專項(xiàng)07 跨學(xué)科專題(一)

專項(xiàng)07跨學(xué)科專題(一)類型一與地理融合1.(2023河南洛陽第二外國語學(xué)校月考)數(shù)學(xué)小組研究如下問題：遵義市某地的緯度約為北緯28°，求北緯28°緯線的長度.小組成員查閱相關(guān)資料，得到如下信息：信息一：在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線；信息二：如圖，赤道半徑OA約為6400千米，弦BC∥OA，以BC為直徑的圓的周長就是北緯28°緯線的長度.根據(jù)以上信息，北緯28°緯線的長度約為千米.(參考數(shù)據(jù)：π≈3，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)

類型二與體育與健康融合2.(2023河南中考)小林同學(xué)不僅是一名羽毛球運(yùn)動(dòng)愛好者，還喜歡運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)羽毛球比賽進(jìn)行技術(shù)分析，下面是他對(duì)擊球線路的分析.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C在x軸上，球網(wǎng)AB與y軸的水平距離OA=3m，CA=2m，擊球點(diǎn)P在y軸上.若選擇扣球，羽毛球的飛行高度y(m)與水平距離x(m)近似滿足一次函數(shù)關(guān)系y=-0.4x+2.8；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度y(m)與水平距離x(m)近似滿足二次函數(shù)關(guān)系y=a(x-1)2+3.2.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)和a的值；(2)小林分析發(fā)現(xiàn)，上面兩種擊球方式均能使球過網(wǎng)，要使球的落地點(diǎn)到C點(diǎn)的距離更近，請(qǐng)通過計(jì)算判斷應(yīng)選擇哪種擊球方式.3.(2023甘肅蘭州中考)一名運(yùn)動(dòng)員在10m高的跳臺(tái)進(jìn)行跳水，身體(看成一點(diǎn))在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線，運(yùn)動(dòng)員離水面OB的高度y(m)與離起跳點(diǎn)A的水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)A的水平距離為1m時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)A的水平距離為3m時(shí)離水面的距離為7m.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)求運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)到入水點(diǎn)的水平距離OB的長.類型三與生物融合4.(2023山西大同模擬)生物學(xué)研究表明，在一定的溫度范圍內(nèi)，酶的活性會(huì)隨溫度的升高逐漸增強(qiáng)；在最適溫度時(shí)，酶的活性最強(qiáng)；超過一定溫度范圍，酶的活性又隨溫度的升高逐漸減弱，甚至?xí)セ钚?現(xiàn)已知某種酶的活性值y(單位：IU)與溫度x(單位：℃)的關(guān)系可以近似用二次函數(shù)y=-12x2+14x+142來表示，則當(dāng)溫度為最適宜溫度時(shí)，該種酶的活性值為5.(2023貴州貴陽模擬)一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組在上綜合與實(shí)踐課時(shí)發(fā)現(xiàn)：在大自然里，存在很多數(shù)學(xué)的奧秘，一片美麗的心形葉子、剛生長出的幼苗的部分輪廓線，可以近似地看作由拋物線的一部分沿直線折疊而成，如圖①與圖②所示. 如圖③，為了確定一片心形葉子的形狀，建立平面直角坐標(biāo)系，發(fā)現(xiàn)心形葉子下方的輪廓線可以看作是二次函數(shù)y=mx2-4mx-20m+5圖象的一部分，且過原點(diǎn)，求這個(gè)拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo).如圖③，心形葉片的對(duì)稱軸直線y=x+2與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，直線x=6分別交拋物線和直線AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)E、E'是葉片上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，EE'交直線AB于點(diǎn)G.求葉片此處的寬度EE'的長.興趣小組同學(xué)在觀察某種幼苗生長的過程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線也可以看作是二次函數(shù)y=mx2-4mx-20m+5圖象的一部分，如圖④，幼苗葉片下方的輪廓線正好對(duì)應(yīng)中的拋物線y=mx2-4mx-20m+5.若直線PD與水平線的夾角為45°，三天后，點(diǎn)D長到與點(diǎn)P同一水平位置的點(diǎn)D'時(shí)，葉尖Q落在射線OP上(如圖⑤所示).求此時(shí)一片幼苗葉子的長度和最大寬度.類型四與信息科技融合6.(2022湖北鄂州中考)某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究y=ax2(a>0)的圖象.發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)M到定點(diǎn)F0,14a的距離MF，始終等于它到定直線l：y=-14a的距離MN(該結(jié)論不需要證明)，他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，y=-14a叫做拋物線的準(zhǔn)線方程，其中原點(diǎn)O為FH的中點(diǎn)，F(xiàn)H=2OF=12a.例如：拋物線y=12x2，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1)請(qǐng)分別直接寫出拋物線y=2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：；

