742超幾何分布-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)考點(diǎn)講解練（人教A版2019選擇性）

7.4.2超幾何分布備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識歸納；考點(diǎn)分析及解題方法歸納：考點(diǎn)包含：超幾何分布的分布列；超幾何分布的均值；超幾何分布的方差；超幾何分布的概率課堂知識小結(jié)考點(diǎn)鞏固提升知識歸納知識點(diǎn)：超幾何分布：一般地，在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則01稱超幾何分布列.為超幾何分布列，考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)1：超幾何分布的分布列例1．從6名男生和4名女生中隨機(jī)選出3名同學(xué)參加一項(xiàng)競技測試．(1)求選出的3名同學(xué)中至少有1名女生的概率；(2)設(shè)表示選出的3名同學(xué)中男生的人數(shù)，求的分布列．【答案】(1)(2)見解析(1)解：由題意可知，選出的3名同學(xué)全是男生的概率為，所以選出的3名同學(xué)中至少有1名女生的概率；(2)解：根據(jù)題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：【方法技巧】(1)利用對立事件概率公式能求出選出的三位同學(xué)中至少有一名女同學(xué)的概率；(2)根據(jù)題意，的可能取值為，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望．【變式訓(xùn)練】1．下列隨機(jī)變量中，服從超幾何分布的有(

)A．拋擲三枚骰子，向上面的點(diǎn)數(shù)是6的骰子的個(gè)數(shù)XB．有一批種子的發(fā)芽率為70％，任取10顆種子做發(fā)芽試驗(yàn)，試驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個(gè)數(shù)XC．盒子中有3個(gè)紅球、4個(gè)黃球、5個(gè)藍(lán)球，任取3個(gè)球，不是紅球的個(gè)數(shù)XD．某班級有男生25人，女生20人.選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng)，班長必須參加，其中女生的人數(shù)X【答案】CD【分析】判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從超幾何分布，應(yīng)看三點(diǎn)：(1)總體是否可分為兩類明確的對象；(2)是不是不放回抽樣；(3)隨機(jī)變量是不是樣本中其中一類個(gè)體的個(gè)數(shù).據(jù)此逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】AB是重復(fù)試驗(yàn)問題，服從二項(xiàng)分布，不服從超幾何分布，故AB不符題意；CD符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類，隨機(jī)變量X表示抽取n件樣本中某類樣本被抽取的件數(shù)，服從超幾何分布.故選：CD.2．從裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有個(gè)紅球，則隨機(jī)變量的概率分布為：___________．012【答案】見解析【分析】離散型隨機(jī)變量的分布列根據(jù)等可能事件的概率計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意由等可能事件的概率計(jì)算公式可知：，故答案為：0123．一個(gè)小組有6個(gè)人，任選2名代表，則甲當(dāng)選的概率為__________．【答案】【詳解】由題可知：故答案為：5．在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，那么以為概率的事件是()A．都不是一等品

B．恰有1件一等品C．至少有1件一等品

D．至多有1件一等品【答案】D【詳解】對A，概率為;對B，概率為;對C，概率為;對D，概率為;故選：D考點(diǎn)2：超幾何分布的均值例2．設(shè)甲盒有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，乙盒有4個(gè)白球，1個(gè)紅球，現(xiàn)從甲盒任取2球放入乙盒，再從乙盒任取兩球．(1)記隨機(jī)變量表示從甲盒取出的紅球個(gè)數(shù)，求期望的值；(2)求從乙盒取出2個(gè)紅球的概率．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題可知，隨機(jī)變量可能的取值有，所以分布列如下：012所以.（2）(i)若，則此時(shí)甲盒取出來了2個(gè)白球放入乙盒，此時(shí)乙盒有6個(gè)白球，1個(gè)紅球，所以從乙盒取出2個(gè)紅球的概率為0；(ii)若，則此時(shí)甲盒取出來了1個(gè)白球，1個(gè)紅球放入乙盒，此時(shí)乙盒有5個(gè)白球，2個(gè)紅球，所以從乙盒取出2個(gè)紅球的概率為；(iii)若，則此時(shí)甲盒取出來了2個(gè)紅球放入乙盒，此時(shí)乙盒有4個(gè)白球，3個(gè)紅球，所以從乙盒取出2個(gè)紅球的概率為；所以從乙盒取出2個(gè)紅球的概率為.【方法技巧】（1）根據(jù)超幾何分布概率求解；（2）根據(jù)甲盒任取2球放入乙盒的不同情況，分類討論，利用超幾何分布概率模型求解.【變式訓(xùn)練】1．設(shè)個(gè)產(chǎn)品中有個(gè)次品，任取產(chǎn)品個(gè)，取到的次品可能有個(gè)，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)超幾何分步的數(shù)學(xué)期望公式求解即可【詳解】由題意，個(gè)故選：A2．（多選）在一個(gè)袋中裝有大小一樣的6個(gè)豆沙粽，4個(gè)咸肉粽，現(xiàn)從中任取4個(gè)粽子，設(shè)取出的4個(gè)粽子中成肉粽的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（

