2025屆高考數(shù)學(xué)二輪考前復(fù)習(xí)第一篇解透必考小題穩(wěn)拿分必須突破的17個熱點專題專題16雙曲線學(xué)案文含解析

PAGE專題16雙曲線1.雙曲線中的常用規(guī)律(1)特別三角形①以實軸端點、虛軸端點、原點為頂點的三角形,邊長分別為a,b,c;②以焦點及雙曲線上一點為頂點的三角形滿意定義式;③以焦點及漸近線上一點為頂點的三角形,中線為原點與漸近線上頂點的連線,可以與向量平行四邊形加法法則相結(jié)合進行解題.(2)作焦點到漸近線的垂線,與原點形成直角三角形:①焦點到漸近線的垂線長度為b;②直角三角形三邊長分別為a,b,c;③以原點為頂點的銳角的正切值為漸近線斜率的肯定值.2.等軸雙曲線實軸與虛軸長度相等的雙曲線為等軸雙曲線,其漸近線方程為y=±x,離心率為e=QUOTE.1.雙曲線標準方程的設(shè)法(1)若已知雙曲線過兩點,焦點位置不能確定,可設(shè)方程為mx2+ny2=1.(mn<0).(2)當(dāng)已知雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0,求雙曲線方程時,可設(shè)雙曲線方程為b2x2-a2y2=λ(λ≠0).(3)與雙曲線QUOTE-QUOTE=1有相同的漸近線的雙曲線方程可設(shè)為QUOTE-QUOTE=λQUOTE.2.已知雙曲線的標準方程求雙曲線的漸近線方程,只須要將雙曲線的標準方程中的“1”改為“0”即可.1.雙曲線漸近線夾角有兩種狀況,簡單遺漏狀況【案例】T6.因為兩條漸近線夾角為60°,所以其中一條漸近線的傾斜角為30°或60°,QUOTE=QUOTE或QUOTE=QUOTE,2.當(dāng)雙曲線與橢圓綜合考查時,簡單混淆雙曲線中的a,b,c與橢圓中的a,b,c【案例】T3.橢圓中a,b,c滿意a2=b2+c2,而雙曲線中a,b,c滿意a2=c2-b2.3.簡單忽視雙曲線離心率的取值范圍為e∈QUOTE【案例】T7.當(dāng)點A不在線段FF′上時,在△AFF′中,QUOTE,所以a<c<2a,所以e=QUOTE∈(1,2).雙曲線離心率的取值范圍不能遺漏.考向一求雙曲線的離心率【典例】(2024·全國Ⅲ卷)設(shè)雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的一條漸近線為y=QUOTEx,則C的離心率為________.

考向二雙曲線中的最值問題【典例】(2024·全國Ⅱ卷)設(shè)O為坐標原點,直線x=a與雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1QUOTE的兩條漸近線分別交于D,E兩點.若△ODE的面積為8,則C的焦距的最小值為()A.4 B.8 C.16 D.321.雙曲線x2-4y2=4的焦點坐標為()A.(±QUOTE,0) B.(0,±QUOTE)C.(0,±QUOTE) D.(±QUOTE,0)2.已知雙曲線C:QUOTE-y2=1的左、右焦點分別為F1,F2,射線x=QUOTE(y≥0)與雙曲線C的漸近線交于點P,與雙曲線C交于點Q,則△F1PQ的面積為()A.QUOTE B.QUOTEC.5+QUOTE D.5-QUOTE3.與橢圓C:QUOTE+QUOTE=1共焦點且過點QUOTE的雙曲線的標準方程為()A.x2-QUOTE=1 B.y2-2x2=1C.QUOTE-QUOTE=1 D.QUOTE-x2=14.已知三個數(shù)1,a,9成等比數(shù)列,則圓錐曲線QUOTE+QUOTE=1的離心率為()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE或QUOTE D.QUOTE或QUOTE5.已知F1,F2是雙曲線C:x2-QUOTE=1(b>0)的兩個焦點,P是雙曲線C左支上的一點,且PF1⊥PF2,PF2與兩條漸近線相交于M,N兩點.若點N恰好平分線段PF2,則雙曲線C的焦距為()A.2QUOTE B.2QUOTE C.2QUOTE D.46.已知雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1QUOTE的實軸長為4,且兩條漸近線夾角為60°,則該雙曲線的焦距為()A.QUOTE B.8C.4或QUOTE D.8或QUOTE7.已知雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1QUOTE的右焦點為F,過原點的直線l交雙曲線C于A,B兩點,且QUOTE=3QUOTE,則雙曲線C的離心率的取值范圍為()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE8.設(shè)雙曲線QUOTE-QUOTE=1的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線l交雙曲線左支于A,B兩點,則QUOTE+QUOTE的最小值為()A.10 B.11 C.12 D.139.