2025高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)第三章 函數(shù)與基本初等函數(shù)第4節(jié)　冪函數(shù)與二次函數(shù)含答案

2025高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)第三章函數(shù)與基本初等函數(shù)第四節(jié)冪函數(shù)與二次函數(shù)課標(biāo)解讀考向預(yù)測1.通過具體實例，結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up7(\f(1,2))，y＝x－1的圖象，理解它們的變化規(guī)律，了解冪函數(shù).2.掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對稱性、頂點、最值等).以冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用為主，常與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)交匯命題；以二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用為主，常與方程、不等式等知識交匯命題，著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸及數(shù)形結(jié)合思想，題型一般為選擇題、填空題，中檔難度．預(yù)計2025年高考對于冪函數(shù)的考查最多出一道選擇題，以冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用為主．對于二次函數(shù)的考查一般與其他知識綜合，題型一般為選擇題、填空題，中檔難度.必備知識——強基礎(chǔ)1．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)eq\x(\s\up1(01))y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)在同一坐標(biāo)系中的五個冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當(dāng)α＞0時，冪函數(shù)的圖象都過點eq\x(\s\up1(02))(0，0)和eq\x(\s\up1(03))(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)α＜0時，冪函數(shù)的圖象都過點eq\x(\s\up1(04))(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；④當(dāng)α為奇數(shù)時，y＝xα為eq\x(\s\up1(05))奇函數(shù)；當(dāng)α為偶數(shù)時，y＝xα為eq\x(\s\up1(06))偶函數(shù)．2．二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；頂點式：f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)；兩根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象定義域RR值域eq\x(\s\up1(07))eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\x(\s\up1(08))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))單調(diào)性在eq\x(\s\up1(09))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞減；在eq\x(\s\up1(10))eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞增在eq\x(\s\up1(11))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞增；在eq\x(\s\up1(12))eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞減對稱性函數(shù)的圖象關(guān)于直線eq\x(\s\up1(13))x＝－eq\f(b,2a)對稱1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝－xeq\s\up7(\f(1,2))是冪函數(shù)．()(2)當(dāng)α<0時，冪函數(shù)y＝xα在定義域內(nèi)單調(diào)遞減．()(3)若冪函數(shù)y＝xα是偶函數(shù)，則α為偶數(shù)．()(4)若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的兩個零點確定，則二次函數(shù)的解析式確定．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小題熱身(1)已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，則f(4)的值是()A．64 B．4eq\r(2)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(1,4)答案D(2)(北師大版必修第一冊1.4.2例4改編)若一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象可能是()答案C解析因為一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象開口向下，對稱軸為直線x＝－eq\f(b,2a)<0，且過原點．故選C.(3)已知α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,2)，1，2))，若冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則α＝________．答案1解析由y＝xα為奇函數(shù)，知α?。?，1，又y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴α>0，∴α＝1.(4)(人教B必修第二冊4.4例1改編)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，則a，b，c的大小關(guān)系是________(用“<”連接)．答案c<b<a解析由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性可知，0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a.考點探究——提素養(yǎng)考點一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1(1)若冪函數(shù)y＝x－1，y＝xm與y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則m與n的取值情況為()A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m<eq\f(1,2)C．－1<m<0<n<eq\f(1,2) D．－1<n<0<m<1答案D解析冪函數(shù)y＝xα，當(dāng)α>0時，y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且0<α<1時，圖象上凸，∴0<m<1.當(dāng)α<0時，y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．不妨令x＝2，由圖象得2－1<2n，則－1<n<0.綜上，－1<n<0<m<1.故選D.(2)(2024·江蘇連云港海濱中學(xué)高三學(xué)情檢測)若冪函數(shù)f(x)＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則實數(shù)m＝________．答案3解析因為冪函數(shù)f(x)＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2＝1，,－m2＋m＋3<0.))由m2－2m－2＝1，得m＝－1或m＝3.當(dāng)m＝－1時，－m2＋m＋3＝－1－1＋3＝1>0，所以m＝－1舍去；當(dāng)m＝3時，－m2＋m＋3＝－9＋3＋3＝－3<0，符合題意．綜上，m＝3.【通性通法】(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數(shù)α，因此只需一個條件即可確定其解析式．(2)對于冪函數(shù)的圖象，需記住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區(qū)域．根據(jù)α＜0，0＜α＜1，α＝1，α>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定．(3)在比較冪值的大小時，可結(jié)合冪值的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較．