第04講建立空間直角坐標(biāo)系和確定點(diǎn)坐標(biāo)的方法（知識(shí)解讀真題演練課后鞏固）

第04講空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1．了解空間直角坐標(biāo)系，能在空間直角坐標(biāo)系中寫(xiě)出所給定點(diǎn)、向量的坐標(biāo)．2．掌握空間兩點(diǎn)間距離公式.3．會(huì)用向量的坐標(biāo)解決一些簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題．1空間向量的直角坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，對(duì)空間任一點(diǎn)A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使OA=xi+yj+zk，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量(2)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律①若a=(a1則a+b=λaa?aa⊥②若Ax1,③模長(zhǎng)公式若a=(a1④夾角公式cos<?ABC中⑤兩點(diǎn)間的距離公式若A(則|或d2建立直角坐標(biāo)系的方法(1)利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系(2)利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系(3)利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系3確定空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)的方法求點(diǎn)的坐標(biāo)和設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的方法是一致的，常見(jiàn)方法具體如下(1)射影法看所求點(diǎn)分別在x,y,z軸的投影對(duì)應(yīng)的數(shù)值.如求點(diǎn)P橫坐標(biāo)x，過(guò)點(diǎn)P作PP1⊥平面xoy，再過(guò)點(diǎn)P1作P1或直接構(gòu)造長(zhǎng)方體OP，即求出線段P1P3一般地，點(diǎn)在平面xOy、xOz、yOz或易得點(diǎn)在x、y、z軸的投影均適合射影法；(2)公式法對(duì)中點(diǎn)、n等分點(diǎn)、重心等點(diǎn)可用公式求解；若點(diǎn)Ax則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)(x1+x2點(diǎn)P在線段AB上且AP=λPB，則P(x(3)向量法(i)利用平行、垂直關(guān)系求某向量的坐標(biāo)，再求點(diǎn)坐標(biāo)；(ii)利用三角形法則或平行四邊形法則，求出某向量的坐標(biāo)，再求點(diǎn)坐標(biāo)；(iii)三點(diǎn)共線問(wèn)題：如若點(diǎn)Ax1,y1,z1,Bx2(4)幾何法：把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，常見(jiàn)于利用相似三角形的性質(zhì).(5)待定系數(shù)法：設(shè)點(diǎn)P(x,y,z)，利用已知條件求出x,y,z.(6)函數(shù)法：常用于設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)；動(dòng)點(diǎn)P(a,b,c)在定直線AB上，把AB投影到空間坐標(biāo)系中某個(gè)平面，如投影平面xoy，得到投影直線A'B'方程，從而達(dá)到動(dòng)點(diǎn)P投影P'(a,b)中a,b的關(guān)系.以上的方法其實(shí)也是相通的，也還存在其他一些靈活的處理方法(比如平移法等)，都需要理解再靈活運(yùn)用.【題型1建立直角坐標(biāo)系的方法】利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系【典題1】如圖，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，∠A為直角，AB∥CD，AB=4【解析】易得DA、DC、DD1三線兩兩垂直，如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1所在直線為(后面解析省略)利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系【典題2】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，E為棱CC1【解析】AB⊥側(cè)面BB1C1C而B(niǎo)C與BB1不垂直，原圖沒(méi)三條兩兩垂直直線，此時(shí)在平面B如圖，以B為原點(diǎn)，分別以BD、BB1、BA(后面解析省略)利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系【典題3】如圖，在四棱錐V－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值．【解析】取AD的中點(diǎn)O，連接VO，∵?VAD是正三角形，∴VO⊥AD又∵平面VAD⊥底面ABCD∴VO⊥平面ABCD則以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OV所在直線為x、z軸，以過(guò)點(diǎn)O作AD的垂線所在直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．【點(diǎn)撥】①同一道題目中建系的方法不是唯一，是優(yōu)是劣取決于關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)是否好求；②建系最根本的想法是找到兩兩垂直的三線，多關(guān)注題中有垂直關(guān)系的量，(1)垂直關(guān)系：長(zhǎng)方體模型、等腰三角形的三線合一、菱形對(duì)角線相互垂直等；(2)若有線面垂直，則可考慮該面為平面xOy、xOz、yOz之一；(3)若有面面垂直，則可考慮兩面為平面xOy、xOz、yOz其中兩個(gè).