專項(xiàng)27-圖形的位似變換-重難點(diǎn)題型

圖形的位似變換-重難點(diǎn)題型【知識點(diǎn)1位似圖形】1、定義：一般的，如果兩個相似多邊形任意一組對應(yīng)頂點(diǎn),所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，且有=，那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形，點(diǎn)叫做位似中心2、性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比3、畫圖步驟：（1）尺規(guī)作圖法：①確定位似中心；②確定原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于中心的對應(yīng)點(diǎn)；=3\*GB3③描出新圖形（2）坐標(biāo)法：在平面直角坐標(biāo)系中，將一個多邊形每個頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘于同一個數(shù)，所對應(yīng)的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，它們的相似比為【題型1圖形的位似變換（放大與縮小問題）】【例1】（北碚區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原點(diǎn)O為位似中心，位似比為2，把四邊形OABC放大，則點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（）A．（?12，1） C．（?12，1）或（12【變式1-1】已知△ABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，以O(shè)為位似中心，把△ABC放大2倍得到△A′B′C′，那么A′的坐標(biāo)為．【變式1-2】（成華區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，2），過點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B，將△AOB以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心縮小為原圖形的12，得到△COD，則OCA．1 B．2 C．5 D．2【變式1-3】（龍沙區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，8），點(diǎn)B（8，0），點(diǎn)C在線段AB上，AC＝22，若以原點(diǎn)O為位似中心，把線段AB縮小為原來的12，得到線段A′B′，則點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′坐標(biāo)為【題型2圖形的位似變換（求點(diǎn)的坐標(biāo)問題）】【例2】（陽東區(qū)模擬）如圖，在△AOB中，A，B兩點(diǎn)在x軸的上方，以點(diǎn)O為位似中心，在x軸的下方按1：2的相似比作△AOB的位似圖形△A'OB'．設(shè)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（4，﹣2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）【變式2-1】（灤州市期末）如圖，△ABO縮小后變?yōu)椤鰽'B'O，其中A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為A'、B'，點(diǎn)A、B、A'、B'均在格點(diǎn)上，若線段AB上有點(diǎn)P（m，n），則點(diǎn)P在A'B'上的對應(yīng)點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（）A．（m2，n） B．（m，n） C．（m，n2） D．（【變式2-2】（渝中區(qū)校級三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且面積比為1：9，點(diǎn)A、B、E點(diǎn)在x軸上，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（）A．（3，6） B．（4，8） C．（6，12） D．（6，10）【變式2-3】（蘇州期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣1，0），以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C．若點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2，﹣3），點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（1，0），則點(diǎn)A坐標(biāo)為（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，32） C．（?52，32）【題型3圖形的位似變換（求位似中心問題）】【例3】（河北模擬）如圖，正方形OEFG和正方形ABCD是位似圖形，且點(diǎn)F與點(diǎn)C是一對對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，2）；則它們的位似中心的坐標(biāo)是（）A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣2，0） D．（﹣3，0）【變式3-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC和正方形ADEF的邊OA、AD分別在x軸上，OA＝2，AD＝3，則正方形OABC和正方形ADEF位似中心的坐標(biāo)是．【變式3-2】一個正方形AOBC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，3），O（0，0），B（3，0），C（3，3）．若以原點(diǎn)為位似中心，將這個正方形的邊長縮小為原來的12，則新正方形的中心的坐標(biāo)為【變式3-3】（濱?？h期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC與△A′B′C′的頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．