數(shù)學(xué)學(xué)案：互動(dòng)課堂第二講四漸開線與擺線

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動(dòng)課堂重難突破本課時(shí)主要了解圓的漸開線與擺線的參數(shù)方程,難點(diǎn)是參數(shù)方程的建立過(guò)程.一、漸開線的產(chǎn)生過(guò)程我們可以把一條沒有彈性的繩子繞在一個(gè)圓盤上，在繩的外端系上一枝鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切,逐漸展開，那么鉛筆畫出的曲線就是圓的漸開線，相應(yīng)的定圓叫做基圓(如右圖）。也可以使用計(jì)算機(jī)在軟件中進(jìn)行模擬漸開線的圖象。通過(guò)模擬中的動(dòng)態(tài)過(guò)程理解漸開線的形狀和形成原理,加深對(duì)漸開線概念和含義的理解.其實(shí)質(zhì)就是直線在圓上滾動(dòng)時(shí)直線上定點(diǎn)的軌跡。二、擺線的概念和產(chǎn)生過(guò)程圓的擺線就是一個(gè)圓沿著一條定直線無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡.我們可以在自行車輪子上噴一個(gè)白色的印記，觀察自行車在筆直的道路上運(yùn)動(dòng)時(shí)形成的軌跡來(lái)理解圓的擺線，也可以借助教具或計(jì)算機(jī)軟件,觀察圓在直線上滾動(dòng)時(shí)圓上定點(diǎn)的軌跡。圓的擺線又叫旋輪線.三、圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程對(duì)于圓的漸開線，我們以基圓圓心O為原點(diǎn),一條直徑所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件和向量的有關(guān)性質(zhì)可以得到圓的漸開線的參數(shù)方程為（φ為參數(shù))。同樣道理，根據(jù)擺線上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,取定直線為x軸，動(dòng)點(diǎn)的其中一個(gè)位置為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,根據(jù)幾何知識(shí)可得圓的擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)）.四、圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程中的參數(shù)φ的幾何意義根據(jù)漸開線的定義和求解參數(shù)方程的過(guò)程,可知其中的字母r是指基圓的半徑,而參數(shù)φ是指繩子外端運(yùn)動(dòng)時(shí)繩子上的定點(diǎn)M相對(duì)于圓心的張角。如圖（1），其中的∠AOB即是角φ。顯然點(diǎn)M由參數(shù)φ唯一確定。在我們解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)可以適當(dāng)利用其幾何意義，把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，使求解過(guò)程更加簡(jiǎn)單。同樣,根據(jù)圓的擺線的定義和建立參數(shù)方程的過(guò)程可知其中的字母r是指定圓的半徑，它決定了擺線的某方面的大小情況。參數(shù)φ是指圓上定點(diǎn)相對(duì)于某一定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所張開的角度大小。如圖（2），根據(jù)參數(shù)的幾何意義也可以在解決問(wèn)題中加以引用，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.當(dāng)然這個(gè)幾何意義還不是很明顯,直接使用還要注意其取值的具體情況.（1)（2）五、用參數(shù)方程描述運(yùn)動(dòng)規(guī)律的特點(diǎn)有些重要但較復(fù)雜的曲線（例如圓的漸開線)，建立它們的普通方程比較困難，甚至不可能，列出的方程既復(fù)雜又不易理解,從普通方程看不出曲線的坐標(biāo)所滿足條件的含義。如圓的漸開線的普通方程，可以根據(jù)其參數(shù)方程(φ為參數(shù)）消去參數(shù)φ得到根據(jù)方程畫出曲線十分費(fèi)時(shí)，而利用參數(shù)方程把兩個(gè)變量x、y間接地聯(lián)系起來(lái)，常常比較容易，方程簡(jiǎn)單明確,且畫圖也不太困難。