寒假作業(yè)09 銳角三角函數(shù)（17道經(jīng)典題型+4道中考真題）

完成時間：________月________日天氣：寒假作業(yè)09銳角三角函數(shù)積累運用1、銳角三角函數(shù)的定義：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根據(jù)定義求三角函數(shù)值時，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形.2、特殊角的三角函數(shù)值（要求準(zhǔn)確記憶）．3、解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．解直角三角形的常用關(guān)系：在Rt△ABC中，∠C=90°，則：1）三邊關(guān)系：a2+b2=c2；2）兩銳角關(guān)系：∠A+∠B=90°；3）邊與角關(guān)系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；4）sin2A+cos2A=1．4、解直角三角形的應(yīng)用1）仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．2）坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3)方向角（或方位角）指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角．基礎(chǔ)過關(guān)練1.在中，，，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．2．如圖，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)節(jié)桿，，的最大仰角為.當(dāng)時，則點到桌面的最大高度是（

）A． B． C． D．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有三點，，，則（

）A． B． C． D．4．為測量此塔頂?shù)母叨?，在地面選取了與塔底共線的兩點、，、在的同側(cè)，在處測量塔頂?shù)难鼋菫椋谔帨y量塔頂?shù)难鼋菫?，到的距離是米．設(shè)的長為米，則下列關(guān)系式正確的是(

)A． B． C． D．5．如圖，大壩橫截面的迎水坡的坡比為∶，即∶∶，若坡面長度米，則坡面的水平寬度長為（

）A．米 B．米 C．米 D．米6．如圖，一艘海輪位于燈塔P的東北方向距離燈塔海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東方向上的B處，則海輪行駛的路程的值為（）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里7．若，則銳角的度數(shù)是______________．8．計算：(1)；(2)．9．位于河南省登封市嵩山南麓嵩岳寺內(nèi)的嵩岳寺塔是中國現(xiàn)存最早的磚塔，也是全國古塔中的孤例．嵩岳寺塔建于北魏正光年間，歷經(jīng)1400多年風(fēng)雨侵蝕，仍巍然屹立，也是中國唯一的一座十二邊形塔．某數(shù)學(xué)小組測量嵩岳寺塔的高度，如圖，在臺階底端A處用測角儀測得嵩岳寺塔頂端D的仰角為，在臺階頂端B處用測角儀又測得嵩岳寺塔頂端D的仰角為．已知測角儀的高度為，平臺的高度為，臺階的坡度，圖中所有點均在同一豎直平面內(nèi)，點A，H與點C在同一水平線上，求嵩岳寺塔的高度．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）

10．翠湖公園中有一四邊形空地，如圖1，已知空地邊緣，且、之間的距離為30米，經(jīng)測量，，長度為42米．（參考數(shù)據(jù)：，）(1)求空地邊緣的長度（結(jié)果精確到1米）；(2)為了打造更具觀賞性、娛樂性、參與性的城市名片，如圖2，公園管理處準(zhǔn)備在四邊形空地內(nèi)修建寬度為2米的園林卵石步道，其余地面鋪成顆粒塑膠，經(jīng)調(diào)研每平米卵石步道成本為80元，每平米顆粒塑膠成本為45元，公園目前可用資金有75000元，請用（1）的結(jié)果計算此次修建費用是否足夠？能力提升練11．如圖，某人在山坡坡腳C處測得一座建筑物頂點A的仰角為，沿山坡向上走到P處再測得該建筑物頂點A的仰角為．已知BC=90米，且B、C、D在同一條直線上，山坡坡度i=5：12，求此人從所在位置點P走到建筑物底部B點的路程（）米.（結(jié)果精確到0.1米）（測傾器的高度忽略不計，參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．12．圖1是某電動沙發(fā)的實物圖，圖2是該沙發(fā)主要功能介紹，其側(cè)面示意圖如圖3所示．沙發(fā)通過開關(guān)控制，靠背和腳托可分別繞點B，C旋轉(zhuǎn)調(diào)整角度，坐深與地面水平線平行．圖2中的度數(shù)指的是的度數(shù)，如“看電視”模式時．已知，，，，初始狀態(tài)時．

