【中考數(shù)學(xué)】2024屆九年級地理論專題復(fù)習(xí)-四大最值模型（含解析）

【中考數(shù)學(xué)】2024屆九年級地理論專題復(fù)習(xí)—四大最值模型

模型1“胡不歸”模型

模型故事

從前,有個(gè)小伙子外出務(wù)工，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即啟程趕路.由于思鄉(xiāng)心切，

他只考慮了兩點(diǎn)之間線段最短的原理,所以選擇了路徑/反但他忽略了走砂礫地帶速度變慢的因素.

當(dāng)他趕到家時(shí)，老人剛剛咽氣鄰居告訴說，老頭彌留之際不斷念叨著“胡不歸?胡不?…

而如果先沿著驛道力。走一段，再走砂礫地，會(huì)不會(huì)更早些到家?在這個(gè)問題中，由于這個(gè)小伙子

在驛道和砂礫地帶上前行的速度不同,那么這個(gè)小伙子有沒有可能先在驛道上行走一段路程后，再

走砂礫地帶?雖然走的路多了，但總用時(shí)變少了，如果真有這種情況，那么在驛道和砂礫地帶之間的

拐點(diǎn)就尤為重要了，請問如何確定這個(gè)點(diǎn)呢？

模型展現(xiàn)

基礎(chǔ)模型

B

/

已知:點(diǎn)A為直線/上一定點(diǎn)點(diǎn)B為直線外一定點(diǎn)，點(diǎn)P在直線I上

AP1運(yùn)動(dòng)

B

問題:如何確定點(diǎn)p,使得川勺值最小

DC

怎么用？

1.找模型

直線上一定點(diǎn)力,一動(dòng)點(diǎn)尸，8為直線外一點(diǎn)，求MP+8P的最小值

2.用模型

構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)將含系數(shù)的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換，再根據(jù)垂線段最短化折為直，從而得到線

段和最小值，最后運(yùn)用銳角三角函數(shù)求解即可

模型分析

如圖，求這類帶有系數(shù)的折線最值問題，通常我們都是將折線轉(zhuǎn)化成為線段，再利用兩點(diǎn)之間線段最

短或垂線段最短求解，

該模型就是利用了垂線段最短的性質(zhì),具體解題步驟如下：

一找:找?guī)в邢禂?shù)A的線段MP；

二構(gòu):在點(diǎn)B異側(cè)，構(gòu)造以線段AP為斜邊的直角三角形；

①以定點(diǎn)A為頂點(diǎn)作NC4尸，使得sin^PAC=h;

②過動(dòng)點(diǎn)P作垂線構(gòu)造RtAPAC,

三轉(zhuǎn)化:化折為直，將kAP轉(zhuǎn)化為PC;

四求解:使得/MP+4P=PC+6P,利用“垂線段最短”轉(zhuǎn)化為求BD的長度.

B

拓展延伸

熟記特殊角的銳角三角函數(shù)值，kAP+BP中系數(shù)A發(fā)生變化時(shí)，所構(gòu)造的直角三角形也會(huì)

發(fā)生變化，同學(xué)們需要牢記特殊角度的正弦值：sin30°=-sin60°=—sin45°=—

2,2,2,

34

sin37°?-sin53°?-

5,5

例1如圖，在。中，AC=6,N/=30。，點(diǎn)。是邊上一動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)撥：兩定點(diǎn)力、C,動(dòng)點(diǎn)

D,含特殊角30。）則-CZ）的最小值為（點(diǎn)撥：線段數(shù)量關(guān)系的最小值，考慮“胡

2

不歸”）

例1題圖

考什么？

直.角三角形的性質(zhì),30。,60。角的銳角三角函數(shù)值，垂線段最短.

思路點(diǎn)撥

哪條線段帶有系數(shù)，就以它為斜邊構(gòu)造直角三角形，使得其中一銳角的正弦值恰好與系數(shù)相等.

