2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)八3.2數(shù)學(xué)證明含解析北師大版選修1-2

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)八數(shù)學(xué)證明(20分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.《論語·子路》篇中說:“名不正,則言不順;言不順,則事不成;事不成,則禮樂不興;禮樂不興,則刑罰不中;刑罰不中,則民無所措手足;所以,名不正,則民無所措手足.”上述推理用的是 ()A.類比推理 B.歸納推理C.演繹推理 D.一次三段論【解析】選C.這是一個(gè)復(fù)合三段論,從“名不正”推出“民無所措手足”,連續(xù)運(yùn)用五次三段論,屬演繹推理形式.2.詩歌是一種抒情言志的文學(xué)體裁,用高度凝練的語言、形象表達(dá)作者豐富的情感,詩歌也可以反映數(shù)量關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律,人們經(jīng)常把數(shù)學(xué)問題和算法理論編成朗朗上口的詩歌詞賦,使抽象理性的數(shù)學(xué)問題詩詞化,比如詩歌:“十里長(zhǎng)街鬧盈盈,慶祝祖國(guó)萬象新;佳節(jié)禮花破長(zhǎng)空,長(zhǎng)街燈籠勝繁星;七七數(shù)時(shí)余兩個(gè),八個(gè)一數(shù)恰為零;三數(shù)之時(shí)剩兩盞,燈籠幾盞放光明”,則此詩歌中長(zhǎng)街上燈籠最少有____盞 ()

A.70 B.128 C.140 【解析】選B.由七七數(shù)時(shí)余兩個(gè),可知燈籠數(shù)除以7余2,則A,C,D錯(cuò).3.下面幾種推理過程是演繹推理的是 ()A.在數(shù)列{an}中,a1=1,an=QUOTE(n≥2),由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式B.由平面三角形的性質(zhì),推想空間四面體性質(zhì)C.某校高二共有10個(gè)班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推想各班都超過50人D.兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ),假如∠A和∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角,則∠A+∠B=180°【解析】選D.A選項(xiàng),在數(shù)列{an}中,a1=1,an=QUOTE(n≥2)由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式,屬于歸納推理;B選項(xiàng),由平面三角形的性質(zhì),推想空間四面體性質(zhì),屬于類比推理;C選項(xiàng),某校高二共有10個(gè)班,1班51人,2班53人,3班52人,由此推想各班都超過50人,也屬于歸納推理;D選項(xiàng),具有明顯的大前提,小前提,結(jié)論,屬于典型的演繹推理的三段論形式.綜上,可知,只有D選項(xiàng)為演繹推理.4.“在△ABC中,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),求證:∠ADE=∠ABC”中,包含了________層三段論推理 ()

A.1 B.2 C.3 【解析】選B.三角形的中位線平行于底邊,(大前提)AD=DB,AE=CE,(小前提)所以DE∥BC,(結(jié)論)兩直線平行,同位角相等,(大前提)∠ADE與∠ABC為同位角,(小前提)所以∠ADE=∠ABC,(結(jié)論)故含有兩層三段論推理.【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列三句話按“三段論”模式排列依次正確的是 ()①y=cosx(x∈R)是三角函數(shù);②三角函數(shù)是周期函數(shù);③y=cosx(x∈R)是周期函數(shù).A.①②③ B.②①③C.②③① D.③②①【解析】選B.因?yàn)椤叭握摗钡慕Y(jié)構(gòu)是“若S是P,Q是S,則Q是P”,所以該“三段論”應(yīng)是“三角函數(shù)是周期函數(shù),y=cosx(x∈R)是三角函數(shù),y=cosx(x∈R)是周期函數(shù).”二、填空題(每小題5分,共10分)5.若有一段演繹推理:“大前提:整數(shù)是自然數(shù).小前提:-3是整數(shù).結(jié)論:-3是自然數(shù).”這個(gè)推理明顯錯(cuò)誤,則推理錯(cuò)誤的是________(填“大前提”“小前提”或“結(jié)論”).