(1)直接寫出“閱讀”模式下的度數(shù)為_____°，該沙發(fā)從初始位置調(diào)至該模式時點D運動的路徑長為_______cm．(2)調(diào)至“睡覺”模式時，該沙發(fā)占地長度最大，請計算此時A，之間的水平距離（結(jié)果精確到0.1）．（參考數(shù)據(jù)：，）13．請閱讀下面材料，并根據(jù)提供的解題思路求解問題：如圖1，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點D，N和E，C，和相交于點P，求的值．【解題思路】要求一個銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個直角三角形．觀察發(fā)現(xiàn)問題中不在直角三角形中，我們可以利用網(wǎng)格畫平行線等方法解獲此類問題，比如連接格點M，N，可發(fā)現(xiàn)，則，連接，那么就變換到中，進(jìn)而求出答案．【解決問題】(1)根據(jù)上述方法歸納，請求圖1中的值；(2)如圖2，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，與相交于點P，求的值．拓展培優(yōu)練14．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，其中《方田》章給出計算弧田面積所用公式為：弧田面積，弧田(如圖)是由圓弧和其所對的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心O到弦的距離之差.在如圖所示的弧田中，“弦”為8，“矢”為3，則(

)A． B． C． D．15．我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給出了這樣的一個結(jié)論：三邊分別為a、b、c的△的面積為．△的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．16．劉徽是我國魏晉時期卓越的數(shù)學(xué)家，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的周長．如圖，正十二邊形的邊長是4，則可求出此十二邊形的周長近似代替其外接圓周長，便可估計π的值，下面π的值正確的是（）A．π＝ B．π＝ C．π＝6sin15° D．π＝12sin15°17．閱讀理解學(xué)習(xí)：在學(xué)習(xí)《銳角三角函數(shù)》這一章時，小迪同學(xué)勤學(xué)好問，在課外學(xué)習(xí)活動中，探究發(fā)現(xiàn)，三角形的面積、邊、角之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，下面是她的學(xué)習(xí)筆記．請仔細(xì)閱讀下列材料并完成相應(yīng)的任務(wù)．【閱讀材料】：在△中，的對邊分別記為△的面積記為，過點作，垂足為，，，同理可得：，即：．①由以上推理得結(jié)論①：三角形的面積等于兩邊及其夾角正弦積的一半．又，將等式兩邊同除以得．②由以上推理得結(jié)論②：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等．【理解應(yīng)用】請你學(xué)習(xí)上述閱讀材料解答以下問題：如圖，甲船以海里/時的速度向正北方向航行，當(dāng)甲船位于處時，乙船位于甲船的南偏西方向的處，且乙船從處沿北偏東方向勻速直線航行，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)處時，乙船航行到甲船的南偏西方向的處，此時兩船相距海里．(1)求的面積；(2)求乙船航行的路程是多少海里（結(jié)果保留根號）．中考真題練18．（2023年山東省淄博市中考真題）如圖，與斜坡垂直的太陽光線照射立柱（與水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，則立柱的高為________________米（結(jié)果精確到米）．科學(xué)計算器按鍵順序計算結(jié)果（已取近似值）

19．（2023年浙江省紹興市中考真題）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱垂直地面，支架與交于點，支架交于點，支架平行地面，籃筺與支架在同一直線上，米，米，．