(4)在區(qū)間(0，1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡記為“指大圖高”)．【鞏固遷移】1．(2023·皖淮聯(lián)考)已知a＝2ln2，b＝3－0.5，c＝2－0.4，則()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．c>a>b D．c>b>a答案B解析因為2ln2＝ln4>lne＝1，3－0.5<3－0.4<2－0.4<1，所以a>c>b.故選B.2．(2023·江蘇南京高三二模)冪函數(shù)f(x)＝xa(a∈R)滿足：對任意x∈R有f(－x)＝f(x)，且f(－1)<f(2)<2.寫出符合上述條件的一個函數(shù)：f(x)＝________．答案xeq\s\up7(\f(2,3))(答案不唯一)解析取f(x)＝xeq\s\up7(\f(2,3))，則定義域為R，且f(－x)＝(－x)eq\s\up7(\f(2,3))＝xeq\s\up7(\f(2,3))＝f(x)，f(－1)＝1，f(2)＝2eq\s\up7(\f(2,3))＝eq\r(3,4)，滿足f(－1)<f(2)<2.故f(x)＝xeq\s\up7(\f(2,3))滿足題意．考點二二次函數(shù)的解析式例2已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，則f(x)＝________．答案－4x2＋4x＋7解析解法一(利用“一般式”)：設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))∴所求二次函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法二(利用“頂點式”)：設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝eq\f(2＋(－1),2)＝eq\f(1,2)，∴m＝eq\f(1,2).又函數(shù)有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8.∵f(2)＝－1，∴aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三(利用“兩根式”)：由已知得f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函數(shù)有最大值8，即eq\f(4a(－2a－1)－(－a)2,4a)＝8，解得a＝－4.∴所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.【通性通法】根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下：【鞏固遷移】3．已知二次函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c滿足f(0)＝3，?x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，則f(x)＝________．答案x2－2x＋3解析由f(0)＝3，得c＝3，又f(1＋x)＝f(1－x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以eq\f(b,2)＝1，即b＝2，所以f(x)＝x2－2x＋3.考點三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(多考向探究)考向1二次函數(shù)的圖象例3(多選)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分圖象如圖，圖象過點A(－3，0)，對稱軸為直線x＝－1，則下列四個結(jié)論中正確的是()A．b2＞4ac B．2a－b＝1C．a(chǎn)－b＋c＝0 D．5a＜b答案AD解析因為圖象與x軸交于兩點，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正確；對稱軸為直線x＝－1，即－eq\f(b,2a)＝－1，2a－b＝0，B錯誤；結(jié)合圖象，當(dāng)x＝－1時，y＞0，即a－b＋c＞0，C錯誤；因為2a－b＝0，即b＝2a，根據(jù)拋物線開口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正確．故選AD.【通性通法】1．識別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會“三看”2．解決二次函數(shù)圖象問題的基本方法(1)排除法，抓住函數(shù)的特殊性質(zhì)或特殊點．(2)討論函數(shù)圖象，依據(jù)圖象特征，得到參數(shù)間的關(guān)系．【鞏固遷移】4．設(shè)abc>0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是()答案D解析因為abc>0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，對于A，a<0，b<0，c<0，不符合題意；對于B，a<0，b>0，c>0，不符合題意；對于C，a>0，b>0，c<0，不符合題意．故選D.考向2二次函數(shù)的單調(diào)性例4若函數(shù)f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在區(qū)間[3，＋∞)和[－2，－1]上均單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(11,3)，－3)) B．[－6，－4]C．[－3，－2eq\r(2)] D．[－4，－3]答案B解析∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)在[1，2]上單調(diào)遞減，在[3，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)x>0時，f(x)＝x2＋ax＋2，圖象的對稱軸為直線x＝－eq\f(a,2)，∴2≤－eq\f(a,2)≤3，解得－6≤a≤－4.故選B.【通性通法】解決二次函數(shù)單調(diào)性問題的基本方法(1)二次函數(shù)的單調(diào)性在其圖象對稱軸的兩側(cè)不同，因此研究二次函數(shù)的單調(diào)性時要依據(jù)其圖象的對稱軸進行分類討論．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在區(qū)間A上單調(diào)遞減(單調(diào)遞增)，則A?eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A?\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))))，即區(qū)間A一定在函數(shù)圖象的對稱軸的左側(cè)(右側(cè))．【鞏固遷移】5．若函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為()A．[－3，0) B．(－∞，－3]C．[－2，0] D．[－3，0]答案D解析當(dāng)a＝0時，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，滿足題意；當(dāng)a≠0時，f(x)圖象的對稱軸為直線x＝eq\f(3－a,2a).由f(x)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,\f(3－a,2a)≤－1，))解得－3≤a＜0.綜上，實數(shù)a的取值范圍為[－3，0]．故選D.考向3二次函數(shù)的最值例5已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間[－1，2]上有最大值4，則實數(shù)a的值為________．答案eq\f(3,8)或－3解析f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.當(dāng)a＝0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2]上的值為常數(shù)1，不符合題意，舍去；當(dāng)a＞0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2]上單調(diào)遞增，最大值為f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝eq\f(3,8)；當(dāng)a＜0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2]上單調(diào)遞減，最大值為f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.綜上可知，實數(shù)a的值為eq\f(3,8)或－3.【通性通法】求二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的類型及策略【鞏固遷移】6．