考點(diǎn)07等時(shí)圓模型

04運(yùn)動(dòng)和力的關(guān)系[考點(diǎn)07]等時(shí)圓模型1．質(zhì)點(diǎn)從豎直圓環(huán)上沿不同的光滑弦上端由靜止開始滑到圓環(huán)的最低點(diǎn)所用時(shí)間相等，如圖甲所示；2．質(zhì)點(diǎn)從豎直圓環(huán)上最高點(diǎn)沿不同的光滑弦由靜止開始滑到下端所用時(shí)間相等，如圖乙所示；3．兩個(gè)豎直圓環(huán)相切且兩環(huán)的豎直直徑均過切點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)沿不同的光滑弦上端由靜止開始滑到下端所用時(shí)間相等，如圖丙所示．典例如圖所示，有一半圓，其直徑水平且與另一圓的底部相切于O點(diǎn)，O點(diǎn)恰好是下半圓的圓心，它們處在同一豎直平面內(nèi)．現(xiàn)有三條光滑直軌道AOB、COD、EOF，它們的兩端分別位于上下兩圓的圓周上，軌道與豎直直徑的夾角關(guān)系為α>β>θ.現(xiàn)讓一小物塊先后從三條軌道頂端由靜止下滑至底端，則小物塊在每一條傾斜軌道上滑動(dòng)時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間關(guān)系為()A．tAB＝tCD＝tEF B．tAB>tCD>tEFC．tAB<tCD<tEF D．tAB＝tCD<tEF答案B解析如圖所示，過D點(diǎn)作OD的垂線與豎直虛線交于G，以O(shè)G為直徑作圓，可以看出F點(diǎn)在輔助圓內(nèi)，而B點(diǎn)在輔助圓外，由等時(shí)圓結(jié)論可知，tAB>tCD>tEF，B項(xiàng)正確．1.(2023·浙江·期末)如圖所示，為圓的直徑，為圓的兩條弦，現(xiàn)同時(shí)在A、B兩點(diǎn)釋放兩小滑塊，分別沿光滑的弦滑到O點(diǎn)（O點(diǎn)為最低點(diǎn)），物體滑下的先后順序是()A．沿的物體最先到達(dá)B．沿的物體最先到達(dá)C．同時(shí)到達(dá)D．條件不足，無法判斷答案C解析根據(jù)題意，設(shè)和與水平面夾角分別為和，長度分別為和，設(shè)圓的直徑為，由幾何關(guān)系有,,沿方向上，由牛頓第二定律有由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有,聯(lián)立解得,沿方向上，同理可得.故選C.2.(多選)如圖所示，Oa、Ob和ad是豎直平面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，O、a、b、c、d位于同一圓周上，c為圓周的最高點(diǎn)，a為最低點(diǎn)，O′為圓心．每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)(未畫出)，兩個(gè)滑環(huán)從O點(diǎn)無初速度釋放，一個(gè)滑環(huán)從d點(diǎn)無初速度釋放，用t1、t2、t3分別表示滑環(huán)沿Oa、Ob、da到達(dá)a或b所用的時(shí)間．下列關(guān)系正確的是()A．t1＝t2 B．t2>t3C．t1<t2 D．t1＝t3答案BCD解析設(shè)想還有一根光滑固定細(xì)桿ca，則ca、Oa、da三細(xì)桿交于圓的最低點(diǎn)a，三桿頂點(diǎn)均在圓周上，根據(jù)等時(shí)圓模型可知，由c、O、d無初速度釋放的小滑環(huán)到達(dá)a點(diǎn)的時(shí)間相等，即tca＝t1＝t3；而由c→a和由O→b滑動(dòng)的小滑環(huán)相比較，滑行位移大小相同，初速度均為零，但加速度aca>aOb，由x＝eq\f(1,2)at2可知，t2>tca，故B、C、D正確．3．(2023·全國·專題)如圖所示，四根光滑桿AB、BC、AD、DC被固定成一個(gè)平行四邊形ABCD.四個(gè)頂點(diǎn)恰好位于同一個(gè)圓上，且A、C兩點(diǎn)是圓的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，圓的半徑為R.四個(gè)相同的光滑圓環(huán)a、b、c、d分別套在四根桿的上端由靜止釋放，不計(jì)空氣阻力，則下列說法正確的是()A．