2024年新高一數(shù)學(xué)初升高銜接《弧度制》含答案解析

數(shù)學(xué)PAGE1數(shù)學(xué)第22講弧度制模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1．理解角度制與弧度制的概念，能對(duì)弧度和角度進(jìn)行正確的轉(zhuǎn)換；2．體會(huì)引入弧度制的必要性，建立角的集合與實(shí)數(shù)集的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；3．掌握并能應(yīng)用弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式.知識(shí)點(diǎn)1角度制與弧度制的概念1、角度制：規(guī)定周角的為1度的角，這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制．2、弧度制的有關(guān)概念為了使用方便，數(shù)學(xué)上采用另一種度量角的單位制——弧度制．（1）1弧度的角：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．（2）弧度制：=1\*GB3①定義：以弧度作為單位來度量角的單位制．=2\*GB3②記法：用符號(hào)rad表示，讀作弧度．如圖，在單位圓O中，的長(zhǎng)度等于1，∠AOB就是1弧度的角．3、弧度制與角度制的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別（1）單位不同，弧度制以“弧度”為度量單位，角度制以“度”為度量單位；（2）定義不同．聯(lián)系不管以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個(gè)與圓的半徑大小無關(guān)的定值．【注意】用弧度制表示角時(shí)，“弧度”二字可以省略不寫；用角度制表示角時(shí)單位“°”不能丟．知識(shí)點(diǎn)2角度制與弧度制之間的互化1、角度制與弧度制的換算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)2、特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度03、角的集合與實(shí)數(shù)集R的關(guān)系角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，如圖,每個(gè)角都是唯一的實(shí)數(shù)（等于這個(gè)角的弧度數(shù)）與它對(duì)應(yīng)；反之，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的交)與之對(duì)應(yīng)．知識(shí)點(diǎn)3弧長(zhǎng)與扇形面積公式1、弧長(zhǎng)與扇形面積公式的兩種表示類別/度量單位角度制弧度制扇形的弧長(zhǎng)扇形的面積【注】扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，或°為其圓心角．2、弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式的注意事項(xiàng)（1）在應(yīng)用公式時(shí)，要注意的單位是“弧度”；（2）在弧度制下的扇形面積公式，與三角形面積公式的形式相似，可類比記憶．考點(diǎn)一：角度制與弧度制概念辨析例1．（23-24高一下·陜西·月考）已知相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪50齒，小輪20齒，當(dāng)小輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)的弧度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（23-24高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）下列各說法，正確的是（

）A．半圓所對(duì)的圓心角是πradB．圓周角的大小等于2πC．1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于該圓的半徑D．長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小是1弧度【變式1-2】（22-23高一上·上海松江·期末）下列命題中，正確的是（

）A．1弧度的角就是長(zhǎng)為半徑的弦所對(duì)的圓心角B．若是第一象限的角，則也是第一象限的角C．若兩個(gè)角的終邊重合，則這兩個(gè)角相等D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)【變式1-3】（22-23高一下·江西萍鄉(xiāng)·期中）（多選）下列說法中正確的是（

）A．度與弧度是度量角的兩種不同的度量單位B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C．根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度D．不論是用角度制還是用弧度制度量角，角的大小均與圓的半徑長(zhǎng)短有關(guān)考點(diǎn)二：角度制化為弧度制例2.（23-24高一下·北京房山·期中）化成弧度是（

）A． B． C． D．【變式2-1】（23-24高一上·安徽亳州·期末）將化為弧度制，正確的是（）A． B． C． D．【變式2-2】（23-24高一上·新疆烏魯木齊·月考）（多選）把表示成，的形式，則值可以是（

）A． B． C． D．【變式2-3】（23-24高一上·廣東·月考）（多選）下列各角中，與角終邊相同的角為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)三：弧度制化為角度制例3.（23-24高一上·湖南株洲·月考）把化成角度是（

）A． B． C． D．【變式3-1】（23-24高一上·廣東汕頭·月考）化為角度是（

）A． B． C． D．【變式3-2】（23-24高一上·廣東汕頭·月考）3rad是第（

）象限角A．一 B．二 C．三 D．四【變式3-3】（22-23高一上·北京·期末）下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)四：扇形弧長(zhǎng)的相關(guān)計(jì)算例4.（23-24高一上·云南曲靖·月考）半徑為，圓心角為210°的扇形的弧長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【變式4-1】（23-24高一上·廣東深圳·期末）若扇形的面積為1，且弧長(zhǎng)為其半徑的兩倍，則該扇形的周長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．4 D．6【變式4-2】（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的扇面多為扇環(huán)形.已知某紙扇的扇面如圖所示，其中外弧長(zhǎng)與內(nèi)弧長(zhǎng)之和為，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段長(zhǎng)均為，且該扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為，則該扇環(huán)的外弧長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【變式4-3】（23-24高一下·山東煙臺(tái)·月考）《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實(shí)生活中的體育競(jìng)技活動(dòng)，刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把鄭鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，鄭鐵餅者的手臂長(zhǎng)約為米，肩寬約為米，“弓”所在圓的半徑約為米，則鄭鐵餅者雙手之間的距離約為（

