2024高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)專項(xiàng)突破離散型隨機(jī)變量的均值與方差含解析

離散型隨機(jī)變量的均值與方差一、單選題1、（2025屆山東省濰坊市高三上期末）已知隨機(jī)變量聽從正態(tài)分布，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱，,依據(jù)對(duì)稱性可知，,.故選：C2、（2024·徐州一中一中高三調(diào)研）已知，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以選C.3、（2024年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)）某群體中的每位成員運(yùn)用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中運(yùn)用移動(dòng)支付的人數(shù)，，，則（）A．0.7 B．0.6C．0.4 D．0.3【答案】B【解析】∵，∴或，，，可知，故．故選B．4、（2024年高考浙江卷）設(shè)，隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ012P則當(dāng)p在（0，1）內(nèi)增大時(shí)，（）A．D（ξ）減小 B．D（ξ）增大C．D（ξ）先減小后增大 D．D（ξ）先增大后減小【答案】D【解析】∵E(ξ)=0×1-p2+1×12+2×p2=p+15、（2024·金陵中學(xué)高三月考）某面粉供應(yīng)商所供應(yīng)的某種袋裝面粉質(zhì)量聽從正態(tài)分布（單位：）現(xiàn)抽取500袋樣本，表示抽取的面粉質(zhì)量在的袋數(shù)，則的數(shù)學(xué)期望約為（）附：若，則，A．171 B．239 C．341 D．477【答案】B【解析】設(shè)每袋面粉的質(zhì)量為，則由題意得，∴.由題意得，∴．故選B．6、（2025屆浙江省杭州市高三3月模擬）已知隨機(jī)變量ξ滿意P(ξ=0)=x，P(ξ=1)=1-x，若則（）A．E(ξ)隨著x的增大而增大，D(ξ)隨著x的增大而增大B．E(ξ)隨著x的增大而減小，D(ξ)隨著x的增大而增大C．E(ξ)隨著x的增大而減小，D(ξ)隨著x的增大而減小D．E(ξ)隨著x的增大而增大，D(ξ)隨著x的增大而減小【答案】B【解析】依題意，在區(qū)間上是減函數(shù).，留意到函數(shù)的開口向下，對(duì)稱軸為，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，也即在區(qū)間上是增函數(shù).故選：B7、（2025屆浙江省嘉興市3月模擬）已知隨機(jī)變量X的分布列如下：若隨機(jī)變量Y滿意，則Y的方差（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，則，則，所以．故選：D8、（2024年高考浙江卷）設(shè)0＜a＜1，則隨機(jī)變量X的分布列是則當(dāng)a在（0，1）內(nèi)增大時(shí)，（）A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】D【解析】方法1：由分布列得，則，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，先減小后增大．故選D．方法2：則，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，先減小后增大．故選D．9、（2024·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三3月模擬）某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910已知的數(shù)學(xué)期望，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知：，解得.故選：B.10、（2024·浙江高三）隨機(jī)變量ξ的分布列如表：ξ﹣1012Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，若，則D（ξ）＝（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵a，b，c成等差數(shù)列，E（ξ），∴由變量ξ的分布列，知：，解得a，b，c，∴D（ξ）＝（﹣1）2（0）2（1）2（2）2．故選：D．11、（2024·浙江學(xué)軍中學(xué)高三3月月考）已知a，b為實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X，Y的分布列如下：X-101Y-101PPabc若，隨機(jī)變量滿意，其中隨機(jī)變量相互獨(dú)立，則取值范圍的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，，所以，即，又，故，所以，又隨機(jī)變量的可能取值為-1，0，1，則，，，列出隨機(jī)變量的分布列如下：-101P所以.故選：B.12、（2025屆浙江省杭州市其次中學(xué)高三3月月考）隨機(jī)變量的分布列如下：-101其中，，成等差數(shù)列，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，成等差?shù)列，，.