圓環(huán)a滑到B端的時(shí)間比圓環(huán)b滑到C端的時(shí)間短B．圓環(huán)b滑到C端的時(shí)間比圓環(huán)d滑到C端的時(shí)間長C．四個(gè)圓環(huán)到達(dá)各自桿的底端所用時(shí)間都相同D．四個(gè)圓環(huán)到達(dá)各自桿的底端所用時(shí)間各不相同答案C解析設(shè)桿AB長為l，與水平方向的夾角為θ，圓環(huán)的質(zhì)量為m，對(duì)圓環(huán)a，根據(jù)牛頓第二定律可得mgsinθ=ma,可得a=gsinθ,由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得,由幾何關(guān)系可知l=2Rsinθ解得,則圓環(huán)的下滑時(shí)間與桿的傾角和桿長無關(guān)，同理可得圓環(huán)b、c、d的下滑時(shí)間同為.故選C.4.(2023·全國·高一專題練習(xí))如圖所示，在豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xOy，該平面內(nèi)有AM、BM、CM三條光滑固定軌道，其中B、C兩點(diǎn)處于同一個(gè)圓上，C是圓上任意一點(diǎn)，B、M分別為此圓與y軸、x軸的切點(diǎn)，A點(diǎn)在y軸上且∠AMO=60°，O'為圓心，現(xiàn)將a、b、c三個(gè)小球分別從A、B、C點(diǎn)同時(shí)由靜止釋放，它們將沿軌道運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，所用時(shí)間分別為、、，則()A．<<B．=<C．>=D．由于C點(diǎn)的位置不確定，故無法比較時(shí)間大小關(guān)系答案C解析對(duì)于BM段，位移,加速度,根據(jù)得,對(duì)于AM段，位移,加速度,由得,對(duì)于CM段，設(shè)CM與豎直方向夾角為θ，同理可解得,即.故選C.5.(2023·全國·專題)如圖所示，兩個(gè)半徑不同的豎直圓環(huán)相切于O點(diǎn)，圓心、連線正好沿豎直方向.現(xiàn)有長度可伸縮的光滑桿剛好過O點(diǎn)放置，調(diào)節(jié)桿的長度，兩端始終與環(huán)接觸，上下兩接觸點(diǎn)分別記作a、b.一大小不計(jì)的光滑小圓環(huán)（圖中未畫出）從a點(diǎn)由靜止釋放后沿桿下滑，當(dāng)慢慢增大桿與豎直方向夾角θ時(shí)，小圓環(huán)沿桿下滑的時(shí)間t將()A．增大B．減小C．不變D．因角度與兩豎直圓環(huán)的半徑均未知，故無法確定答案C解析圓環(huán)下滑的加速度為,根據(jù),可得則當(dāng)慢慢增大桿與豎直方向夾角θ時(shí)，小圓環(huán)沿桿下滑的時(shí)間t將不變.故選C.6．(2022·河南·期末)如圖所示，甲圖中質(zhì)點(diǎn)從豎直面內(nèi)的圓環(huán)上，沿三個(gè)不同的光滑弦1、2、3上端由靜止開始滑到環(huán)的最低點(diǎn)，所用的時(shí)間分別為、、；乙圖中質(zhì)點(diǎn)從豎直面內(nèi)的圓環(huán)上最高點(diǎn)，沿三個(gè)不同的光滑弦4、5、6由靜止開始滑到下端所用的時(shí)間分別為、、，則()A．， B．，C．， D．，答案A解析如圖甲、乙所示，質(zhì)點(diǎn)沿豎直面內(nèi)圓環(huán)上的任意一條光滑弦從上端由靜止滑到底端，由牛頓第二定律可知加速度為,位移為,由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律有,聯(lián)立解得下滑時(shí)間,相當(dāng)于沿豎直直徑自由下落的時(shí)間，有.故選A.7.(2023·山東臨沂·期末)傾角為的斜面固定在水平地面上，在與斜面共面的平面上方A點(diǎn)伸出三根光滑輕質(zhì)細(xì)桿至斜面上B、C、D三點(diǎn)，其中AC與斜面垂直，且，現(xiàn)有三個(gè)質(zhì)量均為的小圓環(huán)（看作質(zhì)點(diǎn)）分別套在三根細(xì)桿上，依次從A點(diǎn)由靜止滑下，滑到斜面上B、C、D三點(diǎn)所有時(shí)間分別為、、，下列說法正確的是()A． B．C． D．