26.3 實(shí)踐與探索 同步練習(xí)

第26章二次函數(shù)26.3實(shí)踐與探索基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點(diǎn)1應(yīng)用二次函數(shù)解決拋物線形問題1.(2023山西忻州原平模擬)為了使居住環(huán)境更加美觀,某小區(qū)建造了一個小型噴泉,水流從地面上的點(diǎn)O噴出,某方向上水流的形狀如圖所示,落點(diǎn)A到點(diǎn)O的距離為4,水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m)之間近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=ax2+245A.245m B.5m C.112m2.(2023福建壽寧模擬)廊橋是中國古老的文化遺產(chǎn),下圖是某座下方為拋物線形的廊橋示意圖.已知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-140x2A.85米 B.10米 C.65米 D.83米3.(2023山西長治上黨模擬)擲實(shí)心球是某市中考體育測試中的一個項(xiàng)目,如圖所示,一名男生擲實(shí)心球,實(shí)心球行進(jìn)的路線是一段拋物線,已知實(shí)心球出手時離地面2米,當(dāng)實(shí)心球行進(jìn)的水平距離為4米時達(dá)到最高點(diǎn),此時離地面3.6米,這名男生此次拋擲實(shí)心球的成績是米.4.(2023吉林長春凈月高新區(qū)模擬)如圖1所示的是可移動的灌溉裝置,以水平地面為x軸,點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,噴水頭A在y軸上,如圖2所示,其水柱的高度y(單位:m)與水柱距離噴水頭的水平距離x(單位:m)近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-427x2+89x+535.(2023河南洛陽嵩縣模擬)如圖,排球運(yùn)動員站在點(diǎn)M處練習(xí)發(fā)球,將球從M點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出,把球看成點(diǎn),其運(yùn)行的高度y(m)與運(yùn)行的水平距離x(m)滿足拋物線解析式.已知球達(dá)到最高點(diǎn)D時,離地面的高度ED為2.6m,與M點(diǎn)的水平距離EM為6m.(1)在圖中建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,并求出此時的拋物線解析式;(2)球網(wǎng)BC與點(diǎn)M的水平距離為9m,高度為2.43m.球場的邊界距M點(diǎn)的水平距離為18m.該球員判斷此次發(fā)出的球能順利過網(wǎng)并不會出界,你認(rèn)為他的判斷對嗎?請說明理由.知識點(diǎn)2應(yīng)用二次函數(shù)解決最值問題6.(2023吉林長春東北師大附中凈月實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末)如圖,點(diǎn)P是拋物線y=-x2+2x+2在第一象限上的點(diǎn),過點(diǎn)P分別向x軸和y軸引垂線,垂足分別為A,B,則四邊形OAPB周長的最大值為.7.(2023遼寧遼陽二中協(xié)作校模擬)為鼓勵大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè),某市政府出臺相關(guān)政策,該市企業(yè)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售,政府還給予大學(xué)畢業(yè)生一定補(bǔ)貼.王華按相關(guān)政策投資銷售某品牌服裝,已知這種品牌服裝的成本價為每件100元,每件政府補(bǔ)貼20元,每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關(guān)系滿足一次函數(shù):y=-3x+900.(1)若王華將銷售單價定為160元,那么政府每個月補(bǔ)貼多少元?(2)設(shè)王華每月獲得的總收益為w(元),當(dāng)銷售單價定為多少元時,每月的總收益最大?最大總收益是多少元?(每月總收益=每月銷售利潤+每月政府補(bǔ)貼)8.(2023遼寧撫順望花模擬)2022年12月,神舟十四號載人飛船成功返回地球,航天模型、航天玩具備受青少年的喜愛.某公司在百貨大樓銷售神舟飛船紀(jì)念章,已知神舟飛船紀(jì)念章的成本價為每枚8元,銷售單價不低于成本價且不高于18元.經(jīng)銷售發(fā)現(xiàn),日銷售量y(枚)與銷售單價x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:銷售單價x(元)…91011…日銷售量y(枚)…210020001900…(1)請求出日銷售量y與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)銷售單價定為多少時,銷售這種神舟飛船紀(jì)念章的日獲利最大?最大利潤為多少元?知識點(diǎn)3二次函數(shù)與一元二次方程9.在平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b、c為常數(shù),且a≠0)的圖象如下,已知其對稱軸為直線x=1,則下列判斷錯誤的是()A.一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根B.一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根可能為x1=13,x2=C.b2-4ac>0D.一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根一定滿足x1+x2=110.(2023吉林長春雙陽期末)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c為常數(shù))的x與y的部分對應(yīng)值如表:x3.233.243.253.26y-0.06-0.08-0.030.09判斷方程ax2+bx+c=0.02的一個解x的取值范圍是()A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.2611.(2023湖南衡陽北斗星實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)拋物線y=x2-2x+0.5如圖所示,利用圖象可得方程x2-2x+0.5=0的近似解為(精確到0.1).

