遼寧省沈陽市南昌中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期中考試數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽市和平區(qū)南昌初級中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一.選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）斗拱是中國古典建筑上的重要部件．如圖是一種斗形構(gòu)件“三才升”的示意圖及其主視圖，則它的左視圖為（）A． B． C． D．2．（3分）平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)（）A．對角線相等 B．對角線互相平分 C．對角線平分一組對角 D．對角線互相垂直3．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A． B．且m≠1 C． D．，且m≠14．（3分）在學(xué)習(xí)了“用頻率估計(jì)概率”這一節(jié)內(nèi)容后，某課外興趣小組利用計(jì)算器進(jìn)行模擬試驗(yàn)來探究“6個(gè)人中有2個(gè)人同月過生日的概率”，他們將試驗(yàn)中獲得的數(shù)據(jù)記錄如下：試驗(yàn)次數(shù)100300500100016002000“有2個(gè)人同月過生日”的次數(shù)8022939277912511562“有2個(gè)人同月過生日”的頻率0.80.7630.7840.7790.7820.781通過試驗(yàn)，該小組估計(jì)“6個(gè)人中有2個(gè)人同月過生日”的概率（精確到0.01）大約是（）A．0.8 B．0.784 C．0.78 D．0.765．（3分）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段，則線段AB的長是（）A． B．2 C． D．56．（3分）若點(diǎn)A（3，4）是反比例函數(shù)y＝圖象上一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．圖象分別位于二、四象限 B．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小 C．點(diǎn)（2，﹣6）在函數(shù)圖象上 D．當(dāng)y≤4時(shí)，x≥37．（3分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝ax2﹣b與y＝ax+b（ab≠0）的圖象大致如圖（）A． B． C． D．8．（3分）點(diǎn)（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3）都在函數(shù)y＝x2+c的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y3＞y2＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y39．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，大魚與小魚是關(guān)于原點(diǎn)O的位似圖形，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．小魚與大魚的周長之比是1：2 B．小魚與大魚的對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比是1：2 C．大魚尾巴的面積是小魚尾巴面積的2倍 D．若小魚上一點(diǎn)的坐標(biāo)是（a，b），則大魚上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2a，﹣2b）10．（3分）如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinA的值為（）A． B． C． D．二.填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）某學(xué)校在4月23日世界讀書日舉行“書香校園，全員閱讀”活動．小明和小穎去學(xué)校圖書室借閱書籍，小明準(zhǔn)備從《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》中隨機(jī)選擇一本，小穎準(zhǔn)備從《西游記》、《駱駝祥子》、《朝花夕拾》中隨機(jī)選擇一本，小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率是．12．（3分）已知函數(shù)y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的圖象如圖所示，點(diǎn)C在x軸正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作AB∥y軸分別交兩個(gè)圖象于點(diǎn)A、B，若AC＝2BC，則k＝．13．（3分）如圖，正方形OABC的頂點(diǎn)B在拋物線y＝x2的第一象限的圖象上，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和等于6，則對角線AC的長為．14．（3分）定義：若x，y滿足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t為常數(shù)），則稱點(diǎn)M（x，y）為“和諧點(diǎn)”．若P（3，m）是“和諧點(diǎn)”，則m＝．15．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝9，D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)M在射線AC上運(yùn)動，直線DM交直線BC于點(diǎn)N，若AC＝4CM，則DN的長為．三.解答題（共8小題，共75分）16．（10分）（1）計(jì)算：3tan30°﹣tan245°+2sin60°；（2）解方程：（3x﹣1）（x+2）＝11x﹣4．