上海市民辦上寶中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)上寶中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）如果x：y＝2：3，那么下列各式不成立的是（）A．＝ B．＝﹣ C．＝ D．＝2．（4分）在比例尺為1：2000的地圖上測得A、B兩地間的圖上距離為5cm，則A、B兩地間的實際距離為（）A．10m B．25m C．100m D．10000m3．（4分）若兩個相似三角形的面積之比為1：4，則它們的最長邊的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．無法確定4．（4分）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，點A，B均在拋物線上，且AB與x軸平行，其中點A的坐標(biāo)為（0，3），則點B的坐標(biāo)為（）A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）5．（4分）如圖所示，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為（）A． B． C． D．6．（4分）如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC，點E、F分別為邊AB、BC上的點，且AE＝BF，連接CE、AF交于點H，連接DH交AC于點O，則下列結(jié)論：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△AEH∽△DAH；④AE?AD＝AH?AF；其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）cos30°＝．8．（4分）把長度為4cm的線段進(jìn)行黃金分割，則較長線段的長是cm．9．（4分）如果兩個相似三角形的對應(yīng)角平分線之比為1：4，那么它們的周長之比是．10．（4分）如果拋物線y＝（m﹣1）x2+2mx+1的圖象開口向下，那么m的取值范圍是．11．（4分）將二次函數(shù)y＝﹣2x2的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式為．12．（4分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表，則m的值為．x﹣2﹣101234y72﹣1﹣2m2713．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AB＝2，那么BC＝．（結(jié)果用α的銳角三角函數(shù)表示）14．（4分）如圖，點D、E、F分別是△ABC三邊的中點，那么與相等的向量是．15．（4分）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點A（﹣4，0）和點B，與y軸交于點C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點D．點P是直線AC上方拋物線上一點，過點P作PG⊥x軸，垂足為點G，PG與直線AC交于點H．如果PH＝AH，則點P的坐標(biāo)是．16．（4分）如圖，在?ABCD中，點F在邊AD上，AF＝2FD，直線BF與對角線AC相交于點E，交CD的延長線于點G，如果BE＝2，那么EG的長是．17．（4分）如圖，已知在四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝AD，點E、F分別在線段CD、AD上．如果AE⊥BF，，那么cot∠ABD＝．18．（4分）如圖，已知在矩形ABCD中，連接AC，，將矩形ABCD繞點C旋轉(zhuǎn)，使點B恰好落在對角線AC上的點B′處，點A、D分別落在點A′、D′處，邊A′B′、A′C分別與邊AD交于點M、N，MN﹣AM＝5，那么線段MN的長為．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計算：．20．（10分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，BC＝2AD，OD＝1．（1）求BD的長：（2）如果，，試用、表示向量．21．（10分）如圖所示，BA和CD表示前后兩幢樓，按照有感規(guī)定兩幢樓間的間距不得小于樓的高度，即圖中AC大于等于CD，小明想測量一下他家所著AB樓與前面CD樓是否符合規(guī)定，于是他在AC間的點M處架了測角儀，測得CD樓頂D的仰角為45°，已知AM＝4米，測角儀距地面MN＝1.5米．（1）問：兩樓的間距是否符合規(guī)定？并說出你的理由；（2）為了知道前面CD樓的高度，小明又到家里（點P處），用測角儀再次測得CD樓頂D的仰角為α，如果AP＝7.5米，sinα＝0.6，請你來計算一下CD樓的高度．22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線M：y＝﹣x2+bx+c過點A（2，2）、點B（0，2），頂點為點C，拋物線M的對稱軸交x軸于點D．（1）直接寫出拋物線M的表達(dá)式和點C的坐標(biāo)；（2）點P在x軸上，當(dāng)△AOP與△ACD相似時，求點P坐標(biāo)．23．（12分）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，點M在邊BC上，且∠MDB＝∠ADB，BD2＝AD?BC．（1）求證：BM＝CM；（2）作BE⊥DM，垂足為點E，并交CD于點F．求證：2AD?DM＝DF?DC．24．