）A．

B．C．隨機(jī)變量X服從超幾何分布

D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意得到隨機(jī)變量的超幾何分布，求得期望可判定B錯(cuò)誤，C正確，再求得和，可判定A，D正確.【詳解】由題意，隨機(jī)變量服從參數(shù)為的超幾何分布，則，所以故B錯(cuò)誤，C正確；又由，，所以，所以A，D正確.故選：ACD.3．一個(gè)箱子中有6個(gè)大小相同產(chǎn)品，其中4個(gè)正品、2個(gè)次品，從中任取3個(gè)產(chǎn)品，記其中正品的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則的均值___________．【答案】2【分析】先求得的可能取值為1，2，3對應(yīng)的概率，進(jìn)而利用期望的定義求得的值【詳解】任取3個(gè)產(chǎn)品，記其中正品的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則的可能取值為1，2，3則則故答案為：24．從名男生，名女生中任選人作為一個(gè)小組，且所選人中女生人數(shù)為，求的分布和期望．【答案】分布為；期望為【分析】利用超幾何分布概率公式可求得每個(gè)取值對應(yīng)的概率，由此可得分布；利用期望計(jì)算公式可直接求得期望.【詳解】由題意知：所有可能的取值為，，，，的分布為，期望.考點(diǎn)3：超幾何分布的方差4．口袋里有大小相同的2個(gè)紅球和3個(gè)黃球，現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為，則____；_______.【答案】

【詳解】取得紅球數(shù)為可能為0,1,2，則，,,所以，.故答案為：；【方法技巧】根據(jù)超幾何分布，求出的可能取值及對應(yīng)的概率，求期望、方差即可.【變式訓(xùn)練】1．在一個(gè)袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)小球，設(shè)取出的4個(gè)小球中黑球的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（

）A．隨機(jī)變量X可能的取值為0，1，2，3，4，5，6 B．隨機(jī)變量X服從超幾何分布C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分，利用超幾何分布的性質(zhì)，再結(jié)合離散型隨機(jī)變量的方差公式即可求解.【詳解】根據(jù)超幾何分布的定義知，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，故B正確；由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，4，故A不正確；；；，.所以，故C不正確；.2．某公司有日生產(chǎn)件數(shù)為95件的“生產(chǎn)能手”3人，有日生產(chǎn)件數(shù)為55件的“新手”2人，從這5人中任意抽取2人，則2人的日生產(chǎn)件數(shù)之和X的標(biāo)準(zhǔn)差為______．【答案】24【分析】依題意可知的所有可能取值為190，150，110，根據(jù)超幾何分布的概率公式求出所對應(yīng)的概率，從而求出數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差；【詳解】解：由題意，可得的所有可能取值為190，150，110，且，，，則，標(biāo)準(zhǔn)差．故答案為：3．某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的黑球和白球共5個(gè).從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，恰全為黑球的概率為，則黑球的個(gè)數(shù)為______.若記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為，則______.【答案】

