平面向量基本定理及坐標(biāo)表示教案

§5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（教案）2014高考會(huì)這樣考1.考查平面向量基本定理的應(yīng)用；2.考查向量的坐標(biāo)表示和向量共線的應(yīng)用．復(fù)習(xí)備考要這樣做1.理解平面向量基本定理的意義、作用；2.運(yùn)用定理表示向量，然后再進(jìn)行向量運(yùn)算．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?x1y2－x2y1＝0.[難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源]1．基底的不唯一性只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對(duì)基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量a都可被這個(gè)平面的一組基底e1，e2線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的．2．向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點(diǎn)A(x，y)，向量a＝eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x，y)．當(dāng)平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))平行移動(dòng)到eq\o(O1A1,\s\up6(→))時(shí)，向量不變即eq\o(O1A1,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x，y)，但eq\o(O1A1,\s\up6(→))的起點(diǎn)O1和終點(diǎn)A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化．1．在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________.答案eq\f(4,3)解析因?yàn)閑q\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ))eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ))eq\o(AB,\s\up6(→))，得到λ＋eq\f(1,2)μ＝1，eq\f(1,2)λ＋μ＝1，兩式相加得λ＋μ＝eq\f(4,3).2．在?ABCD中，AC為一條對(duì)角線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，則向量eq\o(BD,\s\up6(→))的坐標(biāo)為_(kāi)_________．答案(－3，－5)解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－5)．3．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b與b平行，則k＝________.答案0解析由ka＋b與b平行得－3(2k＋2)＝2(k－3)，∴k＝0.4．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，則c等于 ()A．3a＋b B．3a－bC．－a＋3bD．a(chǎn)＋3b答案B解析由已知可設(shè)c＝xa＋yb，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝x－y,2＝x＋y))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－1)).5．(2011·廣東)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實(shí)數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C．1 D．2答案B解析a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，而c＝(3,4)，由(a＋λb)∥c得4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝eq\f(1,2).題型一平面向量基本定理的應(yīng)用例1已知點(diǎn)G為△ABC的重心，過(guò)G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up6(→))，求eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的值．思維啟迪：以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))為基底來(lái)表示向量，建立x，y的關(guān)系．解根據(jù)題意知G為三角形的重心，故eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))－xeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－x))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(GN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)))eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，由于eq\o(MG,\s\up6(→))與eq\o(GN,\s\up6(→))共線，根據(jù)共線向量定理知eq\o(MG,\s\up6(→))＝λeq\o(GN,\s\up6(→))?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－x))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)))\o(AC,\s\up6(→))－\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))，∵eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－x＝－\f(1,3)λ,\f(1,3)＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)))))?eq\f(\f(1,3)－x,－\f(1,3))＝eq\f(\f(1,3),y－\f(1,3))?x＋y－3xy＝0，兩邊同除以xy得eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝3.探究提高利用基底表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用向量的加、減法及數(shù)乘進(jìn)行線性運(yùn)算；向量的表示是向量應(yīng)用的前提．如圖，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN上的一點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)____．答案eq\f(3,11)解析設(shè)|eq\o(BP,\s\up6(→))|＝y(tǒng)，|eq\o(PN,\s\up6(→))|＝x，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(x,x＋y)eq\o(BN,\s\up6(→))，①eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(y,x＋y)eq\o(BN,\s\up6(→))，②①×y＋②×x得eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(x,x＋y)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(y,4x＋y)eq\o(AC,\s\up6(→))，令eq\f(y,4x＋y)＝eq\f(2,11)，得y＝eq\f(8,3)x，代入得m＝eq\f(3,11).題型二向量坐標(biāo)的基本運(yùn)算例2已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M、N的坐標(biāo)及向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標(biāo)．解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．探究提高向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行．若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則．已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(4,2)，B(5,7)，C(－3,4)，則第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是__________________．答案(－4，－1)或(12,5)或(－2,9)解析設(shè)頂點(diǎn)D(x，y)．