12.如圖所示的是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象,對稱軸為直線x=2.若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根,-1<x1<0,則x2的取值范圍是.13.(2023河南駐馬店驛城期中)已知二次函數(shù)y=x2-mx+m-3,求證:(1)無論m為何實(shí)數(shù),此二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個不同的交點(diǎn);(2)當(dāng)m=1時,函數(shù)有最小值-94知識點(diǎn)4二次函數(shù)與不等式14.(2023寧夏吳忠韋州中學(xué)模擬)在同一平面直角坐標(biāo)系中,y1=-x2+4x和y2=2x的圖象如圖所示,則不等式y(tǒng)1>y2的解集是()A.x<0 B.0<x<2 C.x<0或x>2 D.x>215.(2023遼寧葫蘆島綏中利偉實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)二次函數(shù)y=-x2+bx+c的部分圖象如圖所示,由圖象可知,不等式-x2+bx+c<0的解集為.

16.(2023福建福州鼓樓三牧中學(xué)期末)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c是常數(shù))的圖象如圖所示,則不等式ax2+(b-2)x+c>0的解集是.

能力提升全練17.(2023天津中考)如圖,要圍一個矩形菜園ABCD,其中一邊AD是墻,且AD的長不能超過26m,其余的三邊AB,BC,CD用籬笆圍成,且這三邊的和為40m.有下列結(jié)論:①AB的長可以為6m;②AB的長有兩個不同的值可以滿足菜園ABCD的面積為192m2;③菜園ABCD面積的最大值為200m2.其中,正確結(jié)論的個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3[變式1·兩邊有墻](2023湖南衡陽南岳期末)在美化校園的活動中,某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角(兩邊足夠長),用28米長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD(籬笆只圍AB,BC兩邊),設(shè)AB=m米.若在P處有一棵樹與墻CD,AD的距離分別是15米和6米,要將這棵樹圍在花園內(nèi)(含邊界,不考慮樹的粗細(xì)),則花園面積S的最大值為()A.193平方米 B.194平方米 C.195平方米 D.196平方米[變式2·一邊有墻且有間隔](2023山東菏澤中考)某學(xué)校為美化學(xué)校環(huán)境,打造綠色校園,決定用籬笆圍成一個一面靠墻(墻足夠長)的矩形花園,用一道籬笆把花園分為A,B兩塊(如圖所示),花園里種滿牡丹和芍藥.學(xué)校已訂購籬笆120米.(1)設(shè)計一個使花園面積最大的方案,并求出其最大面積;(2)在花園面積最大的條件下,A,B分別種植牡丹和芍藥,每平方米種植2株,已知牡丹每株售價25元,芍藥每株售價15元,學(xué)校計劃購買費(fèi)用不超過5萬元,求最多可以購買多少株牡丹.18.(2023廣東湛江模擬)已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c與一次函數(shù)y=mx+n的圖象相交于點(diǎn)A(-2,4)和點(diǎn)B(6,-2),則不等式-x2+bx+c>mx+n的解集是.

19.(2023湖南郴州中考)已知拋物線y=x2-6x+m與x軸有且只有一個交點(diǎn),則m=.[變式1·與x軸有兩個交點(diǎn)](2023吉林長春二道力旺實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)關(guān)于x的函數(shù)y=(k-2)x2-3x+1的圖象與x軸有兩個交點(diǎn),則k的取值范圍是.