則的最大值為13、（2025屆浙江省寧波市鄞州中學(xué)高三下期初）已知，兩個(gè)不透亮盒中各有形態(tài)、大小都相同的紅球、白球若干個(gè)，A盒中有個(gè)紅球與個(gè)白球，盒中有個(gè)紅球與個(gè)白球（），若從，盒中各取一個(gè)球，表示所取的2個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則當(dāng)取到最大值時(shí)，的值為（）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B【解析】可能值為，，，，分布列為，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選:B.14、（2024·浙江溫州中學(xué)高三3月月考）隨機(jī)變量的可能值有1，2，3，且，，則的最大值為（）A． B． C． D．1【答案】D【解析】隨機(jī)變量的可能值有1，2，3，且，，可得：，由，可得所以．，當(dāng)時(shí)，的最大值為1．故選：D．15、（2025屆浙江省之江教化評(píng)價(jià)聯(lián)盟高三其次次聯(lián)考）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列是：01則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（）A．增大 B．減小 C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】A【解析】依據(jù)隨機(jī)變量的分布列，則＝＝由于函數(shù)的圖象為關(guān)于的開口方向向下的拋物線，且，函數(shù)的對(duì)稱軸為，故增大.故選：A.16、（2024·浙江溫州中學(xué)3月高考模擬）已知隨機(jī)變量X的分布列如下表：X01Pabc其中a，b，.若X的方差對(duì)全部都成立，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因?yàn)?所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最大值,又對(duì)全部成立,所以,解得,故選:D.二、多選題17、（2024·棗莊市第三中學(xué)高三月考）若隨機(jī)變量X聽從兩點(diǎn)分布，其中，E（X）、D（X）分別為隨機(jī)變量X均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（）A．P（X＝1）＝E（X） B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．【答案】AB【解析】隨機(jī)變量X聽從兩點(diǎn)分布，其中，∴P（X＝1），E（X），D（X）＝（0）2（1）2，在A中，P（X＝1）＝E（X），故A正確；在B中，E（3X+2）＝3E（X）+2＝34，故B正確；在C中，D（3X+2）＝9D（X）＝92，故C錯(cuò)誤；在D中，D（X），故D錯(cuò)誤.故選：AB.18、2024·山東省試驗(yàn)中學(xué)高三模擬）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為012340.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量滿意，則下列結(jié)果正確的有（）A． B．，C．， D．，【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以，故A正確；又，，故C正確；因?yàn)?，所以，，故D正確.故選：ACD.19、（江蘇栟茶中學(xué)高三模擬）甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：）分別聽從正態(tài)分布，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．甲類水果的平均質(zhì)量B．甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值旁邊C．甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D．乙類水果的質(zhì)量比甲類水果的質(zhì)量更集中于平均值旁邊【答案】ABC【解析】由圖像可知,甲類水果的平均質(zhì)量,乙類水果的平均質(zhì)量,,則A,B,C都正確；D不正確.故選：ABC.20、（2025屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）下列推斷正確的是（）A．若隨機(jī)變量聽從正態(tài)分布，，則；B．已知直線平面，直線平面，則“”是“”的充分不必要條件；C．若隨機(jī)變量聽從二項(xiàng)分布：,則；D．是的充分不必要條件.【答案】ABCD【解析】A．已知隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79，則曲線關(guān)于x＝1對(duì)稱，可得P（ξ＞4）＝1﹣0.79＝0.21，P（ξ≤﹣2）＝P（ξ＞4）＝0.21，故A正確；B．