廣東省肇慶市2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題 含解析

肇慶市2025屆高中畢業(yè)班第一次模擬考試數(shù)學(xué)本試題共4頁，考試時(shí)間120分鐘，滿分150分注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準(zhǔn)確，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼處.2.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.3.答題時(shí)請按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀.考試結(jié)束后，請將本試題及答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A.4 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】利用對數(shù)運(yùn)算法則得到答案.【詳解】.故選：D2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式可得，再由交集運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】由不等式，得，所以，又，可得.故選：A3.曲線在處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，再代入直線的點(diǎn)斜式方程化簡即可【詳解】令，則，即，f1=0，所以曲線在處的切線方程為，即，故選：D.4.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分和兩種情況，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，得到不等式解集.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，與求交集得，當(dāng)，，解得，與求交集得，故的解集為.故選：D5.已知復(fù)數(shù)，，則“”是“”的（）A.充分必要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長性質(zhì)和充分不必要條件即可得到答案?！驹斀狻恳?yàn)?，所以，充分性顯然成立；對于必要性，只需舉一個(gè)反例即可，如，，此時(shí)，，所以“”是“”的充分不必要條件.故選:C6.已知定義在上的函數(shù)，其中是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，函數(shù)也是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，得在上單調(diào)遞減，利用單調(diào)性解不等式.【詳解】定義在上的函數(shù)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，也是奇函數(shù)，所以是奇函數(shù).由.因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以是減函數(shù).又因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以，解?故選：B.7.已知，，則（）A. B.或C. D.或【答案】A【解析】【分析】先由已知和余弦函數(shù)值確定，再由同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡計(jì)算即可；【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，所以，，所?故選：A.8.在中，且，若（），則的最小值為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】確定，構(gòu)造平行四邊形，借助圖形得到最小值即為點(diǎn)到直線的距離，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，即，得，因?yàn)锳是的內(nèi)角，所以，故，即，所以.以為鄰邊作平行四邊形，由，即在直線上，所以的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)?，，過向作垂線，垂足為,，所以的最小值為，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)正實(shí)數(shù)m，n滿足，且，則下列說法正確的是（）A. B.C.的最大值為2 D.的最小值是4【答案】AC【解析】【分析】對于A，根據(jù)題意得，化簡后可判斷；對于B，利用作差法即可判斷；對于C，利用基本不等式可求最值；對于D，由題意得，代入得關(guān)于的二次函數(shù)，進(jìn)而可求最值.【詳解】對于A選項(xiàng)，，故，故A正確；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立，故C正確；對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故?dāng)，時(shí)，有最小值，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.將自然數(shù)1，2，3，4，5，…按照如圖排列，我們將2，4，7，11，16，…稱為“拐彎數(shù)”，則下列數(shù)字是“拐彎數(shù)”的是（）A.37 B.58 C.67 D.79【答案】ACD【解析】【分析】先根據(jù)題中規(guī)律，并采用累加法找到拐彎數(shù)的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】不妨設(shè)第n（）個(gè)“拐彎數(shù)”為，不難發(fā)現(xiàn)，，，，…，所以（），利用累加法得，因而，當(dāng)時(shí)，也符合上式，所以（）.代入選項(xiàng)驗(yàn)算可知A，C，D三個(gè)選項(xiàng)正確.故選：ACD.11.已知（，）在上是單調(diào)函數(shù)，對于任意的滿足，且，則下列說法正確的是（）A.B.若函數(shù)（）在上單調(diào)遞減，則C.若，則的最小值為D.若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及可知關(guān)于點(diǎn)對稱且，可得，再由時(shí)，取得最小值可得，即A錯(cuò)誤，由并利用整體代換可判斷B正確；根據(jù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得最小值應(yīng)為半個(gè)周期，即C正確；利用余弦函數(shù)單調(diào)性以及極值點(diǎn)定義可判斷D正確.【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，可得的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，又因?yàn)閷θ我?，都有，所以?dāng)時(shí)，取得最小值.因?yàn)樵谑菃握{(diào)函數(shù)，所以得，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)取得最小值，所以由，得，.解得，.又，所以，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，易知，所以，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)（）在上單調(diào)遞減，則，解得，故B正確；對于C選項(xiàng)，最小正周期為，當(dāng)時(shí)，則，分別為函數(shù)的最大、最小值，所以，故C正確；對于D選項(xiàng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，要滿足，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用所給信息并結(jié)合三角函數(shù)圖象性質(zhì)求得函數(shù)的解析式，再對其單調(diào)性、最值、極值點(diǎn)等進(jìn)行判斷即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復(fù)數(shù)滿足，則_________．