第04講直線平面垂直的判定與性質(zhì)（練習(xí)）

第04講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)（模擬精練+真題演練）1．（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)校考三模）已知不重合的平面、、和直線，則“”的充分不必要條件是（

）A．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行 B．內(nèi)的任何直線都與平行C．且 D．且【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行且這無(wú)數(shù)條直線是平行直線，則、平行或相交，即“內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行”“”，A不滿足；對(duì)于B選項(xiàng)，由面面平行的定義可知，“內(nèi)的任何直線都與平行”“”，B不滿足；對(duì)于C選項(xiàng)，若且，則、平行或相交，則“且”“”，C不滿足；對(duì)于D選項(xiàng)，由線面垂直的性質(zhì)可知，若且，則，反之，若，則“且”不一定成立，故“且”是“”的充分不必要條件，D滿足.故選：D.2．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知是三條不同的直線，是三個(gè)不重合的平面，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則．B．若與異面，，則存在，使得．C．若，則．D．若，則．【答案】D【解析】對(duì)選項(xiàng)A，若，則，又，∴．選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B，在上取點(diǎn)，分別作的平行線，這兩條相交直線確定平面，因?yàn)?，則，同理可證，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，故B正確；

對(duì)選項(xiàng)C，設(shè)，在平面內(nèi)任取一個(gè)不在直線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，垂足分別為點(diǎn)．又因?yàn)?，，，，又，故，又因?yàn)槠矫妫瑥亩蔬x項(xiàng)C正確；

對(duì)選項(xiàng)D，直線的位置關(guān)系可以是任意的，比如設(shè)，且，，，則根據(jù)平行的傳遞性知，故D錯(cuò)誤.故選：D.3．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·文昌中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知四棱柱的底面為正方形，側(cè)棱與底面垂直，點(diǎn)是側(cè)棱上的點(diǎn)，且.若點(diǎn)在側(cè)面（包括其邊界）上運(yùn)動(dòng)，且總保持，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】

如圖，在側(cè)棱上取一點(diǎn)，使得，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，由，可知，平面，，從而平面，所以，又由在平面內(nèi)的射影，所以，平面，，知平面，平面，所以，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段，在中，，所以，則，得易得.故選：D4．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在四棱錐中，底面是矩形，給出以下三個(gè)結(jié)論：①若的中點(diǎn)為，則平面；②若平面，則平面平面；③若平面，則線段是四棱錐外接球的直徑.則關(guān)于這三個(gè)結(jié)論敘述正確的是（

）A．①對(duì)，②③錯(cuò) B．①②對(duì)，③錯(cuò)C．①錯(cuò)，②③對(duì) D．①②③都對(duì)【答案】D【解析】

①正確，連接交于，連接，則在中，，而平面，平面，則平面；②正確，因?yàn)槠矫?，得，又由于，所以平面，又，所以平面，而平面，故平面平面；③正確，由于平面，將四棱錐還原成長(zhǎng)方體，知為該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，故為四棱錐外接球的直徑.故選：D.5．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，分別為邊上的點(diǎn)，且，，設(shè)分別為線段的中點(diǎn)，將四邊形沿著直線進(jìn)行翻折，使得點(diǎn)不在平面上，在這一過(guò)程中，下列關(guān)系不能成立的是（

）

A．直線直線 B．直線直線C．直線直線 D．直線平面【答案】C【解析】翻折之后如圖所示：

①因?yàn)?，，所以且，因此，故選項(xiàng)A成立；②連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，

又因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)B成立；③因?yàn)椋?，所以與不平行，故選項(xiàng)C不成立；④因?yàn)椋移矫?，平面，所以平面，故選項(xiàng)D成立.故選：C6．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則平面與平面的位置關(guān)系是（

）A．垂直 B．相交不垂直 C．平行 D．重合【答案】A【解析】設(shè)棱的中點(diǎn)分別為，連接，連接，如圖所示，

正方體中，平面，平面，，正方形中，，，平面，平面，平面，∴，分別為棱的中點(diǎn)，，，∴，同理可證，平面，，∴平面，平面，∴，同理可證，平面，，∴平面，平面，故平面平面.故選：A.7．（2023·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，是圓錐的軸截面，是的中點(diǎn)，為底面圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于、兩點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得 B．存在點(diǎn)，使得C．三棱錐體積最大值為 D．三棱錐體積最大值為【答案】C【解析】根據(jù)題意可知，如下圖所示：

對(duì)于A，因?yàn)閳A是直徑，所以，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，又因?yàn)?，、平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?、都是圓錐的母線，即，所以不成立，所以不存在點(diǎn)，使得，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，若存在點(diǎn)，使得，所以，這與矛盾，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知三棱錐的高為，所以當(dāng)?shù)酌娣e最大時(shí)，其體積最大，又因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即三棱錐的體積，即三棱錐的體積的最大值為，所以，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，即三棱錐體積最大值為，所以，D錯(cuò)誤.故選：C.8．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法不正確的是（