17．（8分）如圖1，將兩個(gè)寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形ABCD．（1）試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；（2）已知矩形紙條寬度為2cm，將矩形紙條旋轉(zhuǎn)至如圖2位置時(shí)，四邊形ABCD的面積為8cm2，求此時(shí)直線AD、CD所夾銳角∠1的度數(shù)．18．（8分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別交AB，AC于點(diǎn)M，N；②以點(diǎn)D為圓心，以AM長為半徑作弧，交DB于點(diǎn)M′；③以點(diǎn)M′為圓心，以MN長為半徑作弧，在∠BAC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)N′；④過點(diǎn)N′作射線DN交BC于點(diǎn)E．若，S△BDE＝16，求四邊形ACED的面積．19．（9分）通常，路燈、臺燈、手電筒……的光可以看成是從一個(gè)點(diǎn)發(fā)出的，在點(diǎn)光源的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為中心投影．【數(shù)學(xué)思考】如圖①，夜晚，小明從點(diǎn)A經(jīng)過路燈C的正下方沿直線走到點(diǎn)B，他的影長y隨他與點(diǎn)A之間的距離x的變化而變化，那么表示y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致為；【解決問題】如圖②，河對岸有一燈桿AB，在燈光下，小明在點(diǎn)D處測得自己的影長DF＝3m，沿BD方向前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)F處測得自己的影長FG＝4m．已知小明的身高為1.6m，求燈桿AB的高度．20．（8分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A（m，1），B（﹣2，n）兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式，并在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)一次函數(shù)的圖象；（2）觀察圖象，直接寫出不等式kx+b＜的解集；（3）設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)C，若P（0，a）為y軸上的一動點(diǎn)，連接AP，CP，當(dāng)△APC的面積為時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．21．（8分）尊老愛幼是中華民族的傳統(tǒng)美德，九九重陽節(jié)前夕，某商店為老人推出一款特價(jià)商品，每件商品的進(jìn)價(jià)為15元，促銷前銷售單價(jià)為25元，平均每天能售出80件；根據(jù)市場調(diào)查，銷售單價(jià)每降低0.5元，平均每天可多售出20件．（1）若每件商品降價(jià)5元，則商店每天的平均銷量是件（直接填寫結(jié)果）；（2）不考慮其他因素，若商店銷售這款商品的利潤要平均每天達(dá)到1280元，每件商品的定價(jià)應(yīng)為多少元？22．（12分）隨著城鎮(zhèn)化建設(shè)的加快，高層建筑逐漸增多了，為防患于未然，更快更有效預(yù)防火災(zāi)，開辟新的救援通道，某城市消防中隊(duì)新增添一臺高空消防救援車．圖1是高空救援消防車實(shí)物圖，圖2是其側(cè)面示意圖，點(diǎn)O，A，C在同一直線上，CO可繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，AB為云梯的液壓桿，點(diǎn)O，B，D在同一水平線上，其中AC可伸縮，已知套管OA＝4米，且套管OA的長度不變，現(xiàn)對高空救援消防車進(jìn)行調(diào)試，測得∠ABD＝53°，∠COD＝37°．（1）求此時(shí)液壓桿AB的長度；（2）若消防人員在云梯末端工作臺點(diǎn)C處高空救援時(shí)，將AC伸長到最大長度，云梯CO繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)27°，即∠COC′＝27°，過點(diǎn)C′作∠C′G⊥OD，垂足為G，過點(diǎn)C作CE⊥OD，垂足為E，CH⊥C′G，垂足為H．如圖3，測得鉛直高度升高了3米（即C′H＝3米），求AC伸長到的最大長度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44）23．（12分）綜合與實(shí)踐【動手操作】如圖①，四邊形ABCD是一張矩形紙片，AB＝6，AD＝5．先將矩形ABCD對折，使BC與AD重合，折痕為MN，沿MN剪開得到兩個(gè)矩形．矩形AMND保持不動，將矩形MBCN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)為N'．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)D重合時(shí)，MN'交AD于點(diǎn)E，BC交MN于點(diǎn)F，此時(shí)兩個(gè)矩形重疊部分四邊形MEDF的形狀是，面積是；（2）如圖③，當(dāng)點(diǎn)N落在AD邊上時(shí)，BC恰好經(jīng)過點(diǎn)N，N'C與DN交于點(diǎn)G，求兩個(gè)矩形重疊部分四邊形MN'GN的面積；【引申探究】（3）當(dāng)點(diǎn)N'落在矩形AMND的對角線MD所在的直線上時(shí)，直線N'C與直線DN交于點(diǎn)G，請直接寫出線段DG的長．