(1)求的度數(shù)．(2)某運動員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在凳子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面米處，那么他能掛上籃網(wǎng)嗎？請通過計算說明理由．（參考數(shù)據(jù)）20．（2023年浙江省寧波市中考真題）某綜合實踐研究小組為了測量觀察目標(biāo)時的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制了一個簡易測角儀，如圖1所示．(1)如圖2，在點觀察所測物體最高點，當(dāng)量角器零刻度線上兩點均在視線上時，測得視線與鉛垂線所夾的銳角為，設(shè)仰角為，請直接用含的代數(shù)式示．(2)如圖3，為了測量廣場上空氣球離地面的高度，該小組利用自制簡易測角儀在點分別測得氣球的仰角為，為，地面上點在同一水平直線上，，求氣球離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：，）21．（2023年四川省自貢市中考真題）為測量學(xué)校后山高度，數(shù)學(xué)興趣小組活動過程如下：(1)測量坡角：如圖1，后山一側(cè)有三段相對平直的山坡，山的高度即為三段坡面的鉛直高度之和，坡面的長度可以直接測量得到，要求山坡高度還需要知道坡角大?。鐖D2，同學(xué)們將兩根直桿的一端放在坡面起始端A處，直桿沿坡面方向放置，在直桿另一端N用細(xì)線系小重物G，當(dāng)直桿與鉛垂線重合時，測得兩桿夾角的度數(shù)，由此可得山坡AB坡角的度數(shù)．請直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系．(2)測量山高：同學(xué)們測得山坡的坡長依次為40米，50米，40米，坡角依次為，為求，小熠同學(xué)在作業(yè)本上畫了一個含角的（如圖3），量得．求山高．（，結(jié)果精確到1米）(3)測量改進(jìn)：由于測量工作量較大，同學(xué)們圍繞如何優(yōu)化測量進(jìn)行了深入探究，有了以下新的測量方法．如圖4，5，在學(xué)校操場上，將直桿NP置于的頂端，當(dāng)與鉛垂線重合時，轉(zhuǎn)動直桿，使點N，P，D共線，測得的度數(shù)，從而得到山頂仰角，向后山方向前進(jìn)40米，采用相同方式，測得山頂仰角；畫一個含的直角三角形，量得該角對邊和另一直角邊分別為厘米，厘米，再畫一個含的直角三角形，量得該角對邊和另一直角邊分別為厘米，厘米．已知桿高M(jìn)N為米，求山高．（結(jié)果用不含的字母表示）

寒假作業(yè)09銳角三角函數(shù)參考答案基礎(chǔ)過關(guān)練1.在中，，，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，∵，∴可設(shè)，∴，A、，故本選項錯誤，不符合題意；B、，故本選項錯誤，不符合題意；C、，故本選項錯誤，不符合題意；D、，故本選項正確，符合題意.故選D.2．如圖，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)節(jié)桿，，的最大仰角為.當(dāng)時，則點到桌面的最大高度是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，過點作于，過點作于，在中，，在中，，點到桌面的最大高度，故選D．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有三點，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，取格點D，連接，，則B在上，∵，，，∴，，，∴，∴.故選C.4．為測量此塔頂?shù)母叨?，在地面選取了與塔底共線的兩點、，、在的同側(cè)，在處測量塔頂?shù)难鼋菫椋谔帨y量塔頂?shù)难鼋菫?，到的距離是米．設(shè)的長為米，則下列關(guān)系式正確的是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得，，在中，米，∴米，在中，，∴，故選A．5．如圖，大壩橫截面的迎水坡的坡比為∶，即∶∶，若坡面長度米，則坡面的水平寬度長為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【解析】坡面的坡度為：，，即，由勾股定理得，，則，解得，故斜坡的水平寬度的長為米．故選D．6．如圖，一艘海輪位于燈塔P的東北方向距離燈塔海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東方向上的B處，則海輪行駛的路程的值為（）A．海里 B．海里C．海里 D．海里【答案】C【解析】由題意得，，，∵，∴，∵，，，∴，∴（海里）.故選C．7．若，則銳角的度數(shù)是______________．【答案】【解析】∵，∴，那么銳角的度數(shù)為．故答案為：．8．計算：(1)；(2)．【解析】（1）原式；（2）原式．9．位于河南省登封市嵩山南麓嵩岳寺內(nèi)的嵩岳寺塔是中國現(xiàn)存最早的磚塔，也是全國古塔中的孤例．嵩岳寺塔建于北魏正光年間，歷經(jīng)1400多年風(fēng)雨侵蝕，仍巍然屹立，也是中國唯一的一座十二邊形塔．某數(shù)學(xué)小組測量嵩岳寺塔的高度，如圖，在臺階底端A處用測角儀測得嵩岳寺塔頂端D的仰角為，在臺階頂端B處用測角儀又測得嵩岳寺塔頂端D的仰角為．已知測角儀的高度為，平臺的高度為，臺階的坡度，圖中所有點均在同一豎直平面內(nèi)，點A，H與點C在同一水平線上，求嵩岳寺塔的高度．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）

