2024年新高一數(shù)學(xué)初升高銜接《指數(shù)及其運(yùn)算》含答案解析

數(shù)學(xué)PAGE1數(shù)學(xué)第14講指數(shù)及其運(yùn)算模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性質(zhì)；能利用根式的性質(zhì)對(duì)根式進(jìn)行運(yùn)算；2．理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化；3．了解指數(shù)冪由有理數(shù)擴(kuò)充到無(wú)理數(shù)的過(guò)程；理解指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；能進(jìn)行指數(shù)冪(實(shí)數(shù)冪）的運(yùn)算.知識(shí)點(diǎn)1根式1、n次方根的定義與性質(zhì)（1）定義：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且．（2）性質(zhì)：=1\*GB3①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，，的值僅有一個(gè)，記為；=2\*GB3②當(dāng)n是偶數(shù)，時(shí)，的有兩個(gè)值，且互為相反數(shù)，記為；時(shí)，不存在；=3\*GB3③負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根（負(fù)數(shù)的偶次方根無(wú)意義）；=4\*GB3④0的任何次方根都是0，記作．2、根式的定義與性質(zhì)（1）定義：式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．（2）性質(zhì)：（，且）a；知識(shí)點(diǎn)2指數(shù)冪1、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（1）正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：規(guī)定：（2）負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：規(guī)定：（3）性質(zhì)：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．【要點(diǎn)辨析】分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的注意事項(xiàng)：=1\*GB3①分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是指數(shù)概念的又一推廣，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不可理解為個(gè)相乘，它是根式的一種新的寫(xiě)法．在這樣的規(guī)定下，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是表示相同意義的量，只是形式不同而已．=2\*GB3②把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式時(shí)，不要輕易對(duì)進(jìn)行約分．=3\*GB3③在保證相應(yīng)的根式有意義的前提下，負(fù)數(shù)也存在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，如有意義，但就沒(méi)有意義．2、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①．②．③．3、無(wú)理數(shù)指數(shù)冪一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪（，為無(wú)理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪．【注意】（1）對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪，我們只需要了解兩點(diǎn)：①它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)；②它是有理數(shù)指數(shù)冪無(wú)限逼近的結(jié)果．（2）定義了無(wú)理數(shù)指數(shù)冪之后，冪的指數(shù)就由原來(lái)的有理數(shù)范圍擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)范圍．知識(shí)點(diǎn)3指數(shù)冪運(yùn)算解題方法與技巧1、指數(shù)冪的運(yùn)算中常用的乘法公式（1）完全平方公式：；；（2）平方差公式：；（3）立方差公式：；（4）立方和公式：；（5）完全立方公式：；．2、條件求值問(wèn)題的解題思路（1）將條件中的式子用待求式表示出來(lái)，進(jìn)而代入化簡(jiǎn)得出結(jié)論；（2）當(dāng)直接代入不易時(shí)，可以從總體上把握已知式和所求式的特點(diǎn)，從而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，再用整體代入法來(lái)求值；（3）適當(dāng)應(yīng)用換元法，能使公式的使用更加清晰，過(guò)程更簡(jiǎn)潔．考點(diǎn)一：根式的概念及辨析例1．（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若a是實(shí)數(shù)，則下列式子中可能沒(méi)有意義的是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)），下列各式一定有意義的是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2023高一·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）若有意義，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（223-24高一下·貴州遵義·月考）若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍為考點(diǎn)二：利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值例2.（23-24高一上·北京·期中）下列各式正確的是（

）A． B． C． D．【變式2-1】（23-24高一上·貴州貴陽(yáng)·月考）若，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【變式2-2】（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）求下列各式的值；；【變式2-3】（23-24高一上·甘肅蘭州·期中）（多選）若，化簡(jiǎn)的結(jié)果可能為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)三：根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化例3.（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列關(guān)于的形式的運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【變式3-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多選）下列各式正確的是（

）A． B． C． D．【變式3-2】（23-24高一上·江西新余·期中）（多選）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化中正確的有（

）A． B．C． D．【變式3-3】（23-24高一上·廣東廣州·期中）用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示并計(jì)算下列各式（式中字母均正數(shù)），寫(xiě)出化簡(jiǎn)步驟.(1)；(2)考點(diǎn)四：利用指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)例4.（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）下列等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【變式4-1】（23-24高一上·廣東江門(mén)·期中），，則．【變式4-2】（23-24高一上·河南·期中）若，則.【變式4-3】（23-24高一上·江西九江·期中）化簡(jiǎn)或計(jì)算下列各式．(1)；(2)．考點(diǎn)五：解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程例5.（23-24高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）方程的解為（