【解析】整數(shù)不全是自然數(shù),還有負(fù)整數(shù),故大前提錯(cuò)誤.答案:大前提6.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)組成一個(gè)4×100米接力隊(duì),老師要支配他們四人的出場(chǎng)依次,以下是他們四人的要求.甲:我不跑第一棒和其次棒;乙:我不跑第一棒和第四棒;丙:我也不跑第一棒和第四棒;丁:假如乙不跑其次棒,我就不跑第一棒.老師聽了他們四人的對(duì)話,支配了一種合理的出場(chǎng)依次,滿意了他們的全部要求,據(jù)此我們可以斷定,在老師支配的出場(chǎng)依次中跑第三棒的人是________【解析】由題意知乙、丙均不跑第一棒和第四棒,則跑第三棒的人只能是乙、丙中的一個(gè),當(dāng)丙跑第三棒時(shí),乙只能跑其次棒,這時(shí)丁是第一棒,甲是第四棒,符合題意,當(dāng)乙跑第三棒時(shí),丙只能跑其次棒,丁只能跑第四棒,甲跑第一棒,不符合題意,故跑第三棒的人是丙.答案:丙三、解答題(每小題10分,共20分)7.用三段論證明通項(xiàng)公式為an=cqn(c,q為常數(shù),且cq≠0)的數(shù)列{an}是等比數(shù)列.【證明】等比數(shù)列中QUOTE為常數(shù)(大前提),因?yàn)閍n=cqn(cq≠0),所以an-1=cqn-1,所以QUOTE=QUOTE=q(常數(shù))(小前提),所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列(結(jié)論).8.已知f(x)=QUOTE,先分別求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后歸納猜想一般性結(jié)論,并給出證明.【解析】因?yàn)閒(x)=QUOTE,所以f(0)+f(1)=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE.同理可得f(-1)+f(2)=QUOTE,f(-2)+f(3)=QUOTE.猜想f(x)+f(1-x)=QUOTE.設(shè)x1+x2=1,則f(x1)+f(x2)=QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE.(15分鐘·30分)1.(5分)下面四個(gè)推導(dǎo)過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是 ()A.π是無限不循環(huán)小數(shù),無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù),所以π是無理數(shù)B.π是無限不循環(huán)小數(shù),π是無理數(shù),所以無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)C.無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù),π是無理數(shù),所以π是無限不循環(huán)小數(shù)D.無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù),π是無限不循環(huán)小數(shù),所以π是無理數(shù)【解析】選D.依據(jù)三段論推理的標(biāo)準(zhǔn)形式,逐一分析四個(gè)答案中的推導(dǎo)過程,可得出結(jié)論.對(duì)于A,小前提與大前提間邏輯錯(cuò)誤,不符合演繹推理三段論形式;對(duì)于B,大小前提及結(jié)論顛倒,不符合演繹推理三段論形式對(duì)于C,小前提和結(jié)論顛倒,不符合演繹推理三段論形式;對(duì)于D,符合演繹推理三段論形式且推理正確.2.(5分)中國(guó)古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法,在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)宏大的創(chuàng)建,算籌事實(shí)上是一根根同長(zhǎng)短的小木棍.如圖是利用算籌表示1-9的一種方法.則據(jù)此,3可表示為“≡”,26可表示為“=⊥”,現(xiàn)有6根算籌,據(jù)此表示方法,若算籌不能剩余,則可以用1-9這9個(gè)數(shù)字表示的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為 ()A.9 B.13 C.16 【解析】選C.依據(jù)題意,現(xiàn)有6根算籌,可以表示的數(shù)字組合為1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、3,3、7,7、7;數(shù)字組合1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、7中,每組可以表示2個(gè)兩位數(shù),則可以表示2×7=14個(gè)兩位數(shù);數(shù)字組合3、3,7、7,每組可以表示1個(gè)兩位數(shù),則可以表示2×1=2個(gè)兩位數(shù);則一共可以表示14+2=16個(gè)兩位數(shù).3.(5分)α<0,冪函數(shù)y=xα在區(qū)間(0,+∞)上是削減的,y=x-2是冪函數(shù),由“三段論”可得結(jié)論__________.