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可得解.【詳解】因，所以.故答案為：.13.已知單位向量，滿足，則向量在向量上的投影向量的模為__________.【答案】1【解析】【分析】由得到，再由投影向量計(jì)算公式代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閱挝幌蛄浚瑵M足，可得：，也即則，則向量在向量上的投影向量的模為.故答案為：114.已知函數(shù)（）在上單調(diào)遞增，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】在上恒成立，時(shí)，不合要求，時(shí)，，解得，，分，和三種情況，得到，化簡可得，，由基本不等式求出的最大值為.【詳解】由題意，得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立.當(dāng)時(shí)，，在上，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，.當(dāng)時(shí)，在上，，，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在上，，，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在上，，，；在，，，；所以.因此，有，化簡可得，故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等式成立.故的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列定義可求得，可得其通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法以及等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意得，解得（舍去），所以.即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由（1）知①，所以②.①－②得所以.16.已知向量，，，函數(shù)，且的最小正周期為.（1）若，求的值域；（2）將的圖象先向下平移個(gè)單位長度，再向左平移m（）個(gè)單位長度，最后將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀?，所得函?shù)圖象與函數(shù)的圖象重合，求實(shí)數(shù)m的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量數(shù)量積公式和三角恒等變換得到，根據(jù)最小正周期得到，得到函數(shù)解析式，利用整體法求出值域；（2）利用伸縮和平移變換得到，結(jié)合，得到方程，求出，，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)m取得最小值.【小問1詳解】，因?yàn)樽钚≌芷跒椋?，解得，所以，因?yàn)?，所以，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?【小問2詳解】向下平移個(gè)單位長度得，向左平移m（）個(gè)單位長度得，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得.因?yàn)椋砸沟门c的圖象重合，則，，解得，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)m取得最小值.17.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，.（1）若，求的面積；（2）求A的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）已知，，利用余弦定理化簡得，結(jié)合，可求的面積；（2）解法一：已知，，利用正弦定理得，由，利用基本不等式求的最大值，可得A的最大值.解法二：過點(diǎn)A作交BC于點(diǎn)H，，，設(shè)，則，，得，利用基本不等式求的最大值，可得A的最大值.【小問1詳解】由余弦定理，得，所以.【小問2詳解】解法一：因?yàn)?，，所以，由正弦定理，可得，則，因?yàn)?，所以，C是鈍角，所以B是銳角，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，此時(shí)，，.又因?yàn)锳為銳角，正切函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，故A的最大值為.解法二：因?yàn)椋瑒t，所以C為鈍角，如圖，過點(diǎn)A作交BC于點(diǎn)H，則，，設(shè)，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，又因?yàn)榻茿為銳角，正切函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，故的最大值為.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（2）若存在極大值，求a的取值范圍.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、最值的關(guān)系求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系，結(jié)合參數(shù)和討論函數(shù)單調(diào)性，從而解決問題.【小問1詳解】由題可知的定義域?yàn)?,+∞，當(dāng)時(shí)，，.令，解得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取極大值，也是最大值，故的最大值為.【小問2詳解】.令，則當(dāng)時(shí)，，在0,+∞上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，得在0,2內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，在上，gx>0，，單調(diào)遞增；在上，gx<0，，單調(diào)遞減，存在極大值.當(dāng)時(shí)，令，解得，（舍去），在上，，單調(diào)遞減；在上，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取極小值，也是最小值，故.當(dāng)，即時(shí)，由于當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，在上，必定存在唯一的零點(diǎn).在上，gx>0，，單調(diào)遞增；在，gx<0，，單調(diào)遞減，存在極大值，當(dāng)時(shí)在0,+∞上，，單調(diào)遞增不存在極大值.綜上所述，a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)極值：通常利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在定理，同時(shí)注意分類討論.19.對于一個(gè)給定的數(shù)列，令，則數(shù)列稱為數(shù)列的一階和數(shù)列，再令，則數(shù)列是數(shù)列的二階和數(shù)列，以此類推，可得數(shù)列的p階和數(shù)列.（1）若的二階和數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，，求；（2）若，求的二階和數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）若是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，是的一階和數(shù)列，且，，求正整數(shù)k的最大值，以及k取最大值時(shí)的公差.【答案】（1）12（2）（3）k的最大值是1999，此時(shí)公差為【解析】【分析】（1）根據(jù)一階和數(shù)列的定義以及，，，的值可計(jì)算出，，的值，再根據(jù)二階和數(shù)列的定義計(jì)算出，的值，由的二階和數(shù)列是等比數(shù)列可得公比，從而解得，，的值，再由定義可求出的值；（2）根據(jù)定義和以及可得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得的前n項(xiàng)和公式；（3）由和一階和數(shù)列的