）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【變式5-1】（22-23高一上·河北滄州·期中）關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．4【變式5-2】（23-24高一上·北京順義·期中）關(guān)于的方程的解為．【變式5-3】（22-23高三·全國(guó)·對(duì)口高考）方程的解為．考點(diǎn)六：整體換元法解決條件求值例6.（23-24高一下·遼寧撫順·開(kāi)學(xué)考試）已知，則等于（

）A．2 B．4 C． D．【變式6-1】（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，則的值為．【變式6-2】（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，計(jì)算：.【變式6-3】（23-24高一上·湖南婁底·期末）已知，求下列各式的值：(1)；(2)．一、單選題1．（23-24高一上·青海海南·期中）已知，則下列各式一定有意義的是（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·陜西咸陽(yáng)·期末）化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A．5 B． C． D．3．（23-24高一上·北京大興·月考）已知，則（

）A． B． C． D．4．（23-24高一上·安徽淮南·月考）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．5．（23-24高一上·江蘇泰州·期中）已知，則等于（

）A．6 B．12 C．14 D．166．（23-24高一上·四川德陽(yáng)·月考）（

）A．110 B．109 C．108 D．100二、多選題7．（23-24高一上·四川成都·期中）以下運(yùn)算結(jié)果等于2的是（

）A． B． C． D．8．（23-24高一上·浙江·月考）已知，，則下列各式正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題9．（22-23高一上·上海奉賢·期末）化簡(jiǎn)（其中，）．10．（23-24高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）方程的解集是．11．（23-24高一上·重慶沙坪壩·期中）已知，，則（填數(shù)值）四、解答題12．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）化簡(jiǎn)求值：(1)(2)；13．（23-24高一上·遼寧丹東·期中）已知正實(shí)數(shù)滿足.(1)求的值；(2)求的值.第14講指數(shù)及其運(yùn)算模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性質(zhì)；能利用根式的性質(zhì)對(duì)根式進(jìn)行運(yùn)算；2．理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化；3．了解指數(shù)冪由有理數(shù)擴(kuò)充到無(wú)理數(shù)的過(guò)程；理解指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；能進(jìn)行指數(shù)冪(實(shí)數(shù)冪）的運(yùn)算.知識(shí)點(diǎn)1根式1、n次方根的定義與性質(zhì)（1）定義：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且．（2）性質(zhì)：=1\*GB3①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，，的值僅有一個(gè)，記為；=2\*GB3②當(dāng)n是偶數(shù)，時(shí)，的有兩個(gè)值，且互為相反數(shù)，記為；時(shí)，不存在；=3\*GB3③負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根（負(fù)數(shù)的偶次方根無(wú)意義）；=4\*GB3④0的任何次方根都是0，記作．2、根式的定義與性質(zhì)（1）定義：式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．（2）性質(zhì)：（，且）a；知識(shí)點(diǎn)2指數(shù)冪1、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（1）正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：規(guī)定：（2）負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：規(guī)定：（3）性質(zhì)：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．【要點(diǎn)辨析】分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的注意事項(xiàng)：=1\*GB3①分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是指數(shù)概念的又一推廣，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不可理解為個(gè)相乘，它是根式的一種新的寫(xiě)法．在這樣的規(guī)定下，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是表示相同意義的量，只是形式不同而已．=2\*GB3②把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式時(shí)，不要輕易對(duì)進(jìn)行約分．=3\*GB3③在保證相應(yīng)的根式有意義的前提下，負(fù)數(shù)也存在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，如有意義，但就沒(méi)有意義．2、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①．②．③．3、無(wú)理數(shù)指數(shù)冪一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪（，為無(wú)理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪．【注意】（1）對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪，我們只需要了解兩點(diǎn)：①它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)；②它是有理數(shù)指數(shù)冪無(wú)限逼近的結(jié)果．（2）定義了無(wú)理數(shù)指數(shù)冪之后，冪的指數(shù)就由原來(lái)的有理數(shù)范圍擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)范圍．知識(shí)點(diǎn)3指數(shù)冪運(yùn)算解題方法與技巧1、指數(shù)冪的運(yùn)算中常用的乘法公式（1）完全平方公式：；；（2）平方差公式：；（3）立方差公式：；（4）立方和公式：；（5）完全立方公式：；．2、條件求值問(wèn)題的解題思路（1）將條件中的式子用待求式表示出來(lái)，進(jìn)而代入化簡(jiǎn)得出結(jié)論；（2）當(dāng)直接代入不易時(shí)，可以從總體上把握已知式和所求式的特點(diǎn)，從而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，再用整體代入法來(lái)求值；（3）適當(dāng)應(yīng)用換元法，能使公式的使用更加清晰，過(guò)程更簡(jiǎn)潔．考點(diǎn)一：根式的概念及辨析例1．（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若a是實(shí)數(shù)，則下列式子中可能沒(méi)有意義的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A.式子對(duì)于有意義；B.式子對(duì)于有意義；C.式子對(duì)于有意義；D.式子對(duì)于無(wú)意義；故選：D【變式1-1】（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)），下列各式一定有意義的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，A不是；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，B不是；對(duì)于C，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有意義，C是；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，D不是.故選：C【變式1-2】（2023高一·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）若有意義，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由有意義，得，解得，所以a的取值范圍是.故選：B【變式1-3】（223-24高一下·貴州遵義·月考）若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】【解析】由，要使得有意義，則滿足，解得，故答案為：．考點(diǎn)二：利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值例2.（23-24高一上·北京·期中）下列各式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】A：，故A錯(cuò)誤；B：，故B錯(cuò)誤；C：，故C正確；D：，當(dāng)時(shí)成立，故D錯(cuò)誤；故選：C.【變式2-1】（23-24高一上·貴州貴陽(yáng)·月考）若，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】.因?yàn)?，所以異?hào)，，所以，所以，.故選：B.【變式2-2】（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）求下列各式的值；；【答案】【解析】由題意可得：=．【變式2-3】（23-24高一上·甘肅蘭州·期中）（多選）若，化簡(jiǎn)的結(jié)果可能為（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由題意知，即，即，故或，則，故選：AC考點(diǎn)三：根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化例3.（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列關(guān)于的形式的運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于，A正確，B，C錯(cuò)誤；，由于無(wú)意義，D錯(cuò)誤，故選：A【變式3-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多選）下列各式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤.故選：AC【變式3-2】（23-24高一上·江西新余·期中）（多選）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】對(duì)選項(xiàng)A：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，錯(cuò)誤；故選：BC【變式3-3】（23-24高一上·廣東廣州·期中）用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示并計(jì)算下列各式（式中字母均正數(shù)），寫(xiě)出化簡(jiǎn)步驟.(1)；(2)【答案】(1)；(2)1【解析】（1）.（2）.考點(diǎn)四：利用指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)例4.（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）下列等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確；故選：D【變式4-1】（23-24高一上·廣東江門(mén)·期中），，則．【答案】【解析】，，，故答案為：．【變式4-2】（23-24高一上·河南·期中）若，則.【答案】【解析】由題意，，所以，又，所以原式.故答案為：.【變式4-3】（23-24高一上·江西九江·期中）化簡(jiǎn)或計(jì)算下列各式．(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【解析】（1）原式.（2）原式.考點(diǎn)五：解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程例5.（23-24高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）方程的解為（

