四川省廣安市廣安友實(shí)學(xué)校、遂寧綠然國(guó)際學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

高2023級(jí)2024年秋季半期考試數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘考試分?jǐn)?shù)：150分注意事項(xiàng)：1．本試題卷共2頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡的相應(yīng)位置3．全部答案寫在答題卡上，寫在本試題卷上無(wú)效4．做選擇題時(shí)，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的標(biāo)號(hào)涂黑，如需修改，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)5．考試結(jié)束后，只收答題卡，本試題卷不回收一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．從含有三件正品和一件次品的產(chǎn)品中任取兩件，則取出的兩件中恰有一件次品的概率是（）A． B． C． D．3．直三棱柱中，若，，，則（）A． B．C． D．4．已知直線與垂直，則（）A．0 B．1 C．2 D．5．如圖所示，直線與的圖象可能是（）A． B．C． D．6．設(shè)，，若點(diǎn)在線段上，則的取值范圍是（）A． B．C． D．7．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)，且．則下列說(shuō)法正確的是（）A．存在點(diǎn)，使得直線與直線相交B．存在點(diǎn)，使得直線平面C．直線與平面所成角的大小為D．平面被正方體所截得的截面面積為8．已知，滿足，則的最小值為（）A． B． C．1 D．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）9．已知圓心為的圓與點(diǎn)，則（）A．圓的半徑為2 B．點(diǎn)在圓外C．點(diǎn)在圓內(nèi) D．點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)距離的最小值為10．下列說(shuō)法正確的是（）A．直線的傾斜角為B．若直線經(jīng)過(guò)第三象限，則，C．點(diǎn)在直線上D．存在使得直線與直線垂直11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則（）A．周長(zhǎng)的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為4三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把正確的答案填在橫線上）12．已知點(diǎn)在平面內(nèi)，并且對(duì)空間任一點(diǎn)，，則______．13．已知直線與直線平行，則它們之間的距離是______．14．如圖，正四棱錐的棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn)．若點(diǎn)，分別為直線，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15．一個(gè)不透明的袋子中裝有除顏色外完全相同的5個(gè)球，其中有3個(gè)紅球，編號(hào)分別為，，，有2個(gè)黑球，編號(hào)分別為，，從中一次摸取1個(gè)球，取后不放回，連續(xù)取兩次．（1）試寫出該試驗(yàn)的樣本空間；（2）設(shè)事件：“第一次摸到紅球”，事件：“第二次摸到黑球”，求事件和事件發(fā)生的概率．16．棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，在棱上，且，是的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求；（3）求的長(zhǎng)．17．已知直線的方程為．（1）求直線過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線與軸正半軸和軸正半軸分別交于點(diǎn)，，當(dāng)面積最小時(shí)，求直線的方程．18．在等腰直角三角形中，，點(diǎn)是邊上異于，的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)，反射后又回到原點(diǎn)，光線經(jīng)過(guò)的重心．（若、、、分別是三角形的重心和三個(gè)頂點(diǎn)，且分別為、、、，則有．）（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，請(qǐng)求的重心的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求的周長(zhǎng)．19．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）已知點(diǎn)在棱上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng)．半期考試數(shù)學(xué)參考答案1-5、CDDCC 6-8、CCB 9-11、BDACDBCD12、 13、 14、8．B【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作點(diǎn)關(guān)于線段的對(duì)稱點(diǎn)，則．設(shè)，則有，解得，所以．設(shè)，則，所以，又，所以點(diǎn)到軸的距離為，所以可視為線段上的點(diǎn)到軸的距離與到的距離之和．過(guò)作軸，過(guò)點(diǎn)作軸，顯然有，則為所求最小值，此時(shí)與線段的交點(diǎn)，即為最小值時(shí)的位置．易得，所以的最小值為．故選：B．11．BCD【分析】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，對(duì)于A：根據(jù)對(duì)稱性可得，進(jìn)而可得結(jié)果；對(duì)于B：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離分析判斷；對(duì)于C：因?yàn)?，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)題意分析可得，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離分析判斷．【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，可知，，對(duì)于選項(xiàng)A：可得周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以周長(zhǎng)的最小值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)到軸，直線的距離分別為，，則，，可得，所以的最小值為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，設(shè)到直線的距離為，可得，所以的最小值為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：作，垂足為，因?yàn)橹本€的斜率，則，可得，則，可得，所以的最小值為4，故D正確．14．【分析】根據(jù)題意，先建立空間直角坐標(biāo)系，然后寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再寫出相關(guān)的向量，然后根據(jù)點(diǎn)，分別為直線，上寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)，這樣就得到，然后根據(jù)，的取值范圍而確定．【詳解】建系如圖，則有：，，，，，可得：，設(shè)，且，則有：，可得：，則有：，故，則當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，，故答案為：．15．（1）【詳解】（1）試驗(yàn)從中一次摸取1個(gè)球，取后不放回，連續(xù)取兩次的樣本空間為：（2）由（1）可知樣本空間中基本事件總數(shù)為20符合事件：“第一次摸到紅球”的樣本空間為：共12個(gè)基本事件符合事件：“第二次摸到黑球”的樣本空間為：共8個(gè)基本事件故，，則事件和事件發(fā)生的概率分別為，．16．（1）【詳解】（1）如圖，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，因?yàn)?，，所以，所以，故；?）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，且，所以；?）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)椋?，，即?7．【詳解】（1）由題意，直線的方程可化為，聯(lián)立方程組解得，所以直線過(guò)的定點(diǎn)．（2）設(shè)直線，則，，由（1）知，直線過(guò)的定點(diǎn)，可得，因?yàn)?，，所以，解得，?dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)，等號(hào)成立，所以面積為，此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線方程為，即．18．【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，故的重心的坐標(biāo)為，即；（2）設(shè)，關(guān)于直線，的對(duì)稱點(diǎn)分別設(shè)為，，則，設(shè)，直線的方程為，則，解得，即，由光的反射原理可知，，，共線，且光線經(jīng)過(guò)的重心，故，解得或（舍去），故；（3）由（2）可得，，由題意可知，，故的周長(zhǎng)．19．【詳解】（1）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面