2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽市和平區(qū)南昌初級中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一.選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）斗拱是中國古典建筑上的重要部件．如圖是一種斗形構(gòu)件“三才升”的示意圖及其主視圖，則它的左視圖為（）A． B． C． D．【分析】左視圖是從物體左面看所得到的圖形．【解答】解：從左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一條看不見的線，應(yīng)該畫虛線，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了三視圖的概念，要注意看不見的線應(yīng)當(dāng)畫虛線．2．（3分）平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)（）A．對角線相等 B．對角線互相平分 C．對角線平分一組對角 D．對角線互相垂直【分析】因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶蔷€互相平分、正方形的對角線垂直平分且相等、矩形的對角線互相平分且相等、菱形的對角線互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是對角線互相平分．【解答】解：根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的對角線相互平分的性質(zhì)，可知選B．故選：B．【點(diǎn)評】此題綜合考查了平行四邊形、矩形、菱形、正方形的對角線的性質(zhì)．3．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A． B．且m≠1 C． D．，且m≠1【分析】依據(jù)題意，由一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有實(shí)數(shù)根，可得m﹣1≠0，且Δ＝1﹣4（m﹣1）≥0，進(jìn)而計(jì)算可以得解．【解答】解：由題意，∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有實(shí)數(shù)根，∴m﹣1≠0，且Δ＝1﹣4（m﹣1）≥0．∴m≠1且m≤．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了根的判別式、一元二次方程的定義，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用根的判別式是關(guān)鍵．4．（3分）在學(xué)習(xí)了“用頻率估計(jì)概率”這一節(jié)內(nèi)容后，某課外興趣小組利用計(jì)算器進(jìn)行模擬試驗(yàn)來探究“6個(gè)人中有2個(gè)人同月過生日的概率”，他們將試驗(yàn)中獲得的數(shù)據(jù)記錄如下：試驗(yàn)次數(shù)100300500100016002000“有2個(gè)人同月過生日”的次數(shù)8022939277912511562“有2個(gè)人同月過生日”的頻率0.80.7630.7840.7790.7820.781通過試驗(yàn)，該小組估計(jì)“6個(gè)人中有2個(gè)人同月過生日”的概率（精確到0.01）大約是（）A．0.8 B．0.784 C．0.78 D．0.76【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，該小組估計(jì)“6個(gè)人中有2個(gè)人同月過生日”的頻率都在0.78左右，從而得出該小組估計(jì)“6個(gè)人中有2個(gè)人同月過生日”的概率．【解答】解：通過圖表給出的數(shù)據(jù)得出，該小組估計(jì)“6個(gè)人中有2個(gè)人同月過生日”的概率大約是0.78．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．5．（3分）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段，則線段AB的長是（）A． B．2 C． D．5【分析】過點(diǎn)A作平行橫線的垂線，交點(diǎn)B所在的平行橫線于D，交點(diǎn)C所在平行橫線于E，根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式，計(jì)算即可得解．【解答】解：過點(diǎn)A作平行橫線的垂線，交點(diǎn)B所在的平行橫線于D，交點(diǎn)C所在平行橫線于E，∴，∵五線譜是由等距離的五條平行橫線組成的，∴，∴，解得AB＝5，故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握并靈活運(yùn)用該定理、找準(zhǔn)對應(yīng)線段是解答此題的關(guān)鍵．6．（3分）若點(diǎn)A（3，4）是反比例函數(shù)y＝圖象上一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．圖象分別位于二、四象限 B．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小 C．點(diǎn)（2，﹣6）在函數(shù)圖象上 D．當(dāng)y≤4時(shí)，x≥3【分析】先根據(jù)點(diǎn)A（3、4）是反比例函數(shù)y＝圖象上一點(diǎn)求出k的值，求出函數(shù)的解析式，由此函數(shù)的特點(diǎn)對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析．【解答】解：∵點(diǎn)A（3，4）是反比例函數(shù)y＝圖象上一點(diǎn)，∴k＝xy＝3×4＝12，∴此反比例函數(shù)的解析式為y＝，A、因?yàn)閗＝12＞0，所以此函數(shù)的圖象位于一、三象限，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、因?yàn)閗＝12＞0，所以在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，故本選項(xiàng)正確；C、因?yàn)?