若α∥β，∵直線l⊥平面α，∴直線l⊥β，∵m∥β，∴l(xiāng)⊥m成立．若l⊥m，當(dāng)m∥β時(shí)，則l與β的位置關(guān)系不確定，∴無(wú)法得到α∥β．∴“α∥β”是“l(fā)⊥m”的充分不必要條件．故B對(duì)；C．由于隨機(jī)變量ξ聽從二項(xiàng)分布：ξ～B（4，），則Eξ＝4×0.25＝1，故C對(duì)；D．“am2>bm2”可推出“a>b”，但“a>b”推不出“am2>bm2”，比如m＝0，故D對(duì)；故選：ABCD．21、（2025屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）某市有，，，四個(gè)景點(diǎn)，一位游客來(lái)該市巡游，已知該游客巡游的概率為，巡游，和的概率都是，且該游客是否巡游這四個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立.用隨機(jī)變量表示該游客巡游的景點(diǎn)的個(gè)數(shù)，下列正確的（）A．游客至多巡游一個(gè)景點(diǎn)的概率 B．C． D．【答案】ABD【解析】記該游客巡游個(gè)景點(diǎn)為事務(wù)，，則，，所以游客至多巡游一個(gè)景點(diǎn)的概率為，故A正確；隨機(jī)變量的可能取值為，，，故B正確；，，故C錯(cuò)誤；數(shù)學(xué)期望為：，故D正確，故選：ABD.22、（2024年高考山東）信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X全部可能的取值為，且，定義X的信息熵.A．若n=1，則H(X)=0B．若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C．若，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n=2m，隨機(jī)變量Y全部可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)【答案】AC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，所以，所以A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩者相等，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，則隨著的增大而增大，所以C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，若，隨機(jī)變量的全部可能的取值為，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題23、（2025屆山東省煙臺(tái)市高三上期末）已知隨機(jī)變量，，則__________．【答案】0.1【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量聽從正態(tài)分布,所以曲線關(guān)于對(duì)稱,因?yàn)?所以故答案為：0.124、（2024年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，實(shí)行七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)成功時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．依據(jù)前期競(jìng)賽成果，甲隊(duì)的主客場(chǎng)支配依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)競(jìng)賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是______________．【答案】【解析】前四場(chǎng)中有一場(chǎng)客場(chǎng)輸，第五場(chǎng)贏時(shí)，甲隊(duì)以獲勝的概率是前四場(chǎng)中有一場(chǎng)主場(chǎng)輸，第五場(chǎng)贏時(shí)，甲隊(duì)以獲勝的概率是綜上所述，甲隊(duì)以獲勝的概率是25、（2024·山東省萊州一中高二月考）已知隨機(jī)變量，且，，則______.【答案】【解析】，由二項(xiàng)分布的期望和方差公式得，解得.故答案為：.26、（2025屆山東省德州市高三上期末）隨機(jī)變量的取值為、、，，，則______.【答案】【解析】設(shè)，其中，可得出，，，解得，因此，.故答案為：.27、（2024·上饒中學(xué)高三月考）設(shè)隨機(jī)變量，則________.【答案】【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量,所以.故答案為:.28、（2024徐州一中開學(xué)考試）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，實(shí)行七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)成功時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．