若B（5，2），△ABC與△A′B′C′是位似圖形，則位似中心的坐標(biāo)是.【題型4圖形的位似變換（求面積問題）】【例4】（北碚區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，6），以原點(diǎn)O為位似中心，將△ABC位似縮小后得到△A′B′C′．若點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（1，2），△A′B′C′的面積為1，則△ABC的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．9【變式4-1】（福鼎市校級月考）如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，位似中心點(diǎn)是O，OEEA=34，則四邊形A．34 B．37 C．916【變式4-2】（廣陵區(qū)校級期末）如圖，△DEF和△ABC是位似圖形點(diǎn)O是位似中心，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，分別是OA，OB，OC的中點(diǎn)，若△ABC的面積是8，△DEF的面積是（）A．2 B．4 C．6 D．8【變式4-3】如圖，點(diǎn)O為四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1的位似中心，OA1＝3OA，若四邊形ABCD的面積為5，則四邊形A1B1C1D1的面積為．【題型5位似變換作圖（求點(diǎn)坐標(biāo)問題）】【例5】（肇源縣開學(xué)）如圖，O為原點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，﹣1）（2，1）．（1）以O(shè)為位似中心在y軸左側(cè)將△OBC放大兩倍，并畫出圖形；（2）分別寫出B，C兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)B′，C′的坐標(biāo)；（3）已知M（x，y）為△OBC內(nèi)部一點(diǎn)，寫出M的對應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)．【變式5-1】（新田縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（3，3），B（1，2），C（4，1），點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，1）．（1）畫出將△ABC向左平移5個單位長度的△A1B1C1；（2）畫出和△ABC以點(diǎn)E為位似中心的位似圖△A2B2C2，△A2B2C2和△ABC位似比為2：1，且位于點(diǎn)E的兩側(cè)．（3）直接寫出A2、B2、C2三個點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式5-2】（墾利區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，3），B（4，1），C（1，1）．請解答下列問題：（1）畫出△ABC關(guān)于x軸成軸對稱的△A1B1C1，并直接寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo)；（2）以原點(diǎn)O為位似中心，位似比為1：2，在y軸的左側(cè)，畫出△A1B1C1放大后的圖形△A2B2C2，并直接寫出A2點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式5-3】（順城區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，1），請解答下列問題：（1）在網(wǎng)格內(nèi)將△ABC沿x軸方向向右平移3個單位長度，再沿y軸方向向下平移1個單位長度得到△A1B1C1，點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別是A1，B1，C1，請畫出△A1B1C1，并直接寫出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)；（2）以原點(diǎn)O（0，0）為位似中心，在第一象限內(nèi)將△A1B1C1按相似比1：2放大得到△A2B2C2，請畫出△A2B2C2，并直接寫出點(diǎn)A2，B2，C2的坐標(biāo)．【題型6位似變換作圖（求面積問題）】【例6】（朝陽區(qū)校級期末）如圖是6×6的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．△ABC頂點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，在給定網(wǎng)格中按要求作圖，并保留作圖痕跡．（1）在圖中畫出△ABC中BC邊上的中線AD；（2）在圖中畫出△BMN，使得△BMN與△BCA是位似圖形，且點(diǎn)B為位似中心，點(diǎn)M、N分別在AB、BC邊上，位似比為13（3）連結(jié)MD、ND，四邊形AMND的面積是．【變式6-1】（連南縣期末）已知，△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．（1）以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍，得到△A2B2C2，請在網(wǎng)格紙中畫出△A2B2C2，并寫出點(diǎn)C2的坐標(biāo)．（2）若圖中每個小方格的面積為1，請直接寫出△A2B2C2的面積．【變式6-2】（三水區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，將△OAB放大到原來的2倍后得到△OA'B'，其中A、B在圖中格點(diǎn)上，點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為A'、B'．（1）在第一象限內(nèi)畫出△OA'B'；（2）求△OA'B'的面積．【變式6-3】（青神縣模擬）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣3，1），B（﹣1，1），C（0，3）．（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；（2）在第四象限畫出△ABC以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形△A2B2C2，△ABC與△A2B2C2的位似比為1：2；（3）求以B1、B2、A1、A2四個點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積．

