第1講乘法原理和加法原理(考點定位精講講練)-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)考試滿分全（2020選修第二冊）

第1講乘法原理和加法原理考點定位精講講練一、乘法原理 分步計數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成個子步驟，做第一個步驟有種不同的方法，做第二個步驟有種不同方法，……，做第個步驟有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱乘法原理．二、加法原理 分類計數(shù)原理：做一件事，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種方法，……，在第類辦法中有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱加法原理．三、加法原理與乘法原理的綜合運用【注意】應(yīng)用兩個計數(shù)原理的關(guān)鍵是分清“步”與“類”.【注意】應(yīng)用兩個計數(shù)原理的關(guān)鍵是分清“步”與“類”.完成一件事需要若干步，而每一步缺一不可，則符合乘法原理，需要注意“步”與“步”之間的連續(xù)性；完成一件事有若干類方法，每類方法能獨立完成這件事，則符合加法原理，需要注意“類”與“類”之間的獨立性和等效性.考點一：乘法原理例1．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游覽，約定每人從泰山、孔府這兩處景點中任選一處，那么甲、乙兩位同學(xué)恰好選取同一處景點的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】應(yīng)用古典概型的概率求法，求甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點的概率即可.【詳解】甲、乙兩位同窗選取景點的種數(shù)為，其中甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點的種數(shù)為2，∴甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點的概率為．故選：D例2．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）下圖是某項工程的網(wǎng)絡(luò)圖(單位:天)，則從開始節(jié)點①到終止節(jié)點⑧的路徑共有（）A．14條 B．12條 C．9條 D．7條【答案】B【分析】根據(jù)分步乘法計算原理即可求解.【詳解】由圖可知，由①④有3條路徑，由④⑥有2條路徑，由⑥⑧有2條路徑，根據(jù)分步乘法計算原理可得從①⑧共有條路徑.故選：B例3．（2021·上海·高二專題練習(xí)）現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（）A．1024種 B．1023種 C．1535種 D．767種【答案】D【分析】先看一張人民幣的取法，再看2張100元人民幣的取法，利用分步計數(shù)原理計算即可.【詳解】除100元人民幣以外的8張人民幣中，每張均有取和不取2種情況，2張100元人民幣的取法有不取、取一張和取二張3種情況，再減去10張人民幣全不取的1種情況，所以共有種．故選：D.【點睛】易錯點睛：誤解：因為共有人民幣10張，每張人民幣都有取和不取2種情況，減去全不取的1種情況，共有種．錯因分析：這里100元面值比較特殊有兩張，在誤解中被計算成4種情況，實際上只有不取、取一張和取二張3種情況．例4.．（2021·上海市七寶中學(xué)高二期中）在狂歡節(jié)上，有六名同學(xué)想報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，每個項目都有人報名，則共有__________種不同的報名方法．【答案】120【分析】根據(jù)題意，依次分析每個項目的報名方法，由分步計數(shù)原理即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，每項限報一人，且每人至多參加一項，每個項目都有人報名，則第一個項目有6種報名方法，第二個項目有5種報名方法，第三個項目有4種報名方法，根據(jù)分步計數(shù)原理知共有種不同的報名方法，故答案為：120.例5．（2021·上海市建平中學(xué)高二期中）用1、2、3三個數(shù)字能組成不同三位數(shù)的個數(shù)是________（結(jié)果用數(shù)字作答）【答案】27【分析】由分步計數(shù)原理計算結(jié)果.