（12分）已知，如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線y＝x﹣2經(jīng)過A、C兩點．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）P為拋物線上一點，若點P關(guān)于直線AC的對稱點Q落在y軸上，求P點坐標(biāo)；（3）現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線y＝x﹣，若平移后的拋物線與直線y＝x﹣2交于M、N兩點．①求：MN的長度；②結(jié)合（2）的條件，直接寫出△QMN的周長的最小值．25．（14分）如圖，已知正方形ABCD，點H是邊BC上的一個動點（不與點B、C重合），點E在DH上，滿足AE＝AB，延長BE交CD于點F．（1）求：sin∠FED；（2）點M、N分別是邊AB、AD的中點，已知點P在線段MN上，連結(jié)AP、BP，此時∠APB＝90°，求：cot∠ABP；（3）連結(jié)CE．如果△CEF是以CE為腰的等腰三角形，求∠FBC的正切值．

2024-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)上寶中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）如果x：y＝2：3，那么下列各式不成立的是（）A．＝ B．＝﹣ C．＝ D．＝【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，可分別設(shè)出x和y，分別代入各選項進(jìn)行計算即可得出結(jié)果．【解答】解：設(shè)x＝2k，y＝3k．通過代入計算，進(jìn)行約分，A，B，C都正確；D不能實現(xiàn)約分，故錯誤．故選：D．【點評】此題考查了比例的性質(zhì)，已知幾個量的比值時，常用的解法是：設(shè)一個未知數(shù)，把題目中的幾個量用所設(shè)的未知數(shù)表示出來，實現(xiàn)約分．2．（4分）在比例尺為1：2000的地圖上測得A、B兩地間的圖上距離為5cm，則A、B兩地間的實際距離為（）A．10m B．25m C．100m D．10000m【分析】設(shè)A、B兩地間的實際距離為xm，根據(jù)比例線段得＝，然后解方程即可．【解答】解：設(shè)A、B兩地間的實際距離為xm，根據(jù)題意得＝，解得x＝100．所以A、B兩地間的實際距離為100m．故選：C．【點評】本題考查了比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．3．（4分）若兩個相似三角形的面積之比為1：4，則它們的最長邊的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．無法確定【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出答案即可．【解答】解：∵兩個相似三角形的面積之比為1：4，∴它們的最長邊的比是1：2，故選：A．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，能熟記相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解此題的關(guān)鍵．4．（4分）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，點A，B均在拋物線上，且AB與x軸平行，其中點A的坐標(biāo)為（0，3），則點B的坐標(biāo)為（）A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）【分析】已知拋物線的對稱軸為直線x＝2，知道A的坐標(biāo)為（0，3），由函數(shù)的對稱性知B點坐標(biāo)．【解答】解：由題意可知拋物線的y＝x2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，∵點A的坐標(biāo)為（0，3），且AB與x軸平行，可知A、B兩點為對稱點，∴B點坐標(biāo)為（4，3）故選：D．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的對稱性．5．（4分）如圖所示，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為（）A． B． C． D．【分析】直接連接DC，得出CD⊥AB，再結(jié)合勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案【解答】解：連接DC，由網(wǎng)格可得：CD⊥AB，則DC＝，AC＝，故sinA＝．故選：D．【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．6．