【高中數(shù)學(xué)課件】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)課件_第1頁
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復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)是一個函數(shù)被另一個函數(shù)所代替的形式。求解復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需要運用鏈?zhǔn)椒▌t,通過對內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)分別求導(dǎo)來得到最終結(jié)果。前置知識回顧1函數(shù)的定義對關(guān)系、映射等概念有深入理解,掌握函數(shù)的基本性質(zhì)。2函數(shù)的基本類型了解常見的函數(shù)類型,如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等。3函數(shù)圖像特點掌握函數(shù)圖像的形狀、特征及變換規(guī)律。4基礎(chǔ)求導(dǎo)法則熟悉冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基礎(chǔ)函數(shù)的求導(dǎo)。函數(shù)的定義數(shù)學(xué)概念函數(shù)是從一個數(shù)集到另一個數(shù)集的映射關(guān)系,是數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)概念之一。關(guān)系定義函數(shù)是一種特殊的關(guān)系,它規(guī)定了域中每個元素都對應(yīng)到對應(yīng)域中唯一的一個元素。輸入輸出函數(shù)通過某種對應(yīng)關(guān)系,將輸入映射到唯一的輸出,這是其核心特點。常見函數(shù)類型線性函數(shù)線性函數(shù)是最簡單的函數(shù)類型之一,其圖像為一條直線。它們常用于描述線性關(guān)系,如速度與時間、價格與數(shù)量等。指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像為一條指數(shù)曲線,用于描述復(fù)利、人口增長等指數(shù)級增長的現(xiàn)象。它們的特點是增長速度快且變化劇烈。對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的倒數(shù),其圖像為一條對數(shù)曲線。它們常用于表示相對變化、半衰期等。對數(shù)函數(shù)變化緩慢,增長速度較慢。三角函數(shù)三角函數(shù)包括正弦、余弦、正切等,其圖像為周期性的正弦曲線。它們常用于描述周期性變化,如機械振動、電流等。函數(shù)圖像特點數(shù)學(xué)函數(shù)的圖像可呈現(xiàn)線性、指數(shù)、對數(shù)、三角等不同形態(tài)。這些圖像特點反映了函數(shù)的增長速度、對稱性、周期性等性質(zhì)。理解函數(shù)圖像的特點,有助于分析函數(shù)的性質(zhì),并應(yīng)用于解決實際問題。復(fù)合函數(shù)的概念定義復(fù)合函數(shù)是指兩個函數(shù)通過特定方式組合而成的新函數(shù)。內(nèi)層函數(shù)的輸出作為外層函數(shù)的輸入,構(gòu)成了復(fù)合函數(shù)。表示復(fù)合函數(shù)用符號"°"表示,例如f(g(x))表示一個由f函數(shù)和g函數(shù)復(fù)合而成的新函數(shù)。實例常見的復(fù)合函數(shù)有三角函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等。例如sin(x^2)就是一個復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的幾何意義復(fù)合函數(shù)可以形象地理解為一個數(shù)據(jù)處理的"黑盒"過程。輸入一個值后,經(jīng)過兩個或多個函數(shù)的連續(xù)變換,最終得到輸出。這種級聯(lián)的函數(shù)變換有著豐富的幾何意義。每個函數(shù)都可以看作是一個坐標(biāo)變換或映射,復(fù)合函數(shù)則體現(xiàn)了這些變換的疊加效果。理解復(fù)合函數(shù)的幾何意義有助于我們更好地掌握復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)和性能。復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可逆性復(fù)合函數(shù)(f°g)(x)可逆,當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)f(x)和g(x)都可逆??晌⑿匀绻瘮?shù)f(x)和g(x)都可微,那么復(fù)合函數(shù)(f°g)(x)也可微。導(dǎo)數(shù)性質(zhì)復(fù)合函數(shù)(f°g)(x)的導(dǎo)數(shù)為:[(f°g)'(x)=f'(g(x))·g'(x)]。等價無窮小如果g(x)在x0處無窮小,那么(f°g)(x)在x0處也無窮小。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的步驟1確定函數(shù)關(guān)系理解復(fù)合函數(shù)的組成部分2提取內(nèi)層函數(shù)找出函數(shù)中的內(nèi)層函數(shù)3應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t利用鏈?zhǔn)椒▌t求出導(dǎo)數(shù)4化簡表達式整理計算得到的導(dǎo)數(shù)求解復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需要遵循一定的步驟。首先要確定函數(shù)的組成關(guān)系,找出內(nèi)層函數(shù)。接下來應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t進行求導(dǎo),最后對導(dǎo)數(shù)表達式進行化簡整理。只有掌握好這些步驟,才能順利地求出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。求導(dǎo)法則1:常數(shù)倍法則常數(shù)倍法則對于函數(shù)f(x)=k·g(x)進行求導(dǎo)時,可以將常數(shù)k提出來,即f'(x)=k·g'(x)。這個規(guī)則可以大大簡化復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)過程。