依據(jù)前期競(jìng)賽成果，甲隊(duì)的主客場(chǎng)支配依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)競(jìng)賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是____________．【答案】0.18【解析】前四場(chǎng)中有一場(chǎng)客場(chǎng)輸，第五場(chǎng)贏時(shí)，甲隊(duì)以獲勝的概率是前四場(chǎng)中有一場(chǎng)主場(chǎng)輸，第五場(chǎng)贏時(shí)，甲隊(duì)以獲勝的概率是綜上所述，甲隊(duì)以獲勝的概率是29、（2024·天津市第一中學(xué)開學(xué)考試）若是離散型隨機(jī)變量，，，且.又已知，，則的值為_____________.【答案】3【解析】因?yàn)樗?0、（2025屆浙江省嘉興市高三5月模擬）已知隨機(jī)變量的分布列如下：123則___，方差___．【答案】【解析】由題意可得，解得，，，，，，綜上，，.故答案為：；.31、（2024年高考浙江）盒中有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球．從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹梗O(shè)此過(guò)程中取到黃球的個(gè)數(shù)為，則_______，_______．【答案】，【解析】因?yàn)閷?duì)應(yīng)事務(wù)為第一次拿紅球或第一次拿綠球，其次次拿紅球，所以，隨機(jī)變量，，，所以.故答案為：.32、（2025屆浙江省寧波市余姚中學(xué)高考模擬）已知隨機(jī)變量的分布列如下表，若，則a=________，______.012Pab【答案】【解析】依題意，故.所以.故填：（1）；（2）.33、（2025屆浙江省杭州市建人高復(fù)高三4月模擬）將字母放入的方表格，每個(gè)格子各放一個(gè)字母，則每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率為_______；若共有行字母相同，則得k分，則所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為______；（注：橫的為行，豎的為列；比如以下填法其次行的兩個(gè)字母相同，第1，3行字母不同，該狀況下）abccab【答案】（填0.6也對(duì)）【解析】第一種：當(dāng)每一列都不一樣時(shí)有：第一列三個(gè)全排有，其次列剩下的三個(gè)全排也有，其次種：在一列中有其中兩個(gè)是一樣的則有：，所以總的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)有：，當(dāng)每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)有：，記事務(wù)“每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同”為，則；因?yàn)樗梅謹(jǐn)?shù)可能取值為：0，1，3，則有：，所以有故答案為：；解答題34、（2024·徐州高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）甲、乙兩人射擊，甲射擊一次中靶的概率是，乙射擊一次中靶的概率是，且是方程的兩個(gè)實(shí)根，已知甲射擊5次，中靶次數(shù)的方差是.（1）求，的值；（2）若兩人各射擊2次，至少中靶3次就算完成目標(biāo)，則完成目標(biāo)概率是多少?【解析】（1）由題意甲射擊中靶的次數(shù)聽從，所以由可得.又因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)實(shí)根，由根與系數(shù)關(guān)系可知：，所以；（2）設(shè)甲、乙兩人兩次射擊中分別中靶次數(shù)為事務(wù)（其中表示中靶的次數(shù)），“兩人各射擊2次，至少中靶3次”的概率為P，因?yàn)槭窍嗷オ?dú)立事務(wù)，所以35、（2024·遼寧省遼寧試驗(yàn)中學(xué)高三調(diào)研）某種水果依據(jù)果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.某選購(gòu) 商從選購(gòu) 的一批水果中隨機(jī)抽取個(gè)，利用水果的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果個(gè)數(shù)10304020（1）若將頻率視為概率，從這個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取個(gè)，求恰好有個(gè)水果是禮品果的概率.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）（2）用樣本估計(jì)總體，果園老板提出兩種購(gòu)銷方案給選購(gòu) 商參考.方案：不分類賣出，單價(jià)為元.方案：分類賣出，分類后的水果售價(jià)如下：等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果售價(jià)(元/kg）16182224從選購(gòu) 商的角度考慮，應(yīng)當(dāng)采納哪種方案？