【詳解】由分步計數(shù)原理可知，每個數(shù)位有3種方法，所以由1、2、3三個數(shù)字能組成不同三位數(shù)的個數(shù)是.故答案為：例6．（2021·上?！?fù)旦附中高二期中）甲?乙?丙三個人玩“剪刀?石頭?布”游戲一次游戲中可以出現(xiàn)的不同結(jié)果數(shù)為___________種.【答案】27【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理進(jìn)行計算即可.【詳解】甲可能出：剪刀?石頭?布，共種；乙可能出：剪刀?石頭?布，共種；丙可能出：剪刀?石頭?布，共種；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，一共可以出現(xiàn)的不同結(jié)果數(shù)為種，故答案為：.例7．（2021·上?！?fù)旦附中高二期中）360的正約數(shù)共有___________個.【答案】24【分析】把360進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，由質(zhì)因數(shù)的指數(shù)可得約數(shù)個數(shù)．【詳解】，所以正約數(shù)就是從3個2、2個3、1個5中取若干個的乘積，正約數(shù)個數(shù)為．故答案為：24．例8．（2021·上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二階段練習(xí)）270的不同正約數(shù)共有___________個.【答案】16【分析】先將270進(jìn)行分解，進(jìn)而利用約數(shù)的定義利用分類分步原理可得答案．【詳解】解：，故270的不同的正約數(shù)共有：個，故答案為：16．例9．（2021·上?！?fù)旦附中高二期中）個人排成一個n行，n列的方陣，現(xiàn)要從中選出n個代表，要使得每一行，每一列都有代表，則有___________種不同的選法.【答案】【分析】采用分步乘法計數(shù)原理進(jìn)行分析：先從第一行選取個代表，然后再從第，，，行中分別選取個代表，注意保證每一列都有代表，由此求出結(jié)果.【詳解】從第行中選取一個代表，選法有種，從第行中選取一個代表，為保證每一列都有代表，選法有種，從第行中選取一個代表，為保證每一列都有代表，選法有種，從第行中選取一個代表，為保證每一列都有代表，選法有種，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的選法數(shù)有：，故答案為：.用，，，，，組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字），要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且和相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是__________（用數(shù)字作答）．【難度】★★★【答案】40【解析】可分三步來完成這件事：第一步先將3、5排開，有2種排法；第二步將4、6插空排進(jìn)去，共有4種排法；第三步將1、2放到3、4、5、6形成的間隔中，共有5種放法，由分步計數(shù)原理得共有種。例11.若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為，值域為的“同族函數(shù)”共有（）A．個 B．個 C．個 D．個【難度】★★★【答案】C【解析】由得，由得，即定義域中1和1至少有一個，有3種結(jié)果，3和3中至少有一個，有3種結(jié)果，所以共有種。例12.關(guān)于正整數(shù)2160，求：（1）它有多少個不同的正因數(shù)？（2）它的所有正因數(shù)的和是多少？【難度】★★★【答案】（1）40個；（2）7440．【解析】（1）因為，所以共有個正因數(shù)；（2）【鞏固訓(xùn)練】1．如果在一周內(nèi)（周一至周日）安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余兩所學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法共有種．【難度】★【答案】1202．高二年級一班有女生人，男生人，從中選取一名男生和一名女生作代表，參加學(xué)校組織的調(diào)查團(tuán)，問選取代表的方法有幾種．【難度】★【答案】6843．名男生和名女生排成一行，按下列要求各有多少種排法：（1）男生必須排在一起；（2）女生互不相鄰；（3）男女生相間；（4）女生按指定順序排列．