×（﹣6）＝﹣12≠12，所以點(diǎn)（2、﹣6）不在此函數(shù)的圖象上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、當(dāng)y≤4時(shí)，即y＝≤4，解得x＜0或x≥3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，根據(jù)題意求出反比例函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．7．（3分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝ax2﹣b與y＝ax+b（ab≠0）的圖象大致如圖（）A． B． C． D．【分析】本題可先由一次函數(shù)y＝ax+b圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)y＝ax2﹣b的圖象相比較看是否一致．【解答】解：A、由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＜0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、由拋物線可知a＜0，由直線可知a＞0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由拋物線可知，a＞0，b＞0，由直線可知，a＞0，b＞0，故本選項(xiàng)正確；D、由拋物線可知，a＜0，b＞0，由直線可知，a＜0，b＜0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象．解答該題時(shí)，一定要熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)．8．（3分）點(diǎn)（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3）都在函數(shù)y＝x2+c的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y3＞y2＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3【分析】依據(jù)題意，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和增減性判斷即可．【解答】解：由題意，∵拋物線y＝x2+c的對稱軸為y軸，開口向上，∴當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大．又∵（2，y3），（﹣2，y3）關(guān)于對稱軸對稱，且﹣3＜﹣2＜﹣1∴y1＞y3＞y2．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．9．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，大魚與小魚是關(guān)于原點(diǎn)O的位似圖形，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．小魚與大魚的周長之比是1：2 B．小魚與大魚的對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比是1：2 C．大魚尾巴的面積是小魚尾巴面積的2倍 D．若小魚上一點(diǎn)的坐標(biāo)是（a，b），則大魚上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2a，﹣2b）【分析】由于大魚與小魚是關(guān)于原點(diǎn)O的位似圖形，則利用對應(yīng)點(diǎn)（2，0）和（﹣1，0）得到大魚與小魚的位似比為2：1，于是可對A選項(xiàng)、C選項(xiàng)、D選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可對C選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：A．大魚與小魚的相似比是1：2，所以A選項(xiàng)不符合題意；B．小魚與大魚的對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比是1：2，所以B選項(xiàng)不符合題意；C．大魚尾巴的面積是小魚尾巴面積的4倍，所以C選項(xiàng)符合題意；D．若小魚上一點(diǎn)的坐標(biāo)是（a，b），則在大魚上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2a，﹣2b），所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．10．（3分）如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinA的值為（）A． B． C． D．【分析】直接連接DC，得出CD⊥AB，再結(jié)合勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案【解答】解：連接DC，由網(wǎng)格可得：CD⊥AB，則DC＝，AC＝，故sinA＝．故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．二.填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）某學(xué)校在4月23日世界讀書日舉行“書香校園，全員閱讀”活動．小明和小穎去學(xué)校圖書室借閱書籍，小明準(zhǔn)備從《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》中隨機(jī)選擇一本，小穎準(zhǔn)備從《西游記》、《駱駝祥子》、《朝花夕拾》中隨機(jī)選擇一本，小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率是．