若平行四邊形為ABCD，則由eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,5)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(－3－x,4－y)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3－x＝1，,4－y＝5，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－1；))若平行四邊形為ACBD，則由eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－7,2)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(5－x,7－y)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x＝－7，,7－y＝2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝12，,y＝5；))若平行四邊形為ABDC，則由eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,5)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x＋3，y－4)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝1，,y－4＝5，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝9.))綜上所述，第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－4，－1)或(12,5)或(－2,9)．題型三共線向量的坐標(biāo)表示例3平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k；(3)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq\r(5)，求d.思維啟迪：(1)向量相等對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等，列方程解之．(2)由兩向量平行的條件列方程解之．(3)設(shè)出d＝(x，y)，由平行關(guān)系列方程，由模為eq\r(5)列方程，聯(lián)立方程組求解．解(1)由題意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3,2m＋n＝2))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9),n＝\f(8,9))).(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∵(a＋kc)∥(2b－a)，∴2×(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，∴k＝－eq\f(16,13). (3)設(shè)d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4－2y－1＝0,x－42＋y－12＝5))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5,y＝3))，∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)．探究提高(1)運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，使向量的運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形有機(jī)的結(jié)合．(2)根據(jù)平行的條件建立方程求參數(shù)，是解決這類(lèi)題目的常用方法，充分體現(xiàn)了方程思想在向量中的應(yīng)用．(2011·北京)已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3))．若(a－2b)與c共線，則k＝________.答案1解析a－2b＝(eq\r(3)，1)－2(0，－1)＝(eq\r(3)，3)，又∵(a－2b)與c共線，∴(a－2b)∥c，∴eq\r(3)×eq\r(3)－3×k＝0，解得k＝1.忽視平面向量基本定理的使用條件致誤典例：(12分)已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d，eq\o(OE,\s\up6(→))＝e，設(shè)t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t為何值時(shí)，C，D，E三點(diǎn)在一條直線上？易錯(cuò)分析本題可以根據(jù)向量共線的充要條件列出等式解決，但在得出等式后根據(jù)平面向量基本定理列式解決時(shí)，容易忽視平面向量基本定理的使用條件，出現(xiàn)漏解，漏掉了當(dāng)a，b共線時(shí)，t可為任意實(shí)數(shù)這個(gè)解．規(guī)范解答解由題設(shè)，知eq\o(CD,\s\up6(→))＝d－c＝2b－3a，eq\o(CE,\s\up6(→))＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得eq\o(CE,\s\up6(→))＝keq\o(CD,\s\up6(→))，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.[4分]①若a，b共線，則t可為任意實(shí)數(shù)；[7分]②若a，b不共線，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t－3＋3k＝0，,2k－t＝0，))解之得t＝eq\f(6,5).[10分]綜上，可知a，b共線時(shí)，t可為任意實(shí)數(shù)；a，b不共線時(shí)，t＝eq\f(6,5).[12分]溫馨提醒平面向量基本定理是平面向量知識(shí)體系的基石，在解題中有至關(guān)重要的作用，在使用時(shí)一定要注意兩個(gè)基向量不共線這個(gè)條件.方法與技巧1．平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，將向量進(jìn)行分解．2．向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算可將一些幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題處理，從而向量可以解決平面解析幾何中的許多相關(guān)問(wèn)題．3．在向量的運(yùn)算中要注意待定系數(shù)法、方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．失誤與防范1．要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)的不同，向量的坐標(biāo)等于表示向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減始點(diǎn)坐標(biāo)；向量坐標(biāo)中既有大小的信息，又有方向的信息．2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0.A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．與向量a＝(12,5)平行的單位向量為 ()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，－\f(5,13)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)，－\f(5,13)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，\f(5,13)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)，－\f(5,13)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(12,13)，±\f(5,13)))答案C解析設(shè)e為所求的單位向量，則e＝±eq\f(a,|a|)＝±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，\f(5,13))).2.如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，則 ()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3) B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4) D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)答案A解析由題意知eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))，又eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).3．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c等于 ()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b B.eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)bC．－eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b D．－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b答案B解析設(shè)c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝λ＋μ,2＝λ－μ))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2),μ＝－\f(3,2)))，∴c＝eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b.4．在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝(4,3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1,5)，則eq\o(BC,\s\up6(→))等于 ()A．(－2,7) B．(－6,21)C．(2，－7) D．