專題3-2解三角形最值范圍與圖形歸類（講練）-2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（原卷版）

專題32解三角形最值、范圍與圖形歸類目錄TOC\o"11"\h\u講高考 1題型全歸納 2【題型一】最值與范圍1：角與對邊 2【題型二】最值與范圍2：角與鄰邊 2【題型三】范圍與最值3：有角無邊型 3【題型四】最值與范圍4：邊非對稱型 4【題型五】最值：均值型 4【題型六】圖形1：內(nèi)切圓與外接圓 4【題型七】圖形2：“補(bǔ)角”三角形 6【題型八】圖形3：四邊形與多邊形 7【題型九】三大線1：角平分線應(yīng)用 8【題型十】三大線2：中線應(yīng)用 9【題型十一】三大線3：高的應(yīng)用 10【題型十二】證明題 10專題訓(xùn)練 11講高考1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）在中，角、、所對的邊長分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．5．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，，．（1）求；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長．條件①：；條件②：的周長為；條件③：的面積為；題型全歸納【題型一】最值與范圍1：角與對邊【講題型】例題1.已知的內(nèi)角所對的邊分別為（1）求；（2）已知，求三角形周長的取值范圍.例題2.在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知.（1）求角A的值；（2）若，求三角形周長的取值范圍.【講技巧】．注意正弦定理在進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換時等式必須是齊次，關(guān)于邊的齊次式或關(guān)于角的正弦的齊次式，齊次分式也可以用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換．求范圍問題，通常是把量表示為三角形某個角的三角函數(shù)形式，利用此角的范圍求得結(jié)論．【練題型】1.在銳角三角形中，，，分別為角，，的對邊，且.（1）求的大??；（2）若，求的周長的取值范圍.2.在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c，且（1）求角A；（2）若，求bc的取值范圍．【題型二】最值與范圍2：角與鄰邊【講題型】例題1..已知為銳角三角形，角所對邊分別為，滿足：.（1）求角的取值范圍；（2）當(dāng)角取最大值時，若，求的周長的取值范圍.【講技巧】三角形中最值范圍問題的解題思路：要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題。涉及求范圍的問題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進(jìn)行求解，已知邊的范圍求角的范圍時可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．注意要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大【練題型】1.．在△中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知．（1）求角B；（2）若△為銳角三角形，且，求△面積的取值范圍．2.在中，設(shè)，，所對的邊長分別為，，，且.（1）求；（2）若，且為銳角三角形，求的面積的取值范圍.【題型三】范圍與最值3：有角無邊型【講題型】例題1.三角形中，已知，其中，角所對的邊分別為.（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┣蟮娜≈捣秶?例題2.在銳角三角形ABC,若SKIPIF1<0(I)求角B(II)求SKIPIF1<0的取值范圍【練題型】1.設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．（Ⅰ）若，，求b（Ⅱ）求的取值范圍．2.在銳角三角形中，，，分別是角，，的對邊，且.（1）求；（2）求的取值范圍.【題型四】最值與范圍4：邊非對稱型【講題型】例題1.在中，分別是角的對邊.（1）求角的值；（2）若，且為銳角三角形，求的范圍.【練題型】在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，．（Ⅰ）求角B的大?。唬á颍┤魹殇J角三角形，，求的取值范圍．【題型五】最值：均值型【講題型】例題1.已知中，角，，所對的邊分別為，，，，且滿足.（1）求的面積；（2）若，求的最大值.【練題型】1.在△ABC中，設(shè)AD為BC邊上的高，且AD=BCBC，b，c分別表示角B，C所對的邊長，則的取值范圍是_．【題型六】圖形1：內(nèi)切圓與外接圓【講題型】例題1.在△中，，，分別是角，，所對的邊，已知，，且．(1)求角和邊的大小；(2)求△的內(nèi)切圓半徑．例題2.中，已知，，為上一點(diǎn)，，.(1)求的長度；(2)若點(diǎn)為外接圓上任意一點(diǎn)，求的最大值.【講技巧】外接圓：1.外接圓的圓心到三角形的三個頂點(diǎn)的距離相等。銳角三角形外心在三角形內(nèi)部。