圖形的位似變換-重難點(diǎn)題型（解析版）【知識點(diǎn)1位似圖形】1、定義：一般的，如果兩個相似多邊形任意一組對應(yīng)頂點(diǎn),所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，且有=，那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形，點(diǎn)叫做位似中心2、性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比3、畫圖步驟：（1）尺規(guī)作圖法：①確定位似中心；②確定原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于中心的對應(yīng)點(diǎn)；=3\*GB3③描出新圖形（2）坐標(biāo)法：在平面直角坐標(biāo)系中，將一個多邊形每個頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘于同一個數(shù)，所對應(yīng)的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，它們的相似比為【題型1圖形的位似變換（放大與縮小問題）】【例1】（北碚區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原點(diǎn)O為位似中心，位似比為2，把四邊形OABC放大，則點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（）A．（?12，1） C．（?12，1）或（12【解題思路】直接利用位似圖形的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k，進(jìn)而得出答案．【解答過程】解：∵點(diǎn)A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原點(diǎn)O為位似中心，位似比為2，把四邊形OABC放大，∴點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為：（﹣2，4）或（2，﹣4）．故選：D．【變式1-1】已知△ABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，以O(shè)為位似中心，把△ABC放大2倍得到△A′B′C′，那么A′的坐標(biāo)為（﹣8，4）或（8，﹣4）．【解題思路】根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k解答．【解答過程】解：由平面直角坐標(biāo)系可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，2），以O(shè)為位似中心，把△ABC放大2倍得到△A′B′C′，則A′的坐標(biāo)為（﹣4×2，2×2）或（﹣4×（﹣2），2×（﹣2）），即（﹣8，4）或（8，﹣4），故答案為：（﹣8，4）或（8，﹣4）．【變式1-2】（成華區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，2），過點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B，將△AOB以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心縮小為原圖形的12，得到△COD，則OCA．1 B．2 C．5 D．2【解題思路】直接利用位似圖形的性質(zhì)以及結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)直接得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可得出答案．【解答過程】解：∵點(diǎn)A（4，2），過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B．將△AOB以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心縮小為原圖形的12，得到△COD∴C（2，1），則OC的長度=2故選：C．【變式1-3】（龍沙區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，8），點(diǎn)B（8，0），點(diǎn)C在線段AB上，AC＝22，若以原點(diǎn)O為位似中心，把線段AB縮小為原來的12，得到線段A′B′，則點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′坐標(biāo)為（1，3）或（﹣1，﹣3）【解題思路】利用位似圖形的性質(zhì)，結(jié)合兩圖形的位似比進(jìn)而得出C'點(diǎn)坐標(biāo)．【解答過程】解：∵點(diǎn)A（0，8），點(diǎn)B（8，0），點(diǎn)C在線段AB上，AC＝22，∴AB＝82，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，6），∵以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的12后得到線段A′B∴點(diǎn)C'的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都變?yōu)镃點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的一半，∴點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（1，3）．在第三象限時，點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（﹣1，﹣3），故答案為：（1，3）或（﹣1，﹣3）．【題型2圖形的位似變換（求點(diǎn)的坐標(biāo)問題）】【例2】（陽東區(qū)模擬）如圖，在△AOB中，A，B兩點(diǎn)在x軸的上方，以點(diǎn)O為位似中心，在x軸的下方按1：2的相似比作△AOB的位似圖形△A'OB'．