例2如圖，在平行四邊形力成力中,/。48=45。，（點(diǎn)撥：特殊角）川?=6,BC=2,P為C7）邊上的

一動(dòng)點(diǎn)，則P8+二一PQ（點(diǎn)撥：線段數(shù)量關(guān)系出現(xiàn)，且0VAV1,模型出現(xiàn)）的最小值為

2

U_______FC

AB

例2題圖

考什么？

平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì),45。角的銳角三角函數(shù)值，垂線段最短。

實(shí)戰(zhàn)實(shí)演

1、如圖,在0力8。中/8=彳。=8附〃4=/3,8%乂。于點(diǎn)瓦點(diǎn)。是線段8f上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CO+-BD

2

的最小值是（）

44Z?.4V3C2+4/iD.8

AB\

AEC

第1題圖

2、如圖,在等腰R/A44C中，NBAC=90°,4c=10,AD上BC于點(diǎn)、D,點(diǎn)M是力。上一點(diǎn)，則

模型2“阿氏圓”模型

模型故事

阿氏圓（阿波羅尼斯圓）

阿波羅尼斯（4po〃a〃Zs,約公元前262-190年），古希臘數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德齊

名。他的著作《圓錐曲線論》是占代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎

PA

使后人沒有插足的余地。如圖，已知平面上兩定點(diǎn)力、B,則所有滿足——=k

PB

（%>0且原1）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓,這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏

圓”。

模型展現(xiàn)

基礎(chǔ)模型:

B已知：點(diǎn)P是半徑為，?的。。上的一動(dòng)點(diǎn)，

點(diǎn)48為。。外兩定點(diǎn)

問題:當(dāng)廠，女滿足尸%&（0<Kl）時(shí),求形如“MP+BP，線段長

/度的最值

A

怎么用?

1.找模型平面上兩點(diǎn)48,點(diǎn)尸在圓上，求“MP+8P”的最小值或Z2姐P”的最大值，即考慮“阿

氏圓”模型

2.用模型

截取線段構(gòu)造一組相似三角彩，利用線段比例關(guān)系轉(zhuǎn)化線段，再根據(jù)線段最短問題求最值。

模型分析：

如圖，點(diǎn)P是半徑為廠的。。上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)48為圓外的定點(diǎn)，且尸上0力（0<Ayl）,如何確定點(diǎn)

P的位置，使得"P+8P的值最小。

一找：找?guī)в邢禂?shù)的線段力?；

二構(gòu)：在線段。力上取一點(diǎn)C,構(gòu)造/PC。?//P。；

①在線段0A上截取0C,使得OC=kr\

②連接尸COK證明/尸CO?/ZPO;

三轉(zhuǎn)化：通過相似三角形的對應(yīng)邊成比例，將乂尸轉(zhuǎn)化為PC；

四求解：使得乂0+4P=PC+4R連接4C,利用“兩點(diǎn)之間線段最短”轉(zhuǎn)化為求BC的長.

【滿分技法】

阿氏圓模型，初中階段不要求證明，但需要掌握的是，學(xué)會(huì)運(yùn)用構(gòu)造相似三角形的方法，確定。

點(diǎn)的位置，求形如“MP+8P”線段長度的最值，不僅在選填中考查，而且在幾何、面數(shù)綜合題中也

考查，因此提煉模型特點(diǎn)，掌握應(yīng)對方法很重要.

模型拓展

思考“胡不歸”"阿氏圓''之間的關(guān)系：

平面上有一動(dòng)點(diǎn)P,兩定點(diǎn)48,如何確定點(diǎn)P的位置，求解形如kAP+BP的最值

當(dāng)0<Kl時(shí)點(diǎn)尸的軌跡為一條直線考慮“胡不歸”模型

點(diǎn)P的軌跡為圓或?yàn)閳A的一部分時(shí)考慮“阿氏圓''模型

【滿分技法】

若遇到形如匕P8+A,以的問法，只需將其中一個(gè)系數(shù)化為1.就化為標(biāo)準(zhǔn)模型了，對于邛可氏圓”

例外，“阿氏圓”模型是利用構(gòu)造“子母”相似三角形來解題，只要符合相似比即可.