（4分）如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC，點E、F分別為邊AB、BC上的點，且AE＝BF，連接CE、AF交于點H，連接DH交AC于點O，則下列結(jié)論：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△AEH∽△DAH；④AE?AD＝AH?AF；其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由菱形ABCD中，AB＝AC，易證得△ABC是等邊三角形，則可得∠B＝∠EAC＝60°，由SAS即可證得△ABF≌△CAE，可得∠BAF＝∠ACE，EC＝AF，由外角性質(zhì)可得∠FHC＝∠B，可判斷①②，由點A，H，C，D四點共圓，可得∠AHD＝∠ACD＝60°，∠ACH＝∠ADH＝∠BAF，可證△AEH∽△DAH，可判斷③，通過證明△AEH∽△CEA，可得，可得AE?AD＝AH?AF，可判斷④，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等邊三角形，同理：△ADC是等邊三角形∴∠B＝∠EAC＝60°，在△ABF和△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS）；∴∠BAF＝∠ACE，EC＝AF，∵∠FHC＝∠ACE+∠FAC＝∠BAF+∠FAC＝∠BAC＝60°，∴∠FHC＝∠B，故①正確，②正確；∵∠AHC+∠ADC＝120°+60°＝180°，∴點A，H，C，D四點共圓，∴∠AHD＝∠ACD＝60°，∠ACH＝∠ADH＝∠BAF，∴∠AHD＝∠FHC＝∠AHE＝60°，∴△AEH∽△DAH，故③正確；∵∠ACE＝∠BAF，∠AEH＝∠AEC，∴△AEH∽△CEA，∴，∴AE?AC＝AH?EC，∴AE?AD＝AH?AF，故④正確；故選：D．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）cos30°＝．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【解答】解：cos30°＝．故答案為：．【點評】考查了特殊角的三角函數(shù)值，是基礎(chǔ)題目，比較簡單．8．（4分）把長度為4cm的線段進(jìn)行黃金分割，則較長線段的長是（2﹣2）cm．【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到較長線段的長＝×4，然后進(jìn)行二次根式的運算即可．【解答】解：較長線段的長＝×4＝（2﹣2）cm．故答案為．【點評】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC＝AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．9．（4分）如果兩個相似三角形的對應(yīng)角平分線之比為1：4，那么它們的周長之比是1：4．【分析】直接根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．【解答】解：∵兩個相似三角形的對應(yīng)角平分線之比為1：4，∴那么它們的周長之比是1：4．故答案為：1：4．【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，即相似三角形對應(yīng)邊的比、對應(yīng)角平分線的比、周長的比等于相似比．10．（4分）如果拋物線y＝（m﹣1）x2+2mx+1的圖象開口向下，那么m的取值范圍是m＜1．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)拋物線開口向下時，二次項系數(shù)m﹣1＜0，然后解一元一次不等式即可求出m的取值范圍．【解答】解：∵拋物線y＝（m﹣1）x2+2mx+1的圖象開口向下，∴m﹣1＜0，解得：m＜1．故答案為：m＜1．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，明確二次函數(shù)圖象的開口方法有二次項系數(shù)決定是解題的基礎(chǔ)．11．（4分）將二次函數(shù)y＝﹣2x2的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式為y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則即可得出結(jié)論．【解答】解：二次函數(shù)y＝﹣2x2的圖象向右平移1個單位，再向下平移2單位后，所得二次函數(shù)的解析式為y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．故答案為：y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解答此題的關(guān)鍵．12．（4分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表，則m的值為﹣1．x﹣2﹣101234y72﹣1﹣2m27【分析】利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，即可求解．【解答】解：把點（﹣2，7）（﹣1，2），（0，﹣1）代入y＝bx+c，得：，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣1，當(dāng)x＝2時，y＝m＝22﹣2×2﹣1＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題主要考查了求二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式的方法是解題的關(guān)鍵．13．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AB＝2，那么BC＝2cosα．（結(jié)果用α的銳角三角函數(shù)表示）【分析】根據(jù)余弦的定義可得BC＝AB?cosB＝2cosα．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AB＝2，∵cosB＝，∴BC＝AB?cosB＝2cosα．故答案為：2cosα．