設(shè)關(guān)于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的兩個實數(shù)根分別是α，β，則α2＋β2＋5的最小值為________．答案7解析由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α＋β＝2m，,αβ＝2－m，))且Δ＝4m2－4(2－m)≥0，解得m≤－2或m≥1，所以α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m2＋2m＋1，令f(m)＝4m2＋2m＋1，而f(m)圖象的對稱軸為直線m＝－eq\f(1,4)，且m≤－2或m≥1，所以f(m)min＝f(1)＝7.課時作業(yè)一、單項選擇題1.如圖，①②③④對應(yīng)四個冪函數(shù)的圖象，其中①對應(yīng)的冪函數(shù)可能是()A．y＝x3 B．y＝x2C．y＝x D．y＝xeq\s\up7(\f(5,8))答案D解析根據(jù)題中函數(shù)圖象可得①對應(yīng)的冪函數(shù)y＝xα在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且增長速度越來越慢，故α∈(0，1)，故D符合要求．故選D.2．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(3，eq\r(3))，則f(x)()A．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)答案D解析設(shè)冪函數(shù)的解析式為y＝xα，將點(3，eq\r(3))的坐標(biāo)代入解析式得3α＝eq\r(3)，解得α＝eq\f(1,2)，所以y＝xeq\f(1,2)，函數(shù)的定義域為[0，＋∞)，是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)．故選D.3．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a>0，c<0，a＋b＋c＝0，則()A．?x∈(0，1)，都有f(x)>0B．?x∈(0，1)，都有f(x)<0C．?x∈(0，1)，使得f(x)＝0D．?x∈(0，1)，使得f(x)>0答案B解析由a>0，c<0，a＋b＋c＝0可知拋物線開口向上，f(0)＝c<0，f(1)＝a＋b＋c＝0，所以?x∈(0，1)，都有f(x)<0.故選B.4．(2024·甘肅武威十八中一診)若函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－1在區(qū)間(－∞，6)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，1))答案A解析當(dāng)a＝0時，函數(shù)f(x)＝2x－1在R上單調(diào)遞增，即a＝0符合題意；當(dāng)a≠0時，由二次函數(shù)的性質(zhì)知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,－\f(1,a)≥6，))解得－eq\f(1,6)≤a<0.綜上，實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，0)).故選A.5．(2024·江蘇南京高三摸底)已知a＝2eq\s\up7(\f(4,3))，b＝4eq\s\up7(\f(2,5))，c＝25eq\s\up7(\f(1,3))，d＝6eq\s\up7(\f(2,3))，則()A．b<a<d<c B．b<c<a<dC．c<d<b<a D．b<a<c<d答案D解析由題意得a＝2eq\s\up7(\f(4,3))＝16eq\s\up7(\f(1,3))，b＝4eq\s\up7(\f(2,5))＝16eq\s\up7(\f(1,5))，c＝25eq\s\up7(\f(1,3))，d＝6eq\s\up7(\f(2,3))＝36eq\s\up7(\f(1,3))，因為冪函數(shù)y＝xeq\s\up7(\f(1,3))在R上單調(diào)遞增，所以a<c<d.又因為指數(shù)函數(shù)y＝16x在R上單調(diào)遞增，所以b<a.故選D.6．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a(a>0)．已知f(m)<0，則()A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0答案C解析因為f(x)圖象的對稱軸為直線x＝－eq\f(1,2)，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致圖象如圖所示，由f(m)<0，得－1<m<0.所以m＋1>0.所以f(m＋1)>f(0)>0.故選C.7．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，g(x)＝f(f(x))，若g(x)的值域為[2，＋∞)，f(x)的值域為[k，＋∞)，則實數(shù)k的最大值為()A．0 B．1C．2 D．4答案C解析設(shè)t＝f(x)，由題意可得g(x)＝f(t)＝at2＋bt＋c(t≥k)，函數(shù)y＝at2＋bt＋c，t≥k的圖象為y＝f(x)的圖象的部分，即g(x)的值域為f(x)的值域的子集，即[2，＋∞)?[k，＋∞)，可得k≤2，即實數(shù)k的最大值為2.故選C.8．已知在(－∞，1]上單調(diào)遞減的函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1，且對任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，則實數(shù)t的取值范圍是()A．[－eq\r(2)，eq\r(2)] B．[1，eq\r(2)]C．[2，3] D．[1，2]答案B解析由于f(x)＝x2－2tx＋1圖象的對稱軸為直線x＝t，又y＝f(x)在(－∞，1]上是減函數(shù)，所以t≥1，則在區(qū)間[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，要使對任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，只需1－(－t2＋1)≤2，解得－eq\r(2)≤t≤eq\r(2).又t≥1，所以1≤t≤eq\r(2).故選B.二、多項選擇題9.二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列說法正確的是()A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0C．9a＋3b＋c<0 D．a(chǎn)bc<0答案ACD解析由二次函數(shù)圖象開口向下知a<0，圖象的對稱軸為直線x＝－eq\f(b,2a)＝1，即2a＋b＝0，故b>0，又因為f(0)＝c>0，所以f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0，abc<0.故選ACD.10．已知冪函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3，對任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都滿足eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0，若a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，則下列結(jié)論可能成立的是()A．a(chǎn)＋b>0且ab<0 B．a(chǎn)＋b<0且ab<0C．a(chǎn)＋b<0且ab>0 D．以上都可能答案BC解析因為f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3為冪函數(shù)，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.依題意f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以m＝2，此時f(x)＝x3，因為f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以f(x)＝x3為奇函數(shù)．因為a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，所以f(a)<f(－b)，又y＝f(x)為增函數(shù)，所以a<－b，所以a＋b<0.故選BC.三、填空題11．已知函數(shù)f(x)為冪函數(shù)，且f(4)＝eq\f(1,2)，則當(dāng)f(a)＝4f(a＋3)時，實數(shù)a＝________．答案eq\f(1,5)解析設(shè)f(x)＝xα，則4α＝eq\f(1,2)，所以α＝－eq\f(1,2)，因此f(x)＝xeq\s\up7(-\f(1,2))，從而aeq\s\up7(-\f(1,2))＝4(a＋3)eq\s\up7(-\f(1,2))，解得a＝eq\f(1,5).12．已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4，3)，且圖象被x軸截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，則f(x)的解析式為________．