嘆句，不是命題，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：這是一個(gè)數(shù)學(xué)不等式，沒有作出判斷，所以D錯(cuò)誤，故選：B【變式1-1】（23-24高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）下列語句中，命題的個(gè)數(shù)是（

）①空集是任何集合的真子集；②請(qǐng)起立；③的絕對(duì)值為1；④你是高一的學(xué)生嗎?A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】①③是命題；②是祈使句，不是命題；④是疑問句，不是命題.故選：C.【變式1-2】（23-24高一上·廣西河池·月考）有下列語句，其中是命題的個(gè)數(shù)為（

）（1）數(shù)學(xué)真有趣；（2）0是自然數(shù)；（3）；（4）；（5）素?cái)?shù)都是奇數(shù).A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】（1）這是一個(gè)感嘆句，沒有辦法判斷出真假，故不是命題；（2）0是自然數(shù)，顯然這句話是對(duì)的，因此是命題，而且是真命題；（3）因?yàn)槭钦_的，所以是命題，而且是真命題；（4）不能判斷是否正確，所以不是命題；（5）2是素?cái)?shù)也是偶數(shù)，所以是命題，是假命題；所以（1）?（4）不是命題，其余都是命題.其中，（2）是真命題；（3）是真命題；（5）是假命題.故選：B.【變式1-3】（23-24高一·江蘇·專題練習(xí)）以下語句：①；②；③；④，其中命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】①是命題，且是假命題；②、③不能判斷真假，不是命題；④不是陳述句，不是命題．故選：B考點(diǎn)二：命題的真假判斷例2.（23-24高一上·甘肅蘭州·月考）下列命題中，是真命題的是（

）A．是空集 B．是無限集C．是有理數(shù) D．方程的根是自然數(shù)【答案】D【解析】對(duì)于A，有元素，所以不是空集，故A不是真命題，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，即，即，為有限集，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，是無理數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，方程的根0和5是自然數(shù)，故D正確.故選：D【變式2-1】（23-24高一·全國(guó)·專題練習(xí)）下列語句中，為真命題的是（

）A．直角的補(bǔ)角是直角 B．同旁內(nèi)角互補(bǔ)C．兩個(gè)銳角的和是鈍角 D．過直線外一點(diǎn)作直線于點(diǎn)【答案】A【解析】對(duì)選項(xiàng)A，直角的補(bǔ)角是直角，所以A選項(xiàng)為真命題；對(duì)選項(xiàng)B，缺少兩直線平行條件，結(jié)論不成立.如三角形內(nèi)任意兩內(nèi)角都是同旁內(nèi)角，但兩角和必小于，所以B選項(xiàng)為假命題；對(duì)選項(xiàng)C，與的和為銳角，所以C選項(xiàng)為假命題．對(duì)選項(xiàng)D，是祈使句，不是陳述句.所以不是命題；故選：A.【變式2-2】（23-24高一·江蘇·專題練習(xí)）下列語句為真命題的是（

）A． B．四條邊都相等的四邊形為矩形C． D．今天是星期天【答案】C【解析】對(duì)于A，因?yàn)榇苏Z句不能判斷真假，所以不是命題，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，此語句是命題，而在平面內(nèi)四條邊都相等的四邊形是菱形，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，是命題，且是真命題，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)榇苏Z句不能判斷真假，所以不是命題，所以D錯(cuò)誤，故選：C【變式2-3】（23-24高一上·遼寧葫蘆島·期中）（多選）下列命題為真命題的是（