已知F1,F2是雙曲線QUOTE-QUOTE=1QUOTE的左、右焦點,過F1的直線l與雙曲線的左右支分別交于點A,B,若BF1=6a,∠F1BF2=60°,則QUOTE∶QUOTE=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE10.已知雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1(a>0)的左、右焦點分別為F1,F2,一條漸近線與直線4x+3y=0垂直,點M在C上,且QUOTE=6,則QUOTE=()A.2或14B.2C.14D.2或10專題16雙曲線///真題再研析·提升審題力///考向一【解析】由雙曲線方程QUOTE-QUOTE=1可得其焦點在x軸上,因為其一條漸近線為y=QUOTEx,所以QUOTE=QUOTE,e=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE考向二B雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1QUOTE的兩條漸近線方程為y=±QUOTEx,將x=a與雙曲線漸近線方程聯(lián)立,令D和E坐標分別為D(a,b),E(a,-b),所以△ODE的面積為ab=8,所以c2=a2+b2≥2ab=16,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2QUOTE時,等號成立,所以c≥4,則焦距2c的最小值為8.///高考演兵場·檢驗考試力///1.D雙曲線x2-4y2=4,標準方程為:QUOTE-y2=1,可得a=2,b=1,c=QUOTE,所以雙曲線的焦點坐標為(±QUOTE,0).2.B由題可得a=2,b=1,c=QUOTE,漸近線方程為y=±QUOTEx,射線x=QUOTE(y≥0)過點F2且垂直于x軸,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,所以|PQ|=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE×QUOTE×2QUOTE=QUOTE.3.C設(shè)雙曲線的方程為QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0),依據(jù)題意得QUOTE解得a2=b2=2,所以該雙曲線的標準方程為QUOTE-QUOTE=1.4.D因為三個數(shù)1,a,9成等比數(shù)列,所以a2=9,則a=±3.當(dāng)a=3時,曲線方程為QUOTE+QUOTE=1,表示橢圓,則長半軸長為QUOTE,半焦距為1,離心率為QUOTE;當(dāng)a=-3時,曲線方程為QUOTE-QUOTE=1,實半軸長為QUOTE,半焦距為QUOTE,離心率為QUOTE=QUOTE.5.C不妨取漸近線方程為y=bx,N是PF2中點,故NO∥PF1,故NO⊥PF2,又OF2=c,故ON=a=1,PF1=2ON=2,PF2=PF1+2a=4,依據(jù)勾股定理:4c2=22+42,故c=QUOTE,故焦距為2QUOTE.6.D令QUOTE-QUOTE=0,則QUOTE=QUOTE,y=±QUOTEx,故雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1的漸近線方程為y=±QUOTEx,因為兩條漸近線夾角為60°,所以其中一條漸近線的傾斜角為30°或60°,QUOTE=QUOTE或QUOTE=QUOTE,因為實軸長為4,所以a=2,當(dāng)QUOTE=QUOTE時,b=QUOTE,c=QUOTE=QUOTE=QUOTE,焦距2c=QUOTE;當(dāng)QUOTE=QUOTE時,b=2QUOTE,c=QUOTE=QUOTE=4,焦距2c=8,綜上所述,該雙曲線的焦距為8或QUOTE.7.A因為直線AB和雙曲線C都關(guān)于原點對稱,所以A,B也關(guān)于原點對稱,設(shè)F′為左焦點,則F,F′關(guān)于原點對稱,所以|BF|=QUOTE,因為|BF|=3|AF|,所以QUOTE=3|AF|,所以QUOTE-|AF|=2|AF|=2a,所以|AF|=a,QUOTE=3a,①當(dāng)點A不在線段FF′上時,在△AFF′中,QUOTE,所以a<c<2a,所以e=QUOTE∈(1,2).②當(dāng)點A在線段FF′上時,QUOTE+|AF|=|FF′|,所以4a=2c,所以e=QUOTE=2.綜上所述,e∈(1,2].8.B由QUOTE-QUOTE=1得:a=2,b=QUOTE,由雙曲線定義可知:QUOTE-QUOTE=2a=4;QUOTE-QUOTE=2a=4,所以QUOTE+QUOTE=4+QUOTE+4+QUOTE=8+QUOTE,又QUOTE為雙曲線的焦點弦,所以QUOTE最小時,AB為通徑,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=3,所以QUOTE=8+3=11.9.B依據(jù)雙曲線的定義可知QUOTE=4a,設(shè)QUOTE=x,則QUOTE=6a-x,QUOTE-QUOTE=2a,所以QUOTE=8a-x,所以在△AF2B中,QUOTE