答案f(x)＝x2－4x＋3解析∵f(2－x)＝f(2＋x)對任意x∈R恒成立，∴f(x)圖象的對稱軸為直線x＝2，又f(x)的圖象被x軸截得的線段長為2，∴f(x)＝0的兩根為1和3，設(shè)f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，∵f(x)的圖象過點(4，3)，∴3a＝3，∴a＝1，∴所求函數(shù)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.13．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x≥0時，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)＞f(2m＋mt2)對任意實數(shù)t恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．答案(－∞，－eq\r(2))解析由題意知，f(x)在R上是增函數(shù)，結(jié)合f(－4t)＞f(2m＋mt2)對任意實數(shù)t恒成立，知－4t＞2m＋mt2對任意實數(shù)t恒成立，∴mt2＋4t＋2m＜0對任意實數(shù)t恒成立，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝16－8m2<0，))∴m∈(－∞，－eq\r(2))．14．(2024·浙江臺州模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x2－2x－3)(x2＋ax＋b)是偶函數(shù)，則f(x)的值域是________．答案[－16，＋∞)解析因為f(x)＝(x2－2x－3)(x2＋ax＋b)＝(x－3)(x＋1)(x2＋ax＋b)是偶函數(shù)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(－3)＝f(3)＝0，,f(1)＝f(－1)＝0，))代入整理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9－3a＋b＝0，,1＋a＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－3.))所以f(x)＝(x2－2x－3)·(x2＋2x－3)＝(x2－3)2－4x2＝x4－10x2＋9＝(x2－5)2－16≥－16，所以f(x)的值域為[－16，＋∞)．四、解答題15．(2024·福建百校高三聯(lián)考)已知冪函數(shù)f(x)＝(m2＋m－1)xm＋1在(0，＋∞)上是減函數(shù)．(1)求f(x)的解析式；(2)若(5－a)eq\s\up7(\f(1,m))>(2a－1)eq\s\up7(\f(1,m))，求實數(shù)a的取值范圍．解(1)由冪函數(shù)的定義，知m2＋m－1＝1，即m2＋m－2＝0，解得m＝－2或m＝1.因為f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以m＋1<0，即m<－1，則m＝－2.故f(x)＝x－1＝eq\f(1,x).(2)由(1)可得m＝－2，設(shè)g(x)＝xeq\s\up7(-\f(1,2))，則g(x)的定義域為(0，＋∞)，且g(x)在定義域上為減函數(shù)，因為(5－a)eq\s\up7(-\f(1,2))>(2a－1)eq\s\up7(-\f(1,2))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－a>0，,2a－1>0，,5－a<2a－1，))解得2<a<5.故實數(shù)a的取值范圍為(2，5)．16．若函數(shù)y＝x2－4x－4的定義域為[0，a)，值域為[－8，－4]，則實數(shù)a的取值范圍為________．答案(2，4]解析函數(shù)y＝x2－4x－4的圖象如圖所示，因為函數(shù)在[0，a)上的值域為[－8，－4]，結(jié)合圖象可得2<a≤4，故實數(shù)a的取值范圍為(2，4]．17．已知冪函數(shù)f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)＝2x－3t，對任意x1∈[1，5)，總存在x2∈[1，5)，使得f(x1)＝g(x2)，則t的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(7,3)))解析因為f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2為冪函數(shù)，則(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2.當(dāng)m＝2時，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，舍去，故f(x)＝x2.當(dāng)x∈[1，5)時，f(x)∈[1，25)，故g(5)＝25－3t≥25，所以t≤eq\f(7,3)；g(1)＝2－3t≤1，所以t≥eq\f(1,3).綜上所述，t的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(7,3))).18．(2024·福建福州高三模擬)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2－x＋2a－1.(1)若f(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；(2)若a>0，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上的最小值為g(a)，求g(a)的表達式．解(1)當(dāng)a>0時，f(x)＝ax2－x＋2a－1的圖象開口向上，對稱軸方程為x＝eq\f(1,2a)，所以f(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減需滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)≥2，,a>0，))解得0<a≤eq\f(1,4)；當(dāng)a<0時，f(x)＝ax2－x＋2a－1的圖象開口向下，對稱軸方程為x＝eq\f(1,2a)<0，所以f(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減需滿足a<0.綜上，a的取值范圍是(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))).(2)①當(dāng)0<eq\f(1,2a)≤1，即a≥eq\f(1,2)時，f(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，此時g(a)＝f(1)＝3a－2；②當(dāng)1＜eq\f(1,2a)＜2，即eq\f(1,4)＜a＜eq\f(1,2)時，f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2a)))上單調(diào)遞減，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)，2))上單調(diào)遞增，此時g(a)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)))＝2a－eq\f(1,4a)－1；③當(dāng)eq\f(1,2a)≥2，即0<a≤eq\f(1,4)時，f(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，此時g(a)＝f(2)＝6a－3.綜上所述，g(a)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6a－3，a∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))，,2a－\f(1,4a)－1，a∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))，,3a－2，a∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).))第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)課標(biāo)解讀考向預(yù)測1.了解指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì).2.了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念.3.會畫指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.指數(shù)函數(shù)是高考考查的重點內(nèi)容之一，應(yīng)當(dāng)熟練掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和單調(diào)性等常考知識點．在近三年的高考中，考查了指數(shù)型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，或與分段函數(shù)結(jié)合，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).