數(shù)學素材：空間幾何體

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習題點撥練習A1．答：通常把直尺放在一個面的各個方向上，看看直尺的邊緣與這個面有沒有空隙,如果不出現(xiàn)空隙就可以判斷這個物體表面是平的．2．略．3．解：例如兩條交叉走向的立交橋所在的直線．4．（1)對；(2）不對；（3）不對．練習B解：如圖所示．練習A1．略．2．矩形3．長方體是四棱柱,直四棱柱不一定是長方體,如底面是梯形的直四棱柱就不是長方體．4．答案不唯一，如圖所示．沿虛線折起即可構(gòu)成正方體．練習B1．直四棱柱2．A?B?C?D思考與討論答：觀察所給多面體能否還原成棱錐，若能則它是棱臺,否則它不是棱臺．練習A1．略．2．不一定3．是相交于一點,因為棱臺可看作由棱錐截得的．練習B1．如圖所示．2．都是直角三角形提示：本題考查識圖能力，并記住△SOA，△SOB，△SOC，△SOD都是直角三角形，這些三角形在今后學習中會不斷地運用．3．(1）eq\r（178）；（2）11eq\r(57)；（3)228。4．解：如圖中的正三棱臺ABCA′B′C′，其中OO′為高，過A′作A′D⊥OA于D，則OO′＝A′D。在△ABC中可求得AO＝eq\f（5,3)eq\r（3）(cm)．在△A′B′C′中可求得A′O′＝eq\f（2，3)eq\r(3）（cm)．∴AD＝AO－A′O′＝eq\r（3）（cm）．又AA′＝5(cm），∴A′D＝eq\r（AA′2－AD2）＝eq\r(25－3）＝eq\r（22）(cm），即棱臺的高為eq\r（22)cm.探索與研究解答:(1)平行于底面的截面，圖形都是圓．（2）過軸的截面，對于圓柱是矩形,對于圓錐是等腰三角形，對于圓臺是等腰梯形．(3）圓柱的上底面變小，就變?yōu)閳A臺，當上底面變?yōu)橐粋€點時，它就變成了圓錐．圓臺是由圓錐截得的，“還臺為錐”不失為解決圓臺問題的很好的辦法．練習A1．略．2．它是一個矩形，其長為圓柱的底面周長，寬為圓柱的高．3．任意一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，它的半徑為圓錐的母線長,扇形的弧長為底面圓周長；任意一個圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán)，如圖所示，其中AB,A1B1，A′B′的長為圓臺的母線長，的長度為⊙O′的周長,的長度為⊙O的周長．4．圓柱的軸截面為矩形，其長為母線長5，寬為底面圓直徑4,故面積為5×4＝20.5．解：如圖所示為圓錐的軸截面，其中PA＝20cm，∠APO＝30°，OP為高,在Rt△OAP中，OP＝AP·cos30°＝20×eq\f（\r（3),2)＝10eq\r(3)(cm）．練習B1．略．2．略．3．解:圓臺的軸截面如圖所示，其中A1B1＝2,A2B2＝8，A1A2＝5，O1O2為高，過A1作A1H⊥A2B2于H，則A1H＝O1O2。在Rt△A1A2H中,A1A2＝5，A2H＝eq\f(8－2，2)＝3，∴A1H＝eq\r（A1A\o\al（2,2)－A2H2）＝eq\r（52－32）＝4.故圓臺的高為4。4．解：圓臺的軸截面如圖所示，其中A1A2＝20cm，∠A2A1H＝30°,A1O1＝15cm。在△A1A2H中，A1H＝A1A2·cos30°＝10eq\r(3)cm，A2H＝A1A2·sin30°＝10cm.∴圓臺的高為10eq\r（3)cm，圓臺的下底面半徑O2A2為25cm，則下底面面積為S＝πR2＝252π＝625π(cm2)．思考與討論解答：類比平面上直線與圓的位置關系，平面與球有以下幾種位置關系：相離、相切、相交，其中相離是平面與球無公共點，相切是平面與球有且只有一個公共點，相交則是平面與球有無數(shù)多個公共點．練習A1．1nmile所對的弧長為αR＝eq\f（1,60）·eq\f（π,180）·6370≈1。85（km）．2．解：如圖所示為球的大圓,其中O為球心，AB為截面圓直徑，O1為截面圓圓心,由題意知OA＝25（cm）．∵＝49π，∴O1A＝7(cm)．在Rt△OO1A中，OO1＝eq\r（OA2－AO\o\al(2,1）)＝24(cm)，即球心到截面的距離為24cm.3．課本圖126中的基本幾何體有：圓錐、圓柱、棱柱、圓臺等．練習B1．略．2．