【難度】★★【答案】576；1440；144；840.4．7人站一排，甲不站排頭，也不站排尾，不同的站法種數(shù)有種；甲不站排頭，乙不站排尾，不同站法種數(shù)有種．【難度】★★【答案】3600；3720.5．遠(yuǎn)洋輪一根旗桿上用紅、藍(lán)、白三面旗幟中，一面，二面或三面表示信號，則最多可組成不同信號有___________種．【難度】★★【答案】156．六名同學(xué)參加三項比賽，三個項目比賽冠軍的不同結(jié)果有多少種？【難度】★★【答案】2167．三名男歌手和兩名女歌手聯(lián)合舉行一場演唱會,演出時要求兩名女歌手之間恰有一名男歌手,則共有出場方案種．【難度】★★★【答案】36【解析】分三步完成，第一步先將兩名女歌手排好，有2種放法；第二步將一名男歌手排在兩名女歌手的中間，有3種放法；第三步將剩下的兩名男歌手和之前的三人小團(tuán)伙排在一起，有6種排法，所以共有種。8．從集合中任選兩個元素作為橢圓方程中的和，則能組成落在矩形區(qū)域且內(nèi)的橢圓個數(shù)為（） A． B． C． D．【難度】★★★【答案】B【解析】因為是橢圓，所以，由題意可知，和的選擇有兩種情況，一是和從中任取兩個不重復(fù)的數(shù)字，共有種；二是從中選一個，從選一個，共有，所以滿足題意的橢圓的個數(shù)為：個。9．從集合中，選出個數(shù)組成子集，使得這個數(shù)中的任何兩個數(shù)之和不等于，則取出這樣的子集的個數(shù)為（） A． B． C． D．【難度】★★★【答案】B【解析】可以將和為1的數(shù)分成兩組，分別是1，2，3，4，5和0，1，2，3，4，因為該子集中任意兩數(shù)之和不能為1，所有0和1只能選一個，同理可得，這樣的子集的個數(shù)為。10．某銀行儲蓄卡的密碼是一個位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位和個位上的數(shù)字（如）的方法設(shè)計密碼，當(dāng)積為一位數(shù)時，十位上數(shù)字選，并且千位、百位上都能取．這樣設(shè)計出來的密碼共有（） A．個 B．個C．個 D．個【難度】★★★【答案】C【解析】確定了這個密碼的千位和百位，后兩位由于題意的設(shè)置是跟隨前兩位的數(shù)字而唯一確定的，故這樣的密碼共有個?？键c二：加法原理例1．（2022·上海·高三專題練習(xí)）算籌是在珠算發(fā)明以前我國獨創(chuàng)并且有效的計算工具，為我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了很大貢獻(xiàn).在算籌計數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數(shù)字，如圖：表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空，如圖；如果把5根算籌以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰?，那么可以表示的三位?shù)的個數(shù)為（）A．46 B．44 C．42 D．40【答案】B【分析】按每一位算籌的根數(shù)分類，列舉出所有的情況，根據(jù)根或根以上的算籌可以表示兩個數(shù)字，計算出每種情況下所表示的三位數(shù)的個數(shù)，利用分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】按每一位算籌的根數(shù)分類一共有種情況，分別為、、、、、、、、、、、、、、，根或根以上的算籌可以表示兩個數(shù)字，運用分步乘法計數(shù)原理，得上面情況能表示的三位數(shù)字個數(shù)分別為：、、、、、、、、、、、、、、，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，得根算籌能表示的三位數(shù)字個數(shù)為：.故選：B.例2．（2021·上海·高二專題練習(xí)）如圖，在某海岸P的附近有三個島嶼Q，R，S，計劃建立三座獨立大橋，將這四個地方連起來，每座橋只連接兩個地方，且不出現(xiàn)立體交叉形式，則不同的連接方式有（）.A．24種 B．20種 C．16種 D．12種【答案】D【分析】由建橋的方式可以分為兩類：（1）從一個地方出發(fā)向其他三個地方各建一橋，（2）一個地方最多建兩橋但不能交叉，利用去雜法，即可求解.【詳解】由建立三座大橋，將這四個地方連起來，每座橋只連接兩個地方，且不出現(xiàn)立體交叉形式，可分為兩類：第一類：從一個地方出法向其他三個地方各建一座橋，共有4種不同的方法；第二類：一個地方最多建兩座橋，如這樣的建橋方法：和屬于相同的建橋方法，所以共有種不同的方法，其中交叉建橋方法，例如：這樣建橋不符合題意，共有4種，所以第二類建橋，共有種不同的建橋方法.