預(yù)計2025年高考可能會考查利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小、指數(shù)型函數(shù)圖象的識別與應(yīng)用以及指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，題型為選擇題或填空題，難度中檔；也可能會以指數(shù)或指數(shù)函數(shù)為載體，結(jié)合新定義、初等數(shù)論等以創(chuàng)新型題目出現(xiàn)在第19題，難度較大.必備知識——強基礎(chǔ)1．根式(1)如果xn＝a，那么eq\x(\s\up1(01))x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子eq\r(n,a)叫做eq\x(\s\up1(02))根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．(3)(eq\r(n,a))n＝eq\x(\s\up1(03))a．當(dāng)n為奇數(shù)時，eq\r(n,an)＝eq\x(\s\up1(04))a；當(dāng)n為偶數(shù)時，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，aeq\s\up7(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)．正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，a－eq\s\up7(\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up7(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于eq\x(\s\up1(05))0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．3．指數(shù)冪的運算性質(zhì)aras＝eq\x(\s\up1(06))ar＋s；(ar)s＝eq\x(\s\up1(07))ars；(ab)r＝eq\x(\s\up1(08))arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．4．指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R，a是底數(shù)．(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域eq\x(\s\up1(09))(0，＋∞)性質(zhì)圖象過定點eq\x(\s\up1(10))(0，1)，即當(dāng)x＝0時，y＝1當(dāng)x>0時，eq\x(\s\up1(11))y>1；當(dāng)x<0時，eq\x(\s\up1(12))0<y<1當(dāng)x<0時，eq\x(\s\up1(13))y>1；當(dāng)x>0時，eq\x(\s\up1(14))0<y<1在(－∞，＋∞)上是eq\x(\s\up1(15))增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是eq\x(\s\up1(16))減函數(shù)(1)任意實數(shù)的奇次方根只有一個，正數(shù)的偶次方根有兩個且互為相反數(shù)．(2)畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).(3)如圖是指數(shù)函數(shù)①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大．(4)指數(shù)函數(shù)y＝ax與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)(a>0，且a≠1)的圖象關(guān)于y軸對稱．1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)eq\r(4,(－4)4)＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.()(3)eq\r(n,an)＝(eq\r(n,a))n＝a.()(4)eq\r(6,(－3)2)＝(－3)eq\s\up7(\f(1,3)).()(5)函數(shù)y＝2x－1是指數(shù)函數(shù)．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．小題熱身(1)(人教A必修第一冊習(xí)題4.1T1改編)下列運算中正確的是()A.eq\r((2－π)2)＝2－π B．a(chǎn)eq\r(－\f(1,a))＝eq\r(－a)C．(meq\s\up7(\f(1,4))neq\s\up7(-\f(3,8)))8＝eq\f(m2,n3) D．(x3－eq\r(2))3＋eq\r(2)＝x9答案C解析對于A，因為2－π<0，所以eq\r((2－π)2)＝π－2，故A錯誤；對于B，因為－eq\f(1,a)>0，所以a<0，則aeq\r(－\f(1,a))＝－(－a)·eq\f(1,\r(－a))＝－eq\r(－a)，故B錯誤；對于C，因為(meq\s\up7(\f(1,4))neq\s\up7(-\f(3,8)))8＝(meq\s\up7(\f(1,4)))8·(neq\s\up7(-\f(3,8)))8＝eq\f(m2,n3)，故C正確；對于D，因為(x3－eq\r(2))3＋eq\r(2)＝x9－2＝x7，故D錯誤．(2)已知指數(shù)函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(－1，2)，那么這個函數(shù)也必定經(jīng)過點()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))C．(1，2) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,8)))答案D(3)函數(shù)y＝2x＋1的圖象是()答案A(4)若函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)在區(qū)間[0，1]上的最大值與最小值之和為3，則a的值為________．答案2考點探究——提素養(yǎng)考點一指數(shù)冪的運算例1(1)(2024·湖北宜昌高三模擬)已知x，y>0，化簡eq\f(3xeq\s\up7(-\f(3,4))yeq\s\up7(\f(1,2)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)xeq\s\up7(\f(1,4))yeq\s\up7(-\f(1,3))))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)x－1yeq\s\up7(-\f(1,6)))))＝__________．答案－10y解析原式＝eq\f(3xeq\s\up7(-\f(3,4))yeq\s\up7(\f(1,2)),－\f(3,10)xeq\s\up7(-\f(3,4))yeq\s\up7(-\f(1,2)))＝－10y.(2)計算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up12(0.5)－0.752＋6－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))eq\s\up12(－\f(2,3))＝________．答案1解析原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)))eq\s\up12(\f(1,2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,36)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(3)))eq\s\up12(－\f(2,3))＝eq\f(3,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,36)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－2)＝eq\f(3,2)－eq\f(9,16)＋eq\f(1,36)×eq\f(9,4)＝1.【通性通法】【鞏固遷移】1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－\f(1,2))·eq\f(\r((4ab－1)3),(0.1)－1·(a3·b－3)eq\s\up5(\f(1,2)))(a>0，b>0)＝________．答案eq\f(8,5)解析原式＝eq\f(2·4eq\s\up7(\f(3,2))aeq\s\up7(\f(3,2))beq\s\up7(-\f(3,2)),10aeq\s\up7(\f(3,2))beq\s\up7(-\f(3,2)))＝eq\f(8,5).2．若xeq\s\up7(\f(1,2))＋xeq\s\up7(-\f(1,2))＝3，則x2＋x－2＝________．答案47解析由xeq\s\up7(\f(1,2))＋xeq\s\up7(-\f(1,2))＝3，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47.