答案B解析由于,則可以判斷AB豎直向下，以AB為直徑做圓，則必過C點(diǎn)，如圖圓環(huán)在桿AC上運(yùn)動(dòng)過程，由牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得mgcosθ=ma,聯(lián)立解得,可見從A點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)圓周各點(diǎn)所用的時(shí)間相等，與桿的長短、傾角無關(guān)，可得.故選B.8.(2023·湖北武漢·聯(lián)考)用5根光滑桿組成如圖所示的四邊形和對(duì)角線，且對(duì)角線豎直，.一個(gè)中間有孔的光滑小球（可以看成質(zhì)點(diǎn)）穿在桿上，從A點(diǎn)靜止釋放沿桿滑到B點(diǎn)的時(shí)間為，從A點(diǎn)由靜止釋放沿桿滑到D點(diǎn)的時(shí)間為，從B點(diǎn)由靜止釋放沿桿滑到C點(diǎn)的時(shí)間為，從D點(diǎn)由靜止釋放沿桿滑到C點(diǎn)的時(shí)間為，從A點(diǎn)由靜止釋放沿桿滑到C點(diǎn)的時(shí)間為，下列時(shí)間關(guān)系正確的是()A．B．C．D．答案A解析設(shè)BC與AC夾角為α1，CD與AC夾角為α2，AB與AC夾角為β1，AD與AC夾角為β2，由題意根據(jù)幾何關(guān)系可得,,,根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律以及牛頓第二定律有,,根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律有所以有.故選A.9.(2022·陜西安康·?？计谀?如圖所示，豎直墻上的A點(diǎn)與水平地面上的M點(diǎn)到墻角的距離都為d，C點(diǎn)在M點(diǎn)正上方與A點(diǎn)等高，B點(diǎn)在C點(diǎn)正上方d處，某時(shí)刻同時(shí)由靜止釋放a、b、c三個(gè)小球，a球由A點(diǎn)釋放沿光滑傾斜直軌道AM運(yùn)動(dòng)，b、c球分別由B、C點(diǎn)自由下落，它們運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)所用時(shí)間分別為ta、tb、tc，下列說法正確的是()A． B． C． D．答案B解析豎直墻上的A點(diǎn)與水平地面上的M點(diǎn)到墻角的距離都為d，AM與水平方向夾角為45°，則有,C點(diǎn)在M點(diǎn)正上方與A點(diǎn)等高，有,B點(diǎn)在C點(diǎn)正上方d處，有,可得.故選B.10.(多選)(2023·全國·專題)如圖所示，1、2、3、4四小球均由靜止開始沿著光滑的斜面從頂端運(yùn)動(dòng)到底端，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為，已知豎直固定的圓環(huán)的半徑為r，O為圓心，固定在水平面上的斜面水平底端的長度為，重力加速度為g，下列說法正確的是()A． B． C． D．答案BC解析1號(hào)小球的加速度為，位移為運(yùn)動(dòng)時(shí)間為；2號(hào)小球的加速度為，位移為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為；3號(hào)小球的加速度為位移為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為；4號(hào)小球的加速度為，位移為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為則，，.故選BC.11.(多選)(2022·福建莆田·?？?如圖所示有一半圓，其直徑水平且與另一圓的底部相切于O點(diǎn)，O點(diǎn)恰好是下半圓的頂點(diǎn)，它們處在同一豎直平面內(nèi).現(xiàn)有兩條光滑直軌道AOB、COD，軌道與豎直直徑的夾角關(guān)系為，現(xiàn)讓一小物塊先后從這兩條軌道頂端由靜止下滑至底端，則下列關(guān)系中正確的是()A． B． C． D．答案BD解析AB．小物塊下滑的過程，由動(dòng)能定理可知,可得,由于從A到B下落的高度差大于從C到D的高度差，故有,故A錯(cuò)誤，B正確；CD．