數(shù)學學案：互動課堂第二講二圓內(nèi)接四邊形的性質與判定定理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂重難突破一、圓內(nèi)接四邊形的性質定理圓內(nèi)接四邊形的性質定理包括兩個:定理1是圓的內(nèi)接四邊形對角互補；定理2是圓的內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角。這兩個定理表述形式稍有差別,但反映的本質相同，都反映了圓內(nèi)接四邊形所具有的特征。利用這兩個定理，可以借助圓變換角的位置，得到角的相等關系或互補關系,再進行其他的計算或證明.利用這兩個定理可以得出一些重要結論，如內(nèi)接于圓的平行四邊形是矩形；內(nèi)接于圓的菱形是正方形；內(nèi)接于圓的梯形是等腰梯形.應用這些性質可以大大簡化證明有關幾何題的推理過程。二、圓內(nèi)接四邊形的判定定理1。定理：如果一個四邊形的一組對角互補，那么這個四邊形內(nèi)接于圓。2。符號語言表述：在四邊形ABCD中,如果∠B+∠D=180°,那么四邊形ABCD內(nèi)接于圓。3.證明思路：要證明四邊形ABCD內(nèi)接于圓，就是要證明A、B、C、D四點在同一個圓上。根據(jù)我們的經(jīng)驗,若能證明這四個點到一個定點距離相等即可.但是這個定點一時還找不出來。不過對于不在同一條直線上的三點來說，總可以確定一個圓.因此我們可以先經(jīng)過A、B、C、D中的任意三個點，譬如過A、B、C三點作一個圓,再證明第四個點D也在這個圓上就可以了.但是直接證明點D在圓上很困難,所以我們采用反證法證明。也就是假設點D不在圓上,經(jīng)過推理論證，得出錯誤的結論,這就說明點D不在圓上是錯誤的,因此點D只能在圓上。圖2-2—1由于點D不在圓上時,可能出現(xiàn)點D在圓外和點D在圓內(nèi)兩種情況,所以應分別加以證明,下面先討論點D在圓內(nèi)的情況.假設點D在圓內(nèi),若作出對角線BD，延長BD和圓交于D′,連結AD′、CD′，則ABCD′為圓內(nèi)接四邊形（如圖221），則∠ABC+∠AD′C=180°.另一方面,因為∠ADB、∠BDC分別是△AD′D和△CD′D的外角，所以有∠AD′B〈∠ADB，∠BD′C〈∠BDC，于是有∠AD′C〈∠ADC.因為已知∠ABC+∠ADC=180°，所以∠ABC＋∠AD′C〈180°，這與圓內(nèi)接四邊形的性質定理矛盾。因此可證點D不能在圓內(nèi)。用類似的方法也可以證明點D也不能在圓外.因此點D在圓上,即四邊形ABCD內(nèi)接于圓.三、判定四點共圓的方法(1)如果四個點與一定點距離相等，那么這四個點共圓。(2）如果一個四邊形的一組對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓.（3）如果一個四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角,那么這個四邊形的四個頂點共圓。(4）如果兩個直角三角形有公共的斜邊,那么這兩個三角形的四個頂點共圓(因為四個頂點與斜邊中點距離相等）.四、刨根問底問題圓內(nèi)接四邊形判定定理的證明，推導出與圓內(nèi)接四邊形性質定理相矛盾的結果，體現(xiàn)了反證法證明幾何命題的基本思路.反證法是證明問題的有效方法,那么與正面證明相比較，反證法有什么特點?它證明問題的步驟怎樣?它有什么優(yōu)點？探究:反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后從這個假設出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導致矛盾,從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法.反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設,掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于；垂直于/不垂直于;等于/不等于；大(小）于/不大(小)于；都是/不都是;至少有一個/一個也沒有;至少有n個/至多有（n—1）個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。