[變式2·與x軸沒有交點(diǎn)](2023四川成都武侯模擬)已知二次函數(shù)y=-x2-4x+k的圖象的頂點(diǎn)在x軸下方,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

[變式3·與坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn)](2023江蘇無錫東林中學(xué)教育集團(tuán)期末)把二次函數(shù)y=x2+4x-10的圖象向左平移1個單位長度,再向上平移m個單位長度(m>0),如果平移后所得拋物線與坐標(biāo)軸有三個公共點(diǎn),那么m應(yīng)滿足的條件為.

20.(2023陜西寶雞模擬)對于向上拋的物體,當(dāng)空氣阻力忽略不計時,有下面的關(guān)系式:h=v0t-12gt2(h是物體離起點(diǎn)的高度,v0是初速度,g是重力系數(shù),取10m/s2(1)球拋出后經(jīng)多少秒回到起點(diǎn)?(2)球拋出幾秒時離起點(diǎn)的高度達(dá)到1.8m?(3)球離起點(diǎn)的高度能達(dá)到6m嗎?請說明理由.21.(2023四川南充中考)某工廠計劃從A,B兩種產(chǎn)品中選擇一種生產(chǎn)并銷售,每日產(chǎn)銷x件.已知A產(chǎn)品成本價為m元/件(m為常數(shù),且4≤m≤6),售價為8元/件,每日最多產(chǎn)銷500件,同時每日共支付專利費(fèi)30元;B產(chǎn)品成本價為12元/件,售價為20元/件,每日最多產(chǎn)銷300件,同時每日支付專利費(fèi)y元,y(元)與x(件)滿足關(guān)系式y(tǒng)=80+0.01x2.(1)若產(chǎn)銷A,B兩種產(chǎn)品的日利潤分別為w1元,w2元,請分別寫出w1,w2與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;(2)分別求出產(chǎn)銷A,B兩種產(chǎn)品的最大日利潤;(A產(chǎn)品的最大日利潤用含m的代數(shù)式表示)(3)為獲得最大日利潤,該工廠應(yīng)該選擇產(chǎn)銷哪種產(chǎn)品?并說明理由.注:利潤=(售價-成本)×產(chǎn)銷數(shù)量-專利費(fèi)素養(yǎng)探究全練22.(2023內(nèi)蒙古赤峰中考)乒乓球被譽(yù)為中國國球.2023年的世界乒乓球錦標(biāo)賽中,中國隊(duì)包攬了五個項(xiàng)目的冠軍,成績的取得與平時的刻苦訓(xùn)練和精準(zhǔn)的技術(shù)分析是分不開的.圖2是乒乓球臺(圖1)的截面示意圖,一位運(yùn)動員從球臺邊緣正上方以28.75cm的高度(OA=28.75cm)擊球,將乒乓球向正前方擊打到對面球臺,乒乓球的運(yùn)行路線近似是拋物線的一部分.乒乓球到球臺的豎直高度記為y(單位:cm),乒乓球運(yùn)行的水平距離記為x(單位:cm),測得如下數(shù)據(jù):水平距離x/cm0105090130170230豎直高度y/cm28.7533454945330(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,描出表格中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn)(x,y),并畫出表示乒乓球運(yùn)行軌跡形狀的大致圖象;(2)①當(dāng)乒乓球到達(dá)最高點(diǎn)時,與球臺之間的距離是cm,當(dāng)乒乓球落在對面球臺上時,到起始點(diǎn)的水平距離是cm;

②求滿足條件的拋物線解析式;(3)技術(shù)分析:如果只上下調(diào)整擊球高度OA,乒乓球的運(yùn)行軌跡形狀不變,那么為了確保乒乓球既能過網(wǎng),又能落在對面球臺上,需要計算出OA的取值范圍,以利于有針對性的訓(xùn)練.如圖2,乒乓球臺OB長274cm,球網(wǎng)CD高15.25cm.現(xiàn)在已經(jīng)計算出乒乓球恰好過網(wǎng)的擊球高度OA的值約為1.27cm.請你計算出乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點(diǎn)B處時,擊球高度OA的值(乒乓球的大小忽略不計).