(2)如圖2所示，已知拋物線y=18x2上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為6，求點(diǎn)P的坐標(biāo)(3)如圖3所示，已知過拋物線y=ax2(a>0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線l于點(diǎn)A、B、C，若BC=2BF，AF=4，求a的值；(4)古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問題：點(diǎn)C將一條線段AB分為兩段AC和CB，使得其中較長一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項(xiàng)，即滿足：ACAB=BCAC=5-12.后人把5-12這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點(diǎn)C稱為線段AB的黃金分割點(diǎn).如圖4所示，拋物線y=14x-1)，E為線段HF的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)M為y軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn).當(dāng)MHMF=2時(shí)，

專項(xiàng)07跨學(xué)科專題(一)答案全解全析1.33792解析如圖，作OK⊥BC于K，則∠BKO=90°，∵BC∥OA，∠AOB=28°，∴∠B=∠AOB=28°，在Rt△BOK中，OB=OA=6400千米，∴BK=OB·cosB≈6400×0.88=5632(千米)，∴北緯28°緯線的長度=2π·BK≈2×3×5632=33792(千米).2.解析(1)在y=-0.4x+2.8中，令x=0，得y=2.8，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，2.8).把P(0，2.8)代入y=a(x-1)2+3.2，得a+3.2=2.8，解得a=-0.4.(2)∵OA=3m，CA=2m，∴OC=5m，∴C(5，0)，在y=-0.4x+2.8中，令y=0，得x=7，在y=-0.4(x-1)2+3.2中，令y=0，得-0.4(x-1)2+3.2=0，解得x=-22+1(舍去)或x=22+1≈3.83，∵|7-5|>|3.83-5|，∴選擇吊球，球的落地點(diǎn)到C點(diǎn)的距離更近.3.解析(1)根據(jù)題意可得，拋物線過(0，10)和(3，7)，對(duì)稱軸為直線x=1，設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx+c(a≠0)，∴c=10,9a+3b+c=7,-b2a=1,(2)在y=-x2+2x+10中，令y=0，得0=-x2+2x+10，解得x=11+1或x=-11+1(舍去)，∴運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)到入水點(diǎn)的水平距離OB的長為(11+1)米.4.240解析∵y=-12x2+14x+142=-12(x-14)2+240，∴當(dāng)x=14時(shí)，y的最大值為240，故當(dāng)溫度為14℃時(shí)5.解析∵拋物線y=mx2-4mx-20m+5過原點(diǎn)，∴-20m+5=0，解得m=14，∴拋物線的表達(dá)式為y=14x2-x=14(x-2)∴頂點(diǎn)D(2，-1).當(dāng)x=6時(shí)，y=14x2-x=3，∴點(diǎn)E(6，3)；當(dāng)x=6時(shí)，y=x+2=8∴點(diǎn)F(6，8)，∴EF=8-3=5，∵EF∥OB，∴∠GFE=∠ABO=45°，∵E，E'是葉片上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，∴EE'=2EG，EG⊥FG，∴△EFG是等腰直角三角形，∴EG=22EF=522，如圖，在QD'上取點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥y軸交拋物線于點(diǎn)N，交過點(diǎn)D'與x軸平行的直線于點(diǎn)L，過點(diǎn)N作NS⊥QD'于點(diǎn)S，由知點(diǎn)D(2，-1)，∵直線PD與水平線的夾角為45°，∴直線PD的表達(dá)式為y=-x+1，聯(lián)立y=14x2∴點(diǎn)P(-2，3)，∴點(diǎn)D'(2，3)，將點(diǎn)D'的坐標(biāo)代入y=mx2-4mx-20m+5得3=4m-8m-20m+5，解得m=112，∴拋物線的表達(dá)式為y=112x2-13x+103，由點(diǎn)P的坐標(biāo)得直線OP的表達(dá)式為y=-32x，聯(lián)立y=112x2-13x+103,y=?32x,解得x=?4,y=6或x=?10,y=15(舍去)，∴點(diǎn)Q(-4，6)，由點(diǎn)Q、D'的坐標(biāo)得D'Q=35，yQD'=-12x+4，即一片幼苗葉子的長度為35.設(shè)點(diǎn)Mx,?12∴當(dāng)x=-1時(shí)，MN的最大值為34，由直線D'Q的表達(dá)式知，tan∠MD'L=12，∴tan∠NMS=2，∴sin∠NMS=255，∴一片幼苗葉子的最大寬度=2NS最大值=2×MN6.解析(1)0,18；y=-(2)∵a=18，∴-14×18=-2，∴準(zhǔn)線方程為y=-2，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，∴18x2=4，∴x=±42，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(42(3)如圖，作AG⊥l于G，作BK⊥l于K，∴AG=AF=4，BK=BF，F(xiàn)H=12a，∵BK∥FH∥AG，∴△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG，∴BKFH=BCCF，BKAG=BCAC，∴BF12