考點二指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用例2(1)(2024·安徽合肥八中月考)函數(shù)①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個數(shù)：eq\f(5,4)，eq\r(3)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)中的一個，則a，b，c，d的值分別是()A.eq\f(5,4)，eq\r(3)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2) B.eq\r(3)，eq\f(5,4)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\r(3)，eq\f(5,4) D.eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，eq\f(5,4)，eq\r(3)答案C解析由題圖，直線x＝1與函數(shù)圖象的交點的縱坐標(biāo)從上到下依次為c，d，a，b，而eq\r(3)>eq\f(5,4)>eq\f(1,2)>eq\f(1,3)，故選C.(2)(2024·江蘇南京金陵高三期末)若直線y＝3a與函數(shù)y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍為________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))解析當(dāng)0<a<1時，y＝|ax－1|的圖象如圖1所示，由已知得0<3a<1，∴0<a<eq\f(1,3)；當(dāng)a>1時，y＝|ax－1|的圖象如圖2所示，由已知可得0<3a<1，∴0<a<eq\f(1,3)，結(jié)合a>1可得a無解．綜上可知，a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))).【通性通法】(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的問題，可以通過直線x＝1與圖象的交點進行判斷．(2)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象可從指數(shù)函數(shù)的圖象通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論．(3)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點，判斷選項中的圖象是否過這些點，若不滿足則排除．【鞏固遷移】3．(2024·廣東深圳中學(xué)高三摸底)函數(shù)y＝e－|x|(e是自然對數(shù)的底數(shù))的大致圖象是()答案C解析y＝e－|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))\s\up12(x)，x≥0，,ex，x<0，))易得函數(shù)y＝e－|x|為偶函數(shù)，且圖象過(0，1)，y＝e－|x|>0，函數(shù)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故C符合題意．故選C.4．(多選)若實數(shù)x，y滿足4x＋5x＝5y＋4y，則下列關(guān)系式中可能成立的是()A．1<x<y B．x＝y(tǒng)C．0<x<y<1 D．y<x<0答案BCD解析設(shè)f(x)＝4x＋5x，g(x)＝5x＋4x，則f(x)，g(x)都是增函數(shù)，畫出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象，如圖所示，根據(jù)圖象可知，當(dāng)x＝0時，f(0)＝g(0)＝1；當(dāng)x＝1時，f(1)＝g(1)＝9，依題意，不妨設(shè)f(x)＝g(y)＝t，則x，y分別是直線y＝t與函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)圖象的交點的橫坐標(biāo)．當(dāng)t>9時，若f(x)＝g(y)，則x>y>1，故A不正確；當(dāng)t＝9或t＝1時，若f(x)＝g(y)，則x＝y(tǒng)＝1或x＝y(tǒng)＝0，故B正確；當(dāng)1<t<9時，若f(x)＝g(y)，則0<x<y<1，故C正確；當(dāng)t<1時，若f(x)＝g(y)，則y<x<0，故D正確．故選BCD.考點三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用(多考向探究)考向1比較指數(shù)式的大小例3(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c>a>b B．c>b>aC．a(chǎn)>b>c D．b>a>c答案D解析解法一：因為函數(shù)f(x)＝1.01x是增函數(shù)，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1.因為函數(shù)φ(x)＝0.6x是減函數(shù)，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c<1.綜上，b>a>c.故選D.解法二：因為函數(shù)f(x)＝1.01x是增函數(shù)，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a.因為函數(shù)h(x)＝x0.5在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a>c.綜上，b>a>c.故選D.【通性通法】比較兩個指數(shù)式的大小時，盡量化成同底或同指．(1)當(dāng)?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小．(2)當(dāng)指數(shù)相同，底數(shù)不同時，構(gòu)造兩個指數(shù)函數(shù)，利用圖象比較大??；或構(gòu)造同一冪函數(shù)，然后利用冪函數(shù)的性質(zhì)比較大小．(3)當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時，常借助1，0等中間量進行比較．【鞏固遷移】5．(2023·福建泉州高三質(zhì)檢)已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－\f(1,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))eq\s\up12(－\f(2,3))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(\f(2,3))，則()A．a(chǎn)>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．b>a>c答案C解析因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－\f(1,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(\f(1,3))>1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))eq\s\up12(－\f(2,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(\f(2,3))<1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(\f(2,3))>1，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)在R上是增函數(shù)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(\f(2,3))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(\f(1,3))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(\f(2,3))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－\f(1,3))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))eq\s\up12(－\f(2,3))，即c>a>b.考向2解簡單的指數(shù)方程或不等式例4(1)(多選)若4x－4y<5－x－5－y，則下列關(guān)系式正確的是()A．x<y B．y－3>x－3C.eq\r(x)>eq\r(y) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(y)<3－x答案AD解析由4x－4y<5－x－5－y，得4x－5－x<4y－5－y，令f(x)＝4x－5－x，則f(x)<f(y)．