綜上可得，不同的連接方式有種.故選：D【點睛】本題主要考查了分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，以及排列的計算公式的應(yīng)用，著重考查分析問題和解答問題的能力，屬于較難試題.例3.（2021·上?！?fù)旦附中高二期中）學(xué)校組織春游活動，每個學(xué)生可以選擇去四個地方：崇明?朱家角?南匯和嘉定，有四位同學(xué)恰好分別來自這四個地方，若他們不去家鄉(xiāng)，且分別去了不同地方，則四位同學(xué)去向的所有可能結(jié)果數(shù)為___________.【答案】9【分析】記四位同學(xué)為甲，乙，丙，丁且家鄉(xiāng)表示為，分別考慮甲去的情況，采用分類加法計數(shù)原理求解出結(jié)果.【詳解】設(shè)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的家鄉(xiāng)分別表示為，當(dāng)甲去時，可能的情況有：，，；當(dāng)甲去時，可能的情況有：，，；當(dāng)甲去時，可能的情況有：，，；所以四位同學(xué)的去向一共有種，故答案為：.例4．（2021·上海交大附中高二期中）已知在矩形中，，，若將邊72等分，過每個等分點分別作的平行線，若將邊56等分，過每個等分點分別作的平行線，則這些平行線把整個矩形分成了邊長為1的個小正方形，于是，被對角線從內(nèi)部穿過的小正方形（小正方形內(nèi)部至少有上的點）共有______個．【答案】120【分析】將穿過正方形數(shù)量的計算轉(zhuǎn)化為穿過直線的計算，非交點情況下，對角線每生成一個交點，就相當(dāng)于穿過一個平面，然后對角線穿過交點時，不是穿過兩個平面而是一個平面，再減去交點情況求解.【詳解】將穿過正方形數(shù)量的計算轉(zhuǎn)化為穿過直線的計算，非交點情況下，對角線每生成一個交點，就相當(dāng)于穿過一個平面，在橫向上，穿過72個平面，在縱向上，穿過56個平面，然后對角線穿過交點時，不是穿過兩個平面而是一個平面，再減去交點情況，即72+568=120.故答案為：120例5．（2021·上海徐匯·高二期末）若一個三位數(shù)的各位數(shù)字之和為10，則稱這個三位數(shù)“十全十美數(shù)”，如208，136都是“十全十美數(shù)”，現(xiàn)從所有三位數(shù)中任取一個數(shù)，則這個數(shù)恰為“十全十美數(shù)”的概率是____________【答案】【分析】通過列舉法求出滿足題意的三位數(shù)十全十美數(shù)個數(shù)，再運用概率公式計算即可.【詳解】所有三位數(shù)個數(shù)為900個.“十全十美數(shù)”有54個列舉如下：①有一位數(shù)字是的，共有個，分別為；②含有兩個相同數(shù)字的，共有個，分別為；③不含0且沒有相同數(shù)字的，共有個，分別為,從所有三位數(shù)中任取一個數(shù)，則這個數(shù)恰為“十全十美數(shù)”的概率.故答案為:例6.從長度分別為1、2、3、4的四條線段中，任取三條的不同取法共有n種.在這些取法中，以取出的三條線段為邊可組成的三角形的個數(shù)為m，則等于（ ） A.0 B. C. D.【難度】★★★【答案】B【解析】從1、2、3、4的四條線段中選取三條任意共有4種方法，能組成三角形的僅有1種方法。例7.用100元錢購買2元、4元或8元飯票若干張，沒有剩錢，共有多少不同的買法?【難度】★★★【答案】182【解析】不妨設(shè)，即分類討論方程組的自然數(shù)解的組數(shù)即可，可以從開始，讓從小到大的順序分類討論。例8.袋中有3個紅球，4個黃球和5個白球，小明從中任意拿出6個球，他拿出球的情況共有____種可能．【難度】★★★【答案】18【解析】按照所拿球的顏色的組成依次分類討論即可。【鞏固訓(xùn)練】1．從1～10中每次取兩個不同的數(shù)相加，和大于10的共有多少種取法？【難度】★【答案】252．高二年級一班有女生人，男生人，從中選取一名學(xué)生作代表，參加學(xué)校組織的調(diào)查團(tuán)，問選取代表的方法有幾種．【難度】★【答案】563．一次，齊王與大將田忌賽馬．每人有四匹馬，分為四等．田忌知道齊王這次比賽馬的出場順序依次為一等，二等，三等，四等，而且還知道這八匹馬跑的最快的是齊王的一等馬，接著依次為自己的一等，齊王的二等，自己的二等，齊王的三等，自己的三等，齊王的四等，自己的四等．