設(shè)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（4，﹣2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）【解題思路】設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)根據(jù)位似變換的坐標(biāo)特點(diǎn)得﹣2?x＝4，﹣2?y＝﹣2，由此求得點(diǎn)B的坐標(biāo)．【解答過程】解：設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），因?yàn)辄c(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（4，﹣2），所以根據(jù)位似變換的坐標(biāo)特點(diǎn)得﹣2?x＝4，﹣2?y＝﹣2，即x＝﹣2，y＝1，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，1）．故選：C．【變式2-1】（灤州市期末）如圖，△ABO縮小后變?yōu)椤鰽'B'O，其中A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為A'、B'，點(diǎn)A、B、A'、B'均在格點(diǎn)上，若線段AB上有點(diǎn)P（m，n），則點(diǎn)P在A'B'上的對應(yīng)點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（）A．（m2，n） B．（m，n） C．（m，n2） D．（【解題思路】根據(jù)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)以及對應(yīng)點(diǎn)A′，B′點(diǎn)的坐標(biāo)得出坐標(biāo)變化規(guī)律，進(jìn)而得出P′的坐標(biāo)．【解答過程】解：∵△ABO縮小后變?yōu)椤鰽′B′O，其中A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′點(diǎn)A、B、A′、B′均在圖中在格點(diǎn)上，即A點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，6），B點(diǎn)坐標(biāo)為：（6，2），A′點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，3），B′點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，1），∴線段AB上有一點(diǎn)P（m，n），則點(diǎn)P在A′B′上的對應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為：（m2故選：D．【變式2-2】（渝中區(qū)校級三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且面積比為1：9，點(diǎn)A、B、E點(diǎn)在x軸上，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（）A．（3，6） B．（4，8） C．（6，12） D．（6，10）【解題思路】根據(jù)位似變換的性質(zhì)得到△OBC∽△OEF，且BCEF=1【解答過程】解：∵正方形ABCD中的點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），∴OA＝1，AB＝2．∴OB＝3∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且面積比為1：9，即相似比為1：3，∴△OBC∽△OEF，且BCEF∴OBOE∴OBOB+BE=解得，BE＝6，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3，6），故選：A．【變式2-3】（蘇州期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣1，0），以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C．若點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2，﹣3），點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（1，0），則點(diǎn)A坐標(biāo)為（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，32） C．（?52，32）【解題思路】如圖，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，過點(diǎn)A′作A′F⊥x軸于F．利用相似三角形的性質(zhì)求出AE，OE，可得結(jié)論．【解答過程】解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，過點(diǎn)A′作A′F⊥x軸于F．∵B（﹣2，0），C（﹣1，0），B′（1，0），A′（2，﹣3）∴OB＝2，OC＝OB′＝1，OF＝2，A′F＝3，∴BC＝1，CB′＝2，CF＝3，∵△ABC∽△A′B′C，∴AEA′F∴AE=3∵∠ACE＝∠A′CF，∠AEC＝∠A′FC＝90°，∴△AEC∽△A′FC，∴ECCF∴EC=3∴OE＝EC+OC=5∴A（?52，故選：C．【題型3圖形的位似變換（求位似中心問題）】【例3】（河北模擬）如圖，正方形OEFG和正方形ABCD是位似圖形，且點(diǎn)F與點(diǎn)C是一對對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，2）；則它們的位似中心的坐標(biāo)是（）A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣2，0） D．（﹣3，0）【解題思路】兩個位似圖形的主要特征是：每對位似對應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線；不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行．則位似中心就是兩對對應(yīng)點(diǎn)的延長線的交點(diǎn)．