典例小試

例1如圖，已知/彳08=90。,。8=4。4=6.。0的半徑為2,（圓外兩點(diǎn)）P為圓上一動(dòng)點(diǎn).（圓上

一/點(diǎn)八、/）

（\）AP+-BP的最小值為

（2）-AP+BP的最小值為.

3

例1題圖

考什么？

相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理

思路點(diǎn)撥

該題兩問均為/P與4P數(shù)量關(guān)系的最值，但解題的關(guān)鍵要看系數(shù)女所在的線段，再依據(jù)模型方

法解題.

例2如圖，在中，/力。8=90。/。=4,8。=3,。為△力8c內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足8=2,（點(diǎn)。在

2

以點(diǎn)。為圓心，CO長為半彷的圓上）那么力。+—8。的最小值_____________.

3

例2題圖

考什么？

定點(diǎn)定長構(gòu)造隱形圖，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理求線段長，兩點(diǎn)之間線段最短.

思路點(diǎn)撥

有時(shí)候題干中不會(huì)直接出觀圓，而需要根據(jù)題目中所給的釜件判斷并畫出隱形國，再解題，因此

最重要的還是提煉模型特點(diǎn)！(隱形圖問題見模型42-46)

實(shí)戰(zhàn)實(shí)演

1.如圖，在矩形44co中，BC=7/4=9,P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，分別連接且心=3,延長CP

交4B于點(diǎn)、F,若斯=1.則-AP+PC的值為____________.

3

第1題圖第2題圖

2

2.如圖，已知正方形48CO的邊長為9,的半徑為6,點(diǎn)P是。8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么尸。+一尸。

3

的最小值為____________，尸D-士2。。的最大值為_____________.

3

3.如圖，已知拋物線y=a，+云+c3H())過48兩點(diǎn)，。4=1。4=5,拋物線與)，軸交于點(diǎn)。,點(diǎn)。

的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相向，拋物線的頂點(diǎn)為D.

(1)拋物線的解析式為,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為：

(2)如圖，已知。力的半徑為2,點(diǎn)〃是圓X上一動(dòng)點(diǎn)，連接CMA/8,則也+是否存在

13

最小值？若存在，說明在何處取得最小值；若不存在，請說明理由.

第3題圖

模型3費(fèi)馬點(diǎn)模型

模型故事

費(fèi)馬點(diǎn)

皮耶?德?費(fèi)馬,17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家，有“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的美譽(yù),之所以叫業(yè)余并非段位不夠，而

是因?yàn)槠渲髀毷锹蓭?，兼職搞?shù)學(xué).費(fèi)馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)域都有卓越的貢獻(xiàn)，除此之外，費(fèi)馬

廣為人知的是以其名字命名的“費(fèi)馬小定理”“費(fèi)馬大定理”等.

今天的問題不是費(fèi)馬提出來的，而是他解決的,故而叫費(fèi)馬點(diǎn)

模型展現(xiàn)

模型圖模型介紹

B已知:在△/BC內(nèi)有一點(diǎn)P,則當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，點(diǎn)P到三角形的三個(gè)

頂點(diǎn)力、B、。的距離之和最小

結(jié)論1:當(dāng)△ABC的最大內(nèi)角小丁120。時(shí)產(chǎn)點(diǎn)滿足

NAPB=NBPC=NAPC=120°;

CA結(jié)論2:當(dāng)有一-內(nèi)角不小于120。時(shí)點(diǎn)P與最大角頂點(diǎn)重合

怎么用？

1.找模型.費(fèi)馬點(diǎn)是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)（也叫托里拆利點(diǎn)）

2.用模型.運(yùn)用旋轉(zhuǎn)法，以三角形任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出

費(fèi)馬點(diǎn)位置）

結(jié)論分析

結(jié)論1:當(dāng)△48c的最大內(nèi)角小于120。時(shí)，尸點(diǎn)滿足4P4=N7化。=4PC=120°

證明:如圖①，將△C3P繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到連接PE,BF,

:.△CBPdCFE,PB=EF,CP=CE,CB=CE

又NPCE=/BCF=60。,

：.ABCF,CCEP均為等邊三角形，

/.PC=CE=PE,PA+PB+PC=PA+EF+PE>AF,

J當(dāng)4P4/四點(diǎn)共線時(shí)，以+P8+PC的值最小，最小值為AF的長.

