27.2.3 切線 同步練習

第27章圓27.2與圓有關的位置關系27.2.3切線基礎過關全練知識點1切線的判定與性質1.(2023重慶中考B卷)如圖,AB為☉O的直徑,直線CD與☉O相切于點C,連結AC,若∠ACD=50°,則∠BAC的度數(shù)為()A.30° B.40° C.50° D.60°2.(2023河北石家莊晉州期末)如圖所示,△POM中,點M在☉O上,點P在☉O外,OP交☉O于點N,以下條件不能判定PM是☉O的切線的是()A.∠O+∠P=90° B.∠O+∠P=∠OMPC.OM2+PM2=OP2 D.點N是OP的中點3.(2023海南臨高新盈中學模擬)如圖,在☉O中,AB是直徑,弦CD垂直AB于點P,過點D作☉O的切線,與AB的延長線相交于點E.若∠ABC=63°,則∠E等于°.

4.(2023湖南衡陽中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以點C為圓心,r為半徑作圓,當所作的圓與斜邊AB所在的直線相切時,r的值為.5.如圖,AD是☉O的直徑,AB是弦,∠A+∠C=90°,CD∥AB,求證:BC是☉O的切線.6.(2023北京四中期中)下面是“過圓外一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.已知:☉O和☉O外一點P.求作:過點P的☉O的切線.作法:如圖,①連結OP;②分別以點O和點P為圓心,大于12③作直線MN,交OP于點C;④以點C為圓心,CO的長為半徑作圓,交☉O于A,B兩點;⑤作直線PA,PB.直線PA、PB即為所求作☉O的切線.(1)請根據(jù)上述作法完成尺規(guī)作圖;(2)連結OA,OB,可證∠OAP=∠OBP=90°,理由是;

(3)直線PA,PB是☉O的切線,依據(jù)是.

知識點2切線長的定義及定理7.(2023甘肅天水清水期末)如圖,PA,PB切圓O于點A、B,EF切圓O于點C,交PA,PB于E、F,PA=10,則△PEF的周長為.

8.(2023山東濱州中考)如圖,PA,PB分別與☉O相切于A,B兩點,且∠APB=56°,若點C是☉O上異于點A,B的一點,則∠ACB的大小為.9.如圖,PA、PB分別與☉O相切于點A、B,☉O上有一點C,已知點A、B、C三等分☉O,∠P=60°,求證:四邊形PACB是菱形.知識點3三角形的內切圓10.(2023山東菏澤單縣模擬)如圖,點I是△ABC的內心,若∠AIB=125°,則∠C等于()A.65° B.70° C.75° D.80°11.(2023陜西師范大學附中月考)如圖,△ABC的內心為I,連結AI并延長交△ABC的外接圓于D,則線段DI與DB的關系是()A.DI=DB B.DI>DB C.DI<DB D.不確定12.(2023福建廈門集美模擬)如圖,三角形紙片ABC的周長為24cm,☉O是△ABC的內切圓,華華用剪刀在☉O的左側沿著與☉O相切的任意一條直線MN剪下一個周長為8cm的△AMN,那么BC的長是cm.13.(2023福建福州鼓樓三牧中學期中)如圖,已知△ABC,∠B=40°.(1)在圖中,用尺規(guī)作出△ABC的內切圓☉O,并標出☉O與邊AB、BC、AC的切點D、E、F(保留痕跡,不必寫出作法);(2)連結EF、DF,求∠EFD的度數(shù).能力提升全練14.(2023四川眉山中考)如圖,AB切☉O于點B,連結OA交☉O于點C,BD∥OA交☉O于點D,連結CD,若∠OCD=25°,則∠A的度數(shù)為()A.25° B.35° C.40° D.45°15.(2022湖南株洲中考)中國元代數(shù)學家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結角池圖”.“方田一段,一角圓池占之.”意思是說:一塊正方形田地,在其一角有一個圓形的水池(其中圓與正方形一角的兩邊均相切),如圖所示.問題:此圖中,正方形一條對角線AB與☉O相交于點M、N(點N在點M的右上方),若AB的長度為10丈,☉O的半徑為2丈,則BN的長度為丈.

16.(2023江蘇徐州中考)如圖,在☉O中,直徑AB與弦CD交于點E,AC=2BD,連結AD,過點B的切線與AD的延長線交于點F.若∠AFB=68°,則∠DEB=°.

17.(2023湖北天門中考)如圖,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的內切圓☉O與AB,BC分別相切于點D,E,連結DE,AO的延長線交DE于點F,則∠AFD=°.