第26章二次函數(shù)26.3實(shí)踐與探索答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.A∵點(diǎn)A到點(diǎn)O的距離為4,∴A(4,0),把A(4,0)代入y=ax2+245x得16a+245×4=0,∴a=-65,∴y=-65x2+245x,∵y=-65(x2-4x+4-4)=-652.A∵兩盞警示燈E、F距水面都是8米,∴兩盞警示燈之間的水平距離就是直線y=8與拋物線的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)差的絕對值,∴令-140x2+10=8,解得x1=45,x2=-45,∴兩盞警示燈之間的水平距離EF=|x1-x2|=|45-(-45)|=853.10解析由題意得拋物線的頂點(diǎn)為(4,3.6),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-4)2+3.6,把(0,2)代入解析式可求得a=-110,∴拋物線的解析式為y=-110(x-4)2+3.6,當(dāng)y=0時,即-110(x-4)2+3.6=0,解得x14.0≤x≤6且x≠3解析由題意可得,當(dāng)x=0時,y=53,∴A0,53,∵y=-427x2+89x+53=-4275.解析(1)如圖,以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)A,E,D的坐標(biāo)分別為(0,2),(6,0),(6,2.6),由題意知拋物線的頂點(diǎn)為(6,2.6),∴設(shè)球運(yùn)行的高度y(m)與運(yùn)行的水平距離x(m)的拋物線解析式為y=a(x-6)2+2.6,將點(diǎn)A(0,2)代入得2=36a+2.6,∴a=-160,故此時拋物線的解析式為y=-160(x-6)(2)該球員的判斷不對,理由如下:當(dāng)x=9時,y=-160×(9-6)2+2.6=2.45>2.43,∴球能過網(wǎng).當(dāng)y=0時,即-160(x-6)2+2.6=0,解得x1=6+239>18,x2=6-26.17解析易知四邊形OAPB為矩形,設(shè)P(x,-x2+2x+2),四邊形OAPB的周長=2PA+2OA=-2x2+4x+4+2x=-2x2+6x+4=-2x-322+1727.解析(1)當(dāng)x=160時,y=-3×160+900=420,∵每件政府補(bǔ)貼20元,∴政府每個月補(bǔ)貼420×20=8400(元).(2)根據(jù)題意得w=(x-100+20)(-3x+900)=-3(x-190)2+36300,∵-3<0,∴當(dāng)x=190時,w取得最大值,最大值為36300,∴當(dāng)銷售單價定為190元時,每月的總收益最大,最大總收益是36300元.8.解析(1)設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0),把x=9,y=2100和x=10,y=2000代入上式得9k+b-100x+3000.(2)設(shè)日銷售利潤為w元,則w=(x-8)(-100x+3000)=-100x2+3800x-24000=-100(x-19)2+12100,∵-100<0,8≤x≤18,∴當(dāng)x=18時,w最大值=-100×(18-19)2+12100=12000,故當(dāng)銷售單價定為18元時,銷售這種神舟飛船紀(jì)念章的日獲利最大,最大利潤為12000元.9.D由題圖可知選項(xiàng)A、B、C均正確;設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1,x2,且x1<1,x2>1,則有1-x1=x2-1,∴x1+x2=2.故選D.10.D由題表可以看出,當(dāng)x取3.25與3.26之間的某個數(shù)時,y=0.02,即這個數(shù)是ax2+bx+c=0.02的一個根,故ax2+bx+c=0.02的一個解x的取值范圍為3.25<x<3.26.11.1.7或0.3解析∵拋物線y=x2-2x+0.5與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程x2-2x+0.5=0的兩個根,∴令y=0,即x2-2x+0.5=0,解得x1≈0.3,x2≈1.7,∴方程x2-2x+0.5=0的兩個近似根是1.7或0.3.12.4<x2<5解析(解法1:利用拋物線的對稱性)根據(jù)題中圖象可知,原點(diǎn)與表示4的點(diǎn)到直線x=2的距離相等,表示-1的點(diǎn)與表示5的點(diǎn)到直線x=2的距離相等,∵-1<x1<0,∴4<x2<5.(解法2:利用不等式的性質(zhì))已知拋物線的對稱軸為直線x=2,∴x1+x22=2,∴x2=4-x113.