數(shù)學學案：互動課堂第一講四柱坐標系與球坐標系簡介

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂重難突破本課時的重點與難點均為對柱坐標系、球坐標系概念的理解及簡單應(yīng)用。一、柱坐標系1.定義:如圖，建立空間直角坐標系O—xyz，設(shè)P是空間任意一點,它在Oxy平面上的射影為Q，用(ρ，θ）（ρ≥0,0≤θ<2π)來表示點Q在平面Oxy上的極坐標。這時點P的位置可用有序數(shù)組(ρ，θ，z)(z∈R)表示.這樣,我們建立了空間的點與有序數(shù)組(ρ，θ，z)之間的一種對應(yīng)關(guān)系，把建立上述對應(yīng)關(guān)系的坐標系叫做柱坐標系,有序數(shù)組（ρ，θ，z)叫做點P的柱坐標，記作P（ρ，θ,z），其中ρ≥0，0≤θ〈2π，-∞〈z<+∞.2.空間點P的直角坐標(x,y，z)與柱坐標（ρ，θ，z）之間的變換公式為二、球坐標系1。定義:如圖，建立空間直角坐標系O—xyz,設(shè)P是空間任意一點，連結(jié)OP，記|OP｜=r，OP與Oz軸正向所夾的角為φ,設(shè)P在Oxy平面上的射影為Q,Ox軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到OQ時所轉(zhuǎn)過的最小正角為θ.這樣點P的位置就可以用有序數(shù)組（r,φ，θ）表示.這樣,空間的點與有序數(shù)組(r,φ，θ）之間建立了一種對應(yīng)關(guān)系,把建立上述對應(yīng)關(guān)系的坐標系叫做球坐標系（或空間極坐標系)，有序數(shù)組(r,φ,θ）叫做點P的球坐標，記作P（r,φ，θ），其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.2.空間點P的直角坐標(x,y，z）與球坐標（r,φ，θ）之間的變換關(guān)系為3。球坐標系在地理學、天文學中有著廣泛的應(yīng)用.在測量實踐中,球坐標中的角θ稱為被測點P（r,φ，θ）的方位角，90°-φ稱為高低角.可以看出,球坐標系與柱坐標系都是在空間直角坐標系的基礎(chǔ)上建立的.在直角坐標系中，我們需要三個長度：（x,y，z），而在球坐標系與柱坐標系中，我們需要長度，還需要角度.它是從長度、方向來描述一個點的位置，需要(ρ，θ,z）或者(r,φ,θ）.三種坐標系互相不同,互相有聯(lián)系，互相能夠轉(zhuǎn)化,都是刻畫空間一點的位置,只是描述的角度不同.至此，我們已經(jīng)學習了數(shù)軸、平面直角坐標系、平面極坐標系、空間直角坐標系、柱坐標系、球坐標系等知識,可以看到坐標系是聯(lián)系形與數(shù)的橋梁，利用坐標系可以實現(xiàn)幾何問題與代數(shù)問題的相互轉(zhuǎn)化。不同的坐標系有不同的特點，在實際應(yīng)用時，我們就可以根據(jù)問題的特點選擇適當?shù)淖鴺讼担柚鴺讼捣奖?、簡捷地研究問題。三、在實際問題中的應(yīng)用在球坐標系中，它的三度實際上也是我們所熟悉的，它與前面所學的球的一些基本知識是有著密切聯(lián)系的.我們得熟悉這部分內(nèi)容。1。經(jīng)線與經(jīng)度:地球球面上從北極到南極的半個大圓叫做經(jīng)線,規(guī)定經(jīng)過英國格林威治天文臺舊址的經(jīng)線為0°經(jīng)線.一個地方的經(jīng)度是指經(jīng)過當?shù)亟?jīng)線的所在半平面和0°經(jīng)線所在半平面之間的夾角的度數(shù),以0°經(jīng)線為基準，向東度量的為東經(jīng)，向西度量的為西經(jīng)。如東經(jīng)30°、西經(jīng)60°等.2.緯線與緯度：與地軸(通過北極和南極的直線)垂直的平面截地球球面所得的圓叫做緯線，其中大圓叫做赤道。一個地方的緯度是指當?shù)嘏c球心的連線和地球赤道平面之間所成的角的度數(shù)，赤道為0°緯線，以赤道為基準,向北度量為北緯，向南度量為南緯.如北緯25°、南緯23.5°等.活學巧用【例1】一個圓形體育館，自正東方向起,按逆時針方向等分為十六個扇形區(qū)域，順次記為一區(qū)，二區(qū)，…，十六區(qū),我們設(shè)圓形體育場第一排與體育中心的距離為500m，每相鄰兩排的間距為1m，每層看臺的高度為0.7m，現(xiàn)在需要確定第九區(qū)第四排正中的位置A,請建立適當?shù)淖鴺讼?，把點A的坐標求出來.解:以圓形體育場中心O為極點，選取以O(shè)為端點且過正東入口的射線Ox為極軸，在地面上建立極坐標系.則點A與體育場中軸線Oz的距離為504m，極軸Ox按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，就是OA在地平面上的射影。A距地面的高度為2。8m,因此我們可以用柱坐標來表示點A的準確位置.∴點A的柱坐標為（504，，2.8）點評:找空間中一點的柱坐標，與找平面極坐標是類似的，需要確定極徑、極角,只是比平面極坐標多了一個量，即點的空間中的高度.【例2】經(jīng)過若干個固定和流動的地面遙感觀測站監(jiān)測，并通過數(shù)據(jù)匯總，計算出一個航天器在某一時刻的位置，離地面2384千米，地球半徑為6371千米，此時經(jīng)度為80°，緯度為75°.試建立適當?shù)淖鴺讼担_定出此時航天器點P的坐標.解:在赤道平面上,選取地球球心為極點，以O(shè)為端點且與零子午線相交的射線Ox為極軸,建立球坐標系,如圖。由已知航天器位于經(jīng)度80°，可知θ=80°，由航天器位于緯度75°，可知φ=90°—75°=15°,由航天器離地面2384千米，地球半徑為6371千米,可知r=2384+6371=8755千米?！帱cP的球坐標為(8755km,15°，80°).【例3】已知長方體ABCD-A1B1C1D1的邊長為AB=14,AD=6,AA1=10，以這個長方體的頂點A為坐標原點，以射線AB、AD、AA1分別為Ox、Oy、Oz軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求長方體頂點C1解析：如圖,此題是考查空間直角坐標、球坐標、柱坐標的概念，我們要能借此區(qū)分三個坐標,找到它們的相同和不同來.C1點的(x，y，z)分別對應(yīng)著CD、BC、CC1,C1點的(ρ，θ,z)分別對應(yīng)著AC、∠BAC、CC1，C1點的（r，φ,θ）分別對應(yīng)著AC1、∠A1AC1、∠BA