田忌有________種方法安排自己的馬的出場順序，保證自己至少能贏兩場比賽．【難度】★★【答案】124．用到這個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（） A． B． C． D．【難度】★★【答案】B5．用這個數(shù)字，可以組成____個大于，小于的數(shù)字不重復(fù)的四位數(shù)．【難度】★★★【答案】175【解析】從首位數(shù)字的組成，按照字典排序的方法從大到小分類計算。6．圓周上有個不同的點，過其中任意兩點作弦，這些弦在圓內(nèi)的交點個數(shù)最多是．【難度】★★★【答案】495【解析】要使得交點個數(shù)最多，只需使每兩條弦都相交即可，即從12個點中任選4個，找到分組的所有的可能性即可。7．1995的數(shù)字和是1＋9＋9＋5=24，問：小于2000的四位數(shù)中數(shù)字和等于26的數(shù)共有多少個?【難度】★★★【答案】6【解析】四位數(shù)字之和為26，而首位不能為0，首位可以從1開始進(jìn)行分類討論即可。8．2007的數(shù)字和是2+0+0+7=9，問：大于2000小于3000的四位數(shù)中數(shù)字和等于9的數(shù)共有多少個?【難度】★★★【答案】36【解析】可以從0的個數(shù)著手分類討論?？键c三：綜合應(yīng)用例1.用，，，，排成無重復(fù)字的五位數(shù)，要求偶數(shù)字相鄰，奇數(shù)字也相鄰，則這樣的五位數(shù)的個數(shù)是_________．（用數(shù)字作答）【難度】★★【答案】20【解析】分兩種情況來計算，一是首位是偶數(shù)的；二是首位是奇數(shù)的。例2.若自然數(shù)使得作豎式加法均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象．則稱為“可連數(shù)”．例如：是“可連數(shù)”，因不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；不是“可連數(shù)”，因產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象．那么，小于的“可連數(shù)”的個數(shù)為（） A． B． C． D．【難度】★★【答案】D【解析】分類計算時注意是十位和個位數(shù)都不能產(chǎn)生進(jìn)位。例3.由正方體的8個頂點可確定多少個不同的平面？【難度】★★【答案】20【解析】分為兩種情況：一、四個點所確定的面有12個；二、三個點確定的面有8個。例4.某通訊公司推出一組卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，從“”到“”共個號碼．公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數(shù)字“”或“”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為（） A． B． C． D．【難度】★★【答案】C【解析】先考慮卡號的后四位不帶數(shù)字“4”與“7”的號碼共有個，所以卡號前七位數(shù)字固定，后四位帶數(shù)字中“4”或“7”的卡號共有個，故選C。例5.如圖，一環(huán)形花壇分成四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（）A．96 B．84 C．60 D．48【難度】★★【答案】B【答案】第一塊四種花任選，第二塊除了第一塊的花任選，第三塊除了第二塊的花任選，第四塊除了一三塊的任選。一三花相同：；一三花不同：種；共有84種。例6.如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種．（以數(shù)字作答）【難度】★★★【答案】72【答案】由題意，任選三種顏色時：；任選四種顏色時：；共有72種。例7.分母是385的最簡真分?jǐn)?shù)一共有多少個？并求它們的和．【難度】★★★【答案】240【答案】分兩類進(jìn)行，因為385的約數(shù)里有5、7、11，故可以分成分子能被5、7、11單獨整除的數(shù)，再找能被它們都整除的數(shù)即可。例8.某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖所示的6個點A、B、C、A1、B1、C1上各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有種（用數(shù)字作答）【難度】★★★【答案】216【解析】每種顏色的燈泡都至少用一個，即用了四種顏色的等進(jìn)行安裝，分三步進(jìn)行，第一步，、、三點選三種顏色燈泡共有種選法；第二步，在、、種選一個裝第四種顏色的燈泡，有種情況；第三步，為剩下的兩個燈選顏色，假設(shè)剩下的為、，若與同色，則只能選點顏色；若與同色，則有、處兩種顏色可選。