【解析】過點E作于點M，過點F作于點N，延長交于點K，延長交于點L，如圖所示，則，．

由題意得，，．∵臺階的坡度，∴，即，設(shè)嵩岳寺塔的高度為，則，．在中，，∴．在中，，，∴，解得．經(jīng)檢驗，是分式方程的解，且符合實際意義．答：嵩岳寺塔的高度約為．10．翠湖公園中有一四邊形空地，如圖1，已知空地邊緣，且、之間的距離為30米，經(jīng)測量，，長度為42米．（參考數(shù)據(jù)：，）(1)求空地邊緣的長度（結(jié)果精確到1米）；(2)為了打造更具觀賞性、娛樂性、參與性的城市名片，如圖2，公園管理處準(zhǔn)備在四邊形空地內(nèi)修建寬度為2米的園林卵石步道，其余地面鋪成顆粒塑膠，經(jīng)調(diào)研每平米卵石步道成本為80元，每平米顆粒塑膠成本為45元，公園目前可用資金有75000元，請用（1）的結(jié)果計算此次修建費用是否足夠？【解析】（1）如圖，過作交于，過作交的延長線于，，，，，，，∴四邊形是矩形，，，在中，，，，，在中，，，，（米）答：空地邊緣的長度為64米．（2）由題得，四邊形為平行四邊形，，，，∴總花費為：（元），，答：此次修建費用足夠．能力提升練11．如圖，某人在山坡坡腳C處測得一座建筑物頂點A的仰角為，沿山坡向上走到P處再測得該建筑物頂點A的仰角為．已知BC=90米，且B、C、D在同一條直線上，山坡坡度i=5：12，求此人從所在位置點P走到建筑物底部B點的路程（）米.（結(jié)果精確到0.1米）（測傾器的高度忽略不計，參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖：過點P作PE⊥AB于E，PH⊥BD于H，設(shè)PH=BE=5x米，CH=12x米，在Rt△ABC中，，BC=90米，則，即，∴AB=180(米)，在Rt△AEP中，，AE=AB-BE=180-5x，BH=EP=BC+CH=90+12x，∴，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解，且符合題意，∴(米)，在Rt△PHC中，(米)，故此人從所在位置點P走到建筑物底部B點的路程是：(米)，故選D．12．圖1是某電動沙發(fā)的實物圖，圖2是該沙發(fā)主要功能介紹，其側(cè)面示意圖如圖3所示．沙發(fā)通過開關(guān)控制，靠背和腳托可分別繞點B，C旋轉(zhuǎn)調(diào)整角度，坐深與地面水平線平行．圖2中的度數(shù)指的是的度數(shù)，如“看電視”模式時．已知，，，，初始狀態(tài)時．