③若是分別以O(shè)A、OB、OC所所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則要先證明OA、OB、OC三線兩兩垂直，需要嚴(yán)謹(jǐn)些，不能想當(dāng)然.鞏固練習(xí)1.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1=A1C1，【答案】以D為原點(diǎn)，分別以BD、DA、DF所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.2.如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC與BD相交于點(diǎn)O，且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為O點(diǎn)，如何建立空間直角坐標(biāo)系呢？【答案】以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OA、OP所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.3.如圖，三棱錐V－ABC的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面ABC與側(cè)面VAC都是以AC為斜邊的等腰直角三角形，如何建立空間直角坐標(biāo)系呢？【答案】取AC中點(diǎn)E，以E為原點(diǎn)，分別以EB、EC、EV所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.【題型2確定空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)的方法】情況1求點(diǎn)的坐標(biāo)【典題1】在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4，AD=2，平行六面體高為23，頂點(diǎn)D(1)A(2)G；(3)B；(4)若N為DD1上點(diǎn)，且ON⊥DD【解析】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C1、OD所在直線為y,z軸，以過(guò)點(diǎn)O作B(1)射影法求點(diǎn)A1(x,y,z)，在平面xoy上則由圖可知它到y(tǒng)軸投影D1對(duì)應(yīng)數(shù)值?2，則y=?2，到x軸投影對(duì)應(yīng)數(shù)值為2，則x=2，即A1同理得B1(2)公式法∵G是△AB∴G=(由三角形重心公式(x(3)向量法設(shè)B(x,y,z)，則B1B=又∵B1比較得x=2,y=4,z=23∴點(diǎn)B坐標(biāo)為2,4,23(4)∵D1、N、D即D1∴ON∴N0,2λ?2,2∵ON∴0+4λ?1+12λ=0解得故N0,?【點(diǎn)撥】(1)射影法：看所求點(diǎn)分別在x,y,z軸的投影對(duì)應(yīng)的數(shù)值；一般地，點(diǎn)在平面xOy、xOz、yOz或易得點(diǎn)在x、y、z軸的投影均適合射影法；②公式法：對(duì)中點(diǎn)、n等分點(diǎn)、重心等點(diǎn)可用公式求解；③向量法：常用于涉及到平行、垂直、共線等向量關(guān)系中的點(diǎn).各方法之間也是相通的，需要理解再靈活運(yùn)用.【典題2】如圖，矩形ABCD中，2BC=CD，E為CD的中點(diǎn)，以BE為折痕把四邊形ABED折起，使A達(dá)到P的位置，且PC⊥BC,M，N，F(xiàn)分別為PB，BC，EC的中點(diǎn)．建系求點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】設(shè)BC=2，則BN=CN=1，CF=EF=1，以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CE為y軸，過(guò)C作平面BCE的垂直CQ為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(2,0,0)，E(0,2,0)，F(xiàn)(0,1,0)，設(shè)P(x,y,z)，PB=CD=2BC=4，則PE=PD2∴(x?2)2+y2+∴P(0,2,22【點(diǎn)撥】利用待定系數(shù)法，設(shè)P(x,y,z)，再利用兩點(diǎn)距離公式求得點(diǎn)的坐標(biāo).情況2設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)【典題3】長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2AD，M是CD中點(diǎn)(圖1)，將?ADM沿AM折起，使得AD⊥BM(圖2)在圖2中(1)求證：平面ADM⊥平面ABCM；(2)在線段BD上是否存點(diǎn)E，使得二面角E?AM?D的余弦值為55【解析】(1)證明：在長(zhǎng)方形ABCD中，由AB=2AD=22，M是DC得AM=BM=2，而AB=22，∴AM2又AD⊥BM，且AD∩AM=A，∴BM⊥平面ADM，而B(niǎo)M?平面ABCD，∴平面ADM⊥平面ABCM；(2)思路：先根據(jù)“點(diǎn)E(a,b,c)在線段BD上”，得到其坐標(biāo)形式(即找到a,b,c的關(guān)系)，再利用二面角余弦值求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；那怎么引入?yún)?shù)設(shè)出點(diǎn)E坐標(biāo)呢？解：取AB中點(diǎn)N，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以MN，MC所在直線為x，y軸，在平面ADM內(nèi)，過(guò)M作底面垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則M(0,0,0)，A(2,?1,0)，D(MA=(2方法1向量法設(shè)E為線段BD上的點(diǎn)，則DE=λME=DE?(以上是由共線關(guān)系利用向量法引入?yún)?shù)λ設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo))(PS以下求λ的過(guò)程學(xué)完求二面角的向量法方能理解)設(shè)平面AMD的一個(gè)法向量為m=(x1,y由m?MA=2x由n?