）A．1.01米 B．1.76米 C．2.04米 D．2.94米考點(diǎn)五：扇形面積的相關(guān)計(jì)算例5.（23-24高一下·廣東韶關(guān)·月考）已知扇形的圓心角為2弧度，其弧長(zhǎng)為8m，則該扇形的面積為（

）A． B． C． D．【變式5-1】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知某扇形的圓心角是，半徑為，則該扇形的面積為．【變式5-2】（22-23高一下·河南南陽·期中）圓環(huán)被同圓心的扇形截得的一部分叫做扇環(huán)．如圖所示，扇環(huán)的內(nèi)圓弧的長(zhǎng)為，外圓弧的長(zhǎng)為，圓心角，則該扇環(huán)的面積為（

）A． B． C． D．【變式5-3】（23-24高一下·河南駐馬店·月考）如圖，在菱形中，，，，，分別是邊，，，的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以，為半徑作出兩段圓弧，與分別交于點(diǎn)，，分別以，，為圓心，用同樣方法作出如圖陰影部分的扇環(huán)，其中.若扇環(huán)的周長(zhǎng)為，則扇環(huán)的面積為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)六：扇形周長(zhǎng)、面積的最值例6.（23-24高一下·重慶璧山·月考）已知某扇形的周長(zhǎng)是24，則該扇形的面積的最大值是（

）A．28 B．36 C．42 D．50【變式6-1】（23-24高一上·江蘇南京·期末）（多選）已知扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為.若其周長(zhǎng)的數(shù)值為面積的數(shù)值的2倍，則下列說法正確的是（

）A．該扇形面積的最小值為8 B．當(dāng)扇形周長(zhǎng)最小時(shí)，其圓心角為2C．的最小值為9 D．的最小值為【變式6-2】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圓心角為（為正角），周長(zhǎng)為，面積為，所在圓的半徑為．(1)若，，求扇形的弧長(zhǎng)；(2)若，求的最大值及此時(shí)扇形的半徑和圓心角．【變式6-3】（23-24高一下·河南南陽·月考）已知一扇形的圓心角為，半徑為，面積為，周長(zhǎng)為．(1)若，則扇形圓心角為多少弧度時(shí)，最??？并求出的最小值；(2)若，則扇形圓心角為多少弧度時(shí)，最大？并求出的最大值．一、單選題1．（23-24高一上·貴州黔南·月考）將化為弧度是（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·江蘇徐州·月考）把弧度化成角度是（

）A． B． C． D．3．（22-23高一上·廣東深圳·期末）在半徑為的圓中，弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角為（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·遼寧大連·月考）已知扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為3，則扇形的面積為（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·內(nèi)蒙古赤峰·月考）已知扇形的半徑為，圓心角為弧度，則此扇形的弧長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．6．（23-24高一上·陜西銅川·月考）已知一扇形的周長(zhǎng)為40，當(dāng)扇形的面積最大時(shí)，扇形的圓心角等于（

）A．2 B．3 C．1 D．4二、多選題7．（23-24高一下·安徽淮北·月考）下列說法正確的是（

）A．化成弧度是 B．化成角度是18°C．化成弧度是 D．化成角度是8．（23-24高一下·湖南·期中）已知某扇形的周長(zhǎng)和面積均為18，則扇形的圓心角的弧度數(shù)可能為（