【點評】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵．14．（4分）如圖，點D、E、F分別是△ABC三邊的中點，那么與相等的向量是和．【分析】由點D、E、F分別是△ABC三邊的中點，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，即可得DF∥AC，DF＝CE＝EA＝CA，從而可得與相等的向量．【解答】解：∵D、F分別是BC、BA的中點，∴DF是△ABC的中位線，∴DF∥AC，DF＝CE＝EA＝CA，故與相等的向量是和．故答案為：和．【點評】本題考查了向量及三角形的中位線定理，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)及向量相等的含義．15．（4分）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點A（﹣4，0）和點B，與y軸交于點C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點D．點P是直線AC上方拋物線上一點，過點P作PG⊥x軸，垂足為點G，PG與直線AC交于點H．如果PH＝AH，則點P的坐標(biāo)是．【分析】用待定系數(shù)法可得，由A（﹣4，0），C（0，3）可得直線AC解析式為，，設(shè)，可得，由△AHG∽△ACO，可得，故，即可解得P點坐標(biāo)．【解答】解：把A（﹣4，0），C（0，3）代入得：，解得，∴；如圖：設(shè)直線AC解析式為y＝px+q，由A（﹣4，0），C（0，3）可得：，解得，∴直線AC解析式為，，設(shè)，則，∴，，∵∠HAG＝∠CAO，∠AGH＝90°＝∠AOC，∴△AHG∽△ACO，∴，即，∴，∵PH＝AH，∴，解得或m＝﹣4（與A重合，舍去），∴，故答案為：．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理．16．（4分）如圖，在?ABCD中，點F在邊AD上，AF＝2FD，直線BF與對角線AC相交于點E，交CD的延長線于點G，如果BE＝2，那么EG的長是3．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，AD＝BC，再證△AEF∽△CEB，求出EF的長，然后證△GFD∽△GBC，求出GF的長，即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AF＝2FD，∴AF＝AD＝BC，DF＝AD＝BC，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴＝＝，∴EF＝EB＝×2＝，∵AD∥BC，∴△GFD∽△GBC，∴＝＝，即＝，解得：GF＝，∴EG＝EF+GF＝+＝3，故答案為：3．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，求出EF和GF的長是解題的關(guān)鍵．17．（4分）如圖，已知在四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝AD，點E、F分別在線段CD、AD上．如果AE⊥BF，，那么cot∠ABD＝．【分析】過B作BG⊥AD于G，交AE于點H，證明△BGF∽△ADE，即可得，設(shè)BG＝2t，則AB＝AD＝3t，由勾股定理可得，最后求出cot∠ABD的值即可．【解答】解：如圖，過B作BG⊥AD于G，交AE于點H，∵BG⊥AD，AE⊥BF，∴∠BOA＝∠BGA＝90°，∵∠BHO＝∠AHG，∴∠GBF＝∠DAE，又∵∠BGF＝∠ADE．∴△BGF∽△ADE．∴，設(shè)BG＝2t，則AB＝AD＝3t，∴，∴，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴．故答案為：．【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．18．（4分）如圖，已知在矩形ABCD中，連接AC，，將矩形ABCD繞點C旋轉(zhuǎn)，使點B恰好落在對角線AC上的點B′處，點A、D分別落在點A′、D′處，邊A′B′、A′C分別與邊AD交于點M、N，MN﹣AM＝5，那么線段MN的長為15．【分析】連接BD，作A′E⊥AD于E，設(shè)AB＝CD＝3x，AD＝BC＝4x，則AC＝5x，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：B′C＝BC＝4x，A′B′＝AB＝3x，∠A′B′C＝∠ABC＝90°，證明△B′AM∽△DAC，得出，由勾股定理得出，推出，證明△AMB′∽△A′ME，求出，，得到，證明△A′EN∽△CDN，得出，求出，結(jié)合MN﹣AM＝5得到關(guān)于x的方程，求出x的值即可得解．【解答】解：如圖，連接BD，作A′E⊥AD于E，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，∵，∴設(shè)AB＝3x，AD＝4x，∴AB＝CD＝3x，AD＝BC＝4x，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：B′C＝BC＝4x，A′B′＝AB＝3x，∠A′B′C＝∠ABC＝90°，∴AB′＝AC﹣B′C＝x，∠AB′M＝180°﹣∠A′B′C＝90°，∵∠B′AM＝∠DAC，∴△B′AM∽△DAC，∴，∴，∴，∴，∵A′E⊥AD，∴∠A′EM＝∠AB′M＝90°，∵∠AMB′＝∠A′ME，∴△AMB′∽△A′ME，∴，∴，，∴，∵∠A′EN＝∠CDN＝90°，∠A′NE＝∠CND，∴△A′EN∽△CDN，∴，∴，∴，∵M(jìn)N﹣AM＝5，∴，∴x＝8，∴，故答案為：15．