3

【分析】該事件服從超幾何分布，由其概率計(jì)算公式求出黑球個(gè)數(shù)，并列出分布列，再由分布列與方差的計(jì)算公式求得方差.【詳解】設(shè)袋中黑球有n個(gè)，則從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，恰全為黑球的概率為，可得，該事件服從超幾何分布，由題可知，取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)的可能取值為1,2,3，由超幾何分布事件分別計(jì)算對應(yīng)概率，,可畫出分布列如下：123則，.故案為：3,【點(diǎn)睛】本題考查超幾何分布事件中由概率求樣本容量個(gè)數(shù)，列出超幾何分布事件的分布列并求方差，屬于簡單題.考點(diǎn)4：超幾何分布的概率例4．已知甲盒內(nèi)有大小相同的3個(gè)紅球和4個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的5個(gè)紅球和4個(gè)黑球.現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球.(1)求取出的4個(gè)球均為紅球的概率；(2)求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）若“取出的4個(gè)球均為紅球”，則從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球均為紅球，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式運(yùn)算求解；（2）若“取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球”，則有兩種可能：“甲盒內(nèi)任取2個(gè)球中有1個(gè)紅球，乙盒內(nèi)任取2個(gè)球中沒有紅球”和“甲盒內(nèi)任取2個(gè)球中沒有紅球，乙盒內(nèi)任取2個(gè)球中有1個(gè)紅球”，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）記“從甲盒內(nèi)任取2個(gè)球中有個(gè)紅球”為事件，“從乙盒內(nèi)任取2個(gè)球中有個(gè)紅球”為事件，則，，故取出的4個(gè)球均為紅球的概率.取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率.【變式訓(xùn)練】1．有20個(gè)零件，其中16個(gè)一等品，4個(gè)二等品，若從這些零件中任取3個(gè)，那么至少有1個(gè)是一等品的概率是（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得都是二等品的概率為，求解計(jì)算即可.【詳解】全部都是二等品的概率為，故至少有1個(gè)是一等品的概率為.故選：D.2．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量ξ表示所選3人中女生的人數(shù)，則P(ξ≤1)等于（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由得出所求概率.【詳解】故選：D3．在箱子中有個(gè)小球，其中有個(gè)紅球，個(gè)白球.從這個(gè)球中任取個(gè)，記表示白球的個(gè)數(shù)，則___________.【答案】##0.5【分析】根據(jù)超幾何分布的概率公式直接計(jì)算.【詳解】由已知得，表示個(gè)白球，個(gè)紅球，故，故答案為：.4．袋中有4個(gè)黑球，3個(gè)紅球的，除顏色外其它均一樣，從中任取3個(gè)球，求至少含有1個(gè)紅球的概率.【答案】【分析】設(shè)所取球種紅球的個(gè)數(shù)為，則，再利用超幾何分布的概率公式即可得解.【詳解】解：設(shè)所取球種紅球的個(gè)數(shù)為，則，即至少含有1個(gè)紅球的概率.知識小結(jié)知識小結(jié)一般地，在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則01稱超幾何分布列.鞏固提升鞏固提升一、單選題1．某黨支部有名黨員，男女，為迎接建黨周年，從中選取人做匯報(bào)演出，若表示選中的女黨員數(shù)，則（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)超幾何分布的概率公式直接計(jì)算.【詳解】由題意，知服從超幾何分布，的可能取值為，，，故，，，于是.故選：C.2．有件產(chǎn)品，其中有件次品，從中不放回地抽件產(chǎn)品，抽到的正品數(shù)的數(shù)學(xué)期望值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，抽到正品數(shù)服從超幾何分布，結(jié)合超幾何分布的期望公式，即可求解.【詳解】由題意，有件產(chǎn)品，其中有件次品，從中不放回地抽件產(chǎn)品，則抽到正品數(shù)服從超幾何分布，所以抽到的正品數(shù)的數(shù)學(xué)期望值是.故選：B.3．一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：①X表示取出的最大號碼；②X表示取出的最小號碼；③取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分；④X表示取出的黑球個(gè)數(shù)．這四種變量中服從超幾何分布的是()A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】根據(jù)超幾何分布的定義逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).【詳解】對于①，當(dāng)X表示最大號碼，比如表示從黑球編號為中取3個(gè)黑球，而表示從6個(gè)黑球和編號為的白球共7個(gè)球中取3個(gè)球，故該隨機(jī)變量不服從超幾何分布，同理②中的隨機(jī)變量不服從超幾何分布.對于③，的可能取值為，表示取出4個(gè)白球；表示取出3個(gè)白球1個(gè)黑球；表示取出2個(gè)白球2個(gè)黑球；表示取出1個(gè)白球3個(gè)黑球；表示取出4個(gè)黑球；因此服從超幾何分布.由超幾何分布的概念知④符合，故選：B.4．一批產(chǎn)品共10件，次品率為20%，從中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為()A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)古典概率計(jì)算公式結(jié)合組合數(shù)計(jì)算即可求解．【詳解】由題意知10件產(chǎn)品中有2件次品，故所求概率為P(X＝1)＝＝．故選：B5．下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量服從超幾何分布的是（

）A．將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為B．從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機(jī)選出5名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為C．某射手的射擊命中率為0.8，現(xiàn)對目標(biāo)射擊1次，記命中的次數(shù)為D．盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，記第一次摸出黑球時(shí)摸取的次數(shù)為【答案】B【分析】根據(jù)超幾何分布的定義可判斷得選項(xiàng).【詳解】解：由超幾何分布的定義可判斷，只有B中的隨機(jī)變量服從超幾何分布.故選：B.6．在15個(gè)村莊中，有7個(gè)村莊交通不方便，若用隨機(jī)變量X表示任選10個(gè)村莊中交通不方便的村莊的個(gè)數(shù)，則X服從超幾何分布，其參數(shù)為（