直角三角形外心在三角形斜邊中點(diǎn)上。鈍角三角形外心在三角形外。2.正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R為外接圓半徑內(nèi)切圓：等面積構(gòu)造法求半徑【練題型】1.銳角的三個內(nèi)角是，滿足．(1)求角的大小及角的取值范圍；(2)若的外接圓的圓心為，且，求的取值范圍．2.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，，求的內(nèi)切圓半徑.【題型七】圖形2：“補(bǔ)角”三角形【講題型】例題1.在中，已知，，，為邊上的中點(diǎn)，的面積為.(1)求的長；(2)點(diǎn)在邊上，且，與相交于點(diǎn)，求的余弦值.例題2.如圖，在平面四邊形中，，，.(1)當(dāng)，時，求的面積；(2)當(dāng)，時，求.【練題型】1.如圖，是邊長為3的等邊三角形，線段交于點(diǎn)，.(1)求；(2)若，求長.2.如圖，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，AB＝6，，，點(diǎn)D在邊BC上，且∠ADC＝60°．(1)求cosB與△ABC的面積；(2)求線段AD的長．【題型八】圖形3：四邊形與多邊形【講題型】例題1.如圖，在平面四邊形ABCD中，，.(1)若的面積為，求AC；(2)在（1）的條件下，若，求.例題2.如圖，在四邊形中，．(1)證明：為直角三角形；(2)若，求四邊形面積S的最大值．【練題型】1.如圖，在平面四邊形中，，，且是邊長為的等邊三角形，交于點(diǎn)．(1)若，求；(2)若，設(shè)，求．2.如圖所示，在平面五邊形中，已知，，，，.(1)當(dāng)時，求；(2)當(dāng)五邊形的面積時，求的取值范圍.【題型九】三大線1：角平分線應(yīng)用【講題型】例題1.在中，設(shè)角，，所對的邊分別為，，，且(1)求；(2)若為上的點(diǎn)，平分角，且，，求.【講技巧】角平分線定理（大題中，需要證明，否則可能會扣過程分）：【練題型】已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足．(1)求角C；(2)CD是的角平分線，若，的面積為，求c的值．【題型十】三大線2：中線應(yīng)用【講題型】例題1.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求C；(2)若的面積為，D為AC的中點(diǎn)，求BD的最小值.【講技巧】中線的處理方法1.向量法：雙余弦定理法（補(bǔ)角法）：如圖設(shè)，在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②因?yàn)?，所以所以?②式即可3.延伸補(bǔ)形法：如圖所示，延伸中線，補(bǔ)形為平行四邊形4.中線分割的倆三角形面積相等【練題型】銳角中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且(1)求角C的大??；(2)若邊，邊AB的中點(diǎn)為D，求中線CD長的取值范圍．【題型十一】三大線3：高的應(yīng)用【講題型】例題1.的內(nèi)角的對邊分別為，已知，．(1)求；(2)設(shè)為邊上一點(diǎn)，且，求的面積．【講技巧】高的處理方法：1.等面積法：兩種求面積公式如2.三角函數(shù)法：【練題型】記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求的大??；(2)若邊上的高為，且的角平分線交于點(diǎn)，求的最小值.【題型十二】證明題【講題型】例題1.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：【練題型】在中，角、、所對的邊分別為、、.已知，且為銳角.(1)求角的大??；(2)若，證明：是直角三角形.1．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足.(1)求角B的大??；(2)若，D為邊上的一點(diǎn)，，且是的平分線，求的面積.2．（山西省呂梁市2023屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足：(1)求角的大小；(2)若，角與角的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)，求面積的取值范圍．3．（2023·全國·鄭州中學(xué)校考模擬預(yù)測）在中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c.(1)從下列中選擇一個證明：①證明：；②證明：.(2)若，，，求面積的最小值．4．（重慶市2023屆高三第一次聯(lián)合診斷【康德卷】數(shù)學(xué)試題）在中，角的對邊分別為且.(1)求角C；(2)求的最大值.5．（2023秋·河北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且．(1)求A的值；(2)若的面積為，求a的最小值．6．（云南省部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊．已知．(1)求C；(2)若c是a，b的等比中項(xiàng)，且的周長為6，求外接圓的半徑．7．（2023·全國·模