【解答過程】解：∵點(diǎn)F與點(diǎn)C是一對對應(yīng)點(diǎn)，可知兩個位似圖形在位似中心同旁，位似中心就是CF與x軸的交點(diǎn)，設(shè)直線CF解析式為y＝kx+b，將C（4，2），F(xiàn)（1，1）代入，得4k+b=2k+b=1解得k=1即y=13x令y＝0得x＝﹣2，∴O′坐標(biāo)是（﹣2，0）；故選：C．【變式3-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC和正方形ADEF的邊OA、AD分別在x軸上，OA＝2，AD＝3，則正方形OABC和正方形ADEF位似中心的坐標(biāo)是（﹣4，0）或（2，65）【解題思路】直接利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合比例式得出位似中心的坐標(biāo)即可．【解答過程】解：連接FC并延長交x軸于點(diǎn)M，由題意可得：△MOC∽△MAF，則COAF∴MOMO+2解得：MO＝4，故M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣4，0）．連接DC，OE，交點(diǎn)為N，可得△CNO∽△END，則COED解得：AN=6故N點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，65綜上所述：正方形OABC和正方形ADEF位似中心的坐標(biāo)是（﹣4，0）或（2，65故答案為：（﹣4，0）或（2，65【變式3-2】一個正方形AOBC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，3），O（0，0），B（3，0），C（3，3）．若以原點(diǎn)為位似中心，將這個正方形的邊長縮小為原來的12，則新正方形的中心的坐標(biāo)為（34，34）或（?34【解題思路】分點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)在第一象限和第三象限兩種情況，根據(jù)位似變換和正方形的性質(zhì)解答可得．【解答過程】解：如圖，①當(dāng)點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)在第一象限時，由位似比為1：2知點(diǎn)A′（0，32）、B′（32，0）、C′（32∴該正方形的中心點(diǎn)的P的坐標(biāo)為（34，3②當(dāng)點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)在第三象限時，由位似比為1：2知點(diǎn)A″（0，?32）、B″（?32，0）、C″（∴此時新正方形的中心點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（?34，故答案為：（34，34）或（?3【變式3-3】（濱海縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC與△A′B′C′的頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．若B（5，2），△ABC與△A′B′C′是位似圖形，則位似中心的坐標(biāo)是（8，0）．【解題思路】根據(jù)位似圖形的主要特征：每對位似對應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線畫圖解答．【解答過程】解：直線AA′與直線BB′的交點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），所以位似中心的坐標(biāo)為（8，0）．故答案為：（8，0）【題型4圖形的位似變換（求面積問題）】【例4】（北碚區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，6），以原點(diǎn)O為位似中心，將△ABC位似縮小后得到△A′B′C′．若點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（1，2），△A′B′C′的面積為1，則△ABC的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．9【解題思路】利用對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化即可得出相似比；利用位似圖形面積比等于相似比的平方進(jìn)而得出答案．【解答過程】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且點(diǎn)A（3，6），A′（1，2），∴△ABC與△A′B′C′的相似比等于：3：1．∴△A′B′C′與△ABC的面積之比為9：1．∵△A′B′C′的面積為1，∴△ABC的面積為9．故選：D．【變式4-1】（福鼎市校級月考）如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，位似中心點(diǎn)是O，OEEA=34，則四邊形A．34 B．37 C．916【解題思路】根據(jù)題意求出兩個相似多邊形的相似比，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)解答．【解答過程】解：∵四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，位似中心點(diǎn)是點(diǎn)O，OEEA∴OEOA則S四邊形EFGHS四邊形ABCD=（EFAB）2＝（故選：D．【變式4-2】（廣陵區(qū)校級期末）如圖，△DEF和△ABC是位似圖形點(diǎn)O是位似中心，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，分別是OA，OB，OC的中點(diǎn)，若△ABC的面積是8，△DEF的面積是（）A．2 B．4 C．6 D．8【解題思路】根據(jù)點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是OA，OB，OC的中點(diǎn)知DFAC=12，由位似圖形性質(zhì)得S△DEFS△ABC【解答過程】解：∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是OA，OB，OC的中點(diǎn)，∴DFAC∴△DEF與△ABC的相似比是1：2，∴S△DEFS△ABC=（DFAC解得：S△DEF＝2，故選：A．