）A．4 B．3 C．2 D．1三、填空題9．（23-24高一下·河南駐馬店·月考）已知某扇形的半徑為，周長(zhǎng)為，則該扇形的面積為.10．（23-24高一下·河南南陽·月考）以密位作為角的度量單位，這種度量角的單位制，叫作角的密位制.在角的密位制中，采用四個(gè)數(shù)碼表示角的大小，單位名稱密位二字可以省去不寫.密位的寫法是在百位數(shù)與十位數(shù)之間畫一條短線，如密位寫成“”，密位寫成“”，密位寫成“”.周角等于密位，寫成“”.已知某扇形中的弧的中點(diǎn)到弧所對(duì)的弦的距離等于弦長(zhǎng)的，則該扇形的圓心角用密位制表示為.11．（23-24高一下·江西乙醇·月考）如圖，已知長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方體木塊在桌面上作無滑動(dòng)翻滾，翻滾到第四次時(shí)被小木塊擋住，此時(shí)長(zhǎng)方體木塊底面與桌面所成的角為，求點(diǎn)走過的路程為．四、解答題12．（23-24高一下·遼寧遼陽·期中）如圖，這是一個(gè)扇形環(huán)面（由扇形挖去扇形后構(gòu)成）展臺(tái)，米．(1)若，米，求該扇形環(huán)面展臺(tái)的周長(zhǎng)；(2)若該扇形環(huán)面展臺(tái)的周長(zhǎng)為米，布置該展臺(tái)的平均費(fèi)用為元/平方米，求布置該扇形環(huán)面展臺(tái)的總費(fèi)用．13．（23-24高一上·安徽淮北·月考）已知扇形的圓心角是，半徑為，弧長(zhǎng)為.(1)若，，求扇形的弧長(zhǎng).(2)若扇形的周長(zhǎng)是20cm，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？(3)若，求扇形的弧所在的弓形的面積.第22講弧度制模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1．理解角度制與弧度制的概念，能對(duì)弧度和角度進(jìn)行正確的轉(zhuǎn)換；2．體會(huì)引入弧度制的必要性，建立角的集合與實(shí)數(shù)集的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；3．掌握并能應(yīng)用弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式.知識(shí)點(diǎn)1角度制與弧度制的概念1、角度制：規(guī)定周角的為1度的角，這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制．2、弧度制的有關(guān)概念為了使用方便，數(shù)學(xué)上采用另一種度量角的單位制——弧度制．（1）1弧度的角：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．（2）弧度制：=1\*GB3①定義：以弧度作為單位來度量角的單位制．=2\*GB3②記法：用符號(hào)rad表示，讀作弧度．如圖，在單位圓O中，的長(zhǎng)度等于1，∠AOB就是1弧度的角．3、弧度制與角度制的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別（1）單位不同，弧度制以“弧度”為度量單位，角度制以“度”為度量單位；（2）定義不同．聯(lián)系不管以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個(gè)與圓的半徑大小無關(guān)的定值．【注意】用弧度制表示角時(shí)，“弧度”二字可以省略不寫；用角度制表示角時(shí)單位“°”不能丟．知識(shí)點(diǎn)2角度制與弧度制之間的互化1、角度制與弧度制的換算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)2、特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度03、角的集合與實(shí)數(shù)集R的關(guān)系角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，如圖,每個(gè)角都是唯一的實(shí)數(shù)（等于這個(gè)角的弧度數(shù)）與它對(duì)應(yīng)；反之，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的交)與之對(duì)應(yīng)．知識(shí)點(diǎn)3弧長(zhǎng)與扇形面積公式1、弧長(zhǎng)與扇形面積公式的兩種表示類別/度量單位角度制弧度制扇形的弧長(zhǎng)扇形的面積【注】扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，或°為其圓心角．2、弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式的注意事項(xiàng)（1）在應(yīng)用公式時(shí)，要注意的單位是“弧度”；（2）在弧度制下的扇形面積公式，與三角形面積公式的形式相似，可類比記憶．考點(diǎn)一：角度制與弧度制概念辨析例1．（23-24高一下·陜西·月考）已知相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪50齒，小輪20齒，當(dāng)小輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)的弧度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】小齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，大齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)周，故其轉(zhuǎn)動(dòng)的弧度數(shù)是.故選：A.【變式1-1】（23-24高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）下列各說法，正確的是（

）A．半圓所對(duì)的圓心角是πradB．圓周角的大小等于2πC．1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于該圓的半徑D．長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小是1弧度【答案】ABC【解析】由弧度制的定義可知：長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角的大小是1弧度，則長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小不是1弧度，D的說法錯(cuò)誤，根據(jù)弧度的定義及角度與弧度的換算可知，ABC的說法正確．故選：ABC【變式1-2】（22-23高一上·上海松江·期末）下列命題中，正確的是（