）A．存在兩個(gè)偶數(shù)，他們的商是奇B．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩C．所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都是正D．對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形【答案】ABD【解析】若，則是奇數(shù)，故A是真命題.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故B是真命題.0的絕對(duì)值是0，不是正數(shù)，故C是假命題.對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，故D是真命題.故選：ABD.考點(diǎn)三：充分、必要、充要條件的判斷例3.（23-24高一上·河南濮陽·月考）“四邊形是平行四邊形”是“四邊形是菱形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】四邊形是平行四邊形不能推出四邊形是菱形，但是四邊形是菱形能推出四邊形是平行四邊形，所以“四邊形是平行四邊形”是“四邊形是菱形”的必要不充分條件．故選：B．【變式3-1】（23-24高一上·湖南益陽·期末）已知，，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【解析】因，故由得不出，即p不是q的充分條件；而由可得，故必有成立，即p是q的必要條件，故p是q的必要不充分條件.故選：B.【變式3-2】（23-24高一下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·開學(xué)考試）對(duì)于實(shí)數(shù)，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】“”等價(jià)于“且”，只知道時(shí)無法保證，但且時(shí)必然有，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B【變式3-3】（23-24高一上·廣東潮州·期末）“故不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海.”這句來自戰(zhàn)國(guó)時(shí)期荀子的《勸學(xué)》里的名言.此名言中“成江?！笔恰胺e小流”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由名言可知其意為如果不“積小流”，便不能“成江?！?，即“積小流”是“成江?！钡谋匾獥l件，而非充分條件，荀子的名言表明“成江?！币欢ㄊ菑摹胺e小流”開始的，而“積小流”未必一定能“成江?！保省俺山！笔恰胺e小流”的充分不必要條件.故選：A.考點(diǎn)四：充分、必要、充要條件的探究例4.（23-24高一上·江蘇宿遷·月考）（多選）使成立的一個(gè)充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】根據(jù)充分條件的定義可知，，即A、B正確；而不能推出，更不能推出，故C、D錯(cuò)誤.故選：AB.【變式4-1】（23-24高一上·福建泉州·月考）使不等式成立的一個(gè)必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因此只有B是其必要條件．故選：B．【變式4-2】（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·月考）已知，那么的一個(gè)充分不必要條件是（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)于A，，，是的一個(gè)充分不必要條件，A正確；對(duì)于B，，，是的一個(gè)既不充分也不必要條件，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，是的一個(gè)必要不充分條件，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，是的一個(gè)必要不充分條件，D錯(cuò)誤.故選：A.【變式4-3】（22-23高一上·甘肅臨夏·月考）“”的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，的一個(gè)必要不充分條件即為所求結(jié)果的真子集，根據(jù)選項(xiàng)可得是的真子集，通過，可推出，通過不可推出，故是的一個(gè)必要不充分條件.故選：C.考點(diǎn)五：由條件關(guān)系求參數(shù)取值范圍例5.（23-24高一上·廣東佛山·月考）集合，，若的充分條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，因?yàn)椤啊钡某浞謼l件是“”，所以，即，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：B【變式5-1】（23-24高一上·廣東韶關(guān)·月考）（多選）設(shè)，是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A． B．0 C．3 D．【答案】ABD【解析】因?yàn)榈膬蓚€(gè)根為3和5，所以，是的充分不必要條件，所以是的真子集，所以或或，當(dāng)時(shí)，滿足即可，當(dāng)時(shí)，滿足，所以，當(dāng)，滿足，所以，所以的值可以是0，，.故選：ABD.【變式5-2】（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）已知或，，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榛?，，令，，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以，所以.故選：D【變式5-3】（23-24高一上·廣東佛山·月考）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解的一個(gè)必要不充分條件的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)橐辉畏匠逃袑?shí)根，所以，解得.又是的真子集，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：A考點(diǎn)六：充要條件的證明例6.（23-24高一上·廣西南寧·期中）求證：是是等邊三角形的充要條件.（這里，，是的三邊邊長(zhǎng)）.【答案】證明見解析【解析】先證明充分性：由，得，整理得，，所以，即是等邊三角形.然后證明必要性：由是等邊三角形，則，所以.綜上所述，是是等邊三角形的充要條件.【變式6-1】（23-24高一上·安徽亳州·月考）設(shè)a，b，，求證：關(guān)于x的方程有一個(gè)根是1的充要條件為.【答案】證明見解析【解析】充分性：，，代入方程得，即．關(guān)于的方程有一個(gè)根為；必要性：方程有一個(gè)根為，滿足方程，，即．故關(guān)于的方程有一個(gè)根是的充要條件為．【變式6-2】（22-23高三·全國(guó)·對(duì)口高考）設(shè)a，b，c為的三邊，求方程與有公共根的充要條件．【答案】答案見解析【解析】必要性：設(shè)方程與的公共根為，則，，兩式相加得（舍去），將代入，得，整理得.所以.充分性：當(dāng)時(shí)，，于是等價(jià)于，所以，該方程有兩根，.同樣等價(jià)于，所以，該方程亦有兩根，.顯然，兩方程有公共根.故方程與有公共根的充要條件是.【變式6-3】（23-24高一上·全國(guó)·期中）求證：等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立的充要條件是.【答案】證明見解析.【解析】充分性：若，則等式顯然對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，充分性成立；必要性：由于等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，分別將，，代入可得，解得，必要性成立，故等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立的充要條件是.一、單選題1．（23-24高一上·陜西延安·月考）已知，則下列判斷中，正確的是（

）A．p為真，q為假 B．p為假，q為真C．p為真，q為真 D．p為假，q為假【答案】B【解析】p為假，q為真,故選：B2．（2023·天津·高考真題）已知，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【解析】由，則，當(dāng)時(shí)不成立，充分性不成立；由，則，即，顯然成立，必要性成立；所以是的必要不充分條件.故選：B3．（23-24高一下·吉林白山·月考）““甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龍”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若甲和乙的生肖相同，則甲和乙的生肖不一定都是龍；若甲和乙的生肖都是龍，則甲和乙的生肖肯定相同，所以“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龍”的必要不充分條件.故選：A4．（23-24高一上·浙江溫州·期末）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因，故“”是“”的必要不充分條件．故選B．5．（23-24高一上·全國(guó)·月考）設(shè)乙的充分不必要條件是甲，乙是丙的充要條件，丁是丙的必要不充分條件，那么甲是丁的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要【答案】A【解析】由題意甲乙丙丁，但乙推不出甲，因此甲丁，丁推不出甲，甲是丁的充分不必要條件，故選：A．6．（23-24高一上·天津北辰·月考）已知條件p：，條件q：，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)閜是q的充分不必要條件，則，于是，所以a的取值范圍是.故選：C二、多選題7．（23-24高一上·湖南湘西·月考）下