適用范圍常數(shù)倍法則適用于任何形式的函數(shù),只要函數(shù)外有常數(shù)因子即可應(yīng)用。這是最基本但也非常實用的求導(dǎo)法則。推導(dǎo)過程從函數(shù)定義出發(fā),運用導(dǎo)數(shù)定義即可推導(dǎo)出常數(shù)倍法則,體現(xiàn)了這一求導(dǎo)法則的內(nèi)在合理性。求導(dǎo)法則2:加法、減法法則加法法則若函數(shù)f(x)和g(x)都可導(dǎo),那么它們的和f(x)+g(x)也可導(dǎo),且(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)。減法法則若函數(shù)f(x)和g(x)都可導(dǎo),那么它們的差f(x)-g(x)也可導(dǎo),且(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)。應(yīng)用場景加法和減法法則適用于求解涉及多個函數(shù)的復(fù)合關(guān)系,可大大簡化運算過程。求導(dǎo)法則3:乘法法則定義如果y=f(x)*g(x),則y'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。這就是復(fù)合函數(shù)中乘法法則的求導(dǎo)公式。應(yīng)用乘法法則可用于求導(dǎo)涉及乘積的復(fù)合函數(shù),如三角函數(shù)乘冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)乘冪函數(shù)等。優(yōu)勢乘法法則簡單易懂,適用范圍廣,在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中占據(jù)重要地位。掌握該法則可以高效地處理大量實際問題。示例設(shè)y=x^2*sin(x),求y'。應(yīng)用乘法法則可得y'=2x*sin(x)+x^2*cos(x)。求導(dǎo)法則4:除法法則除法法則對于以商形式表達的函數(shù)f(x)=g(x)/h(x),其導(dǎo)數(shù)可以表示為f'(x)=(g'(x)h(x)-g(x)h'(x))/(h(x))^2。求導(dǎo)步驟1.求出分子函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù)g'(x)。2.求出分母函數(shù)h(x)的導(dǎo)數(shù)h'(x)。3.帶入公式計算f'(x)。應(yīng)用注意事項分母函數(shù)h(x)不能等于0,否則導(dǎo)數(shù)會出現(xiàn)定義域問題。同時要注意分子函數(shù)g(x)與分母函數(shù)h(x)的相互關(guān)系。鏈?zhǔn)椒▌t1函數(shù)嵌套鏈?zhǔn)椒▌t適用于函數(shù)嵌套的情況,即內(nèi)部函數(shù)的輸出作為外部函數(shù)的輸入。2導(dǎo)數(shù)乘積復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于內(nèi)部函數(shù)導(dǎo)數(shù)和外部函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘積。3靈活運用鏈?zhǔn)椒▌t是一種常用而有效的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法,能幫助我們快速得出導(dǎo)數(shù)表達式。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)示例1給定函數(shù)設(shè)f(x)=(x^2+1)^3,求f'(x)。分析函數(shù)結(jié)構(gòu)可以看出f(x)是由內(nèi)層函數(shù)g(x)=x^2+1和外層函數(shù)h(x)=x^3構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)。應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t,f'(x)=h'(g(x))*g'(x)。計算導(dǎo)數(shù)g'(x)=2x,h'(x)=3x^2,代入鏈?zhǔn)椒▌t即可得到f'(x)=6(x^2+1)^2*2x。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)示例21確定函數(shù)構(gòu)成確定兩個函數(shù)f(x)和g(x)的形式2寫出復(fù)合函數(shù)將兩個函數(shù)組合成復(fù)合函數(shù)F(x)=f(g(x))3應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t計算F'(x)在這個例子中,我們將學(xué)習(xí)如何運用鏈?zhǔn)椒▌t求解復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。首先我們需要確定構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的兩個基礎(chǔ)函數(shù),然后將它們組合成復(fù)合函數(shù)F(x)。最后運用鏈?zhǔn)椒▌t逐步求出F(x)的導(dǎo)數(shù)。這個過程需要仔細推導(dǎo),是掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)示例31情景描述某公司銷售額與廣告投放費用之間存在復(fù)合函數(shù)關(guān)系。求銷售額關(guān)于廣告投放費用的導(dǎo)數(shù)。2設(shè)定變量設(shè)銷售額為y,廣告投放費用為x,則存在復(fù)合函數(shù)關(guān)系y=f(g(x))。3求導(dǎo)步驟根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t,先求內(nèi)層函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù),再求外層函數(shù)f(g(x))的導(dǎo)數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)示例41給定函數(shù)f(x)=(3x+2)22內(nèi)層函數(shù)u=3x+23外層函數(shù)v=u24求導(dǎo)步驟應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)在這個例子中,我們有一個復(fù)合函數(shù)f(x)=(3x+2)2。首先找到內(nèi)層函數(shù)u=3x+2,然后外層函數(shù)v=u2。應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo),即可得到f'(x)的表達式。這種分步求導(dǎo)的方法非常有助于理解復(fù)合函數(shù)的微分過程。