）

A．存在點(diǎn)，使直線平面B．存在點(diǎn)，使平面平面C．三棱錐的體積為定值D．平面截正方體所得截面的最大面積為【答案】B【解析】對(duì)于A項(xiàng)，如圖所示，取的中點(diǎn)H、I，連接HI交于G點(diǎn)，此時(shí)，由正方體的性質(zhì)可得，，平面，所以平面，故A正確；

對(duì)于B項(xiàng)，如圖所示，連接，為側(cè)面的中心，則面與面和面分別交于線PG、DH，若存在G點(diǎn)使平面平面，則，又，則四邊形為平行四邊形，即，而，此時(shí)應(yīng)在延長(zhǎng)線上，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，隨著G移動(dòng)但G到面的距離始終不變即，故是定值，即C正確；

對(duì)于D項(xiàng)，若點(diǎn)靠C遠(yuǎn)，如圖一所示，過(guò)G作，即截面為四邊形，當(dāng)截面在正方體底面上的投影面積越大，其面積就越大，如下圖，

顯然當(dāng)在底面的投影為點(diǎn)時(shí)，截面為四邊形面積最大，此時(shí)為側(cè)面的中心，最大值為，

若靠C近時(shí)（圖二），G作，延長(zhǎng)交、延長(zhǎng)線于M、H，連接MK、交，于，則截面為六邊形，當(dāng)截面在正方體底面上的投影面積越大，其面積就越大，如下圖，六邊形在正方體底面的投影為六邊形，設(shè)所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值.

設(shè)則當(dāng)在底面的投影為點(diǎn)時(shí)，截面為四邊形面積最大，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)取得最大值，最大值為，，D正確.故選：B.9．（多選題）（2023·重慶萬(wàn)州·重慶市萬(wàn)州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，為不同的直線，，為不同的平面，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】ABC【解析】由題意，A項(xiàng),設(shè)所在平面,,只需即滿足題設(shè),故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，設(shè)且且,此時(shí)，B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，當(dāng)，，時(shí)，可能垂直于，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，當(dāng)，，，則，故D正確.故選：ABC.10．（多選題）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A，如圖連接，，，則四邊形為平行四邊形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又平面，故平面，故A正確；選項(xiàng)B，若平面，DD1在面BDD1B1內(nèi)，則，因?yàn)椋?，顯然矛盾，所以與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，連接，在中，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以為中位線，所以，又平面，平面，故平面，故C正確；選項(xiàng)D，由題意知平面，因?yàn)槠矫妫?，又，所以，故D正確.故選：ACD.11．（多選題）（2023·海南·海南中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，和交于點(diǎn)，將沿直線翻折，則正確的是（

）

A．存在，在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得B．存在，在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得C．存在，在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得平面D．存在，在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得平面【答案】ABC【解析】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，所以此時(shí)矩形為正方形，則將沿直線翻折，若使得面面時(shí),由，面，面面，所以面,又面,所以，故選項(xiàng)A正確.對(duì)B，又，，且，所以面，又面，所以，故選項(xiàng)B正確，對(duì)C，在矩形中，,，所以將沿直線翻折時(shí)，總有，取，當(dāng)將沿直線翻折到時(shí)，有，即，且，則此時(shí)滿足平面，故C正確.對(duì)D，若平面，又平面，則，所以在中，為斜邊，這與相矛盾.故D不正確.故選：ABC12．（多選題）（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，矩形中，、分別為、的中點(diǎn)，且，現(xiàn)將沿問(wèn)上翻折，使點(diǎn)移到點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論正確的是（

）

A．存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得C．三棱錐的體積最大值為D．當(dāng)三棱錐的體積達(dá)到最大值時(shí)，三棱錐外接球表面積為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，，，因此不平行，即不存在點(diǎn)，使得.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖：

取的中點(diǎn)，連接，，，,當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，?則，而，，平面，又分別為，的中點(diǎn)，即，于是平面，而平面，則，故B正確；對(duì)于C，在翻折過(guò)程中，令與平面所成角為，則點(diǎn)到平面的距離，又的面積為，因此三棱錐的體積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即平面時(shí)取等號(hào)，所以三棱錐的體積最大值為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)三棱錐的體積達(dá)到最大值時(shí)，三棱錐外接球的球心為，故球的半徑為1，則球的表面積為.故D正確.故選：BCD.13．（2023·四川廣安·廣安二中?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面，直線滿足，，則“”是“”的條件.（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要條件”，“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要條件【解析】因?yàn)?，且，，所以，反過(guò)來(lái)，時(shí)，包含或是或,所以不一定垂直，所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為：充分不必要條件14．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，底面是矩形，底面，且，，則.【答案】2【解析】因?yàn)榈酌妫酌?，所以，設(shè)，則，，.故.故答案為：15．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）如圖，在三棱錐中，是的中點(diǎn)，，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，，平面，若，則的最小值為.