因為g(x)＝4x，h(x)＝－5－x在R上都是增函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)，所以x<y，故A正確；因為G(x)＝x－3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都單調(diào)遞減，所以當(dāng)x<y<0時，x－3>y－3，故B錯誤；當(dāng)x<0，y<0時，eq\r(x)，eq\r(y)無意義，故C錯誤；因為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)在R上是減函數(shù)，且x<y，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(y)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(y)<3－x，故D正確．故選AD.(2)已知實數(shù)a≠1，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，則a的值為________．答案eq\f(1,2)解析當(dāng)a<1時，41－a＝21，解得a＝eq\f(1,2)；當(dāng)a>1時，2a－(1－a)＝4a－1，無解．故a的值為eq\f(1,2).【通性通法】(1)解指數(shù)方程的依據(jù)：af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)?f(x)＝g(x)．(2)解指數(shù)不等式的思路方法：對于形如ax>ab(a>0，且a≠1)的不等式，需借助函數(shù)y＝ax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，則需分a>1與0<a<1兩種情況討論；而對于形如ax>b的不等式，需先將b轉(zhuǎn)化為以a為底的指數(shù)冪的形式，再借助函數(shù)y＝ax的單調(diào)性求解．【鞏固遷移】6．函數(shù)y＝(0.5x－8)eq\s\up7(-\f(1,2))的定義域為________．答案(－∞，－3)解析因為y＝(0.5x－8)eq\s\up7(-\f(1,2))＝eq\f(1,\r(0.5x－8))，所以0.5x－8>0，則2－x>23，即－x>3，解得x<－3，故函數(shù)y＝(0.5x－8)eq\s\up7(-\f(1,2))的定義域為(－∞，－3)．7．當(dāng)0<x<eq\f(1,2)時，方程ax＝eq\f(1,x)(a>0，且a≠1)有解，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(4，＋∞)解析依題意，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))時，y＝ax與y＝eq\f(1,x)的圖象有交點，作出y＝eq\f(1,x)的部分圖象，如圖所示，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1，,aeq\s\up7(\f(1,2))>2，))解得a>4.考向3與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題例5(1)函數(shù)f(x)＝3－x2＋1的值域為________．答案(0，3]解析設(shè)t＝－x2＋1，則t≤1，所以0<3t≤3，故函數(shù)f(x)的值域為(0，3]．(2)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2x)－8·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋17的單調(diào)遞增區(qū)間為________．答案[－2，＋∞)解析設(shè)t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0，4]上單調(diào)遞減，在(4，＋∞)上單調(diào)遞增．由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)≤4，得x≥－2，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)>4，得x<－2，而函數(shù)t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在R上單調(diào)遞減，所以函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2x)－8·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋17的單調(diào)遞增區(qū)間為[－2，＋∞)．【通性通法】涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．【鞏固遷移】8．(多選)已知定義在[－1，1]上的函數(shù)f(x)＝－2·9x＋4·3x，則下列結(jié)論中正確的是()A．f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[0，1]B．f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[－1，1]C．f(x)的最大值是f(0)＝2D．f(x)的最小值是f(1)＝－6答案ACD解析設(shè)t＝3x，x∈[－1，1]，則t＝3x是增函數(shù)，且t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))，又函數(shù)y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))上單調(diào)遞增，在[1，3]上單調(diào)遞減，因此f(x)在[－1，0]上單調(diào)遞增，在[0，1]上單調(diào)遞減，故A正確，B錯誤；f(x)max＝f(0)＝2，故C正確；f(－1)＝eq\f(10,9)，f(1)＝－6，因此f(x)的最小值是f(1)＝－6，故D正確．故選ACD.9．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(ax2＋2x＋3)的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．答案(－∞，－1]解析∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(t)是減函數(shù)，且f(x)的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，∴t＝ax2＋2x＋3有最小值2，則a>0且eq\f(12a－22,4a)＝2，解得a＝1，因此t＝x2＋2x＋3的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－1]，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1]．課時作業(yè)一、單項選擇題1．(2024·內(nèi)蒙古阿拉善盟第一中學(xué)高三期末)已知集合A＝{x|32x－1≥1}，B＝{x|6x2－x－2<0}，則A∪B＝()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))答案D解析集合A＝{x|32x－1≥1}＝eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，B＝{x|6x2－x－2<0}＝{x|(3x－2)(2x＋1)<0}＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(2,3)))，所以A∪B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).故選D.2.(2024·山東棗莊高三模擬)已知指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象如圖所示，則y＝ax2＋x的圖象頂點橫坐標(biāo)的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))答案A解析由圖可知，a∈(0，1)，而y＝ax2＋x＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2a)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4a)(a≠0)，其頂點橫坐標(biāo)為x＝－eq\f(1,2a)，所以－eq\f(1,2a)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))).故選A.3．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,1＋2x)，則對任意實數(shù)x，有()A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝0C．f(－x)＋f(x)＝1 D．f(－x)－f(x)＝eq\f(1,3)答案C解析f(－x)＋f(x)＝eq\f(1,1＋2－x)＋eq\f(1,1＋2x)＝eq\f(2x,1＋2x)＋eq\f(1,1＋2x)＝1，故A錯誤，C正確；f(－x)－f(x)＝eq\f(1,1＋2－x)－eq\f(1,1＋2x)＝eq\f(2x,1＋2x)－eq\f(1,1＋2x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＝1－eq\f(2,2x＋1)，不是常數(shù)，故B，D錯誤．