2024-2025學(xué)年福建省福州市部分學(xué)校教學(xué)聯(lián)盟高二上學(xué)期9月開學(xué)適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市部分學(xué)校教學(xué)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月開學(xué)適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)試卷一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系中，點在平面上的投影的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】點在平面上的投影的坐標(biāo)為.故選：D.2.已知為空間的一個基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個基底的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，設(shè)，則，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，無解，則不共面，能構(gòu)成空間的一個基底，故B正確；對于C，設(shè)，則，則共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故C錯誤；對于D，設(shè)，則，則共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故D錯誤；故選：B.3.如圖，空間四邊形中，，，，點M在上，且，點N為中點，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故選：B.4.已知向量，，則向量在向量上的投影向量（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由向量，，得，而，向量在向量上的投影向量.故選：C.5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)圖象可得，，解得，所以，即，將點代入的解析式，得，則，解得，，又，，所以.故選：D.6.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，下列四個命題中正確的命題是（）A.若，則一定是等邊三角形B.若，則一定是等腰三角形C.若，則一定是直角三角形D.若，則一定是銳角三角形【答案】A【解析】A選項，，由正弦定理得，即，因為，所以，故，即，同理可得，故，一定是等邊三角形，A正確；B選項，，由正弦定理得，即，所以，因為，所以或，故或，故為等腰三角形或直角三角形，B錯誤；C選項，，即，由B選項可知，為等腰三角形或直角三角形，C錯誤；D選項，，故，故為銳角，但不知中其中之一是否為鈍角，故無法確定是否為鈍角三角形，D錯誤.故選：A.7.如圖，三棱柱中，分別為中點，過作三棱柱的截面交于，且，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】如圖，延長交于點，連接交于，連接，則四邊形所求截面．取的中點，連接.∵，∴是△APC的中位線，∴為的中點．又分別為的中點，∴，則，即，∴為上靠近的三等分點，故．故選：B.8.在梯形中，為鈍角，且，若為線段上一點，，則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，取中點，因為，所以，以為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，則因為，則,的，則，且.故選：B.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題所給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分．9.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.向量，，若，則B.若對空間中任意一點，有，則，，，四點共面C.設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D.若空間四個點，，，，，則，，三點共線【答案】BCD【解析】對于選項A，由，也可能是或，故錯誤；對于選項B，因為對空間中任意一點，，則，整理得由空間向量基本定理可知點，，，四點共面，故正確；對于選項C，由是空間中的一組基底，則，向量，，不共面，可得向量，，也不共面，所以也是空間的一組基底，故正確；對于選項D，若空間四個點，，，，，可得，即，則，，三點共線，故正確.故選：BCD.10.已知正方體的棱長為1，下列四個結(jié)論中正確的是（）A.平面B.直線與直線為異面直線C.直線與直線所成的角為D.平面【答案】AD【解析】對A，連接，因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面，故A正確；對BC，由A知，則兩直線共面，則直線與直線不是異面直線，且直線與直線所成的角不是，故BC錯誤；對D，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則，則，則，則，又因為平面，所以平面.故選：AD.11.如圖所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，點為側(cè)棱上的動點，為線段中點.則下列說法正確的是（）A.存在點，使得平面B.周長的最小值為C.三棱錐的外接球的體積為D.平面與平面的夾角正弦值的最小值為【答案】ACD【解析】A：由題意知，，又平面，所以平面，由平面，得；當(dāng)為的中點時，又四邊形為正方形，為的中點，所以，由平面，所以平面，故A正確；B：將平面和平面沿鋪成一個平面，如圖，連接，交于，此時三點共線，取得最小值，即的周長取得最小值，又，所以的周長的最小值為，故B錯誤；C：易知中，，取的中點，過作平面，如圖,則三棱錐的外接球的球心必在上，且，所以球的半徑為，其體積為，故C正確；D：易知兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，易知為平面的一個法向量，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，設(shè)平面與平面所成角為，則，所以，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知則_______.