）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【答案】C【解析】∵，∴x﹣1＝﹣2，∴x＝﹣1．故選：C．【變式5-1】（22-23高一上·河北滄州·期中）關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】解：原方程即，化簡(jiǎn)可得，令，可得，該方程有且只有一個(gè)正根，由于單調(diào)遞增，所以與一一對(duì)應(yīng)，即原方程只有一個(gè)解.故選：.【變式5-2】（23-24高一上·北京順義·期中）關(guān)于的方程的解為．【答案】【解析】由可得，即，因?yàn)?，可得，?所以，方程關(guān)于的方程的解為.故答案為：.【變式5-3】（22-23高三·全國(guó)·對(duì)口高考）方程的解為．【答案】或【解析】由題意可得，所以，即，解得或，故答案為：或考點(diǎn)六：整體換元法解決條件求值例6.（23-24高一下·遼寧撫順·開(kāi)學(xué)考試）已知，則等于（

）A．2 B．4 C． D．【答案】A【解析】，所以.故選：A.【變式6-1】（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，則的值為．【答案】6【解析】因?yàn)?，所以，即，所以，所以，所以．【變?-2】（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，計(jì)算：.【答案】4【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即，所以，所?【變式6-3】（23-24高一上·湖南婁底·期末）已知，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)7；(2)【解析】（1）由題意，所以.（2）由題意，所以.一、單選題1．（23-24高一上·青海海南·期中）已知，則下列各式一定有意義的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A，由可知，時(shí)表達(dá)式無(wú)意義；對(duì)于B，根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)可知，時(shí)，表達(dá)式恒有意義；對(duì)于C，易知，當(dāng)時(shí)，表達(dá)式無(wú)意義；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，無(wú)意義；故選：B2．（23-24高一上·陜西咸陽(yáng)·期末）化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A．5 B． C． D．【答案】A【解析】，故選：A3．（23-24高一上·北京大興·月考）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故選：A4．（23-24高一上·安徽淮南·月考改編）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故