故選C.4．已知a＝2eq\s\up7(\f(4,3))，b＝4eq\s\up7(\f(2,5))，c＝5eq\s\up7(\f(1,3))，則()A．c<b<a B．a(chǎn)<b<cC．b<a<c D．c<a<b答案A解析因為a＝2eq\s\up7(\f(4,3))＝4eq\s\up7(\f(2,3))，b＝4eq\s\up7(\f(2,5))，所以a＝4eq\s\up7(\f(2,3))>4eq\s\up7(\f(2,5))＝b，因為b＝4eq\s\up7(\f(2,5))＝(46)eq\s\up7(\f(1,15))＝4096eq\s\up7(\f(1,15))，c＝5eq\s\up7(\f(1,3))＝(55)eq\s\up7(\f(1,15))＝3125eq\s\up7(\f(1,15))，所以b>c.綜上所述，a>b>c.故選A.5．(2024·江蘇連云港海濱中學(xué)高三學(xué)情檢測)若函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1，2]上的最大值為4，最小值為m，則實數(shù)m的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(11,42)C.eq\f(1,16) D.eq\f(1,2)或eq\f(1,16)答案D解析當(dāng)a>1時，f(x)＝ax在[－1，2]上單調(diào)遞增，則f(x)max＝f(2)＝a2＝4，解得a＝2，此時f(x)＝2x，m＝f(x)min＝2－1＝eq\f(1,2)；當(dāng)0<a<1時，f(x)＝ax在[－1，2]上單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(－1)＝a－1＝4，解得a＝eq\f(1,4)，此時f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)，m＝f(x)min＝f(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16).綜上所述，實數(shù)m的值為eq\f(1,2)或eq\f(1,16).故選D.6．(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()A．(－∞，－2] B．[－2，0)C．(0，2] D．[2，＋∞)答案D解析函數(shù)y＝2x在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，則函數(shù)y＝x(x－a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(a2,4)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，因此eq\f(a,2)≥1，解得a≥2，所以a的取值范圍是[2，＋∞)．故選D.7．(2023·遼寧名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－2，x>0，,2－2－x，x<0，))若f(a)>f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)答案B解析當(dāng)x>0時，－x<0，f(－x)＝2－2x＝－(2x－2)＝－f(x)；當(dāng)x<0時，－x>0，f(－x)＝2－x－2＝－(2－2－x)＝－f(x)，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(a)>f(－a)＝－f(a)，即f(a)>0，作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖象可得，實數(shù)a的取值范圍為(－1，0)∪(1，＋∞)．故選B.8．(2024·福建漳州四校期末)已知正數(shù)a，b，c滿足2a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a－1)＝4，3b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(b－1)＝6，4c＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(c－1)＝8，則下列判斷正確的是()A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<bC．c<b<a D．c<a<b答案A解析由已知可得a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)＝2，b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(b)＝2，c＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(c)＝2，則a，b，c可分別看作直線y＝2－x和y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)的圖象的交點的橫坐標(biāo)，畫出直線y＝2－x和y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)的大致圖象，如圖所示，由圖象可知a<b<c.故選A.二、多項選擇題9．下列各式中成立的是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)))eq\s\up12(7)＝n7meq\s\up7(\f(1,7))(n>0，m>0)B．－eq\r(12,34)＝eq\r(3,－3)C.eq\r(\r(3,9))＝eq\r(3,3)D．[(a3)2(b2)3]－eq\f(1,3)＝a－2b－2(a>0，b>0)答案BCD解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)))eq\s\up12(7)＝eq\f(n7,m7)＝n7m－7(n>0，m>0)，故A錯誤；－eq\r(12,34)＝－3eq\s\up7(\f(4,12))＝－3eq\s\up7(\f(1,3))＝eq\r(3,－3)，故B正確；eq\r(\r(3,9))＝eq\r(\r(3,32))＝eq\r(3eq\s\up3(\f(3,2)))＝eq\r(3,3)，故C正確；[(a3)2(b2)3]eq\s\up7(-\f(1,3))＝(a6b6)eq\s\up7(-\f(1,3))＝a－2b－2(a>0，b>0)，故D正確．故選BCD.10．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)，下列說法正確的是()A．f(x)的圖象關(guān)于原點對稱B．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱C．f(x)的值域為(－1，1)D．?x1，x2∈R，且x1≠x2，eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)<0答案AC解析由f(－x)＝eq\f(3－x－1,3－x＋1)＝－eq\f(3x－1,3x＋1)＝－f(x)，可得函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以A正確；因為f(0)＝0，f(2)＝eq\f(4,5)，f(0)≠f(2)，所以B錯誤；設(shè)y＝eq\f(3x－1,3x＋1)，可得3x＝eq\f(1＋y,1－y)，所以eq\f(1＋y,1－y)>0，即eq\f(1＋y,y－1)<0，解得－1<y<1，即函數(shù)f(x)的值域為(－1，1)，所以C正確；f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)＝1－eq\f(2,3x＋1)為增函數(shù)，所以D錯誤．故選AC.三、填空題11．0.25eq\s\up7(-\f(1,2))－(－2×160)2×(2eq\s\up7(-\f(2,3)))3＋eq\r(3,2)×(4eq\s\up7(-\f(1,3)))－1＝________．答案3解析原式＝[(0.5)2]eq\s\up7(-\f(1,2))－(－2×1)2×2－2＋2eq\s\up7(\f(1,3))×2eq\s\up7(\f(2,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)－4×eq\f(1,4)＋2＝2－1＋2＝3.12．不等式10x－6x－3x≥1的解集為________．答案[1，＋∞)解析由10x－6x－3x≥1，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(x)≤1.令f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(x)，因為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(x)均為R上的減函數(shù)，則f(x)在R上單調(diào)遞減，且f(1)＝1，所以f(x)≤f(1)，所以x≥1，故不等式10x－6x－3x≥1的解集為[1，＋∞)．13．若函數(shù)f(x