18.(2023河南鶴壁淇縣模擬)如圖,王奶奶有一塊三角形的布料,∠ABC=90°,她要裁一個圓片,已知AB=60cm,BC=80cm,為了充分地利用這塊布料,使剪下來的圓片的直徑盡量大些,她應該怎樣裁剪?這個圓的直徑是多少?19.(2023四川涼山州中考)如圖,CD是☉O的直徑,弦AB⊥CD,垂足為點F,點P是CD延長線上一點,DE⊥AP,垂足為點E,∠EAD=∠FAD.(1)求證:AE是☉O的切線;(2)若PA=4,PD=2,求☉O的半徑和DE的長.素養(yǎng)探究全練20.(2023四川宜賓中考)如圖,以AB為直徑的☉O上有兩點E、F,BE=EF,過點E作直線CD⊥AF,交AF的延長線于點D,交AB的延長線于點C,過C作CM平分∠ACD交AE于點M,交BE于點N.(1)求證:CD是☉O的切線;(2)求證:EM=EN;(3)如果N是CM的中點,且AB=95,求EN的長.

第27章圓27.2與圓有關的位置關系27.2.3切線答案全解全析基礎過關全練1.B如圖,連結OC,∵直線CD與☉O相切于點C,∴∠OCD=90°,∵∠ACD=50°,∴∠ACO=90°-50°=40°,∵OC=OA,∴∠BAC=∠ACO=40°.2.DA.∵∠O+∠P+∠OMP=180°,且∠O+∠P=90°,∴∠OMP=90°,可判定PM是☉O的切線;B.∵∠O+∠P+∠OMP=180°,且∠O+∠P=∠OMP,∴∠OMP=90°,可判定PM是☉O的切線;C.∵OM2+PM2=OP2,∴△OMP是直角三角形,且∠OMP=90°,可判定PM是☉O的切線;D.點N是OP的中點不能得出∠OMP=90°,即不能判定PM是☉O的切線.3.36解析如圖,連結OD,∵AB⊥CD,∴∠CPB=90°.∵∠ABC=63°,∴∠PCB=90°-63°=27°,由圓周角定理得∠EOD=2∠PCB=54°,∵DE是☉O的切線,∴∠ODE=90°,∴∠E=90°-54°=36°.4.24解析如圖,設☉C與AB所在的直線相切,切點為點D,連結CD,∵CD是☉C的半徑,AB與☉C相切于點D,∴AB⊥CD,∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,∴AB=AC2+BC2=82+62=10,∵S△ACB5.證明如圖,連結OB,∵OA=OB,∴∠A=∠ABO.∵CD∥AB,∴∠C+∠ABC=180°.∵∠A+∠C=90°,∴90°-∠A+∠ABC=180°,∴∠ABC-∠A=90°,∴∠ABC-∠ABO=90°,即∠OBC=90°.∵OB是☉O的半徑,∴BC是☉O的切線.6.解析(1)如圖,PA、PB為所求作.(2)直徑所對的圓周角為直角.(3)過半徑的外端且與半徑垂直的直線為圓的切線.7.20解析∵PA、PB分別與☉O相切于點A、B,∴PA=PB=10,∵直線EF與☉O相切于點C,∴EA=EC,FC=FB,∴△PEF的周長=PE+EF+PF=PE+EC+CF+PF=PE+EA+FB+PF=PA+PB=2PA=2×10=20.8.62°或118°解析本題易因考慮不周致錯.當點C在優(yōu)弧AB上時,如圖,連結CA,BC,∵PA、PB切☉O于點A、B,∴∠PAO=∠PBO=90°,∵∠AOB+∠PAO+∠PBO+∠APB=360°,∴∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠APB=360°-90°-90°-56°=124°,由圓周角定理知∠ACB=129.證明(證法1:四條邊相等的四邊形是菱形)如圖1,連結AB,∵點A、B、C三等分☉O,∴AC=CB=BA,∴AC=BC=AB.∵PA、PB分別與☉O相切于點A、B,∴PA=PB.∵∠P=60°,∴△PAB是等邊三角形,∴PA=AB=PB,∴PA=AC=CB=BP,∴四邊形PACB是菱形.(證法2:一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形)如圖2,連結OA、OB、OC,∵點A、B、C三等分☉O,∴AC=CB=BA,∴∠BOC=13×360°=120°.∵OB=OC,∴∠OBC=1(180°-120°)=30°.∵PB切☉O于點B,∴∠PBO=90°,∴∠PBC=90°+30°=120°,∴∠P+∠PBC=60°+120°=180°,∴PA∥BC.同理PB∥AC,∴四邊形PACB是平行四邊形.