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)示例5已知復(fù)合函數(shù)f(x)=(x^2+1)^3,g(x)=2x-1求f(g(x))的導(dǎo)數(shù)首先確定內(nèi)層函數(shù)g(x)和外層函數(shù)f(x)。應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t,f'(g(x))=f'(x)*g'(x)。計算導(dǎo)數(shù)f'(x)=3(x^2+1)^2*2x,g'(x)=2。得到結(jié)果f'(g(x))=3(2x-1+1)^2*2(2x-1)=18(2x-1)^3。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)示例61已知函數(shù)設(shè)f(x)=3x^2+5x+2,g(x)=x^3-2x+1。求復(fù)合函數(shù)(f?g)(x)的導(dǎo)數(shù)。2求導(dǎo)步驟將內(nèi)層函數(shù)g(x)代入外層函數(shù)f(x),得到復(fù)合函數(shù)(f?g)(x)=f(g(x))=3(x^3-2x+1)^2+5(x^3-2x+1)+2。根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t進行求導(dǎo),即(f?g)'(x)=f'(g(x))*g'(x)。首先求得f'(x)=6x+5和g'(x)=3x^2-2。代入鏈?zhǔn)椒▌t公式,得到(f?g)'(x)=(6(x^3-2x+1)+5)*(3x^2-2)。3最終結(jié)果因此,復(fù)合函數(shù)(f?g)(x)的導(dǎo)數(shù)為(f?g)'(x)=(6(x^3-2x+1)+5)*(3x^2-2)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)示例71f(x)=e^(sin(x))指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的復(fù)合2u=sin(x)內(nèi)層函數(shù)3v=e^u外層函數(shù)這個例子結(jié)合了指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù),體現(xiàn)了復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t。我們首先求出內(nèi)層函數(shù)u=sin(x)的導(dǎo)數(shù)u'=cos(x),然后將u'帶入外層函數(shù)v=e^u的導(dǎo)數(shù)公式,得到最終的導(dǎo)數(shù)函數(shù)為f'(x)=e^(sin(x))·cos(x)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的應(yīng)用繪制函數(shù)圖像將復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)應(yīng)用于繪制函數(shù)圖像中,有助于更好地理解函數(shù)的性質(zhì)。優(yōu)化問題分析利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式可以幫助解決各種優(yōu)化問題,如最大化利潤、最小化成本等。物理應(yīng)用在物理學(xué)中,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式可以應(yīng)用于速度、加速度等時間相關(guān)的問題。經(jīng)濟應(yīng)用在經(jīng)濟學(xué)中,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式可以應(yīng)用于投資收益率、稅率等問題的分析。利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)解決實際問題日常生活應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)廣泛應(yīng)用于工程、物理、經(jīng)濟等領(lǐng)域,例如測量建筑物高度、預(yù)測股票價格走勢、優(yōu)化生產(chǎn)流程。工程領(lǐng)域應(yīng)用在工程設(shè)計中,復(fù)合函數(shù)可以用來計算橋梁承重力、管道系統(tǒng)壓力和熱量傳遞等關(guān)鍵參數(shù),確保結(jié)構(gòu)安全可靠??茖W(xué)研究應(yīng)用在物理學(xué)和化學(xué)研究中,復(fù)合函數(shù)可用于建立模型,揭示自然界的規(guī)律,推進科學(xué)發(fā)展。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)總結(jié)1復(fù)合函數(shù)的概念復(fù)合函數(shù)是兩個或多個單獨的函數(shù)經(jīng)過合成后形成的新函數(shù)。2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)步驟通過鏈?zhǔn)椒▌t逐步求導(dǎo),內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以外層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在工程、經(jīng)濟等實際問題中得到廣泛應(yīng)用。思考題1給定函數(shù)f(x)=x^3+2x^2-5x+1,求其復(fù)合函數(shù)g(x)=f(2x-1)的導(dǎo)數(shù)。請詳細地推導(dǎo)計算過程,并給出最終結(jié)果。思考題2一個工廠每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品,隨著生產(chǎn)量的增加,單個產(chǎn)品的生產(chǎn)成本呈遞減趨勢。設(shè)生產(chǎn)成本函數(shù)為C(x)=a/x+b,其中a、b為常數(shù)。請求出生產(chǎn)x件產(chǎn)品時的總成本函數(shù)TC(x)。分析總成本函數(shù)的特點,并找出使總成本最小的x值。思考題3某公司在最近一年推出了一款新產(chǎn)品,該產(chǎn)品的銷量可以表示為復(fù)合函數(shù)f(x)=x^3+2x^2-x,其中x表示銷售時間(月)。請問該新產(chǎn)品在第幾個月的銷量最大?課后練習(xí)練習(xí)1求函數(shù)y=(x^2+2)/(x+1)的導(dǎo)數(shù)。練習(xí)2函數(shù)f(x)=(2x-1)^3,求其導(dǎo)數(shù)f'

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