證明(1)Δ=(-m)2-4(m-3)=m2-4m+12=(m-2)2+8,∵(m-2)2≥0,∴Δ>0,∴無論m為何實(shí)數(shù),此二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個不同的交點(diǎn).(2)當(dāng)m=1時,二次函數(shù)的解析式為y=x2-x-2.∵y=x2-x-2=x-122-14.B∵拋物線y1=-x2+4x和直線y2=2x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0和2,∴不等式-x2+4x>2x的解集為0<x<2,即不等式y(tǒng)1>y2的解集為0<x<2.15.x<-1或x>3解析∵拋物線的對稱軸為直線x=1,拋物線與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),∴拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),∴不等式-x2+bx+c<0的解集為x<-1或x>3.16.x<1或x>3解析整理ax2+(b-2)x+c>0得ax2+bx+c-2x>0,即ax2+bx+c>2x,作y=2x的圖象,如圖,由圖象可知,不等式ax2+bx+c>2x的解集為x<1或x>3.能力提升全練17.C設(shè)AD的長為xm,則AB的長為40?x2m,當(dāng)AB=6m,即40?x2=6時,解得x=28,∵AD的長不能超過26m,∴x≤26,故①不正確;∵菜園ABCD的面積為192m2,∴x·40?x2=192,整理得x2-40x+384=0,解得x=24或x=16,∴AB的長有兩個不同的值可以滿足菜園ABCD的面積為192m2,故②正確;設(shè)菜園ABCD的面積為ym2,根據(jù)題意得y=x·40?x2=-12[變式1]C∵AB=m米,∴BC=(28-m)米,則S=AB·BC=m(28-m)=-m2+28m,即S=-m2+28m(0<m<28).由題意可知m≥6,28?m∴當(dāng)m=13時,S最大=195,即花園面積S的最大值為195平方米.[變式2]解析(1)設(shè)垂直于墻的一邊長x米,圍成的矩形面積為S平方米,則平行于墻的一邊長(120-3x)米,根據(jù)題意得S=x(120-3x)=-3x2+120x=-3(x-20)2+1200,∵-3<0,∴當(dāng)x=20時,S取得最大值,最大值為1200,∵120-3x=120-3×20=60,∴設(shè)計方案為垂直于墻的一邊長20米,平行于墻的一邊長60米,花園面積最大為1200平方米.(2)設(shè)購買牡丹m株,則購買芍藥1200×2-m=(2400-m)株,∵學(xué)校計劃購買費(fèi)用不超過5萬元,∴25m+15(2400-m)≤50000,解得m≤1400,∴最多可以購買1400株牡丹.18.-2<x<6解析根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖象如下,觀察函數(shù)圖象知,當(dāng)-2<x<6時,拋物線在直線的上方,即-x2+bx+c>mx+n,∴不等式-x2+bx+c>mx+n的解集是-2<x<6.19.9解析∵拋物線y=x2-6x+m與x軸有且只有一個交點(diǎn),∴方程x2-6x+m=0有唯一解,即Δ=b2-4ac=36-4m=0,解得m=9.[變式1]答案k<174解析本題易因忽略拋物線表達(dá)式的二次項(xiàng)系數(shù)不為0而致錯.根據(jù)題意得(-3)2-4(k-2)>0,[變式2]答案k<-4解析∵二次函數(shù)y=-x2-4x+k中a=-1<0,∴該函數(shù)的圖象開口向下,∵該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸下方,∴二次函數(shù)y=-x2-4x+k的圖象與x軸沒有交點(diǎn),∴Δ=(-4)2-4×(-1)×k<0,解得k<-4.[變式3]答案0<m<14且m≠5解析函數(shù)解析式可整理為y=(x+2)2-14,由題意可得平移后的函數(shù)解析式為y=(x+2+1)2-14+m=x2+6x-5+m,∵平移后所得拋物線與坐標(biāo)軸有三個公共點(diǎn),∴拋物線與x軸有兩個交點(diǎn),即方程x2+6x-5+m=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=62-4×1×(m-5)>0,解得m<14,當(dāng)m=5時,函數(shù)為y=x2+6x,過坐標(biāo)原點(diǎn),不符合題意,∴m應(yīng)滿足的條件為0<m<14且m≠5.20.解析∵初速度為10m/s,g取10m/s2,∴h=10t-12×10t2=10t-5t2(1)當(dāng)h=0時,即10t-5t2=0,解得t=0(舍去)或t=2,∴球拋出后經(jīng)2秒回到起點(diǎn).(2)當(dāng)h=1.8時,10t-5t2=1.8,解得t=0.2或t=1.8,∴球拋出0.2秒或1.8秒時離起點(diǎn)的高度達(dá)到1.8m.(