此時(shí)4PC=180"NCPE=180°-60°=120°,

/BPC=/FEC=18（）Q-ZCEP=180°-60°=120°,

NAPB=360°-(/APC+/BPC尸120°,

???NAPB=/BPC=NAPC=120°.

結(jié)論2:當(dāng)△力8c有一個(gè)內(nèi)角不小于120。時(shí)，點(diǎn)P與最大角頂點(diǎn)重合

證明:在△48C中，令/力2()。,在△力4c內(nèi)取一點(diǎn)尸，連接PA，尸4,PC,將C8PC繞點(diǎn)。逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)至/尸EC,使得EC,A三點(diǎn)共線.

:?△EFCdPBC,.

???/ECF=NBCP,

:?NECP=1800-ZECF-ZPCA=1800-ZBCP-ZPCA=1800-ZACB<60Q,

在三角形中，由于小角對小邊，

：.EP<PC,

?：PB+PC+PANEF+EP+R4NFA.

???當(dāng)尸點(diǎn)與。點(diǎn)重合時(shí),P8+PC+%的值最小，即C點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).

圖②

滿分技法

證明過程是把三角形內(nèi)一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和轉(zhuǎn)化為一條折線,且折線的最遠(yuǎn)端兩個(gè)端點(diǎn)是

固定的，因此只有折線成為直線段時(shí)距離之和最小.

巧學(xué)巧記

口訣記憶：

向外作等邊三角形，連線即可,如圖，以ZU8C的三邊為邊向外構(gòu)造等邊ZA8CO,ZViC￡ZUBF,連接

AD,BE,CE則:①40,8瓦C/交于點(diǎn)P,即為費(fèi)馬點(diǎn);②a+P8+PC=4O=8￡=CF.

典例小試

例1

如圖，在ZUBC中,NACB=30。（注：含3（）。特殊角，可考慮繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等邊三角形）

,BC=6,AC=5,P為三角形內(nèi)一點(diǎn)，則PA+PB+PC的最小值為

例1題圖

本題考什么？

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定與性質(zhì).

思路點(diǎn)撥

在證明費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論時(shí)，繞任意頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)均可求證，但在解題時(shí)，要結(jié)合具體題干特點(diǎn)，選擇“有用”的頂

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造.

例2.

如圖，ZUAC為等邊三角形尸是A48C內(nèi)一點(diǎn)，以=3,P8=4,PC=5（注：常見直角三角形的三邊長

3.4,5,考慮將其通過旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中），則4P8的度數(shù)為.

例2題圖

本題考什么？

旋轉(zhuǎn)與等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理逆定理

思路點(diǎn)撥

通過旋轉(zhuǎn),將所求角度轉(zhuǎn)化為其他角度，把%/8,PC放在一個(gè)三角形中,根據(jù)三角形的特殊性解題.

(當(dāng)題中存在常見的直角三角形三邊關(guān)系或其倍數(shù)關(guān)系時(shí)，考慮旋轉(zhuǎn)、平移或構(gòu)造等線段轉(zhuǎn)化)

實(shí)戰(zhàn)實(shí)演

1.如圖，在RA48C中,NACB=90。/。=9,8。=9出，產(chǎn)為AABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA+PB+PC的最小值為

第1題圖

2.在銳角ZUZ?C火力07,々。4-75。/為〃4?。內(nèi)任意一點(diǎn),當(dāng)為1/〃1/。的最小值為17時(shí),Z?C

的長為.

3.如圖，有一個(gè)正方形的花圃,48CQ,園林設(shè)計(jì)的工人要在花廁內(nèi)部找一出水口P,并向力。邊和8、C

兩點(diǎn)裝水管,使得點(diǎn)P到AD的距離和點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)的距離之和最小，已

知花圃的邊長48=6米,水管的單價(jià)為10元/米，求購買水管最少需要多少錢?(結(jié)果保留整數(shù),

◎>-73)

第3題圖

4.如圖，△AAC為等邊三角形，。為△48C內(nèi)部一點(diǎn)，AD=3,BD=3?CD=6.