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計算：．【分析】先將各個特殊角度的銳角三角函數(shù)值化簡，再進(jìn)行計算即可．【解答】解：原式＝＝＝＝0．【點評】本題考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，掌握相應(yīng)的運算法則是關(guān)鍵．20．（10分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，BC＝2AD，OD＝1．（1）求BD的長：（2）如果，，試用、表示向量．【分析】（1）由題意可得△AOD∽△COB，則，即可得OB＝2，根據(jù)BD＝OB+OD可得答案．（2）由題意得，＝，則＝，由（1）知，OB＝，進(jìn)而可得答案．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，∴△AOD∽△COB，∴，∵OD＝1，∴OB＝2，∴BD＝OB+OD＝3．（2）∵，BC＝2AD，∴＝，∴＝，由（1）知，OB＝，∴＝＝．【點評】本題考查平面向量、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形法則、相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．21．（10分）如圖所示，BA和CD表示前后兩幢樓，按照有感規(guī)定兩幢樓間的間距不得小于樓的高度，即圖中AC大于等于CD，小明想測量一下他家所著AB樓與前面CD樓是否符合規(guī)定，于是他在AC間的點M處架了測角儀，測得CD樓頂D的仰角為45°，已知AM＝4米，測角儀距地面MN＝1.5米．（1）問：兩樓的間距是否符合規(guī)定？并說出你的理由；（2）為了知道前面CD樓的高度，小明又到家里（點P處），用測角儀再次測得CD樓頂D的仰角為α，如果AP＝7.5米，sinα＝0.6，請你來計算一下CD樓的高度．【分析】（1）過點N作NG⊥DC于點G，在Rt△DNG中，由∠DNG＝45°得到NG＝DG，比較AM+NG與DG+GC即可；（2）延長DP，GN交于H，由sinα＝0.6，可得tanα＝，由正切函數(shù)可求得HJ，設(shè)NG＝DG＝x，則HG＝8+4+x＝12+x，tanα＝，列方程可求得結(jié)論．【解答】解：（1）過點N作NG⊥DC于點G，在Rt△DNG中，∵∠DNG＝45°∴NG＝DG，∵AC＝AM+NG，DC＝DG+GC，AM＝4m，MN＝1.5m，AC＞DC，∴兩樓的間距符合規(guī)定；（2）延長DP，GN交于H，則∠H＝α，PJ＝AP﹣MN＝7.5m﹣1.5m＝6m，∵sinα＝0.6，∴tanα＝，∴HJ＝＝8m，設(shè)NG＝DG＝x，則HG＝8+4+x＝12+x，∵tanα＝，∴＝，解得+x＝36，即DG＝36m，∴DC＝DG+GC＝36+1.5＝37.5（米），∴CD樓的高度為37.5米．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，題目中涉及到了仰俯角和坡度角的問題，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識求解．22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線M：y＝﹣x2+bx+c過點A（2，2）、點B（0，2），頂點為點C，拋物線M的對稱軸交x軸于點D．（1）直接寫出拋物線M的表達(dá)式和點C的坐標(biāo)；（2）點P在x軸上，當(dāng)△AOP與△ACD相似時，求點P坐標(biāo)．【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）當(dāng)△OAP∽△CAD時，則，即，即可求解；當(dāng)△OAP∽△CDA時，同理可解．【解答】解：（1）由題意得：，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+2，∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，∴頂點C（1，3）；（2）由（1）知，y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，又∵拋物線M的對稱軸交x軸于點D，如圖，∴點D（1，0），∵A（2，2）、B（0，2），C（1，3），D（1，0），∴，CD＝3，，，∠AOD＝∠DCA＝45°，又∵△AOP與△ACD相似，∴點O與點C對應(yīng)，分兩種情況討論：當(dāng)△OAP∽△CAD時，則，即，解得：OP＝6，即點P（6，0）；當(dāng)△OAP∽△CDA時，則，即，解得：，則點，綜上，點P的坐標(biāo)為或（6，0）．【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，相似三角形的判定性質(zhì)等知識，熟練運用分類討論的思想解決問題是解題的關(guān)鍵．23．（12分）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，點M在邊BC上，且∠MDB＝∠ADB，BD2＝AD?BC．（1）求證：BM＝CM；（2）作BE⊥DM，垂足為點E，并交CD于點F．求證：2AD?DM＝DF?DC．