從A到O的過程，加速度為,設(shè)圓的直徑為d，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則有解得,同理可知從C到O的過程，運(yùn)動(dòng)時(shí)間也為；從O到B的過程，設(shè)高度差為h，則有,解得運(yùn)動(dòng)時(shí)間,同理可求得從O到D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間,由于，所以,綜上分析可知,,故C錯(cuò)誤，D正確.故選BD.12.(多選)(2022·江蘇·專題)如圖所示，圓1和圓2外切，它們的圓心在同一豎直線上，有四塊光滑的板，它們的一端A搭在豎直墻面上，另一端搭在圓2上，其中B、C、D三塊板都通過兩圓的切點(diǎn)，B在圓1上，C在圓1內(nèi)，D在圓1外，A板與D板最低點(diǎn)交于一點(diǎn)a（d），且兩板與豎直墻面的夾角分別為30°、60°，從A、B、C、D四處同時(shí)由靜止釋放一個(gè)物塊，它們都沿板運(yùn)動(dòng)，到達(dá)叫板底端的時(shí)間分別為tA、tB、tC、tD，下列判斷正確的是()A．最短 B．最短 C． D．答案BCD解析設(shè)板與豎直方向的夾角為，沿板運(yùn)動(dòng)的加速度為：,設(shè)上面圓1的半徑為，下面圓2的半徑為，則Bb軌道的長度為：,根據(jù)位移時(shí)間公式得：則,故從上面圓1上的任一點(diǎn)沿光滑直軌道達(dá)到下面圓2的任一點(diǎn)的時(shí)間相等；因B在圓1上，C在圓1內(nèi)，D在圓1外，且板的低端堵在下面圓2上，故有；軌道Aa和Dd相交于最低點(diǎn)a（d），,則對(duì)A、D有：，,聯(lián)立解得：則有：,故,故有：,故A錯(cuò)誤，BCD正確.故選BCD.13.(2023·海南·開學(xué)考試）如圖所示，三根在豎直平面內(nèi)的光滑細(xì)管A、B、C上端平齊，B管豎直放置，A管與B管的夾角為α，C管與B管的夾角為β，且α﹤β.三個(gè)小球同時(shí)從管口頂端靜止釋放，經(jīng)過相同的時(shí)間，三球所處位置正確的是()A． B．C． D．答案C解析如圖所示，ABCD為同一圓上的點(diǎn)，圓的半徑為R，小球從A沿光滑桿AB、AC、AD滑下，從AB下滑用時(shí)，有，解得.從AC下滑，有,而AC的長度為,故有,解得.同理若從AD下滑，時(shí)間為，即小球到達(dá)圓上三點(diǎn)所用時(shí)間相同；依此結(jié)論可知，而現(xiàn)在三個(gè)小球均從管口上方下滑且無摩擦，相同時(shí)間后小球的位置是在同一個(gè)圓弧上，且所在位置與豎直位置連線與傾斜軌道夾角為直角，故選C.14.(2023·全國·專題)如圖所示，豎直的圓環(huán)置于水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，三個(gè)完全相同的帶正電的絕緣小球(未畫出)分別套在固定于AB、AC、AD的三根光滑細(xì)桿上，其中AB與豎直方向夾角為60°，AC經(jīng)過圓心，AD豎直。現(xiàn)將小球無初速度地從A端釋放，小球分別沿AB、AC、AD下滑到B、C、D三點(diǎn)。已知小球所受電場(chǎng)力大小與重力大小之比為，則小球在三根細(xì)桿上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間關(guān)系為()A． B． C． D．無法確定答案B解析小球所受電場(chǎng)力大小與重力大小之比為，可知小球所受重力與電場(chǎng)力的合力F的方向恰好與平行，且由A指向B.延長，作交于M，以為直徑畫一個(gè)圓（圖中虛線），與該圓交于N.設(shè)，則小球沿桿運(yùn)動(dòng)的加速度為,位移為由得,與無關(guān)，由等時(shí)圓模型知,而，，故.故選B.15．(2023·湖南·?？?滑滑梯是小朋友們愛玩的游戲現(xiàn)有直滑梯AB、AC、AD和BD，A、B、C、D在豎直平面內(nèi)的同一圓周上，且A為圓周的最高點(diǎn)，D為圓周的最低點(diǎn)，如圖所示，已知圓周半徑為R。在圓周所在的豎直平面內(nèi)有一位置P，距離A點(diǎn)為，且與A等高。各滑梯的摩擦均不計(jì)，已知重力加速度為g，則()A．如果小朋友在A點(diǎn)沿滑梯AB、AC由靜止滑