【答案】【解析】令，則，．．13.圓錐的高為2，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積為______________.【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，則，所以，所以圓錐的體積為.14.若存在實數(shù)m，使得對于任意的，不等式恒成立，則取得最大值時，__________．【答案】【解析】因為恒成立，即恒成立，若存在實數(shù)，使得上式成立，則，則，可得，可得，解得，由，則取得最大值時，此時.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答時應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，且分別為的中點.（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）不妨設(shè)，則，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，A1,0,0，，，所以，，，設(shè)m=x,y,z是平面的一個法向量，則，取，則，所以平面的一個法向量，又，所以，因為平面，所以平面.（2）因為平面，所以是平面的一個法向量，又因為，所以平面與平面夾角的余弦值為.16.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角C的大??；（2）若，，求AB邊上的中線長.解：（1）因為，由正弦定理可得.又因為，則，所以.整理得，即.因，所以，所以，所以.（2）由余弦定理，且，則有，又，故.設(shè)邊上中線為CM，則，，故邊上中線長為.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點在上，且.（1）證明：平面；（2）當(dāng)二面角的余弦值為時，求點到直線的距離.解：（1）連結(jié)，交于點，連結(jié)，因為，所以，又，所以，所以，因為面，面，所以平面.（2）以為原點，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，則，，設(shè)平面法向量為，則，即，令，可取，平面的法向量可取，所以，得，因為，與同向的單位向量，所以點到直線的距離為.18.平面四邊形中，，，，．（1）求；（2）求四邊形周長的取值范圍；（3）若為邊上一點，且滿足，，求的面積．解：（1）因為，，所以，在中由余弦定理；（2）在中，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，則，即，所以，所以，即四邊形周長的取值范圍為；（3）因為，所以，又，所以，，又，所以，在中由余弦定理，即,在中由余弦定理，即，又，所以，所以，又，所以，即，所以，所以，所以，所以.19.如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，，D，E分別是線段的中點，在平面內(nèi)的射影為D.（1）求證：平面；（2）若點F為棱的中點，求三棱錐的體積；（3）在線段上是否存在點G，使二面角的大小為，若存在，請求出的長度，若不存在，請說明理由.解：（1）如圖所示，連接，由題意可知平面ABC，四邊形是菱形.平面ABC，，又D是AC中點，是正三角形，，又平面，平面，平面，，在菱形中，有，而D，E分別是線段的中點，則，所以，平面，平面；（2）如圖所示，由（1）可知，，平面，為三棱錐的高，，，又在平面內(nèi)的射影為，，則，，，則，為直角三角形，，.（3）如圖，假設(shè)存在G點滿足題意，取的中點S，連接，過G作交于M，連接MD，易得，平面，平面，故平面，又結(jié)合（1）的結(jié)論有，故二面角為，所以，如圖，在菱形中，作，易得，則，易知為直角三角形，故.福建省福州市部分學(xué)校教學(xué)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月開學(xué)適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)試卷一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系中，點在平面上的投影的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】點在平面上的投影的坐標(biāo)為.故選：D.2.已知為空間的一個基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個基底的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，設(shè)，則，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，無解，則不共面，能構(gòu)成空間的一個基底，故B正確；對于C，設(shè)，則，則共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故C錯誤；對于D，設(shè)，則，則共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故D錯誤；故選：B.3.如圖，空間四邊形中，，，，點M在上，且，點N為中點，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故選：B.4.已知向量，，則向量在向量上的投影向量（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由向量，，得，而，向量在向量上的投影向量.故選：C.5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)圖象可得，，解得，所以，即，將點代入的解析式，得，則，解得，，又，，所以.故選：D.6.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，下列四個命題中正確的命題是（）A.