【變式4-3】如圖，點(diǎn)O為四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1的位似中心，OA1＝3OA，若四邊形ABCD的面積為5，則四邊形A1B1C1D1的面積為45．【解題思路】直接利用位似圖形得出兩圖形的相似比和面積比，進(jìn)而利用四邊形ABCD的面積為5，求出四邊形A1B1C1D1的面積．【解答過程】解：∵點(diǎn)O為四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1的位似中心，OA1＝3OA，∴四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1的相似比為：1：3，∴四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1的面積比為：1：9，∵四邊形ABCD的面積為5，∴四邊形A1B1C1D1的面積為：5×9＝45．故答案為：45．【題型5位似變換作圖（求點(diǎn)坐標(biāo)問題）】【例5】（肇源縣開學(xué)）如圖，O為原點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，﹣1）（2，1）．（1）以O(shè)為位似中心在y軸左側(cè)將△OBC放大兩倍，并畫出圖形；（2）分別寫出B，C兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)B′，C′的坐標(biāo)；（3）已知M（x，y）為△OBC內(nèi)部一點(diǎn)，寫出M的對應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)．【解題思路】（1）利用位似變換的性質(zhì)分別作出B，C的對應(yīng)點(diǎn)B′，C′即可．（2）根據(jù)B′，C′的位置，寫出坐標(biāo)即可．（3）探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．【解答過程】解：（1）如圖，△OB′C′即為所求．（2）B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）．（3）M′（﹣2x，﹣2y）．【變式5-1】（新田縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（3，3），B（1，2），C（4，1），點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，1）．（1）畫出將△ABC向左平移5個單位長度的△A1B1C1；（2）畫出和△ABC以點(diǎn)E為位似中心的位似圖△A2B2C2，△A2B2C2和△ABC位似比為2：1，且位于點(diǎn)E的兩側(cè)．（3）直接寫出A2、B2、C2三個點(diǎn)的坐標(biāo)．【解題思路】（1）分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可．（2）分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A2，B2，C2即可．（3）根據(jù)點(diǎn)的位置確定坐標(biāo)即可．【解答過程】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求作．（2）如圖，△A2B2C2即為所求作．（3）由圖可知：A2（﹣3，﹣3），B2（1，﹣1），C2（﹣5，1）．【變式5-2】（墾利區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，3），B（4，1），C（1，1）．請解答下列問題：（1）畫出△ABC關(guān)于x軸成軸對稱的△A1B1C1，并直接寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo)；（2）以原點(diǎn)O為位似中心，位似比為1：2，在y軸的左側(cè)，畫出△A1B1C1放大后的圖形△A2B2C2，并直接寫出A2點(diǎn)的坐標(biāo)．【解題思路】（1）利用軸對稱的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可．（2）利用位似變換的性質(zhì)分別作出A1，B1，C1的對應(yīng)點(diǎn)A2，B2，C2即可．【解答過程】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求，B1（4，﹣1）；（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求，A2（﹣2，6）．【變式5-3】（順城區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，1），請解答下列問題：（1）在網(wǎng)格內(nèi)將△ABC沿x軸方向向右平移3個單位長度，再沿y軸方向向下平移1個單位長度得到△A1B1C1，點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別是A1，B1，C1，請畫出△A1B1C1，并直接寫出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)；（2）以原點(diǎn)O（0，0）為位似中心，在第一象限內(nèi)將△A1B1C1按相似比1：2放大得到△A2B2C2，請畫出△A2B2C2，并直接寫出點(diǎn)A2，B2，C2的坐標(biāo)．【解題思路】（1）分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可．（2）分別作出A1，B1，C1的對應(yīng)點(diǎn)A2，B2，C2即可．【解答過程】解：（1）如圖，△A1B1C1如圖所示，A1（1，2），B1（2，1），C1（2，0）．（2）如圖，△A2B2C2如圖所示，A2（2，4），B2（4，2），C2（4，0）．【題型6位似變換作圖（求面積問題）】【例6】（朝陽區(qū)校級期末）如圖是6×6的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．△ABC頂點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，在給定網(wǎng)格中按要求作圖，并保留作圖痕跡．（1）在圖中畫出△ABC中BC邊上的中線AD；（2）在圖中畫出△BMN，使得△BMN與△BCA是位似圖形，且點(diǎn)B為位似中心，點(diǎn)M、N分別在AB、BC邊上，位似比為13（3）連結(jié)MD、ND，四邊形AMND的面積是