歸謬是反證法的關鍵,導出矛盾的過程沒有固定的模式,但必須從反設出發(fā),否則推導將成為無源之水,無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型:與已知條件矛盾，與已知的公理、定義、定理、公式矛盾，與反設矛盾,自相矛盾.反證法可以分為歸謬反證法（結論的反面只有一種)與窮舉反證法（結論的反面不止一種）,如在上述定理證明中,假設點D不在圓上,則有點D在圓外和點D在圓內(nèi)兩種情況，必須一一證出這兩種情況都不成立后，才能肯定點D在圓上.用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：（1)反設;(2)歸謬；（3）結論。對于一些從正面難以說明的問題，反證法往往有著出奇制勝的作用。活學巧用【例1】圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，則∠D=。思路解析:由圓內(nèi)接四邊形性質可知：∠A+∠C=180°，根據(jù)∠A∶∠C=2∶4，可求出∠A和∠C,從而求出∠B和∠D.方法一:∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴∠A+∠C=180°.又∠A∶∠C=2∶4,∴∠A=60°,∠C=120°.又∠A∶∠B=2∶3，∴∠B=90°?！唷螪=180°—∠B=90°.方法二：∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,又∠A+∠C=∠B+∠D，∴∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶3∶4∶3.∴∠B=∠D。又∠B+∠D=180°，∴∠D=90°。答案:90°【例2】如圖2—2—2,已知ABCD為平行四邊形，過點A和B的圓與AD、BC分別交于E、F.求證:C、D、E、F四點共圓.圖2-2—2思路解析：連結EF.由∠B+∠AEF=180°,∠B＋∠C=180°，可得∠AEF=∠C.證明：連結EF.∵ABCD為平行四邊形，∴∠B＋∠C=180°.∵A、B、F、E內(nèi)接于圓,∴∠B+∠AEF=180°.∴∠AEF=∠C.∴C、D、E、F四點共圓.【例3】兩圓相交于A、B,過A作兩直線分別交兩圓于C、D和E、F.若∠EAB=∠DAB。求證：CD=EF。圖2-2—3思路解析：要證CD=EF,只需證明△CBD≌△EBF即可.從圖2—2-3可以看出∠C=∠E，∠D=∠F，因此，尚需找一條對應邊相等即可。比如,能否推出BC=BE呢？要證BC=BE，只需∠CEB=∠ECB.有無可能呢?可以發(fā)現(xiàn)∠ECB=∠1，又已知∠1=∠2，所以,只需證∠2=∠CEB即可。這時我們發(fā)現(xiàn)ABEC是圓內(nèi)接四邊形，根據(jù)性質定理,它的外角∠2與它的內(nèi)對角∠CEB當然相等.至此，思路完全溝通。證明:連結EC、DF，∵ABEC為圓內(nèi)接四邊形,∴∠2=∠CEB。又∵∠1=∠ECB,且∠1=∠2，∴∠CEB=∠ECB?！郆C=BE。在△CBD與△EBF中，∠C=∠E,∠D=∠F,BC=BE，∴△CBD≌△EBF.∴CD=EF.【例4】在銳角△ABC中,BD、CE分別是邊AC、AB上的高線，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F.求證：FG∥BC。圖2—2-4思路解析：證FG∥BC,只需證∠DFG=∠DBC即可.我們設法由共斜邊的兩個直角三角形的四頂點共圓來分析角的關系,探求證明的思路。證明:如圖2—2—4,連結DE，由于Rt△BCE與Rt△BCD共斜邊BC,所以B、C、D、E四點共圓。由同弧上的圓周角,有∠DBC=∠DEG.同理，Rt△EDF與Rt△DGE共斜邊DE，所以D、E、F、G四點共圓.于是，∠DEG=∠DFG。因此，∠DBC=∠DFG.于是FG∥BC.【例5】如圖2-2—5，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形,AB=AD，∠BCD=120°。圖2—2—5(1）當⊙O的半徑為8cm時，求△ABD的內(nèi)切圓面積;(2）求證:AC=BC+CD。思路解析：(1)要求內(nèi)切圓面積，則先求內(nèi)切圓半徑和圓心，因此先研究△ABD的性質。（2)證明線段的和的問題,先在AC上截取CE=BC,然后再證AE=CD.（1)解:過O點作OH⊥BD,垂足為H,連結BO.∵四邊形ABCD為⊙O內(nèi)接四邊形,∴∠BAD+∠BCD=180°.∴∠BAD=60°.∵AB=AD,∴△ABD為正三角形.∴OH為△ABD的內(nèi)切圓半徑.在Rt△OBH中，OB