【分析】（1）首先證明BM＝DM，再根據(jù)已知條件證明△ADB∽△DBC，由相似的性質(zhì)可得∠BDC＝∠A＝90°，進(jìn)而證明DM＝CM，所以BM＝CM；（2）由（1）可知M是BC的中點，所以DM是三角形BDC斜邊上的中線，由直角三角形的性質(zhì)可知BC＝2DM，證明Rt△DFB∽Rt△DBC可得，所以BD2＝DF?DC，又因為BD2＝AD?BC，所以BD2＝AD?BC＝AD?（2DM）＝2AD?DM．【解答】證明：（1）∵AD∥BC，AB⊥BC，∠MDB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠DBC＝∠MDB，∠A＝90°，∴BM＝DM，又∵BD2＝AD?BC，即，∴△ADB∽△DBC，∴∠BDC＝∠A＝90°，∴∠C＝∠MDC＝90°﹣∠DBC，∴DM＝CM，∴BM＝CM，（2）∵∠MDC+∠DFB＝90°，∴∠DFB＝∠DBC，∴Rt△DFB∽Rt△DBC，∴，∴DF?DC＝BD2∵BD2＝AD?BC＝AD?（2DM）＝2AD?DM，∴2AD?DM＝DF?DC．【點評】本題考查了梯形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及比例式的證明，題目的綜合性很強(qiáng)，難度不小．24．（12分）已知，如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線y＝x﹣2經(jīng)過A、C兩點．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）P為拋物線上一點，若點P關(guān)于直線AC的對稱點Q落在y軸上，求P點坐標(biāo)；（3）現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線y＝x﹣，若平移后的拋物線與直線y＝x﹣2交于M、N兩點．①求：MN的長度；②結(jié)合（2）的條件，直接寫出△QMN的周長的最小值4+2．【分析】（1）求出A，C點的坐標(biāo)，再將點坐標(biāo)代入y＝x2+bx+c，即可得解；（2）先求出∠OCA＝45°，再由對稱性可知PC⊥y軸，即可求出點P的縱坐標(biāo)，最后利用二次函數(shù)的解析式求出結(jié)果；（3）①先求出平移后的拋物線，再利用（x﹣m）2+m﹣＝x﹣2，得出x1+x2＝2m﹣4，x1?x2＝m2﹣4m+3，最后利用兩點間的距離公式求解即可；②作KQ⊥MN，連接MK，MP，先求出KM+MP的最小值，即KP的長，最后根據(jù)△QMN的周長的最小值，即KQ+KP，得解．【解答】解：（1）在y＝x﹣2中，令y＝0，得x＝2，令x＝0，得y＝﹣2，∴A（2，0），C（0，﹣2）；拋物線y＝x2+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，將A，C點坐標(biāo)代入得：，解得，∴拋物線的解析式為：y＝x2+x﹣2；（2）如圖，∵OA＝OC＝2，∴∠OCA＝45°，∵點P關(guān)于AC的對稱點Q在y軸上，∴∠OCA＝∠PCA＝45°，∴PC⊥y軸，∴點P的縱坐標(biāo)為﹣2，令x2+x﹣2＝﹣2，解得x＝6或x＝0（舍去），∴P（6，﹣2）；（3）①設(shè)平移后的拋物線的頂點為（m，m﹣），∴平移后的拋物線的解析式為：y＝（x﹣m）2+m﹣，令（x﹣m）2+m﹣＝x﹣2，整理得x2+（4﹣2m）x+m2﹣4m+3＝0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2＝2m﹣4，x1?x2＝m2﹣4m+3，∴MN＝＝＝＝2，∴MN的長度為2；②如圖，作KQ∥MN，并令KQ＝MN，連接MK，MP，由題可知，P（6，﹣2），Q（0，4），KQ＝MN＝2，則只需要求QM+QN的最小值即可．∵KQ∥MN，KQ＝MN，∴KM＝QN即KM+MP的最小值，即KP的長，∴K（﹣2，2），∴KP＝4，∴△QMN的周長的最小值為4+2．故答案為：4+2．【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線的平移，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，正確作出圖形是解題關(guān)鍵．25．（14分）如圖，已知正方形ABCD，點H是邊BC上的一個動點（不與點B、C重合），點E在DH上，滿足AE＝AB，延長BE交CD于點F．（1）求：sin∠FED；（2）點M、N分別是邊AB、AD的中點，已知點P在線段MN上，連結(jié)AP、BP，此時∠APB＝90°，求：cot∠ABP；（3）連結(jié)CE．如果△CEF是以CE為腰的等腰三角形，求∠FBC的正切值．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得AB＝AD，∠BAD＝90°，則AE＝AD＝AB，所以∠AEB＝∠ABE，∠AED＝∠ADE，則2∠AEB+2∠ADE+90°＝360°，所以∠AEB+∠ADE＝135°，進(jìn)而得到∠FED＝45°，即可得到sin∠FED的值；（2）連接AC交MN于點O，作ME⊥AP，MF⊥BP，設(shè)正方形ABCD的邊長為2，根據(jù)題意可得到，△MAN為等腰直角三角形，所以AM＝AN＝1，由直角三角形中線的性質(zhì)可得AM＝MP＝BM＝1，在Rt△AOM中，由勾股定理得：，可求出，在Rt△AOP中，由勾股定理求出，進(jìn)而得到，在Rt△AEM中，由勾股定理求出，由平行線的性質(zhì)得到∠AME＝∠ABP，從而得到，代入即可得到答案；（3）分兩種情況：①FE＝CE，則∠EFC＝∠ECF，可推出∠EBC＝∠ECB，所以BE＝CE＝FE，作EL⊥AD于點L，可證明AL＝DL，所以AE＝DE＝AD，則∠EAD＝60°，可求得∠CBF＝15°，在BC上取一點K，連接FK，使FK＝BK，則∠CKF＝∠KFB+