故為、選燈泡共有種選法。則共有種。例9.用紅、黃、藍(lán)三種顏色之一去涂圖中標(biāo)號為的個小正方形（如圖），使得任意相鄰（有公共邊的）小正方形所涂顏色都不相同，且“、、”號數(shù)字涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有（）種． A． B． C． D．【難度】★★★【答案】B【解析】我們先選出、、的顏色有3種，再考慮6、8的顏色，6、8可以顏色一樣，這時6、8只有兩種顏色可選，而9則有三種顏色可選，即種；同理，1、2、4的選法和6、8、9的選法一樣，有6種，因此，共有種?！眷柟逃?xùn)練】1．6本不同的書全部送給5人，每人至少1本，有種不同的送書方法．【難度】★★【答案】18002．將4名教師分配到3所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名教師，則不同的分配方案共有（ ） A.12種 B.24種 C.36種 D.48種【難度】★★【答案】2403．某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為（） A． B． C． D．【難度】★★【答案】A4．足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分，那么一個隊打14場共得19分的情況有（） A．種B．種 C．種D．種【難度】★★【答案】B5．從6人中選出4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有（ ） A．300種 B．240種 C．144種 D．96種【難度】★★【答案】B6．某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如圖）．現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有種．（以數(shù)字作答）【難度】★★★【答案】120【解析】由題意來看6部分種4種顏色的花，因此必有2個部分種相同顏色的花，因此從相同顏色的花入手分類求解：（1）②與⑤同色，則③⑥也同色或④⑥也同色，所有共有種；（2）③與⑤同色，則②④或④⑥同色，共有種；（3）②與④且③與⑥同色，則共有種。則共有120種。7．如圖所示,問從A到D每次不許走重復(fù)的路,共有多少種走法?(注:每次的路線一個地方只能經(jīng)過一次)【難度】★★★【答案】16【解析】分三類進(jìn)行：經(jīng)過B時，共有種；經(jīng)過C時，共有5種，不過B、C時，僅有1種，共有16種。8．球臺上有4個黃球，6個紅球，擊黃球入袋記2分，擊紅球入袋記1分，欲將此十球中的4球擊入袋中，但總分不低于5分，擊球方法有幾種？【難度】★★★【答案】195【解析】設(shè)擊入黃球個，紅球個，由題意有，可得，，可以分情況得，，，，再相應(yīng)的求解即可。一、單選題1．（2021·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）從集合中任意選擇三個不同的數(shù)，使得這三個數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列有（）個A．98 B．56 C．84 D．49【答案】A【分析】分類討論當(dāng)公差為，，……，時，對應(yīng)的等差數(shù)列個數(shù)，再根據(jù)三個數(shù)成公差數(shù)列有兩種情況，遞增或遞減，即可得到答案.【詳解】當(dāng)公差為時，數(shù)列可以是：，，，……，共13種情況.當(dāng)公差為時，數(shù)列可以是：，，，……，共11種情況.當(dāng)公差為時，數(shù)列可以是：，，，……，共9種情況.當(dāng)公差為時，數(shù)列可以是：，，，……，共7種情況.當(dāng)公差為時，數(shù)列可以是：，，，，，共5種情況.當(dāng)公差為時，數(shù)列可以是：，，，共3種情況.當(dāng)公差為時，數(shù)列可以是：，共1種情況.總的情況是.又因為三個數(shù)成公差數(shù)列有兩種情況，遞增或遞減，所以這樣的等差數(shù)列共有個.故選：A【點睛】本題主要考查分類計數(shù)原理，同時考查了等差數(shù)列的定義，屬于簡單題.2．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（）A．