解：如圖，直線與球有三種位置關系：相離—-無公共點或球心到直線的距離大于球半徑〔如圖（1)〕;相切-—有且只有一個公共點或球心到直線的距離等于球半徑〔如圖（2）〕;相交——有多于一個公共點或球心到直線的距離小于球半徑〔如圖（3）〕．3．解:如圖所示,AB為球O截得的線段，且AB＝8,OA＝5，過O作OC⊥AB于C，則AC＝4.∴OC＝eq\r（OA2－AC2)＝3,∴球心到直線的距離為3。思考與討論若一個平面圖形所在的平面與投射面平行，則中心投影后得到的圖形與原圖形的關系是相似．練習A1．(1)不正確；(2）不正確；(3)不正確;(4）正確．2．解：取A′B′、B′C′、A′C′的中點D′、E′、F′，連接A′E′，B′F′，C′D′,三線的交點即為△ABC的重心M在投影面內(nèi)的平行投影M′，如圖所示．3．解：如圖所示為正方形的直觀圖．如圖所示為等邊三角形的直觀圖．4．解：如圖所示．練習B1．（1）正確；（2)不正確．2．解：直觀圖如圖所示．3．解：邊長為1.5cm，高為3cm的正三棱錐的直觀圖如圖所示．4．解：底面半徑為1cm,高為3cm的圓柱和圓錐的直觀圖如圖所示．思考與討論解:在平面上表示立體圖形有斜二測畫法、正等測畫法、三視圖等，其畫法規(guī)則各自不同．練習A1．如圖所示．2．如圖所示．3．如圖所示．4．略．練習B1．如圖所示．2．如圖所示．探索與研究解：(1）當旋轉(zhuǎn)體底面水平放置即軸線為鉛垂線時,其三視圖比較簡單，此時主視圖、左視圖相同(圓柱、圓錐、圓臺分別為矩形、等腰三角形、等腰梯形),俯視圖為圓(或帶圓心），有時為了方便一般只畫出它們的主視圖和俯視圖(二視圖)．（2）球的三視圖也符合上述特征．練習A1．S全＝S側(cè)＋2S底＝6ah＋3eq\r（3）a2＝3a（2h＋eq\r（3)a)．2．S側(cè)＝12eq\r（3)，S全＝16eq\r（3）.3．S全＝S側(cè)＋S上＋S下＝（48eq\r(15)＋80）(cm2)．4．因為2πR＝16π，所以R＝8,S＝4πR2＝256π（cm2)．練習B1．解：正方體的對角線長即為球的直徑,設正方體的棱長為a，則2R＝eq\r（3)a，∴S正方體＝6a2，S球＝4π·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（\r(3),2)a）)2＝3πa2.∴eq\f(S球,S正方體)＝eq\f（π，2）.2．解：斜高h′＝eq\r(\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1。5，2）)）2＋0.852）＝eq\r(1.285)≈1.1336，S全＝eq\f(1，2）×h′×1。5×4≈3.4(平方米）．3．解:（1）由面積的比等于對應邊的平方比,得S小棱錐側(cè)∶S大棱錐側(cè)＝1∶4，S大棱錐側(cè)∶S小棱錐側(cè)∶S棱臺側(cè)＝4∶1∶3.（2）如圖所示,∵小棱錐底面邊長為4cm，則大棱錐的底面邊長為8cm,又PA＝12cm，則A1A＝6cm,梯形ABB1A1的高h′＝eq\r(62－22）＝4eq\r（2)(cm），∴S臺側(cè)＝6×eq\f(4＋8,2）×4eq\r（2）＝144eq\r（2）(cm2），S臺全＝S臺側(cè)＋S上底＋S下底＝144eq\r(2)＋24eq\r(3)＋96eq\r（3）＝144eq\r（2）＋120eq\r(3）(cm2)．練習A1．解：長方體的體積等于正方體的體積，設正方體棱長為a，則a3＝2×4×8，∴a＝4.2．解：三棱錐A′－BC′D的體積是正方體的體積減去四個小棱錐（如A′－ABD)的體積，設正方體的棱長為a，則V正方體＝a3.VA′－ABD＝eq\f（1,3)×eq\f（1,2）a3＝eq\f（1，6）a3，∴VA′－BC′D＝a3－4×eq\f(1,6)a3＝eq\f(1，3)a3，則eq\f(VA′－BC′D，V正方體)＝eq\f(\f(1,3）a3,a3)＝eq\f(1，3）.故三棱錐A′－BC′D的體積是正方體體積的eq\f(1，3).3．解：設原來球的半徑為R，則S大圓＝πR2,V球＝eq\f(4，3)πR3，當大圓面積增長為原來的100倍時，面積為100πR2.設大圓面積變?yōu)樵瓉淼?00倍后球的半徑為x，則有100πR2＝πx2，∴x＝10R。V′球＝eq\f（4,3）πx3＝1000·eq\f（4,3)πR3.故球的體積變?yōu)樵瓉淼?000倍．練習B1．解:設圓柱體和正方體的高為h，圓柱的底面半徑為R，則由側(cè)面積相等得4h2＝2πRh,∴2h＝πR，即R＝eq\f(2,π）h?！