【答案】8【解析】因?yàn)槠矫?，平面，所以則，又，平面所以平面，因?yàn)槠矫?，所以則在平面上，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則，設(shè)因?yàn)椋灾本€的方程為，設(shè)，則由于變量不具有等量關(guān)系，故時(shí)，有最小即當(dāng)時(shí)，最??；過(guò)點(diǎn)作BD垂線，垂足為，連接，

因?yàn)槠矫妫?，，平面所以，所以平面，因?yàn)槠矫妫杂?，平面，所以平面因?yàn)槠矫?，所以，又，所以，由平面，所以．因?yàn)椋?，所以．因?yàn)椋?，平面，所以，所以?dāng)沿翻轉(zhuǎn)到平面時(shí)，四邊形構(gòu)成矩形，

所以的最小值為，即的最小值為8．故答案為：8．16．（2023·陜西延安·?？家荒＃┮阎谡襟w中，，是的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為．【答案】【解析】取中點(diǎn)，連接，在直角中，，故,所以，又在正方體中，平面平面又平面，所以平面，平面，所以，又，平面,則平面，即點(diǎn)的軌跡是線段，在直角中，，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，即的最小值為．故答案為：

17．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考二模）如圖；在直三棱柱中，，，，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．

(1)求證；(2)求三棱錐的體積．【解析】（1）在中，因?yàn)?，，，所以，所以為直角三角形，即，又因?yàn)樵谥比庵校矫?，且平面，所以，又，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以．?）在中，過(guò)C作，F(xiàn)為垂足，

由直三棱柱得平面平面，且平面平面，，平面，所以平面，在中，，又因?yàn)椋裕?8．（2023·四川廣元·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，且的面積為6．

(1)求三棱錐的體積；(2)若，且為銳角，求證：平面．【解析】（1）面面，，面面，面，所以面，又的面積為6，所以三棱錐的體積.（2）由題設(shè)，即，又為銳角，所以，由，故，所以，由（1）知面，面，故，，面，故平面.19．（2023·江西南昌·南昌市八一中學(xué)?？既＃┤鐖D，等腰梯形中，，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn).將沿折起到的位置，如圖．

(1)證明：平面；(2)若平面平面，求點(diǎn)到平面的距離．【解析】（1）證明：在等腰梯形中，，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以為等邊三角形，則.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，在等腰梯形中，可得.連接，在中，由余弦定理可得,則，所以，則.因?yàn)?、分別是、中點(diǎn)，所以，所以，從而可得，，因?yàn)?，、平面，所以平面．?）由（1）可知，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離.因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的一半.取的中點(diǎn)為，連接.

因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，由?）知，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)?，、平面，所以平面，則點(diǎn)到平面的距離為.因?yàn)槭堑冗吶切?，邊長(zhǎng)為，故，所以點(diǎn)到平面的距離為，故點(diǎn)到平面的距離為．1．（2022?乙卷（文））如圖，四面體中，，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，，點(diǎn)在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．【解析】證明：（1），，，，，又為的中點(diǎn)．，，為的中點(diǎn)．，又，平面，又平面，平面平面；（2）由（1）可知，，，是等邊三角形，邊長(zhǎng)為2，，，，，，，又，，平面，由（1）知，，連接，則，，當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí)的面積最小，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，平面，，，，三棱錐的體積．2．（2021?乙卷（文））如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．【解析】（1）證明：底面，平面，，又，，，平面．平面．平面，平面平面；（2）由底面，即為四棱錐的高，是直角三角形；底面是矩形，，為的中點(diǎn)，且．設(shè)，取的中點(diǎn)為．作交于，連接，，，可得，，那么．且．，，．是直角三角形，根據(jù)勾股定理：，則；由是直角三角形，可得，解得．底面的面積，則四棱錐的體積．3．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐的體積．【解析】（1）連接，，，是底面的內(nèi)接正三角形，所以．是圓錐底面的圓心，所以：，所以，所以，由于，所以，所以，，由于，所以平面，由于平面，所以：平面平面．（2）設(shè)圓錐的底面半徑為，圓錐的母線長(zhǎng)為，所以．由于圓錐的側(cè)面積為，所以，整理得，解得．所以．由于，解得則：．4．（2020?江蘇）在三棱柱中，，平面，，分別是，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面．【解析】證明：（1），分別是，的中點(diǎn)．所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面?．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．證明：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）點(diǎn)在平面內(nèi)．【解析】（1）因?yàn)槭情L(zhǎng)方體，所以平面，而平面，所以，因?yàn)槭情L(zhǎng)方體，且，所以是正方形，所以，又．所以平面，又因?yàn)辄c(diǎn)，分別在棱，上，所以平面，所以．（2）取上靠近的三等分點(diǎn)，連接，，，．因?yàn)辄c(diǎn)在，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，且，又因?yàn)樵谏希?，所以，且，所以為平行四邊形，所以，，即，，所以為平行四邊形，所以，所以，所以，，，四點(diǎn)共面．所以點(diǎn)在平面內(nèi)．6．