取y2=2由cos<m解得λ=3+6(舍)或∴在線段BD上存點(diǎn)E，使得二面角E?AM?D的余弦值為55方法2函數(shù)法設(shè)E(a,b,c)，∵D(22,?∴點(diǎn)B、D、E在平面xoy上投影為B'2,1、D'((相當(dāng)于把直線BD投影到平面xoy上，空間問(wèn)題化為平面問(wèn)題，降維處理)求得直線B'D'的方程為y=322點(diǎn)B、D、E在平面yoz上投影為B''1,0求得直線B''D''的方程為z=?23y+所以E的坐標(biāo)可設(shè)為(a,3以下求解類(lèi)似方法1！【點(diǎn)撥】①本題在處理“點(diǎn)E在線段BD上”這一條件時(shí)，想設(shè)點(diǎn)Ea,b,c找到a,b,c的關(guān)系，介紹了向量法和函數(shù)法，而向量法引入變量λ表示a,b,c，而函數(shù)法變量是a，用其表示b,c②有時(shí)也可用幾何法相似求解，比如在方法2中求E(a,b,c)中b、c的關(guān)系，如下圖，過(guò)點(diǎn)D''、E分別作D''H⊥x軸，由?D''HB''~?EGB''得D''鞏固練習(xí)1(★★)一張平行四邊形的硬紙ABC0D中，AD=BD=1，AB=2.沿它的對(duì)角線BD折起，使點(diǎn)C0【答案】，如圖建系，則C122(★★)四棱錐S?ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.建系求點(diǎn)S的坐標(biāo).【答案】，如圖建系，則S(1,123(★★)在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)在PB上，若EF⊥PB于點(diǎn)F，試求點(diǎn)F的坐標(biāo).【答案】，如圖建系，則F(23(點(diǎn)的坐標(biāo)與建系的方法有關(guān))鞏固練習(xí)一、單選題1．（2022·山西·校聯(lián)考二模）已知，，且，則的值是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.【詳解】解：因?yàn)椋?，且，所以，解得；故選：B2．（2022·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，是正六棱柱內(nèi)（不含表面）的一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由正六邊形的性質(zhì)可知，再根據(jù)空間向量數(shù)列積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，且，由正六邊形的性質(zhì)可得，，設(shè)，其中，所以，，所以，所以的取值范圍.故選：A.二、填空題3．（2022·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)近代數(shù)學(xué)家蘇步青主要從事微分幾何學(xué)和計(jì)算幾何學(xué)等方面的研究，在仿射微分幾何學(xué)和射影微分幾何學(xué)等研究方面取得了出色成果．他的主要成就之一是發(fā)現(xiàn)了四次代數(shù)錐面：對(duì)于空間中的點(diǎn)P（x，y，z），若其坐標(biāo)滿足關(guān)于x，y，z的四次代數(shù)方程式，稱點(diǎn)P的軌跡為四次代數(shù)曲面．若點(diǎn)K（1，k，0）是四次曲面：上的一點(diǎn)，則k＝___．【答案】2【分析】由題意得，從而可求出的值【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)K（1，k，0）是四次曲面：上的一點(diǎn)，所以，得，解得，故答案為：24．（2022·上海楊浦·上海市控江中學(xué)?？既＃┰O(shè)正四面體在空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)為，集合{y|存在，使得}，則集合A的元素個(gè)數(shù)可能為_(kāi)_________種.（寫(xiě)出所有可能的值）【答案】2或3或4【分析】分析正四面體的某個(gè)面或棱與坐標(biāo)面xOz的關(guān)系即可確定四個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的不同取值而得解.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)不共面，即A中至少有兩個(gè)元素，正四面體的某個(gè)面(不妨令平面)所在平面與平面xOz平行或重合時(shí)，，即A中有兩個(gè)元素；正四面體的任意一個(gè)面所在的平面與平面xOz都不平行且不重合，而某條棱所在的直線與平面xOz不相交(不妨令棱)時(shí)，y3=y4，且y1，y2，y3互不相等，即A中有三個(gè)元素；正四面體的所有棱所在直線與平面xOz都相交時(shí)，y1，y2，y3，y4中任意兩個(gè)都不相等，即A中有四個(gè)元素.故答案為：2或3或4【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：兩個(gè)平面平行，一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等；一條直線與一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離都相等.5．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)?？既＃┮阎?，是空間兩兩垂直的單位向量，，且，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】【分析】設(shè)，，,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，進(jìn)而求出，借助向量模的運(yùn)算及，整理可得，進(jìn)而得解.【詳解】由題意可設(shè)，，,由，得，，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立），所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查的是空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.