1024種 B．1023種 C．1536種 D．1535種【答案】D【分析】先看一張人民幣的取法，再看2張100元人民幣的取法，利用分步計數(shù)原理計算即可.【詳解】除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，2張100元人民幣的取法有不取、取一張和取二張3種情況，再減去這些人民幣全不取的1種情況，所以共有種．故選：D.【點睛】誤解：因為共有人民幣10張，每張人民幣都有取和不取2種情況，減去全不取的1種情況，共有種．錯因分析：這里100元面值比較特殊有兩張，在誤解中被計算成4種情況，實際上只有不取、取一張和取二張3種情況．3．從圖中的12個點中任取3個點作為一組，其中可構(gòu)成三角形的組數(shù)是（ ） A.208 B.204 C.200 D.196【難度】★★★【答案】C【解析】從12個點中選三個點構(gòu)成的三角形個數(shù)為個，除去在同一直線上三點的組數(shù)為20，則共有200個。二、填空題4．（2021·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）一個三位數(shù)，其十位上的數(shù)字小于百位上的數(shù)字，也小于個位上的數(shù)字，如523，769等，這樣的三位數(shù)共有________個．【答案】285.【分析】按照十位上的數(shù)字分成9類，再分類計數(shù)后相加即可得結(jié)果.【詳解】按照十位上的數(shù)字分成9類：第一類：十位上的數(shù)字為0時，百位有9種，個位也有9種，此時滿足條件的三位數(shù)有種；第二類：十位上的數(shù)字為1時，百位有8種，個位也有8種，此時滿足條件的三位數(shù)有種；第三類：十位上的數(shù)字為2時，百位有7種，個位也有7種，此時滿足條件的三位數(shù)有種；第四類：十位上的數(shù)字為3時，百位有6種，個位也有6種，此時滿足條件的三位數(shù)有種；第五類：十位上的數(shù)字為4時，百位有5種，個位也有5種，此時滿足條件的三位數(shù)有種；第六類：十位上的數(shù)字為5時，百位有4種，個位也有4種，此時滿足條件的三位數(shù)有種；第七類：十位上的數(shù)字為6時，百位有3種，個位也有3種，此時滿足條件的三位數(shù)有種；第八類：十位上的數(shù)字為7時，百位有2種，個位也有2種，此時滿足條件的三位數(shù)有種；第九類：十位上的數(shù)字為8時，百位有1種，個位也有1種，此時滿足條件的三位數(shù)有種；所以符合條件的三位數(shù)共有.故答案為：285.【點睛】本題考查了分類計數(shù)原理，關(guān)鍵是合理分類，并且要注意百位和個位上的數(shù)字可以相同，屬于基礎(chǔ)題.5．（2021·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）請列舉出用0，1，2，3，4這5個數(shù)字所組成的無重復(fù)數(shù)字且比3000大的，且相鄰的數(shù)字的奇偶性不同的所有四位數(shù)奇數(shù)，它們分別是______.【答案】4103，4301，4123，4321【分析】由千位上的數(shù)字為4，再根據(jù)相鄰的數(shù)字的奇偶性不同、無重復(fù)數(shù)字，即可得答案；【詳解】由題意得：千位上的數(shù)字為4，再根據(jù)相鄰的數(shù)字的奇偶性不同、無重復(fù)數(shù)字，所有的四位數(shù)奇數(shù)為：4103，4301，4123，4321.故答案為：4103，4301，4123，4321.【點睛】本題考查分類與分步原理的簡單運用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6．（2020·上海市復(fù)興高級中學(xué)高三期中）有4位教師在同一年級的4個班級各教一個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)考試時，要求每位教師都不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法數(shù)有_______種.【答案】9【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理分析即可得答案.【詳解】設(shè)四位教師為A、B、C、D，所教班級分別為a，b，c，d，先選A有3種選法，若A老師選b，則B老師有3種選法，剩下兩人都只有1種選法，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有（種）方法.故答案為：97．