【分析】列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小明和小穎恰好選中書名相同的書的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：將《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》、《朝花夕拾》分別記為A，B，C，D，列表如下：ABDA（A，A）（A，B）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小穎恰好選中書名相同的書的結(jié)果有2種，∴小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．12．（3分）已知函數(shù)y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的圖象如圖所示，點(diǎn)C在x軸正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作AB∥y軸分別交兩個(gè)圖象于點(diǎn)A、B，若AC＝2BC，則k＝﹣2．【分析】由于AB∥y軸，AC＝2BC，則S△OBC＝S△OAC，根據(jù)反比例函數(shù)y＝（k≠0）系數(shù)k的幾何意義得到S△OAC＝×4＝2，所以S△OBC＝S△OAC＝1，然后再根據(jù)反比例函數(shù)y＝（k≠0）系數(shù)k的幾何意義得到|k|＝1，由于反比例函數(shù)圖象過第二象限，所以k＝﹣2．【解答】解：連接OA、OB，如圖，∵AB∥y軸，即OC⊥AB，而AC＝2BC，∴S△OBC＝S△OAC，∵點(diǎn)A在y＝（x＞0）圖象上，∴S△OAC＝×4＝2，∴S△OBC＝S△OAC＝1，∵|k|＝1，而k＜0，∴k＝﹣2．故答案為﹣2．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)y＝（k≠0）系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)y＝（k≠0）圖象上任意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|k|．13．（3分）如圖，正方形OABC的頂點(diǎn)B在拋物線y＝x2的第一象限的圖象上，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和等于6，則對角線AC的長為2．【分析】根據(jù)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和等于6，可以設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B在拋物線y＝x2的第一象限的圖象上，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而可以求得OB的長，然后正方形的對角線相等，即可得到AC的長．【解答】解：連接OB，如圖，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（b，6﹣b），∵點(diǎn)B在拋物線y＝x2的第一象限的圖象上，∴6﹣b＝b2，解得b1＝﹣3（不符合題意，舍去），b2＝2，當(dāng)b＝2時(shí)，6﹣b＝4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4），∴OB＝＝2，∵四邊形OABC是正方形，∴OB＝AC，∴AC＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．14．（3分）定義：若x，y滿足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t為常數(shù)），則稱點(diǎn)M（x，y）為“和諧點(diǎn)”．若P（3，m）是“和諧點(diǎn)”，則m＝﹣7．【分析】根據(jù)題意得出，消去t得到m2+4m﹣21＝0，解方程即可求得m＝﹣7．【解答】解：∵P（3，m）是“和諧點(diǎn)”，∴，消去t得到m2+4m﹣21＝0，解得m＝﹣7或3，∵x≠y，∴m＝﹣7；故答案為：﹣7．【點(diǎn)評】本題考查了新定義以及點(diǎn)的坐標(biāo)，本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．15．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝9，D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)M在射線AC上運(yùn)動，直線DM交直線BC于點(diǎn)N，若AC＝4CM，則DN的長為3．【分析】如圖，過D作DE⊥BC于E，首先利用已知條件證明DE為△ABC的中位線，然后利用平行線的性質(zhì)可以分別求出DE，CE，NE，最后利用勾股定理即可求解．【解答】解：如圖，過D作DE⊥BC于E，∵∠ACB＝90°，∴DE∥AC，而D為AB中點(diǎn)，∴DE＝AC＝×12＝6，CE＝BE＝BC＝4.5又AC＝4CM，∴CM＝3，∵DE∥AC，∴CM：DE＝CN：NE＝3：6，而CN+NE＝4.5，∴NE＝3，在Rt△DNE中，DN＝＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理，同時(shí)也利用了三角形的中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，有一定的綜合性，對于學(xué)生的能力要求比較高．三.解答題（共8小題，共75分）16．（10分）（1）計(jì)算：3tan30°﹣tan245°+2sin60°；（2）解方程：（3x﹣1）（x+2）＝11x﹣4．【分析】（1）利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可；（2）利用公式法求解即可．【解答】解：（1）原式＝3×﹣12+＝＝﹣1；（2）（3x﹣1）（x+2）＝11x﹣4，3x2+5x﹣2＝11x﹣4，3x2﹣6x+2＝0，a＝3，b＝﹣6，c＝2，∵b2﹣4ac＝36﹣24＝12＞0，∴x＝＝＝，∴，．【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值以及解一元二次方程﹣公式法，掌握特殊角的三角函數(shù)值和求根公式是解答本題的關(guān)鍵．17．