）A．1弧度的角就是長(zhǎng)為半徑的弦所對(duì)的圓心角B．若是第一象限的角，則也是第一象限的角C．若兩個(gè)角的終邊重合，則這兩個(gè)角相等D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)【答案】B【解析】1弧度的角就是長(zhǎng)為半徑的弧所對(duì)的圓心角，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；若是第一象限的角，則是第四象限的角，所以是第一象限的角，B選項(xiàng)正確；當(dāng)，時(shí)，與終邊重合，但兩個(gè)角不相等，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；不論是用角度制還是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定義可知度量角與所取圓的半徑無關(guān)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B【變式1-3】（22-23高一下·江西萍鄉(xiāng)·期中）（多選）下列說法中正確的是（

）A．度與弧度是度量角的兩種不同的度量單位B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C．根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度D．不論是用角度制還是用弧度制度量角，角的大小均與圓的半徑長(zhǎng)短有關(guān)【答案】ABC【解析】根據(jù)角度制和弧度制的定義可知，度與弧度是度量角的兩種不同的度量單位，所以A正確；由圓周角的定義知，1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，所以B正確；根據(jù)弧度的定義知，一定等于弧度，所以C正確；無論是用角度制還是用弧度制度量角，角的大小均與圓的半徑長(zhǎng)短無關(guān)，只與弧長(zhǎng)與半徑的比值有關(guān)，故D不正確.故選：ABC.考點(diǎn)二：角度制化為弧度制例2.（23-24高一下·北京房山·期中）化成弧度是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所?故選：A【變式2-1】（23-24高一上·安徽亳州·期末）將化為弧度制，正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B【變式2-2】（23-24高一上·新疆烏魯木齊·月考）（多選）把表示成，的形式，則值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】根據(jù)角度制與弧度制的互化公式，可得，再由終邊相同角的表示，可得，所以與和的終邊相同.故選：AD.【變式2-3】（23-24高一上·廣東·月考）（多選）下列各角中，與角終邊相同的角為（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】對(duì)于A，，，故A正確；對(duì)于B，與終邊相同的角為，，當(dāng)時(shí)，，故B正確；對(duì)于C，令，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，解得，故D錯(cuò)誤．故選：AB.考點(diǎn)三：弧度制化為角度制例3.（23-24高一上·湖南株洲·月考）把化成角度是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B【變式3-1】（23-24高一上·廣東汕頭·月考）化為角度是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B【變式3-2】（23-24高一上·廣東汕頭·月考）3rad是第（

）象限角A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【解析】，為第二象限角.故選：B【變式3-3】（22-23高一上·北京·期末）下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，終邊落在第四象限，且與角終邊相同，故與的終邊相同的角的集合即選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)AC書寫不規(guī)范，選項(xiàng)D表示角終邊在第三象限.故選：B.考點(diǎn)四：扇形弧長(zhǎng)的相關(guān)計(jì)算例4.（23-24高一上·云南曲靖·月考）半徑為，圓心角為210°的扇形的弧長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】圓心角化為弧度為，則弧長(zhǎng)為.故選：D【變式4-1】（23-24高一上·廣東深圳·期末）若扇形的面積為1，且弧長(zhǎng)為其半徑的兩倍，則該扇形的周長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【解析】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，則弧長(zhǎng)，所以，扇形的面積，解得或（舍去），所以，則該扇形的周長(zhǎng)為.故選：C【變式4-2】（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的扇面多為扇環(huán)形.已知某紙扇的扇面如圖所示，其中外弧長(zhǎng)與內(nèi)弧長(zhǎng)之和為，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段長(zhǎng)均為，且該扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為，則該扇環(huán)的外弧長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)該扇環(huán)的內(nèi)弧的半徑為，則外弧的半徑為，圓心角，所以，即，解得，所以該扇環(huán)的外弧長(zhǎng).故選：C【變式4-3】（23-24高一下·山東煙臺(tái)·月考）《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實(shí)生活中的體育競(jìng)技活動(dòng)，刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把鄭鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，鄭鐵餅者的手臂長(zhǎng)約為米，肩寬約為米，“弓”所在圓的半徑約為米，則鄭鐵餅者雙手之間的距離約為（