（2021·上海·高二專題練習(xí)）在所有的兩位數(shù)中，個位上的數(shù)字小于十位上的數(shù)字的兩位數(shù)有________個.【答案】45【分析】根據(jù)題意，分別討論個位上的數(shù)字是0，和個位上的數(shù)字不是0兩種情況，即可求出結(jié)果.【詳解】對于一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字能取的值分別為：0~9之間的任意一個數(shù)字，十位上的數(shù)字能取的值為：1~9之間的任意一個數(shù)字，為使個位上的數(shù)字小于十位上的數(shù)字，當(dāng)個位上的數(shù)字是0時，十位上的數(shù)字可以取1~9之間的任意一個數(shù)字，共9種情況；當(dāng)個位上的數(shù)字不是0時，只需從1~9之間任取兩個數(shù)字，較大的數(shù)字當(dāng)做十位上的數(shù)字即可，此時共有.故滿足題意的兩位數(shù)共有：個.故答案為：.【點睛】本題主要考查分類計算原理的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.8．（2021·上海交大附中高三開學(xué)考試）如圖，將網(wǎng)格中的三條線段沿網(wǎng)格線上、下或左、右平移，組成一個首尾相連的三角形，若最小的正方形邊長為1格，則三條線段一共至少需要移動__________格.【答案】9【分析】要使平移的個數(shù)最少，可將它們朝同一目標(biāo)共同移動，此時需要平移的格數(shù)最少.【詳解】如圖所示，將網(wǎng)格中的三條線沿網(wǎng)格線平移后組成一個首尾相接的三角形.根據(jù)平移的基本性質(zhì)知，左邊的線段向右平移3格，中間的線段向下平移2格，最右邊的線段先向左平移2格，再向上平移2格，此時平移的格數(shù)最少為：，其它平移方法都超過9格，至少需要移動9格.故答案為：99．（2021·上海·高二專題練習(xí)）乘積（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展開后共有_____項．【答案】60【分析】展開后的每一項都是由三個式子中任取一項相乘得到的,因而根據(jù)分步乘法原理即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)多項式的乘法法則,可知展開后的每一項都是由??這三個式子,每一個中任取一項相乘后得到的,而在中有3種取法,在中有4種取法,在中有5種取法,由分步乘法原理可得,總共有種情況,故答案為:60.【點睛】本題考查分步計數(shù)原理的運用,屬于簡單題.10．（2021·上海中學(xué)高二階段練習(xí)）將1，2，3填入的方格中，要求每行?每列都沒有重復(fù)數(shù)字，如圖是其中一種填法，則不同的填寫方法共有___________種.【答案】12【分析】利用分步計數(shù)原理，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，可按分步原理計數(shù)，第一步，第一行第一個位置可從1，2，3三個數(shù)字中任意選一個，有三種填法，第二步，第一行第二個位置可從余下兩個數(shù)字中選一個，有二種填法.第三步，第二行第一個位置，由于不能與第一行第一個位置上數(shù)字同，故其有兩種填法，第四步，第二行第二個位置，由于不能與第一行第二個數(shù)字同也不能與第二行第一個數(shù)字同，故它只能有一種填法.第五步，第三行第一個數(shù)字不能與第一行與第二行的第一個數(shù)字同，故其只有一種填法，第六步，此時只余下一個數(shù)字，故第三行第二列只有一種填法.由分步原理知，總的排列方法有種.故答案為：11．（2021·上海寶山·高二期末）640的不同正約數(shù)共有______個【答案】16【分析】把640分解質(zhì)因數(shù)，并把640寫出各質(zhì)因數(shù)積的形式，再經(jīng)分析計算即得.【詳解】因，于是得640的正約數(shù)形如，其中，所以640的一個正約數(shù)是中r，k各取一個值代入計算的結(jié)果，而r有8種取法，k有2種取法，由分步乘法計數(shù)原理知形式的數(shù)有個，所以640的不同正約數(shù)共有16個.故答案為：1612．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）一個三位數(shù)，個位?十位?百位上的數(shù)字依次為，當(dāng)且僅當(dāng)且時，稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)”(如341)