）A．N＝15，M＝7，n＝10B．N＝15，M＝10，n＝7C．N＝22，M＝10，n＝7D．N＝22，M＝7，n＝10【答案】A【分析】根據(jù)超幾何分布概率模型可得選項(xiàng).【詳解】根據(jù)超幾何分布概率模型得N＝15，M＝7，n＝10，故選：A.7．已知6件產(chǎn)品中有2件次品，4件正品，檢驗(yàn)員從中隨機(jī)抽取3件進(jìn)行檢測，記取到的正品數(shù)為X，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】X服從超幾何分布，求出X的分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法計(jì)算即可．【詳解】X可能取1，2，3，其對應(yīng)的概率為，，，∴．故選：A8．在含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，則至少取到1件次品的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概型的概率求解.【詳解】解：從50件產(chǎn)品中，任取2件有種方法，至少取到1件次品有種方法，所以至少取到1件次品的概率為，故選：D二、多選題9．(多選)下列隨機(jī)變量中，服從超幾何分布的有（

）A．在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數(shù)為XB．從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任取2臺(tái)，記X表示所取的2臺(tái)彩電中甲型彩電的臺(tái)數(shù)C．一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，途中有6個(gè)交通崗，記此學(xué)生遇到紅燈的數(shù)為隨機(jī)變量XD．從10名男生，5名女生中選3人參加植樹活動(dòng)，其中男生人數(shù)記為X【答案】ABD【分析】根據(jù)超幾何分布的定義可以得出答案.【詳解】解：依據(jù)超幾何分布模型定義可知，試驗(yàn)必須是不放回地抽取次，A、B、D中隨機(jī)變量X服從超幾何分布.而C中顯然不能看作一個(gè)不放回抽樣問題，故隨機(jī)變量X不服從超幾何分布.故選：ABD10．袋中有10個(gè)大小相同的球，其中6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，記隨機(jī)變量X為其中白球的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量Y為其中黑球的個(gè)數(shù)，若取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，隨機(jī)變量Z為取出4個(gè)球的總得分，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用超幾何分布的性質(zhì)，及超幾何分布的期望求解公式逐項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】由題意知X，Y均服從于超幾何分布，且，，故；從而，故選項(xiàng)A正確；，，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，C正確；，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.三、填空題11．若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X的均值_____________．【答案】【分析】由超幾何分布期望公式直接求解即可.【詳解】由題意知：.故答案為：.12．袋中有3個(gè)紅球，7個(gè)白球，這些球除顏色不同外其余完全相同，從中無放回地任取5個(gè)，取出幾個(gè)紅球就得幾分，則平均得______分.【答案】1.5##32【分析】由X服從超幾何分布可得.【詳解】用X表示所得分?jǐn)?shù)，則X也是取得的紅球數(shù)，X服從超幾何分布，于是.故答案為：1.513．某12人的興趣小組中，有5名“三好學(xué)生”，現(xiàn)從中任意選6人參加競賽，用X表示這6人中“三好學(xué)生”的人數(shù)，則當(dāng)X取________時(shí)，對應(yīng)的概率為.【答案】2或3【分析】根據(jù)超幾何分布以及組合數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，X服從超幾何分布，且，所以，所以或3；故答案為：2或3.14．一個(gè)口袋中裝有7個(gè)球，其中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球抽到紅球得2分，抽到白球得3分．現(xiàn)從中任意取出3個(gè)球，則取出3個(gè)球的得分Y的均值為___________．【答案】【分析】求的可能取值與每個(gè)值所對應(yīng)的概率即可求解【詳解】的可能取值為，且，，，所以得分Y的均值，故答案為：四、解答題15．中國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，作為國家戰(zhàn)略性空間基礎(chǔ)設(shè)施，我國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)不僅對國防安全意義重大，而且在民用領(lǐng)域的精準(zhǔn)化應(yīng)用也越來越廣泛.2020年6月23日，中國第55顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星成功發(fā)射標(biāo)志著擁有全部知識產(chǎn)權(quán)的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)全面建成．據(jù)統(tǒng)計(jì)，2019年衛(wèi)星導(dǎo)航與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值達(dá)到億元，較2018年約增長．從全球應(yīng)用北斗衛(wèi)星的城市中選取了個(gè)城市進(jìn)行調(diào)研，上圖是這個(gè)城市北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值（單位：萬元）的頻率分布直方圖．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求產(chǎn)值小于萬元的調(diào)研城市個(gè)數(shù)；(2)在上述抽取的個(gè)城市中任取個(gè)，設(shè)為產(chǎn)值不超過萬元的城市個(gè)數(shù)，求的分布列及期望和方差．(3)把頻率視為概率，從全球應(yīng)用北斗衛(wèi)星的城市中任取個(gè)城市，求恰有個(gè)城市的產(chǎn)值超過萬元的概率．【答案】(1)(2)，(3)