求向量的模的方法：（1）利用坐標(biāo)進(jìn)行求解，，則；（2）利用性質(zhì)進(jìn)行求解，，結(jié)合向量數(shù)量積進(jìn)行求解.6．（2021·上海靜安·統(tǒng)考二模）如下圖，以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)D的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為_(kāi)________.【答案】【分析】根據(jù)題意推導(dǎo)出的坐標(biāo),從而得出的坐標(biāo),進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)榈淖鴺?biāo)為,,則,所以,因此,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查空間中向量的求法,屬于基礎(chǔ)題.7．（2022·上海·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)，，C為線段AB的中點(diǎn)，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【分析】依題意，點(diǎn)，，C為線段AB的中點(diǎn)，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為，所以向量的坐標(biāo)為.【詳解】解：依題意，點(diǎn)，，C為線段AB的中點(diǎn)，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為，即，所以向量的坐標(biāo)為．故填：．【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，空間向量的坐標(biāo)．屬于基礎(chǔ)題．一、單選題1．（2022秋·廣東梅州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)公式即可得出答案.【詳解】根據(jù)空間的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)公式可得，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B.2．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，若軸上點(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離相等，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)為，利用空間上兩點(diǎn)的距離公式列方程求參數(shù)y，即可確定的坐標(biāo).【詳解】由在軸上，不妨設(shè)為，由得：，解得，∴．故選：B3．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】根據(jù)題意，設(shè)，列出方程組即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，且，，三向量共面，設(shè)，則，即，解得.故選：D4．（2019秋·遼寧大連·高二校聯(lián)考期末）設(shè)是邊長(zhǎng)為的正方體，與相交于點(diǎn)，則有A． B．C． D．【答案】A【分析】分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【詳解】分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，對(duì)于A中，向量，所以是正確的；對(duì)于B中，向量，所以B不正確；對(duì)于C中，向量，所以C不正確；對(duì)于D中，向量，所以D不正確；綜上，只有A項(xiàng)正確，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．（2018·高三單元測(cè)試）已知，則x等于()A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)【答案】B【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】由題設(shè)則由，可得解得，即.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.6．（2018·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中,AC1和BD1相交于點(diǎn)O,則有()A．=2a2 B．a(chǎn)2C．a(chǎn)2 D．=a2【答案】C【分析】設(shè)棱長(zhǎng)a=1,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以直線DA為x軸,以直線DC為y軸,以直線DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求解．【詳解】在正方體ABCDA1B1C1D1中,棱長(zhǎng)為a,令a=1,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以直線DA為x軸,以直線DC為y軸,以直線DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,∴A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1),∴O.∴=(0,1,0),=(1,1,0),=(1,1,1),=(1,0,0),.∴=1,=1,.∴只有C正確,故選C.【點(diǎn)睛】若，則.二、多選題7．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，已知的邊長(zhǎng)為2，三棱柱的高為的中點(diǎn)分別為，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S?軸?軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列空間點(diǎn)及向量坐標(biāo)表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】求出等邊三角形的高的長(zhǎng)，根據(jù)三棱柱的棱長(zhǎng)可得各點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得向量的坐標(biāo)即可判斷．【詳解】在等邊中，，所以，則，，則.故選：ABC8．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）正方體的棱長(zhǎng)為2，M為的中點(diǎn)，下列命題中正確的是（