（3）用分層抽樣的方法從這個(gè)水果中抽取個(gè)，再?gòu)某槿〉膫€(gè)水果中隨機(jī)抽取個(gè)，表示抽取的是精品果的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）設(shè)從個(gè)水果中隨機(jī)抽取一個(gè)，抽到禮品果的事務(wù)為，則現(xiàn)有放回地隨機(jī)抽取個(gè)，設(shè)抽到禮品果的個(gè)數(shù)為，則恰好抽到個(gè)禮品果的概率為：（2）設(shè)方案的單價(jià)為，則單價(jià)的期望值為：從選購(gòu) 商的角度考慮，應(yīng)當(dāng)采納第一種方案（3）用分層抽樣的方法從個(gè)水果中抽取個(gè)，則其中精品果個(gè)，非精品果個(gè)現(xiàn)從中抽取個(gè)，則精品果的數(shù)量聽從超幾何分布，全部可能的取值為：則；；；的分布列如下：36、（2025屆山東省煙臺(tái)市高三上期末）某企業(yè)擁有3條相同的生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線每月至多出現(xiàn)一次故障.各條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)故障相互獨(dú)立，且出現(xiàn)故障的概率為.（1）求該企業(yè)每月有且只有1條生產(chǎn)線出現(xiàn)故障的概率；（2）為提高生產(chǎn)效益，該企業(yè)確定聘請(qǐng)名修理工人剛好對(duì)出現(xiàn)故障的生產(chǎn)線進(jìn)行修理.已知每名修理工人每月只有剛好修理1條生產(chǎn)線的實(shí)力，且每月固定工資為1萬(wàn)元.此外，統(tǒng)計(jì)表明，每月在不出故障的狀況下，每條生產(chǎn)線創(chuàng)建12萬(wàn)元的利潤(rùn)；假如出現(xiàn)故障能剛好修理，每條生產(chǎn)線創(chuàng)建8萬(wàn)元的利潤(rùn)；假如出現(xiàn)故障不能剛好修理，該生產(chǎn)線將不創(chuàng)建利潤(rùn)，以該企業(yè)每月實(shí)際獲利的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？（實(shí)際獲利=生產(chǎn)線創(chuàng)建利潤(rùn)-修理工人工資）【解析】（1）設(shè)3條生產(chǎn)線中出現(xiàn)故障的條數(shù)為,則,因此（2）①當(dāng)時(shí),設(shè)該企業(yè)每月的實(shí)際獲利為萬(wàn)元,若,則；若,則；若,則；若,則；又,,,此時(shí),實(shí)際獲利的均值②當(dāng)時(shí),設(shè)該企業(yè)每月的實(shí)際獲利為萬(wàn)元,若,則；若,則；若,則；若,則；因?yàn)?于是以該企業(yè)每月實(shí)際獲利的期望值為決策依據(jù),在與之中選其一,應(yīng)選用37、（2025屆山東省九校高三上學(xué)期聯(lián)考）學(xué)生考試中答對(duì)但得不了滿分的緣由多為答題不規(guī)范，詳細(xì)表現(xiàn)為：解題結(jié)果正確，無(wú)明顯推理錯(cuò)誤，但語(yǔ)言不規(guī)范、缺少必要文字說(shuō)明、卷面字跡不清、得分要點(diǎn)缺失等，記此類解答為“類解答”.為評(píng)估此類解答導(dǎo)致的失分狀況，某市教研室做了一項(xiàng)試驗(yàn)：從某次考試的數(shù)學(xué)試卷中隨機(jī)抽取若干屬于“類解答”的題目，掃描后由近百名數(shù)學(xué)老師集體評(píng)閱，統(tǒng)計(jì)發(fā)覺，滿分12分的題，閱卷老師所評(píng)分?jǐn)?shù)及各分?jǐn)?shù)所占比例大約如下表：老師評(píng)分（滿分12分）11109各分?jǐn)?shù)所占比例某次數(shù)學(xué)考試試卷評(píng)閱采納“雙評(píng)+仲裁”的方式，規(guī)則如下：兩名老師獨(dú)立評(píng)分，稱為一評(píng)和二評(píng)，當(dāng)兩者所評(píng)分?jǐn)?shù)之差的肯定值小于等于1分時(shí)，取兩者平均分為該題得分；當(dāng)兩者所評(píng)分?jǐn)?shù)之差的肯定值大于1分時(shí)，再由第三位老師評(píng)分，稱之為仲裁，取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評(píng)中與之接近的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分；當(dāng)一、二評(píng)分?jǐn)?shù)和仲裁分?jǐn)?shù)差值的肯定值相同時(shí)，取仲裁分?jǐn)?shù)和前兩評(píng)中較高的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分.（假設(shè)本次考試閱卷老師對(duì)滿分為12分的題目中的“類解答”所評(píng)分?jǐn)?shù)及比例均如上表所示，比例視為概率，且一、二評(píng)與仲裁三位老師評(píng)分互不影響）.