∵PA、PB分別與☉O相切于點A、B,∴PA=PB,∴四邊形PACB是菱形.10.B∵∠AIB=125°,∴∠IAB+∠IBA=55°,∵點I是△ABC的內心,∴∠IAB=12∠CAB,∠IBA=111.A題圖中的圓是外接圓,而點I是△ABC的內心,即內切圓的圓心,容易弄混內心和外心的性質導致錯誤.如圖,連結BI,∵△ABC的內心為I,∴∠1=∠2,∠5=∠6,∵∠3=∠1,∴∠3=∠2,∴∠4=∠2+∠6=∠3+∠5,即∠4=∠DBI,∴DI=DB.12.8解析如圖,設D,H,E,G分別是直線AB,MN,AC,BC與☉O的切點.∵☉O是△ABC的內切圓,∴BD=BG,CE=CG,MH=ME,NH=ND,∴△AMN的周長=AM+MN+AN=AM+MH+NH+AN=AM+ME+AN+ND=AE+AD=8cm.∴△ABC的周長=AB+AC+BC=AD+BD+AE+EC+BC=8+BG+CG+BC=8+2BC=24cm,∴BC=8cm.13.解析(1)如圖,☉O即為所求作.(2)連結OD,如圖,∵☉O與邊AB,BC,AC的切點分別為D,E,F,∴OD⊥AB,OE⊥BC,∴∠ODB=∠OEB=90°,∴∠DOE=180°-∠ABC=180°-40°=140°,∴∠EFD=12能力提升全練14.C如圖,連結OB,∵AB切☉O于B,∴半徑OB⊥AB,∴∠ABO=90°,∵BD∥OA,∴∠D=∠OCD=25°,∴∠O=2∠D=50°,∴∠A=90°-∠O=40°.15.(8-22)解析如圖,設正方形的一邊與☉O的切點為C,連結OC,則OC⊥AC,∵四邊形是正方形,AB是對角線,∴∠OAC=45°,∴OA=2OC=22(丈),∴BN=AB-OA-ON=10-22-2=(8-22)丈.16.66解析如圖,連結OC,OD,∵BF是☉O的切線,AB是☉O的直徑,∴OB⊥BF,∴∠ABF=90°,∵∠AFB=68°,∴∠BAF=90°-∠AFB=22°,∴∠BOD=2∠BAF=44°,∵AC=2BD,∴∠COA=2∠BOD=88°,∴∠CDA=1217.35解析如圖,連結OD,OE,OB,OB交ED于點G,∵∠ACB=70°,∴∠CAB+∠CBA=110°,∵點O為△ABC內切圓的圓心,∴∠OAB+∠OBA=55°,∴∠AOB=125°,∵AB,BC與☉O分別切于點D、E,∴BD=BE,∵OE=OD,∴OB垂直平分DE,∴∠OGE=90°,∴∠AFD=∠AOB-∠OGF=125°-90°=35°.18.解析為使剪下來的圓片的直徑盡量大些,她應該剪出這個三角形布料的內切圓,如圖所示,設點O為△ABC內切圓的圓心,rcm為內切圓的半徑,連結OA、OB、OC,∵AB=60cm,BC=80cm,∠ABC=90°,∴AC=AB2+BC2S△OAB+S△OBC+S△OAC,∴12AB·BC=12AB·r+12BC·r+12AC·r,∴12×60×80=119.解析(1)證明:如圖1,連結OA,∵AB⊥CD,∴∠AFD=90°,∴∠FAD+∠ADF=90°,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ADF,∴∠FAD+∠OAD=90°,∵∠EAD=∠FAD,∴∠EAD+∠OAD=90°,即∠OAE=90°,∴OA⊥AE,∵OA是☉O的半徑,∴AE是☉O的切線.(2)如圖2,連結AC,AO,∵CD為☉O的直徑,∴∠CAD=90°,∴∠C+∠ADC=90°,∵∠FAD+∠ADC=90°,∴∠C=∠FAD,∵∠EAD=∠FAD,∴∠C=∠EAD,∵∠P=∠P,∴△ADP∽△CAP,∴APCP=PD∵PA=4,PD=2,∴4CP=2∴☉O的半徑為3,∴OA=3=OD,∴OP=OD+PD=5,∵∠OAP=90°=∠DEP,∠P=∠P,∴△OAP∽△DEP,∴DEOA=PDOP,即DE3=25,∴DE=方法解讀相似三角形中的A字模型又稱為金字塔模型,分為兩種:一種是上下平行,另一種是上下不平行,如下圖所示.素養(yǎng)探究全練20.解析(1)證明:連結OE,如圖,∵BE=EF,∴∠FAE=∠EAB,∵OA=OE,∴∠AEO=∠EAB,∴∠FAE=∠AEO,∴AF∥OE,∵AF⊥CD,∴OE⊥CD,∵OE是☉O的半徑,∴CD是☉O的切線.(2)證明:由(1)知CD是☉O的切線,∵AB為☉O的直徑,∴∠CEO=∠AEB=90°,∴∠AEO=∠