專項(xiàng)02 證明圓的切線的常用方法

專項(xiàng)02證明圓的切線的常用方法類型一交點(diǎn)已知,連半徑證垂直方法一平行線性質(zhì)法證垂直1.如圖,AB為☉O的直徑,E為☉O上一點(diǎn),∠EAB的平分線AC交☉O于C點(diǎn),過C點(diǎn)作CD⊥AE交AE的延長線于D點(diǎn),直線CD與射線AB交于P點(diǎn).求證:DC為☉O的切線.方法二利用等角轉(zhuǎn)換法證垂直2.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中點(diǎn)O為圓心,AB為直徑的圓交AC于D,E是BC的中點(diǎn),直線DE交BA的延長線于F.求證:FE是圓O的切線.方法三利用全等法證垂直3.如圖,以Rt△ABC的直角邊AC為直徑作☉O,交斜邊AB于點(diǎn)D,E為BC邊的中點(diǎn),連接DE.請判斷DE是不是☉O的切線,并證明你的結(jié)論.4.如圖,已知AB是☉O的直徑,D是☉O上一點(diǎn),且∠A=∠CDB=∠COB.求證:CB是☉O的切線.方法四勾股定理逆定理法證垂直5.【幾何直觀】【新考法】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)C(2,0)為圓心,3為半徑的圓交x軸正半軸于點(diǎn)A,交y軸正半軸于點(diǎn)B,過點(diǎn)B的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)D-5(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求證:直線BD是☉C的切線.方法五特殊角計(jì)算法證垂直6.如圖,A,B是☉O上的兩點(diǎn),且AB=OB,連接OB并延長到點(diǎn)C,使BC=OB,連接AC.求證:AC是☉O的切線.類型二交點(diǎn)未知,作垂直證半徑方法六角平分線性質(zhì)法證半徑7.如圖,△ABC中,∠ACB=90°,BO為△ABC的角平分線,以點(diǎn)O為圓心,OC為半徑作☉O與線段AC交于點(diǎn)D.求證:AB為☉O的切線.方法七全等三角形法證半徑8.如圖,在△ABC中,O為AC上一點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心,OC為半徑作圓,與BC相切于點(diǎn)C,過點(diǎn)A作AD⊥BO交BO的延長線于點(diǎn)D,且∠AOD=∠BAD.求證:AB為☉O的切線.

專項(xiàng)02證明圓的切線的常用方法答案全解全析1.證明如圖,連接OC,∵AC是∠EAB的平分線,∴∠DAC=∠OAC.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD,∴∠OCP=∠D=90°,∵OC為☉O的半徑,∴DC為☉O的切線.2.證明連接OD,如圖.∵AB為直徑,∴∠ADB=∠BDC=90°,∵E是BC的中點(diǎn),∴DE=12∴∠EDC=∠ECD.又∵∠ECD+∠CBD=90°,∠ABD+∠CBD=90°,∴∠ECD=∠ABD,∴∠EDC=∠ABD.∵OB=OD,∴∠ODB=∠OBD,∴∠EDC=∠ODB,∴∠ODB+∠BDE=∠EDC+∠BDE=90°,即∠ODE=90°,∵OD為☉O的半徑,∴FE是圓O的切線.3.解析DE是☉O的切線.證明:連接OE,OD,CD,如圖.∵AC為☉O的直徑,∴∠ADC=90°,∴∠BDC=90°,在Rt△CDB中,E為BC邊的中點(diǎn),∴CE=DE.在△OEC和△OED中,OE=OE,∴△OEC≌△OED(SSS).∴∠ODE=∠OCE=90°.∵OD為☉O的半徑,∴DE是☉O的切線.4.證明連接OD,如圖.∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°,∴∠ADO+∠ODB=90°.∵OA=OD,∴∠A=∠ODA.∵∠A=∠CDB,∴∠ODA=∠CDB,∴∠CDB+∠ODB=90°,∴∠ODC=90°.∵∠A=∠COB,∴AD∥OC,∴∠ODA=∠DOC,∴∠BOC=∠DOC.∵OD=OB,OC=OC,∴△CDO≌△CBO(SAS),∴∠CBO=∠ODC=90°.∵OB是☉O的半徑,∴CB是☉O的切線.5.解析本題結(jié)合平面直角坐標(biāo)系考查切線的判定.(1)∵點(diǎn)C(2,0),圓C的半徑為3,∴OC=2,AC=3,∴OA=OC+CA=5,∴A(5,0).如圖,連接CB,在Rt△OCB中,OB=CB2-O(2)證明:∵點(diǎn)D-52,0∴DB2=BO2+DO2=5+254∵CB=3,∴DB2+CB2=454+9=81∴△DBC是直角三角形,∴BC⊥DB.∵BC是☉C的半徑,∴直線BD是☉C的切線.6.證明連接OA(圖略),∵AB=BO=AO,∴△OAB是等邊三角形.∴∠AOB=∠OBA=∠OAB=60°.∵BC=OB,∴BC=AB,∴∠BAC=∠C.∵∠OBA=∠BAC+∠C=60°,∴∠BAC=∠C=30°.∴∠OAC=∠OAB+∠BAC=90°.∴OA⊥AC,∵點(diǎn)A在☉O上,∴AC是☉O的切線.7.證明過O作OH⊥AB于H,如圖所示.∵∠ACB=90°,∴OC⊥BC.∵BO為△ABC的角平分線,OH⊥AB,∴OH=OC,即OH為☉O的半徑.∴AB為☉O的切線.8.證明過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E,如圖.∵AD⊥BO,∴∠D=90°,∴∠BAD+∠ABD=90°,∠AOD+∠OAD=90°.∵∠AOD=∠BAD,∴∠ABD=∠OAD.∵BC為☉O的切線,∴AC⊥B