(1)直接寫出“閱讀”模式下的度數(shù)為_____°，該沙發(fā)從初始位置調(diào)至該模式時點D運動的路徑長為_______cm．(2)調(diào)至“睡覺”模式時，該沙發(fā)占地長度最大，請計算此時A，之間的水平距離（結(jié)果精確到0.1）．（參考數(shù)據(jù)：，）【解析】（1）由閱讀”模式知，，∵，∴，∴，故答案為：45，；（2）由“睡覺”模式知，，∵，∴，如圖，過作于，由題意知，，∴A，之間的水平距離為，∴點A，D'之間的水平距離為：．13．請閱讀下面材料，并根據(jù)提供的解題思路求解問題：如圖1，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點D，N和E，C，和相交于點P，求的值．【解題思路】要求一個銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個直角三角形．觀察發(fā)現(xiàn)問題中不在直角三角形中，我們可以利用網(wǎng)格畫平行線等方法解獲此類問題，比如連接格點M，N，可發(fā)現(xiàn)，則，連接，那么就變換到中，進(jìn)而求出答案．【解決問題】(1)根據(jù)上述方法歸納，請求圖1中的值；(2)如圖2，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，與相交于點P，求的值．【解析】（1）∵網(wǎng)格都是小正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．（2）如圖2中，取格點D，連接，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴．拓展培優(yōu)練14．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，其中《方田》章給出計算弧田面積所用公式為：弧田面積，弧田(如圖)是由圓弧和其所對的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心O到弦的距離之差.在如圖所示的弧田中，“弦”為8，“矢”為3，則(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，作交于交圓弧于.由題意：，∴，∵，為半徑，∴，在中由勾股定理得，∴，∴，∴，，∴．故選D．15．我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給出了這樣的一個結(jié)論：三邊分別為a、b、c的△的面積為．△的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵，，∴，即，，，.故選A．16．劉徽是我國魏晉時期卓越的數(shù)學(xué)家，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的周長．如圖，正十二邊形的邊長是4，則可求出此十二邊形的周長近似代替其外接圓周長，便可估計π的值，下面π的值正確的是（）A．π＝ B．π＝ C．π＝6sin15° D．π＝12sin15°【答案】D【解析】如圖，連接半徑OE、OF，過O作OH⊥EF于H，∵，OE=OF，∴∠FOH=15°，EH=FH=2，∴OF=，∵正十二邊形的周長近似代替其外接圓周長，∴，解得π＝12sin15°，故選D．17．閱讀理解學(xué)習(xí)：在學(xué)習(xí)《銳角三角函數(shù)》這一章時，小迪同學(xué)勤學(xué)好問，在課外學(xué)習(xí)活動中，探究發(fā)現(xiàn)，三角形的面積、邊、角之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，下面是她的學(xué)習(xí)筆記．請仔細(xì)閱讀下列材料并完成相應(yīng)的任務(wù)．【閱讀材料】：在△中，的對邊分別記為△的面積記為，過點作，垂足為，，，同理可得：，即：．①由以上推理得結(jié)論①：三角形的面積等于兩邊及其夾角正弦積的一半．又，將等式兩邊同除以得．②由以上推理得結(jié)論②：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等．【理解應(yīng)用】請你學(xué)習(xí)上述閱讀材料解答以下問題：如圖，甲船以海里/時的速度向正北方向航行，當(dāng)甲船位于處時，乙船位于甲船的南偏西方向的處，且乙船從處沿北偏東方向勻速直線航行，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)處時，乙船航行到甲船的南偏西方向的處，此時兩船相距海里．(1)求的面積；(2)求乙船航行的路程是多少海里（結(jié)果保留根號）．【解析】（1）由題意知：，，，由結(jié)論①知，（平方海里），所以的面積為平方海里．（2）由（1）知，，∴是等邊三角形，∴，，又，∴，由題意知，，∴，在中，由材料中結(jié)論②得，∴（海里），∴乙船航行的路程為海里．中考真題練18．（2023年山東省淄博市中考真題）如圖，與斜坡垂直的太陽光線照射立柱（與水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，則立柱的高為________________米（結(jié)果精確到米）．科學(xué)計算器按鍵順序計算結(jié)果（已取近似值）

【答案】19.2米【解析】如圖，過點D作，垂足為H，過點C作，垂足為G，則四邊形為矩形，∴米，．∴．∴．中，，（米）．∴（米）．中，，∴（米）．∴（米）．故答案為：19.2米．19．（2023年浙江省紹興市中考真題）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱垂直地面，支架與交于點，支架交于點，支架平行地面，籃筺與支架在同一直線上，米，米，．

(1)求的度數(shù)．(2)某運動員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在凳子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面米處，那么他能掛上籃網(wǎng)嗎？請通過計算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）∵，∴，∵，∴．（2）該運動員能掛上籃網(wǎng)，理由如下．如圖，延長交于點，∵，∴，又∵，∴，在中，，∴，∴該運動員能掛上籃網(wǎng)．20．（2023年浙江省寧波市中考真題）某綜合實踐研究小組為了測量觀察目標(biāo)時的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制了一個簡易測角儀，如圖1所示