(6，－21)答案B解析eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(PC,\s\up6(→))＝3(2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))＝6eq\o(PQ,\s\up6(→))－3eq\o(PA,\s\up6(→))＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．二、填空題(每小題5分，共15分)5．若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值為_(kāi)_______．答案eq\f(1,2)解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a－2，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，b－2)，依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).6．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，則實(shí)數(shù)x的值為_(kāi)_______．答案eq\f(1,2)解析因?yàn)閍＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u(píng)＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)，又因?yàn)閡∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝eq\f(1,2).7．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)滿足eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，則eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝________.答案eq\f(1,3)解析∵OC＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,3).三、解答題(共22分)8．(10分)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得ka＋b與a－3b共線，且方向相反？解若存在實(shí)數(shù)k，則ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)．a(chǎn)－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若向量ka＋b與向量a－3b共線，則必有(k－3)×(－4)－(2k＋2)×10＝0，解得k＝－eq\f(1,3).這時(shí)ka＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)，\f(4,3)))，所以ka＋b＝－eq\f(1,3)(a－3b)．即兩個(gè)向量恰好方向相反，故題設(shè)的實(shí)數(shù)k存在．9．(12分)如圖所示，M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足條件eq\o(AM,\s\up6(→))＋2eq\o(BM,\s\up6(→))＋3eq\o(CM,\s\up6(→))＝0，延長(zhǎng)CM交AB于N，令eq\o(CM,\s\up6(→))＝a，試用a表示eq\o(CN,\s\up6(→)).解因?yàn)閑q\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(NM,\s\up6(→))，所以由eq\o(AM,\s\up6(→))＋2eq\o(BM,\s\up6(→))＋3eq\o(CM,\s\up6(→))＝0，得(eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(NM,\s\up6(→)))＋2(eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(NM,\s\up6(→)))＋3eq\o(CM,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AN,\s\up6(→))＋3eq\o(NM,\s\up6(→))＋2eq\o(BN,\s\up6(→))＋3eq\o(CM,\s\up6(→))＝0.又因?yàn)锳，N，B三點(diǎn)共線，C，M，N三點(diǎn)共線，由平面向量基本定理，設(shè)eq\o(AN,\s\up6(→))＝λeq\o(BN,\s\up6(→))，eq\o(CM,\s\up6(→))＝μeq\o(NM,\s\up6(→))，所以λeq\o(BN,\s\up6(→))＋3eq\o(NM,\s\up6(→))＋2eq\o(BN,\s\up6(→))＋3μeq\o(NM,\s\up6(→))＝0.所以(λ＋2)eq\o(BN,\s\up6(→))＋(3＋3μ)eq\o(NM,\s\up6(→))＝0.由于eq\o(BN,\s\up6(→))和eq\o(NM,\s\up6(→))不共線，由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2＝0，,3＋3μ＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,μ＝－1.))所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(CM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝2eq\o(CM,\s\up6(→))＝2a.B組專(zhuān)項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1．若平面向量b與向量a＝(1，－2)的夾角是180°，且|b|＝3eq\r(5)，則b等于 ()A．(－3,6) B．(3，－6)C．(6，－3) D．(－6,3)答案A解析方法一設(shè)b＝(x，y)，由已知條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋y2)＝3\r(5)，,\f(x－2y,\r(5)\r(x2＋y2))＝－1，))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝45，,x－2y＝－15.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝6，))∴b＝(－3,6)．方法二設(shè)b＝(x，y)，由已知條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋y2)＝3\r(5)，,y＋2x＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝6，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－6，))(舍去)，∴b＝(－3,6)．方法三∵|a|＝eq\r(5)，∴eq\f(1,|a|)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(5))，－\f(2,\r(5))))，則b＝－3eq\r(5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,|a|)a))＝(－3,6)．2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b等于 ()A．(－2，－4) B．(－3，－6)C．(－4，－8) D．(－5，－10)答案C解析由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)?m＝－4，從而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．3．已知A(－3,0)，B(0,2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，|OC|＝2eq\r(2)，且∠AOC＝eq\f(π,4)，設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))(λ∈R)，則λ的值為 ()A．1 B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案D解析過(guò)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E(圖略)．由∠AOC＝eq\f(π,4)，知|OE|＝|CE|＝2，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝eq\f(2,3).二、填空題(每小題5分，共15分)4．△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，則角C＝________.答案60°解析因?yàn)閜∥q，則(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，結(jié)合余弦定理知，cosC＝eq\f(1,2)，又0°<C<180°，∴C＝60°.5．已知A(7,1)、B(1,4)，直線y＝eq\f(1,2)ax與線段AB交于C，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)a＝________.答案2解析設(shè)C(x，y)，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x－7，y－1)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(1－x,4－y)，∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－7＝21－x,y－1＝24－y))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝3)).∴C(3