）A．1.01米 B．1.76米 C．2.04米 D．2.94米【答案】B【解析】由題意可知，“弓”所在圓的弧長(zhǎng)為，由弧度數(shù)公式得，即為等腰直角三角形，所以，則擲鐵餅者雙手之間的距離.故選：B.考點(diǎn)五：扇形面積的相關(guān)計(jì)算例5.（23-24高一下·廣東韶關(guān)·月考）已知扇形的圓心角為2弧度，其弧長(zhǎng)為8m，則該扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由扇形的圓心角為2弧度，其弧長(zhǎng)為8m，得扇形所在圓半徑，所以該扇形的面積().故選：C【變式5-1】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知某扇形的圓心角是，半徑為，則該扇形的面積為．【答案】【解析】由扇形的圓心角是，半徑為，則該扇形的面積為.故答案為：.【變式5-2】（22-23高一下·河南南陽·期中）圓環(huán)被同圓心的扇形截得的一部分叫做扇環(huán)．如圖所示，扇環(huán)的內(nèi)圓弧的長(zhǎng)為，外圓弧的長(zhǎng)為，圓心角，則該扇環(huán)的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由扇形面積公式（其中為扇形弧長(zhǎng)，為扇形圓心角，為扇形半徑）可得，扇環(huán)面積.故選：A【變式5-3】（23-24高一下·河南駐馬店·月考）如圖，在菱形中，，，，，分別是邊，，，的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以，為半徑作出兩段圓弧，與分別交于點(diǎn)，，分別以，，為圓心，用同樣方法作出如圖陰影部分的扇環(huán)，其中.若扇環(huán)的周長(zhǎng)為，則扇環(huán)的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，因?yàn)樯拳h(huán)的周長(zhǎng)為，所以：.所以扇環(huán)的面積為：.故選：B考點(diǎn)六：扇形周長(zhǎng)、面積的最值例6.（23-24高一下·重慶璧山·月考）已知某扇形的周長(zhǎng)是24，則該扇形的面積的最大值是（

）A．28 B．36 C．42 D．50【答案】B【解析】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，則，所以扇形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以該扇形的面積的最大值是36，故選：B【變式6-1】（23-24高一上·江蘇南京·期末）（多選）已知扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為.若其周長(zhǎng)的數(shù)值為面積的數(shù)值的2倍，則下列說法正確的是（

）A．該扇形面積的最小值為8 B．當(dāng)扇形周長(zhǎng)最小時(shí)，其圓心角為2C．的最小值為9 D．的最小值為【答案】BCD【解析】由題意，知，則，所以扇形面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；扇形周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，圓心角為，選項(xiàng)B正確；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，選項(xiàng)C正確；,當(dāng)時(shí)，上式取得最小值為，選項(xiàng)D正確.故選：BCD.【變式6-2】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圓心角為（為正角），周長(zhǎng)為，面積為，所在圓的半徑為．(1)若，，求扇形的弧長(zhǎng)；(2)若，求的最大值及此時(shí)扇形的半徑和圓心角．【答案】(1)；(2)的最大值為，此時(shí)扇形的半徑是，圓心角．【解析】（1），扇形的弧長(zhǎng)；（2）設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，則，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，的最大值是，此時(shí)扇形的半徑是，圓心角．【變式6-3】（23-24高一下·河南南陽·月考）已知一扇形的圓心角為，半徑為，面積為，周長(zhǎng)為．(1)若，則扇形圓心角為多少弧度時(shí)，最??？并求出的最小值；(2)若，則扇形圓心角為多少弧度時(shí)，最大？并求出的最大值．【答案】(1)，最小值為；(2)，最大值為．【解析】（1），則．由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)．當(dāng)時(shí)，最小，最小值為．（2），．．當(dāng)，即時(shí)，．當(dāng)時(shí)，最大，最大值為．一、單選題1．（23-24高一上·貴州黔南·月考）將化為弧度是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B2．（23-24高一上·江蘇徐州·月考）把弧度化成角度是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所?故選：D.3．（22-23高一上·廣東深圳·期末）在半徑為的圓中，弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角為，故選：B4．（23-24高一下·遼寧大連·月考）已知扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為3，則扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由扇形的面積可得，.故選：C5．（23-24高一下·內(nèi)蒙古赤峰·月考）已知扇形的半徑為，圓心角為弧度，則此扇形的弧長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榘霃?，圓心角，所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式得.故選：A.6．（23-24高一上·陜西銅川·月考）已知一扇形的周長(zhǎng)為40，當(dāng)扇形的面積最大時(shí)，扇形的圓心角等于（

）A．2 B．3 C．1 D．4【答案】A【解析】設(shè)扇形所在圓半徑為，則該扇形弧長(zhǎng)，，于是該扇形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，扇形的面積最大，此時(shí)扇形的圓心角等于.故選：A二、多選題7．（23-24高一下·安徽淮北·月考）下列說法正確的是（

）A．化成弧度是 B．化成角度是18°C．化成弧度是 D．化成角度是【答案】AB【解析】對(duì)于A項(xiàng)，因，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.8．（23-24高一下·湖南·期中）已知某扇形的周長(zhǎng)和面積均為18，則扇形的圓心角的弧度數(shù)可能為（