第05講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（講義）（原卷版）

第05講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）理解對數(shù)的概念及運算性質(zhì)，能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).（2）通過實例，了解對數(shù)函數(shù)的概念，會畫對數(shù)函數(shù)的圖象，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.（3）了解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)(，且)互為反函數(shù)．2022年天津卷第6題，5分2022年浙江卷第7題，5分2022年I卷I卷第7題，5分從近五年的高考情況來看，對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)是高考的一個重點也是一個難點，常與二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)綜合，考查數(shù)值大小的比較和函數(shù)方程問題.1、對數(shù)式的運算(1)對數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，讀作以為底的對數(shù)，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．(2)常見對數(shù)：①一般對數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對數(shù)；②常用對數(shù)：以為底，記為；③自然對數(shù)：以為底，記為；(3)對數(shù)的性質(zhì)和運算法則：①；；其中且；②(其中且，)；③對數(shù)換底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2、對數(shù)函數(shù)的定義及圖像(1)對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)．對數(shù)函數(shù)的圖象圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點，即時，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，【解題方法總結(jié)】1、對數(shù)函數(shù)常用技巧在同一坐標系內(nèi)，當(dāng)時，隨的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近軸；當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨的增大而遠離軸．(見下圖)題型一：對數(shù)運算及對數(shù)方程、對數(shù)不等式【例1】（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）______．【對點訓(xùn)練1】（2023·遼寧沈陽·沈陽二中?？寄M預(yù)測）已知，，則______．【對點訓(xùn)練2】（2023·上海徐匯·位育中學(xué)校考模擬預(yù)測）方程的解集為________．【對點訓(xùn)練3】（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）設(shè)，滿足，則__________.【對點訓(xùn)練4】（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）計算的值為______.【對點訓(xùn)練5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，，用a，b表示____________【對點訓(xùn)練6】（2023·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）若，且，則__________．【對點訓(xùn)練7】（2023·全國·高三專題練習(xí)）=____________；【對點訓(xùn)練8】（2023·全國·高三專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式解集為_____．【對點訓(xùn)練9】（2023·上海楊浦·高三上海市楊浦高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的解集是__________.【對點訓(xùn)練10】（2023·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習(xí)）方程的解為_________．【解題方法總結(jié)】對數(shù)的有關(guān)運算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對數(shù)方程或?qū)?shù)不等式問題是要將其化為同底，利用對數(shù)單調(diào)性去掉對數(shù)符號，轉(zhuǎn)化為不含對數(shù)的問題，但這里必須注意對數(shù)的真數(shù)為正.題型二：對數(shù)函數(shù)的圖像【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)，其中且）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【對點訓(xùn)練11】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象恒過定點（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練12】（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【對點訓(xùn)練13】（2023·北京·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）將函數(shù)的圖象向上平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（

）A． B．C． D．【對點訓(xùn)練14】（2023·北京海淀·清華附中?？寄M預(yù)測）不等式的解集為__________．【對點訓(xùn)練15】（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)時，，則的值可以為（

）A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】研究和討論題中所涉及的函數(shù)圖像是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.圖像問題是數(shù)和形結(jié)合的護體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.題型三：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））【例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若在上為減函數(shù)，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練16】（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）正數(shù)滿足，則a與大小關(guān)系為______．【對點訓(xùn)練17】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上的最大值是2，則a等于_________【對點訓(xùn)練18】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)（且）在上的最大值為2，最小值為m，函數(shù)在上是增函數(shù)，則的值是____________．【對點訓(xùn)練19】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)有最小值，則的取值范圍是______．【對點訓(xùn)練20】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù):_____.①;②當(dāng)時，單調(diào)遞減;③為偶函數(shù).【對點訓(xùn)練21】（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞區(qū)間為（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練22】（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則（

）A．在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 B．在單調(diào)遞減C．的圖像關(guān)于直線對稱 D．有最小值，但無最大值【對點訓(xùn)練23】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】研究和討論題中所涉及的函數(shù)性質(zhì)是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.性質(zhì)問題是數(shù)和形結(jié)合的護體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.題型四：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若存在，任意，使得，則實數(shù)的取值范圍是___________.【對點訓(xùn)練24】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為___________.【對點訓(xùn)練25】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，對任意的，，有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.【對點訓(xùn)練26】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對，使得，則實數(shù)的取值范圍為___________.【對點訓(xùn)練27】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求a的值；(2)若對任意的，恒成立，求的取值范圍.【對點訓(xùn)練28】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的值域；（2）對任意，其中常數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解題方法總結(jié)】（1）利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像求解；（2）分離自變量與參變量，利用等價轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.（3）涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，借助同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.題型五：對數(shù)函數(shù)的綜合問題【例5】（多選題）（2023·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，，，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【對點訓(xùn)練29】（2023·海南海口·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)，滿足：，則的最小值為______.【對點訓(xùn)練30】（多選題）（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）若，則（

）A． B．C． D．【對點訓(xùn)練31】（2023·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，分別是方程和的根，若，實數(shù)a，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【對點訓(xùn)練32】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若滿足，滿足，則等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【對點訓(xùn)練33】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是方程的根，