若，則一定是等邊三角形B.若，則一定是等腰三角形C.若，則一定是直角三角形D.若，則一定是銳角三角形【答案】A【解析】A選項，，由正弦定理得，即，因為，所以，故，即，同理可得，故，一定是等邊三角形，A正確；B選項，，由正弦定理得，即，所以，因為，所以或，故或，故為等腰三角形或直角三角形，B錯誤；C選項，，即，由B選項可知，為等腰三角形或直角三角形，C錯誤；D選項，，故，故為銳角，但不知中其中之一是否為鈍角，故無法確定是否為鈍角三角形，D錯誤.故選：A.7.如圖，三棱柱中，分別為中點，過作三棱柱的截面交于，且，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】如圖，延長交于點，連接交于，連接，則四邊形所求截面．取的中點，連接.∵，∴是△APC的中位線，∴為的中點．又分別為的中點，∴，則，即，∴為上靠近的三等分點，故．故選：B.8.在梯形中，為鈍角，且，若為線段上一點，，則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，取中點，因為，所以，以為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，則因為，則,的，則，且.故選：B.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題所給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分．9.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.向量，，若，則B.若對空間中任意一點，有，則，，，四點共面C.設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D.若空間四個點，，，，，則，，三點共線【答案】BCD【解析】對于選項A，由，也可能是或，故錯誤；對于選項B，因為對空間中任意一點，，則，整理得由空間向量基本定理可知點，，，四點共面，故正確；對于選項C，由是空間中的一組基底，則，向量，，不共面，可得向量，，也不共面，所以也是空間的一組基底，故正確；對于選項D，若空間四個點，，，，，可得，即，則，，三點共線，故正確.故選：BCD.10.已知正方體的棱長為1，下列四個結(jié)論中正確的是（）A.平面B.直線與直線為異面直線C.直線與直線所成的角為D.平面【答案】AD【解析】對A，連接，因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面，故A正確；對BC，由A知，則兩直線共面，則直線與直線不是異面直線，且直線與直線所成的角不是，故BC錯誤；對D，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則，則，則，則，又因為平面，所以平面.故選：AD.11.如圖所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，點為側(cè)棱上的動點，為線段中點.則下列說法正確的是（）A.存在點，使得平面B.周長的最小值為C.三棱錐的外接球的體積為D.平面與平面的夾角正弦值的最小值為【答案】ACD【解析】A：由題意知，，又平面，所以平面，由平面，得；當(dāng)為的中點時，又四邊形為正方形，為的中點，所以，由平面，所以平面，故A正確；B：將平面和平面沿鋪成一個平面，如圖，連接，交于，此時三點共線，取得最小值，即的周長取得最小值，又，所以的周長的最小值為，故B錯誤；C：易知中，，取的中點，過作平面，如圖,則三棱錐的外接球的球心必在上，且，所以球的半徑為，其體積為，故C正確；D：易知兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，易知為平面的一個法向量，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，設(shè)平面與平面所成角為，則，所以，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知則_______.【答案】【解析】令，則，．．13.圓錐的高為2，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積為______________.【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，則，所以，所以圓錐的體積為.14.若存在實數(shù)m，使得對于任意的，不等式恒成立，則取得最大值時，__________．【答案】【解析】因為恒成立，即恒成立，若存在實數(shù)，使得上式成立，則，則，可得，可得，解得，由，則取得最大值時，此時.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答時應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，且分別為的中點.（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）不妨設(shè)，則，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，A1,0,0，，，所以，，，設(shè)m=x,y,z是平面的一個法向量，則，取，則，所以平面的一個法向量，又，所以，因為平面，所以平面.（2）因為平面，所以是平面的一個法向量，又因為，所以平面與平面夾角的余弦值為.16.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角C的大??；（2）若，，求AB邊上的中線長.解：（1）因為，由正弦定理可得.又因為，則，所以.整理得，即.因，所以，所以，所以.（2）由余弦定理，且，則有，又，故.設(shè)邊上中線為CM，則，，故邊上中線長為.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點在上，且.（1）證明：平面；（2）當(dāng)二面角的余弦值為時，求點到直線的距離.解：（1）連結(jié)，交于點，連結(jié)，因為，所以，又，所以，所以，因為面，面，所以平面.（2）以為原點，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，則，，