(1)求/力。氏N/OC與N3OC的度數(shù);

(2)求△48C的面積.

模型4主從聯(lián)動(dòng)模型

模型故事

主從聯(lián)動(dòng)

“主從聯(lián)動(dòng)模型''也叫"瓜豆模型''，出自成語“種瓜得瓜，種豆得豆這類動(dòng)點(diǎn)問題中，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨

另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，我們把它們分別叫做從動(dòng)點(diǎn)和主動(dòng)點(diǎn),從動(dòng)點(diǎn)和主動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一致的，

即所謂“種”圓得圓，“種”線得線（而當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)軌跡是其他圖形忖，從動(dòng)點(diǎn)軌跡必然也是）.解決這一類

問題通常用到旋轉(zhuǎn)和相似.

模型展現(xiàn)

基礎(chǔ)模型

模型一直線軌跡

已知定點(diǎn)力，動(dòng)點(diǎn)P和0,ZPAQ=a,——為定值，點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)

力。

AA已知：當(dāng)/"。=0。時(shí)

A

一Q/、

1_

/結(jié)論1:。點(diǎn)軌跡是一條直線

BPCBPNMC

已知：當(dāng)力PH力。時(shí)，且NP4。為定值

AA—;X\,a時(shí)

F公結(jié)論2：0點(diǎn)軌跡是一條直線，且有

BPCBPP|c

PP}AP

QQ「AQ

怎么用？

1.找模型

“雙動(dòng)點(diǎn)、一個(gè)隨著另一個(gè)動(dòng)”，即考慮“主從聯(lián)動(dòng)模型”

2.用模型

找主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡并確定主動(dòng)點(diǎn)的起始點(diǎn)，根據(jù)主動(dòng)點(diǎn)的起始點(diǎn)確定從動(dòng)點(diǎn)的起始點(diǎn)及

運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)動(dòng)點(diǎn)所在的規(guī)則圖形進(jìn)行計(jì)算

模型二圓軌跡

已知定點(diǎn)/，動(dòng)點(diǎn)尸和0,ZPAQ=a,——為定值，點(diǎn)。在O。上運(yùn)動(dòng)

力。

P已知：當(dāng)/尸w4。時(shí)，且/0/。=0。時(shí)

結(jié)論3：0點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓，且力，。，P始終在一條直線

上

已知：當(dāng)40=24。時(shí)，且/產(chǎn)力。二夕時(shí)

1

應(yīng)、、

結(jié)論4：。點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓，且半徑為0O的一半

滿分技法

當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離相等時(shí),從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長等于主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長;當(dāng)主動(dòng)

從動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑.從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離

點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離不相等時(shí),

主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑主動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離

巧學(xué)巧記

當(dāng)4P時(shí)，主動(dòng)點(diǎn)路徑和從動(dòng)點(diǎn)路徑的大小相等、形狀相同,即兩個(gè)全等的圖形.

模型分析

以圓軌跡的主從聯(lián)動(dòng)為例，求從動(dòng)點(diǎn)的方法如下：

第一步:確定主動(dòng)點(diǎn)P，從動(dòng)點(diǎn)0;

第二步:確定主動(dòng)點(diǎn)P的軌跡（。。）;

第三步:確定ZPAQ的大小及筆的值；

第四步:確定點(diǎn)M的位置及4%的長:令=0_=0￡=絲，求出40和

AOPOAP

QM；

第五步:確定從動(dòng)點(diǎn)。的軌跡（OM）的圓心和半徑.

滿分技法

主從聯(lián)動(dòng)問題變換前后的圖形形狀不變,但大小可能發(fā)生變化，其解題方法就是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)、位似

圖形,本質(zhì)就是對圖形中的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變化和位似變化.

典例小試

例1.（2021宜賓