（8分）如圖1，將兩個(gè)寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形ABCD．（1）試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；（2）已知矩形紙條寬度為2cm，將矩形紙條旋轉(zhuǎn)至如圖2位置時(shí)，四邊形ABCD的面積為8cm2，求此時(shí)直線AD、CD所夾銳角∠1的度數(shù)．【分析】（1）通過兩組對邊相互平行的四邊形可得ABCD是平行四邊形，再通過等寬即高相等和利用等面積證邊相等即可；（2）利用面積公式把邊長求出來，再根據(jù)銳角三角函數(shù)值或者含有30°的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】（1）四邊形ABCD是菱形，理由如下：如圖作CH⊥AB，垂足為H，CG⊥AD，垂足為G，∵兩個(gè)紙條為矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵S?ABCD＝AB?CH＝AD?CG，且CH＝CG，∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．（2）如圖，作AM⊥CD，垂足為M，∵S菱形ABCD＝CD?AM＝8cm2，且AM＝2cm，∴CD＝4cm，∴AD＝CD＝4cm，在Rt△ADM中，sin∠1＝＝，∴∠1＝30°．【點(diǎn)評】本題主要考查了菱形判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和判定和矩形的性質(zhì)以及含有30°的直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．（8分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別交AB，AC于點(diǎn)M，N；②以點(diǎn)D為圓心，以AM長為半徑作弧，交DB于點(diǎn)M′；③以點(diǎn)M′為圓心，以MN長為半徑作弧，在∠BAC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)N′；④過點(diǎn)N′作射線DN交BC于點(diǎn)E．若，S△BDE＝16，求四邊形ACED的面積．【分析】由作圖知∠A＝∠BDE，由平行線的性質(zhì)得到DE∥AC，證得△BDE∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：由作圖知，∠A＝∠BDE，∴DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝（）2，∵，∴＝，∴＝（）2＝，∵S△BDE＝16，∴S△BAC＝100，∴四邊形ACED的面積為100﹣16＝84．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣基本作圖，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．19．（9分）通常，路燈、臺燈、手電筒……的光可以看成是從一個(gè)點(diǎn)發(fā)出的，在點(diǎn)光源的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為中心投影．【數(shù)學(xué)思考】如圖①，夜晚，小明從點(diǎn)A經(jīng)過路燈C的正下方沿直線走到點(diǎn)B，他的影長y隨他與點(diǎn)A之間的距離x的變化而變化，那么表示y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致為D；【解決問題】如圖②，河對岸有一燈桿AB，在燈光下，小明在點(diǎn)D處測得自己的影長DF＝3m，沿BD方向前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)F處測得自己的影長FG＝4m．已知小明的身高為1.6m，求燈桿AB的高度．【分析】畫圖操作：根據(jù)中心投影，直接畫圖即可；數(shù)學(xué)思考：由等高的物體垂直地面時(shí)，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長即可得到答案；解決問題：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】解：畫圖操作：解：光源的位置及第三根旗桿在該燈光下的影長如圖所示：數(shù)學(xué)思考：∵等高的物體垂直地面時(shí)，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長，∴小明的影長從A到B的變化是先越來越短，再越來越長，故選：D；解決問題：如圖所示，∵CD∥EF∥AB，∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，∴，，∵CD＝EF，∴，∵DF＝3m，F(xiàn)G＝4m，BF＝BD+DF＝（BD+3）m，BG＝BD+DF+GF＝BD+3+4＝（BD+7）m，∴，解得：BD＝9m，∴BF＝9+3＝12m，∴，∴AB＝6.4m，∴燈桿AB的高度為6.4m．【點(diǎn)評】本題考查了中心投影、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．20．（8分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A（m，1），B（﹣2，n）兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式，并在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)一次函數(shù)的圖象；（2）觀察圖象，直接寫出不等式kx+b＜的解集；（3）設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)C，若P（0，a）為y軸上的一動點(diǎn)，連接AP，CP，當(dāng)△APC的面積為時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）先根據(jù)反比例函數(shù)圖象經(jīng)過A、B，求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，在平面直角坐標(biāo)系中畫出直線AB即可；（2）觀察函數(shù)圖象找出直線在雙曲線的上方時(shí)所對應(yīng)的自變量取值范圍，即可寫出不等式kx+b＜的解集；（3）根據(jù)三角形面積公式列方程求解即可．