對(duì)于參數(shù)方程,我們可以根據(jù)參數(shù)的取值求出坐標(biāo)的關(guān)系，相比之下比普通方程更為直觀.所以，在研究圓的漸開線和圓的擺線時(shí)主要使用參數(shù)方程,而不去討論其普通方程?；顚W(xué)巧用【例1】寫出半徑為2的基圓的漸開線方程.解：半徑為2的基圓的漸開線方程(φ為參數(shù))。【例2】求擺線(0≤t≤2π）與直線y=2的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)。解:y=2時(shí)，2=2（1-cost）,∴cost=0.∵0≤t≤2π,∴t=或π?！鄕1=2（—sin)=π-2，x2=2（π-sinπ)=3π+2。∴交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（π—2，2），（3π+2，2）?！纠?】已知一個(gè)圓的擺線過(guò)一定點(diǎn)(1，0)，請(qǐng)寫出該擺線的參數(shù)方程.解析:根據(jù)圓的擺線的參數(shù)方程的表達(dá)式(φ為參數(shù))，可知只需求出其中的r，也就是說(shuō)，擺線的參數(shù)方程由圓的半徑唯一確定,因此只需把點(diǎn)(1，0）代入?yún)?shù)方程求出r值再代入?yún)?shù)方程的表達(dá)式。解:令r(1-cosφ）=0,可得cosφ=1.所以φ=2kπ（k∈Z）代入可得x=r(2kπ—sin2kπ）=1。所以r=。又根據(jù)實(shí)際情況可知r是圓的半徑,故r>0。所以應(yīng)有k>0且k∈Z，即k∈N*.所以所求擺線的參數(shù)方程是(φ為參數(shù)）（其中k∈N＊)。點(diǎn)評(píng):本題易錯(cuò)點(diǎn)是誤把點(diǎn)(1，0)中的1或0當(dāng)成φ的值，代入?yún)?shù)方程中求出x和y的值，再計(jì)算r的值;或者在求出cosφ=1后，直接得出φ=0，從而導(dǎo)致答案不全面?！纠?】已知圓的直徑為2，其漸開線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的曲線上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是和，求A、B兩點(diǎn)的距離.解析：首先根據(jù)圓的直徑可知半徑為1，寫出漸開線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，再根據(jù)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)代入?yún)?shù)方程可得對(duì)應(yīng)的A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),然后使用兩點(diǎn)之間的距離計(jì)算公式可得A、B之間的距離.解:根據(jù)條件可知圓的半徑是1，所以對(duì)應(yīng)的漸開線參數(shù)方程是（φ為參數(shù))，分別把φ=和φ=代入，可得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（）、B（,1）。那么，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可得A、B兩點(diǎn)的距離為|AB|==即點(diǎn)A、B之間的距離為點(diǎn)評(píng):本節(jié)主要內(nèi)容是圓的漸開線和擺線的定義和參數(shù)方程。要解決有關(guān)的問(wèn)題首先要理解這兩個(gè)定義和參數(shù)方程的推導(dǎo)過(guò)程，還要牢記兩個(gè)參數(shù)方程.給出圓的半徑要能寫出對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程，根據(jù)參數(shù)方程能寫出某對(duì)應(yīng)參數(shù)的坐標(biāo),從而再解決其他問(wèn)題.本例題就是對(duì)這些知識(shí)的綜合考查，要注意前后知識(shí)的聯(lián)系.特別是兩點(diǎn)之間的距離公式也要熟記?！纠?】已知圓C的參數(shù)方程是（α為參數(shù))和直線l對(duì)應(yīng)的普通方程是x—y—6=0。(1)如果把圓心平移到原點(diǎn)O，請(qǐng)問(wèn)平移后圓和直線滿足什么關(guān)系?（2）寫出平移后圓的擺線方程。（3）求擺線和x軸的交點(diǎn)。解析：(1）圓C平移后圓心為O(0,0）,它到直線x-y-6=0的距離為d==6,恰好等于圓的半徑,