河南省安陽市龍安高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

安陽市龍安高級中學(xué)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高二年級期中考試數(shù)學(xué)試卷命題人：審題人：本試卷共四大題，19小題，滿分150分，時間120分鐘注意事項：考生答題時將答題答在答題卡上，在本試題卷上答題無效。一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知點(diǎn)，，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.已知圓，則圓心的坐標(biāo)和半徑分別為（）A.， B.， C.， D.，3.若，，，則的值為（）A.3 B.4 C.7 D.154.設(shè)直線的方向向量為，兩個不同的平面，的法向量分別為，，則下列說法中錯誤的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則5.如圖，在空間四邊形中，設(shè)，分別是，的中點(diǎn)，則（）A. B. B. D.6.已知圓與圓，下列正確的是（）A.原點(diǎn)在圓外 B.原點(diǎn)在圓內(nèi) C.圓與圓相交 D.圓與圓相離7.如圖，四棱柱中，，，則的長為（）A. B.2 C. D.38.若直線與平行，則與間的距離為（）A. B. C. D.二、單項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列說法正確的是（）A.直線必過定點(diǎn)（2，4）B.直線在軸上的截距為1C.直線的傾斜角為D.過點(diǎn)（-2，3）且垂直于直線的直線方程為10.如圖，在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，是棱上的一個動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.平面截正方體所得截面為六邊形B.點(diǎn)到平面的距離為定值C.若，且，則為棱的中點(diǎn)D.直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為11.已知動點(diǎn)到原點(diǎn)與的距離之比為2，動點(diǎn)的軌跡記為，直線，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的方程為B.直線被截得的弦長為C.動點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為D.上存在三個點(diǎn)到直線的距離為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知向量，，且，則__________.13.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為__________.14.正三棱柱的側(cè)棱長為2，底面邊長為，是的中點(diǎn).在直線上求一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拈L為__________時，使.四、解答題（本題共5小題，共77分.）15.（13分）根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式.（1）斜率是，且經(jīng)過點(diǎn)；（2）經(jīng)過點(diǎn)（-1，2），且垂直于軸；（3）過點(diǎn)（1，3）且在兩坐標(biāo)軸上截距相等.16.（15分）（1）求圓心在軸上，并且過原點(diǎn)和的圓的方程；（2）求圓關(guān)于直線對稱的圓的方程.17.（15分）如圖，在四棱錐中，，，平面，底面為正方形，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.18.（17分）已知圓，直線過點(diǎn).（1）若直線與圓相切，求直線的方程；（2）若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，求三角形的面積的最大值，并求此時直線的方程.19.（17分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（1）求證：平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

安陽市龍安高級中學(xué)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高二年級期中考試數(shù)學(xué)參考答案題號12345678910答案DCADACCBADBCD題號11答案BD1.D【分析】利用，兩點(diǎn)坐標(biāo)可求得直線的斜率，再由斜率與傾斜角之間的關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】由，可得直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，可得，所以.故選：D2.C【分析】根據(jù)圓一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化即可求解.【詳解】由題意知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心坐標(biāo)為（-3，1），半徑.故選：C3.A【分析】應(yīng)用向量線性運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)表示求的值.【詳解】由題設(shè)，則.故選：A4.D【分析】利用空間向量判定空間位置關(guān)系即可.【詳解】對于A，若兩個平面的法向量互相垂直，則兩個平面垂直，即A正確；對于B，若兩個不同的平面的法向量互相平行，則兩個平面互相平行，即B正確；對于C，若一直線的方向向量與一平面的法向量平行，則該直線垂直于該平面，即C正確；對于D，若一直線的方向向量與一平面的法向量垂直，則該直線平行于該平面或者在該面內(nèi)，即D錯誤.故選：D5.A【分析】根據(jù)平面向量的平行四邊形法則和三角形加法運(yùn)算法則即可得出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)平面向量的平行四邊形法則，可得，再由平面向量的三角形加法法則，得出：.故選：A.6.C【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，則，有，所以圓與圓相交.故選：C.7.C【詳解】由向量加法的幾何意義可得，再應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律有，即可求的長.【分析】由，所以，故.故選：C8.B【分析】由兩直線平行的判定有且求參數(shù)，應(yīng)用平行線距離公式求與間的距離.【詳解】直線與平行，且，解得，，.直線與間的距離.