（1）本次數(shù)學(xué)考試中甲同學(xué)某題（滿分12分）的解答屬于“類解答”，求甲同學(xué)此題得分的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）本次數(shù)學(xué)考試有6個(gè)解答題，每題滿分均為12分，同學(xué)乙6個(gè)題的解答均為“類解答”，記該同學(xué)6個(gè)題中得分為的題目個(gè)數(shù)為，，，計(jì)算事務(wù)“”的概率.【解析】（1）隨機(jī)變量的可能取值為9、9.5、10、10.5、11，設(shè)一評(píng)、二評(píng)、仲裁所打分?jǐn)?shù)分別為，，，，，，，.所以分布列如下表：可能取值99.51010.511概率數(shù)學(xué)期望（分）.（2）∵，∴，∵，，，，，∴.38、（2025屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）2024年11月河南省三門峽市成功入圍“十佳魅力中國(guó)城市”，吸引了大批投資商的目光，一些投資商主動(dòng)打算投入到“魅力城市”的建設(shè)之中.某投資公司打算在2024年年初將四百萬(wàn)元投資到三門峽下列兩個(gè)項(xiàng)目中的一個(gè)之中.項(xiàng)目一：天坑院是黃土高原地域獨(dú)具特色的民居形式，是人類“穴居”發(fā)展史演化的實(shí)物見證.現(xiàn)打算投資建設(shè)20個(gè)天坑院，每個(gè)天坑院投資0.2百萬(wàn)元，假設(shè)每個(gè)天坑院是否盈利是相互獨(dú)立的，據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，到2024年底每個(gè)天坑院盈利的概率為，若盈利則盈利投資額的40%，否則盈利額為0.項(xiàng)目二：天鵝湖國(guó)家濕地公園是一處融生態(tài)、文化和人文地理于一體的自然山水景區(qū).據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到2024年底可能盈利投資額的50%，也可能虧損投資額的30%，且這兩種狀況發(fā)生的概率分別為p和.（1）若投資項(xiàng)目一，記為盈利的天坑院的個(gè)數(shù)，求（用p表示）；（2）若投資項(xiàng)目二，記投資項(xiàng)目二的盈利為百萬(wàn)元，求（用p表示）；（3）在（1）（2）兩個(gè)條件下，針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)項(xiàng)目，并說(shuō)明理由.【解析】（1）解：由題意則盈利的天坑院數(shù)的均值.（2）若投資項(xiàng)目二，則的分布列為2-1.2盈利的均值.（3）若盈利，則每個(gè)天坑院盈利（百萬(wàn)元），所以投資建設(shè)20個(gè)天坑院，盈利的均值為（百萬(wàn)元）.①當(dāng)時(shí)，，解得..故選擇項(xiàng)目一.②當(dāng)時(shí)，，解得.此時(shí)選擇項(xiàng)一.③當(dāng)時(shí)，，解得.此時(shí)選擇項(xiàng)二.39、（2025屆山東省濰坊市高三上期中）如圖，直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，，，為圓上三個(gè)定點(diǎn)，某同學(xué)從點(diǎn)起先，用擲骰子的方法移動(dòng)棋子．規(guī)定：①每擲一次骰子，把一枚棋子從一個(gè)定點(diǎn)沿圓弧移動(dòng)到相鄰下一個(gè)定點(diǎn)；②棋子移動(dòng)的方向由擲骰子確定，若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，則按圖中箭頭方向移動(dòng)；若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，則按圖中箭頭相反的方向移動(dòng)．設(shè)擲骰子次時(shí)，棋子移動(dòng)到，，處的概率分別為，，．例如：擲骰子一次時(shí)，棋子移動(dòng)到，，處的概率分別為，，．（1）分別擲骰子二次，三次時(shí)，求棋子分別移動(dòng)到，，處的概率；（2）擲骰子次時(shí)，若以軸非負(fù)半軸為始邊，以射線，，為終邊的角的余弦值記為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）記，，，其中．證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求.【解析】（1），，，，綜上，棋子位置擲骰子次數(shù)23（2）隨機(jī)變量的可能數(shù)值為1，.綜合（1）得，，故隨機(jī)變量的分布列為.（3）易知，因此，而當(dāng)時(shí)，，又，即.因此，故即數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.所以，又故.40、（2025屆山東省濟(jì)寧市第一中學(xué)高三一輪檢測(cè)）某班級(jí)體育課進(jìn)行一次籃球定點(diǎn)投籃測(cè)試，規(guī)定每人最多投3次，每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立.在處每投進(jìn)一球得3分，在處每投進(jìn)一球得2分，否則得0分.將學(xué)生得分逐次累加并用表示，假如的值不低于3分就判定為通過(guò)測(cè)試，馬上停止投籃，否則應(yīng)接著投籃，直到投完三次為止.