【解析】“三段論”的結(jié)論是蘊(yùn)涵于前提下的特別事實(shí),結(jié)合大前提,小前提可得答案.答案:y=x-2在區(qū)間(0,+∞)上是削減的4.(5分)已知推理:“因?yàn)椤鰽BC的三邊長(zhǎng)依次為3,4,5,所以△ABC是直角三角形”.若將其復(fù)原成完整的三段論,則大前提是___________________.

【解析】大前提:一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和的三角形是直角三角形;小前提:△ABC的三邊長(zhǎng)依次為3,4,5,滿意32+42=52.結(jié)論:△ABC是直角三角形.答案:一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和的三角形是直角三角形5.(10分)如圖A,B,C,D為空間四點(diǎn),在△ABC中,AB=2,AC=BC=QUOTE.等邊三角形ADB以AB為軸旋轉(zhuǎn).(1)當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí),求CD.(2)當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),是否總有AB⊥CD?證明你的結(jié)論.【解析】(1)如圖,取AB的中點(diǎn)E,連接CE,DE.因?yàn)锳C=BC=QUOTE,AB=2,所以△ABC為等腰直角三角形,所以CE⊥AB.因?yàn)椤鰽DB是等邊三角形,所以DE⊥AB.又平面ADB⊥平面ABC,且平面ADB∩平面ABC=AB,DE平面ADB,所以DE⊥平面ABC,所以DE⊥CE.由已知,得DE=QUOTEAB=QUOTE,CE=1.所以在Rt△CDE中,CD=QUOTE=2.(2)當(dāng)△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),總有AB⊥CD.證明如下:當(dāng)D在平面ABC內(nèi)時(shí),因?yàn)锽C=AC,AD=BD,所以C,D都在AB的垂直平分線上,所以AB⊥CD.當(dāng)D不在平面ABC內(nèi)時(shí),由(1)知,AB⊥DE,AB⊥CE,又DE∩CE=E,所以AB⊥平面CDE.又CD平面CDE,所以AB⊥CD.綜上所述,當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),總有AB⊥CD.1.中國(guó)古代近似計(jì)算方法源遠(yuǎn)流長(zhǎng),早在八世紀(jì),我國(guó)聞名數(shù)學(xué)家張遂在編制《大衍歷》中獨(dú)創(chuàng)了一種二次不等距插值算法:若函數(shù)y=f(x)在x=x1,x=x2,x=x3(x1<x2<x3)處的函數(shù)值分別為y1=f(x1),y2=f(x2),y3=f(x3),則在區(qū)間[x1,x3]上f(x)可以用二次函數(shù)來近似代替:f(x)≈y1+k1(x-x1)+k2(x-x1)(x-x2),其中k1=QUOTE,k=QUOTE,k2=QUOTE.若令x1=0,x2=QUOTE,x3=π,請(qǐng)依據(jù)上述算法,估算sinQUOTE的值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.設(shè)y=f(x)=sinx,x1=0,x2=QUOTE,x3=π,則有y1=0,y2=1,y3=0,則k1=QUOTE=QUOTE,k=QUOTE=-QUOTE,k2=-QUOTE,由f(x)≈y1+k1(x-x1)+k2(x-x1)(x-x2)=-QUOTEx2+QUOTEx,可得sinx≈-QUOTEx2+QUOTExsinQUOTE≈QUOTE.2.如圖所示,三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱AB,AC,AD兩兩相互垂直,O為點(diǎn)A在底面BCD上的射影.(1)求證:O為△BCD的垂心.(2)類比平面幾何的勾股定理,猜想此三棱錐側(cè)面與底面間的一個(gè)關(guān)系,并給出證明.【證明】(1)因?yàn)锳B⊥AD,AC⊥AD,AB∩AC=A,所以AD⊥平面ABC,所以AD⊥BC,又因?yàn)锳O⊥平面BCD,所以AO⊥BC,因?yàn)锳D∩AO=A,所以BC⊥平面AOD,所以BC⊥DO,同理可證CD⊥BO,所以O(shè)為△BCD的垂心.(2)猜想:QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.證明:連接DO并延長(zhǎng)交BC于E