郪正方體＝h3,V圓柱＝πR2·h＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2，π）h))2·h＝eq\f（4，π)h3.∴V正方體∶V圓柱＝π∶4.2．解：如圖所示．∵PC＝eq\r(3），而△PAB為正三角形,∴AC＝1,PA＝2，∴OC＝AC＝1。在Rt△POC中，PO＝eq\r(2).∴V棱錐＝eq\f（1,3)·S·h＝eq\f(1,3）×22×eq\r(2)＝eq\f（4,3)eq\r（2).3．解:∵V臺＝eq\f（1，3)h（S上＋S下＋eq\r(S上·S下)），又S下＝62＝36(dm2)，S上＝42＝16(dm2),∴190＝eq\f（1，3)h（36＋16＋eq\r(36×16）)，∴h＝eq\f（3×190,76）＝7.5（dm)＝75（cm)．故它的深度為75cm。習題11A1．解:側(cè)棱垂直于底面的棱柱為直棱柱．底面為正多邊形的直棱柱為正棱柱．2．解:由面積的比等于對應邊的平方比可知，截面截一條側(cè)棱所得兩條線段的比為1∶(eq\r（2）－1）(或(eq\r（2）－1）∶1)．3．對角線長d＝eq\r（122＋42＋32)＝13.4．解：（1)都在同一直線上(有可能是重合的點)；(2)平行于投影面的線段的平行投影的長度與原線段的長度相等；平行于投影面的線段的中心投影的長度與原線段的長度相應成比例；(3）與投射面垂直的面上的若干圖形的正投影在一條直線上．5．解：直觀圖、三視圖如圖所示．6．解：直觀圖、三視圖如圖所示．(1)(2）7．解：設長、寬、高分別為4x、2x、x,則由體積公式得1000＝4x·2x·x，∴x3＝125，∴x＝5（cm）．則長為20cm，寬為10cm，高為5cm.8．解：設它的棱長為xcm，由題意得8x3＝（x＋1)3，解得x＝1.則它的棱長為1cm。9．解：由題意知底面為等腰三角形，其面積S＝eq\f（1，2）×2×2eq\r(2）＝2eq\r(2)（cm2)．側(cè)棱長為棱柱的高，∴V＝Sh＝2eq\r（2)×4＝8eq\r（2）(cm3)．10．解：正六棱柱的底面積S＝150eq\r(3)(cm2）．正六棱柱的體積V＝Sh＝150eq\r(3)×15＝2250eq\r（3）（cm3）．11．解：設地球半徑為R，則火星半徑為eq\f(R，2），∴eq\f（V地，V火)＝eq\f(\f(4，3）πR3，\f(4,3）π\(zhòng)b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(R,2）））3）＝8.若R＝6370,則V地＝eq\f（4，3）π×63703≈1.083×1012(km3）．V火＝eq\f（V地，8）≈1.353×1011(km3）．習題11B1．解：由左視圖可知正三棱柱的高為2mm，由俯左一樣寬可知正三棱柱的底面正三角形的高為2eq\r（3）mm，由此可計算出正三角形的邊長為4mm,∴正三棱柱的表面積＝S側(cè)＋2S底＝3×4×2＋2eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）×4×2\r(3)）)＝(24＋8eq\r（3))(mm2）．2．解:圓柱的底面不變，要使它的體積擴大到原來的5倍，則需要把它的高擴大到原來的5倍；如果圓柱高不變，半徑擴大到原來的eq\r（5）倍也可使它的體積擴大到原來的5倍．3．解：因為正三棱柱的高h不變，因此內(nèi)切圓柱和外接圓柱的體積只與其底面圓半徑有關．設正三棱柱的底面邊長為a，內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，則由平面幾何性質(zhì)知R＝2r。所以V內(nèi)切圓柱∶V外接圓柱＝πr2h∶πR2h＝r2∶R2＝1∶4。4．解：V正三棱錐＝eq\f(1,3）×eq\f（1,2）a2×a＝eq\f(1，6）a3。5．解:等邊三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周后，所形成的幾何體是兩個對底的圓錐，每一個圓錐的母線長為a，底面圓半徑為r，r＝eq\f（\r(3），2）a，高為h，h＝eq\f(a,2)，則V＝2×eq\f(1，3）πr2×h＝2×eq\f（1,3)π×eq\f（3,4)a2×eq\f（a,2）＝eq\f（π,4）a3。6．解:∵圓錐的母線長為5cm，高為4cm