現(xiàn)有兩種投籃方案:方案1:先在處投一球，以后都在處投；方案2:都在處投籃.已知甲同學(xué)在處投籃的命中率為，在處投籃的命中率為.（1）若甲同學(xué)選擇方案1，求他測(cè)試結(jié)束后所得總分的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）你認(rèn)為甲同學(xué)選擇哪種方案通過(guò)測(cè)試的可能性更大?說(shuō)明理由.【解析】（1）設(shè)甲同學(xué)在處投中為事務(wù)，在處第次投中為事務(wù)，由已知，.的取值為0，2，3，4.則，，，，的分布列為:0234的數(shù)學(xué)期望為:.（2）甲同學(xué)選擇方案1通過(guò)測(cè)試的概率為，選擇方案2通過(guò)測(cè)試的概率為，則，,∵，∴甲同學(xué)選擇方案2通過(guò)測(cè)試的可能性更大.41、（2025屆山東省六地市部分學(xué)校高三3月線考）為提高城市居民生活華蜜感，某城市公交公司大力確保公交車的準(zhǔn)點(diǎn)率，削減居民乘車候車時(shí)間為此，該公司對(duì)某站臺(tái)乘客的候車時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)乘客候車時(shí)間受公交車準(zhǔn)點(diǎn)率、交通擁堵狀況、節(jié)假日人流量增大等狀況影響在公交車準(zhǔn)點(diǎn)率正常、交通擁堵狀況正常、非節(jié)假日的狀況下，乘客候車時(shí)間隨機(jī)變量滿意正態(tài)分布在公交車準(zhǔn)點(diǎn)率正常、交通擁堵狀況正常、非節(jié)假日的狀況下，調(diào)查了大量乘客的候車時(shí)間，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)得到如圖頻率分布直方圖.（1）在直方圖各組中，以該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組中的各個(gè)值，試估計(jì)的值；（2）在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，發(fā)生概率低于千分之三的事務(wù)叫小概率事務(wù)，一般認(rèn)為，在正常狀況下，一次試驗(yàn)中，小概率事務(wù)是不能發(fā)生的在交通擁堵狀況正常、非節(jié)假日的某天，隨機(jī)調(diào)查了該站的10名乘客的候車時(shí)間，發(fā)覺其中有3名乘客候車時(shí)間超過(guò)15分鐘，試推斷該天公交車準(zhǔn)點(diǎn)率是否正常，說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：，，，，）【答案】（1），（2）準(zhǔn)點(diǎn)率正常，詳見解析【解析】（1），（2），設(shè)3名乘客候車時(shí)間超過(guò)15分鐘的事務(wù)為，，，準(zhǔn)點(diǎn)率正常42、（2025屆山東省高考模擬）某銷售公司在當(dāng)?shù)亍杉页懈饔幸粋€(gè)銷售點(diǎn)，每日從同一家食品廠一次性購(gòu)進(jìn)一種食品，每件200元，統(tǒng)一零售價(jià)每件300元，兩家超市之間調(diào)配食品不計(jì)費(fèi)用，若進(jìn)貨不足食品廠以每件250元補(bǔ)貨，若銷售有剩余食品廠以每件150回收.現(xiàn)需決策每日購(gòu)進(jìn)食品數(shù)量，為此搜集并整理了、兩家超市往年同期各50天的該食品銷售記錄，得到如下數(shù)據(jù)：銷售件數(shù)891011頻數(shù)20402020以這些數(shù)據(jù)的頻數(shù)代替兩家超市的食品銷售件數(shù)的概率，記表示這兩家超市每日共銷售食品件數(shù)，表示銷售公司每日共需購(gòu)進(jìn)食品的件數(shù).（1）求的分布列；（2）以銷售食品利潤(rùn)的期望為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選哪個(gè)？【解析】（1）由已知一家超市銷售食品件數(shù)8,9,10,11的概率分別為.取值為16,17,18,19,20,21.，；；；；所以的分布列為16171819202122（2）當(dāng)時(shí)，記為銷售該食品利潤(rùn)，則的分布列為1450160017501900195020002050當(dāng)時(shí)，記為銷售該食品利潤(rùn)，則的分布列為1400155017001850200020502100因?yàn)?，故?yīng)選.43、（2025屆山東省濟(jì)寧市高三3月月考）公元2024年春，我國(guó)湖北武漢出現(xiàn)了新型冠狀病毒，人感染后會(huì)出現(xiàn)發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等，嚴(yán)峻的可導(dǎo)致肺炎甚至危及生命.為了盡快遏制住病毒的傳播，我國(guó)科研人員，在探討新型冠狀病毒某種疫苗的過(guò)程中，利用小白鼠進(jìn)行科學(xué)試驗(yàn).為了探討小白鼠連續(xù)接種疫苗后出現(xiàn)癥狀的狀況，確定對(duì)小白鼠進(jìn)行做接種試驗(yàn).該試驗(yàn)的設(shè)計(jì)為：①對(duì)參與試驗(yàn)的每只小白鼠每天接種一次