）A．與成60°角B．若，面交于點(diǎn)E，則C．P點(diǎn)在正方形邊界及內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且，則P點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)等于D．E，F(xiàn)分別在上，且，直線與，所成角分別是，，則【答案】ACD【分析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于選項(xiàng)，利用向量法求出與成60°角，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，求出，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為線段的長(zhǎng)度為，所以選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，求出，所以該選項(xiàng)正確.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，．對(duì)于選項(xiàng)，，，，∴與成60°角，所以選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，∵，∴，設(shè)，則，，，由已知得，M，N，E四點(diǎn)共面，∴，使得，得解得∴，∴，，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)，則，由，得．∴點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為線段的長(zhǎng)度為，所以選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，∵E，F(xiàn)分別在上，且，∴，，則，則，則，故，，故，即，故選項(xiàng)正確．故選：ACD【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的應(yīng)用，考查異面直線所成的角的計(jì)算，考查向量的模的計(jì)算，考查軌跡問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.三、填空題9．（2012春·浙江寧波·高二統(tǒng)考期中）已知，，設(shè)在線段上的一點(diǎn)滿足，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，設(shè)在線段上的一點(diǎn)滿足因?yàn)椋?，解得所以向量的坐?biāo)為.故答案為：10．（2023秋·湖南益陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）如下圖，以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)D的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為_(kāi)________.【答案】【分析】根據(jù)題意推導(dǎo)出的坐標(biāo),從而得出的坐標(biāo),進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)榈淖鴺?biāo)為,,則,所以,因此,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查空間中向量的求法,屬于基礎(chǔ)題.11．（2017·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】【分析】利用空間點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)的求法求解【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：12．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是______【答案】【分析】先利用向量共線定理設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算得到關(guān)于的函數(shù)式，利用二次函數(shù)求最值即可得到答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，所以存在，使得，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以，，所以，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.四、解答題13．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，．求：（1）；

（2）．【答案】（1）9，（2）【分析】（1）先求出，再利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)求解即可；（2）直接利用向量坐標(biāo)的加減法運(yùn)算性質(zhì)求解【詳解】解：（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，?）因?yàn)?，，，所?4．（2020秋·上海楊浦·高二復(fù)旦附中校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)（1）證明：存在點(diǎn)使得，并求的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)的直線將四邊形分成周長(zhǎng)相等的兩部分，求該直線的方程.【答案】（1）證明