故選：B.9.AD【分析】求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷A選項；利用斜截式方程可判斷B選項；求出直線的傾斜角，可判斷選項；求出過點(diǎn)（-2，3）且垂直于直線的直線方程，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，直線方程可化為，由可得，所以，直線必過定點(diǎn)，A對；對于B選項，直線方程可化為，故直線在軸上的截距為，B錯；對于C選項，直線的斜率為，該直線的傾斜角為，C錯；對于D選項，過點(diǎn)（-2，3）且垂直于直線的直線方程可設(shè)為，則，可得，所以，過點(diǎn)（-2，3）且垂直于直線的直線方程為，D對.故選：AD.10.BCD【分析】利用平行線的傳遞性與平行線共面判斷A，利用線面平行的判定定理判斷B，利用空間向量推得，，，四點(diǎn)共面，結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理判斷C，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求得線面角的取值范圍判斷D，從而得解.【詳解】對于，連接，在正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，所以，，，，所以，，則平面與平面為同一平面，所以平面截正方體所得截面為平面，為四邊形，故A錯誤；對于B，在正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，又點(diǎn)是棱上的一個動點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，故B正確；對于，連接，，，，因?yàn)椋?，所以，，，四點(diǎn)共面，因?yàn)樵谡襟w中，平面平面，又平面平面，平面平面，所以，在正方體中，，，所以四邊形是平行四邊形，則，則，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以為棱的中點(diǎn)，故C正確；對于D，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，因?yàn)?，所以，則，所以，所以直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為，故D正確.故選：BCD.11.BD【分析】根據(jù)到兩定點(diǎn)的距離之比為定值可以求出圓的方程，再根據(jù)弦長公式求出弦長，最后結(jié)合優(yōu)弧劣弧上的點(diǎn)到直線的距離取值范圍確定取值范圍為定值的點(diǎn)的個數(shù).【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)閯狱c(diǎn)到原點(diǎn)與的距離之比為2，所以，解得，對于A：由上面結(jié)論可知，A錯誤；對于B：圓心到直線的距離，所以弦長，B正確；對于C：由B知圓心到直線的距離為1，所以點(diǎn)到直線的距離為，C錯誤；對于D：由B知圓心到直線的距離為1，所以劣弧上的點(diǎn)到直線的距離為，有且只有一個點(diǎn)到直線的距離為，優(yōu)弧上的點(diǎn)到直線的距離為，所以有2個點(diǎn)到直線的距離為，所以一共存在三個點(diǎn)到直線的距離為，所以D正確，故選：BD12.答案：-21解析：向量，，且，則，解得，，故.故答案為：-21.13.異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：14.【分析】根據(jù)正三柱性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，，由正三棱柱性質(zhì)可得，，，因此以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：易知，，，設(shè)的長為，且，可得；易知，若，則，解得，所以當(dāng)?shù)拈L為時，使.故答案為：15.（1）（2）（3）或.【詳解】（1）由點(diǎn)斜式得直線方程為，即.（2）（3）當(dāng)直線截距不為0時，由直線的截距式方程，設(shè)求直線方程為，代入（1，3）得，所以直線方程為，當(dāng)直線截距為0，即直線過原點(diǎn)時，直線方程為，化為一般式為，綜上直線的方程為或.16.（1）（2）【分析】（1）利用待定系數(shù)法計算即可求解；（2）求出已知圓的圓心關(guān)于對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求圓的方程.【詳解】（1）設(shè)圓方程：，由已知，解得，圓的方程為.（2）設(shè)圓的圓心關(guān)于關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為（m，n），則，解得，即所求圓的圓心為（2，2），故所求圓的方程為.17.（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）利用中位線定理證明，然后由線面平行的判定定理證明即可；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角公式求解即可；（3）求出的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到平面距離的向量公式求解即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，故平面；（2）由于平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為；（3）因?yàn)椋制矫娴姆ㄏ蛄繛?，所以點(diǎn)到平面的距離為.18.（1）或；（2）或【分析】（1）先考慮直線斜率不存在時是否滿足要求，再考慮直線斜率存在時，利用圓心到直線距離求出直線的方程；（2）方法一：設(shè)出直線方程，利用垂徑定理得到的面積函數(shù)，由均值不等式的結(jié)論可得面積的最大值及此時直線的方程；方法二：利用三角形面積公式表達(dá)出，得到當(dāng)時，取最大值2，此時點(diǎn)到的距離為，利用點(diǎn)到直線距離求出直線斜率，得到此時直線的方程.【詳解】由可得：所以圓心的圓心坐標(biāo)為（3，4），半徑為2；（1）①若直線的斜率不存在，則直線，符合題意；②若直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，由題意知，圓心（3，4）到已知直線的距離等于半徑2，即，解得，所求直線的方程是或；（2）方法一：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設(shè)直線方程為，則圓心到直的距離，又三角形面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，三角形的面積的最大值為2，由，有，或，此時直線方程為，或.方法二：，當(dāng)時，取最大值2，此時點(diǎn)到的距離為，設(shè)，由，解得或，故所求直線的方程為或.19.（1）證明見解析（2）存在，.【分析】（1）由面面垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到，結(jié)合得到線面垂直；（2）設(shè)，，，求出平面的法向量，平面的法向量，利用面面角的余弦值得到方程，求出，得到答案.【詳解】（1）∵平面平面