【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過A（m，1），B（﹣2，n）兩點(diǎn)，∴1＝，n＝＝﹣2，解得：m＝4，∴A（4，1），B（﹣2，﹣2），將A（4，1），B（﹣2，﹣2）代入y＝kx+b，得，解得：，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x﹣1，該函數(shù)的圖象如圖所示：（2）由圖可得，不等式kx+b﹣＜0的解集范圍是x＜﹣2或0＜x＜4；（3）設(shè)直線AB交x軸于C，交y軸于D，在y＝x﹣1中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣1，∴D（0，﹣1），當(dāng)y＝0時(shí)，得x﹣1＝0，解得：x＝2，∴C（2，0），∴OC＝2，∵P（0，a），A（4，1），∴PD＝|a+1|，∵S△APC＝，∴|a+1|?（4﹣2）＝，解得：a＝或﹣，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）或（0，﹣）．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)的解析式．解決問題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式．21．（8分）尊老愛幼是中華民族的傳統(tǒng)美德，九九重陽節(jié)前夕，某商店為老人推出一款特價(jià)商品，每件商品的進(jìn)價(jià)為15元，促銷前銷售單價(jià)為25元，平均每天能售出80件；根據(jù)市場調(diào)查，銷售單價(jià)每降低0.5元，平均每天可多售出20件．（1）若每件商品降價(jià)5元，則商店每天的平均銷量是280件（直接填寫結(jié)果）；（2）不考慮其他因素，若商店銷售這款商品的利潤要平均每天達(dá)到1280元，每件商品的定價(jià)應(yīng)為多少元？【分析】（1）利用商店每天的平均銷售量＝80+20×，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)每件商品的定價(jià)為x元，則每件商品的銷售利潤為（x﹣15）元，平均每天能售出（1080﹣40x）件，利用總利潤＝每件的銷售利潤×平均每天的銷售量，即可得出關(guān)于x一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）80+5÷0.5×20＝80+200＝280（件）．故答案為：280．（2）設(shè)每件商品的定價(jià)為x元，則每件商品的銷售利潤為（x﹣15）元，平均每天能售出80+×20＝（1080﹣40x）件，依題意得：（x﹣15）（1080﹣40x）＝1280，整理得：x2﹣42x+437＝0，解得：x1＝19，x2＝23．答：每件商品的定價(jià)應(yīng)為19元或23元．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．22．（12分）隨著城鎮(zhèn)化建設(shè)的加快，高層建筑逐漸增多了，為防患于未然，更快更有效預(yù)防火災(zāi)，開辟新的救援通道，某城市消防中隊(duì)新增添一臺高空消防救援車．圖1是高空救援消防車實(shí)物圖，圖2是其側(cè)面示意圖，點(diǎn)O，A，C在同一直線上，CO可繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，AB為云梯的液壓桿，點(diǎn)O，B，D在同一水平線上，其中AC可伸縮，已知套管OA＝4米，且套管OA的長度不變，現(xiàn)對高空救援消防車進(jìn)行調(diào)試，測得∠ABD＝53°，∠COD＝37°．（1）求此時(shí)液壓桿AB的長度；（2）若消防人員在云梯末端工作臺點(diǎn)C處高空救援時(shí)，將AC伸長到最大長度，云梯CO繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)27°，即∠COC′＝27°，過點(diǎn)C′作∠C′G⊥OD，垂足為G，過點(diǎn)C作CE⊥OD，垂足為E，CH⊥C′G，垂足為H．如圖3，測得鉛直高度升高了3米（即C′H＝3米），求AC伸長到的最大長度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44）【分析】（1）過點(diǎn)A作AE⊥BD，分別解直角三角形AOE和直角三角形ABE，進(jìn)行求解即可；（2）易得GH＝CE，旋轉(zhuǎn)得到OC′＝OC，解直角三角形得到GH＝CE＝0.6OC米，C′G＝OC′?sin64°≈0.9OC′米，利用C′H＝C′G﹣GH＝0.9OC′﹣0.6OC＝0.3OC＝3米，求出OC的長，再減去OA的長即可得出結(jié)果．【解答】解：（1）過點(diǎn)A作AE⊥BD，在Rt△AEO中，OA＝4米，∠COD＝37°，∴（米），在Rt△AEB中，∠ABD＝53°，∴（米）；（2）由題意，得：GH＝CE，在Rt△COE中，∠COD＝37°，∴米，∴GH＝CE＝0.6OC米，∵OC′＝OC，∠COC′＝27°，∴∠C′OG＝37°+27°＝64°，在Rt△C′OG中，∠C′OG＝64°，∴C′G＝OC′?sin64°≈0.9OC′米，∵C′H＝C′G﹣GH＝0.9OC′﹣0.6OC＝0.3OC＝3米，∴OC＝10米，∴AC＝OC﹣OA＝6米，故：AC伸長到的最大長度為6米．【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．23．（12分）綜合與實(shí)踐【動手操作】如圖①，四邊形ABCD是一張矩形紙片，AB＝6，AD＝5．先將矩形ABCD對折，使BC與AD重合，折痕為MN，沿MN剪開得到兩個(gè)矩形．矩形AMND