第5課時基本不等式

第5課時基本不等式編寫：廖云波【回歸教材】1.基本不等式如果，那么，當且僅當時，等號成立．其中，叫作的算術(shù)平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．2.幾個重要的不等式（1）基本不等式：如果，則(當且僅當“”時取“”).特例：（同號）.（2）其他變形：①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)④重要不等式串：即3.均值定理已知.（1）如果(定值)，則(當且僅當“”時取“=”).即“和為定值，積有最大值”.（2）如果(定值)，則(當且僅當“”時取“=”).即積為定值，和有最小值”.4.常見求最值模型模型一：，當且僅當時等號成立；模型二：，當且僅當時等號成立；模型三：，當且僅當時等號成立；模型四：，當且僅當時等號成立.【典例講練】題型一利用基本不等式求最值【例11】對勾函數(shù)求下列函數(shù)的最值（1）已知，則函數(shù)的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】由于，需要構(gòu)造函數(shù)，才能運用基本不等式.【詳解】因為，所以，,當且僅當，即時，等號成立.故當時，取最大值，即.故答案為：3.（2）已知，則函數(shù)的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】由于，需要構(gòu)造函數(shù)，才能運用基本不等式.【詳解】因為，所以，當且僅當，即時，等號成立.故當時，取最小值，即.故答案為：3.（3）已知，則函數(shù)的最小值為___________.【答案】【例12】最值定理（1）已知，則取得最大值時的值為________．【答案】

【解析】【分析】（1）積的形式轉(zhuǎn)化為和的形式，利用基本不等式求最值，并要檢驗等號成立的條件；【詳解】解：（1），當且僅當，即時，取等號．故答案為：.（2）若x，y為實數(shù)，且，則的最小值為（

）A．18 B．27 C．54 D．90【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式可得答案．【詳解】由題意可得，當且僅當時，即等號成立.故選：C．【例13】“1”的妙用（1）若正實數(shù)滿足，則的最小值為___________.【答案】##【解析】【分析】用“1”的代換湊配出定值后用基本不等式求得最小值．【詳解】，當且僅當時，即時，的最小值為.故答案為：.（2）已知，，且，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】將目標式中4代換成，展開由基本不等式可得.【詳解】因為所以當且僅當，即時，取等號，所以的最小值為.故答案為：【例14】分離常數(shù)法當時，函數(shù)的最小值為___________．【答案】【解析】【分析】將函數(shù)解析式變形為，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因為，則，則，當且僅當時，等號成立，所以，當時，函數(shù)的最小值為.故答案為：.【例15】換元法已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用換元法和基本不等式即可求解.【詳解】令，，則，即，∴，當且僅當，即，時，等號成立，故選：A.【例16】消元法已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A．2 B． C． D．6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)變形得，進而轉(zhuǎn)化為，用湊配方式得出，再利用基本不等式即可求解.【詳解】由，得，所以，當且僅當，即取等號.故選：B.【例17】一元二次不等式法已知，，，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】由，可推出，而，代入所得結(jié)論即可．【詳解】解：，，即，當且僅當，即或時，等號成立，，，的最大值為．故答案為：．【例18】拆項法是不同時為0的實數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】對原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.【詳解】因為a，b均為正實數(shù)，則，當且僅當，且取等，即取等號，即則的最大值為，故選：A．歸納總結(jié)：【練習(xí)11】（1）已知，求函數(shù)的值域；（2）已知，，且，求：的最小值．【答案】（1）；（2）18．【解析】【分析】（1）設(shè)，得到，且，化簡，結(jié)合基本不等式（對勾函數(shù)法），即可求解；（2）由，得到，化簡，結(jié)合基本不等式（“1”的妙用），即可求解.【詳解】（1）設(shè)，因為，可得，且，故，因為，可得，當且僅當時，即時，等號成立．所以函數(shù)的值域為．（2）由，可得，即，則．當且僅當，即且時，等號成立，所以的最小值為．【練習(xí)12】已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用乘1法即得.【詳解】∵，∴，當且僅當,即，時，取等號.故選：C.【練習(xí)13】已知對任意正實數(shù)，，恒有，則實數(shù)的最小值是___________.【答案】2【解析】【分析】證明，由，即，結(jié)合基本不等式求出，即可得出答案.【詳解】解：因為，則，則，即，又，因為，所以，所以，即，當且僅當時，取等號，所以，所以，即實數(shù)的最小值是2.故答案為：2.【練習(xí)14】已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】由基本不等式得出關(guān)于的不等式，解之可得．【詳解】由已知，當且僅當時等號成立，所以，，又，所以，即的最小值是4，此時．故選：C．【練習(xí)15】設(shè)，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】法一：設(shè)，進而將問題轉(zhuǎn)化為已知，求的最大值問題，再根據(jù)基本不等式求解即可；法二：由題知進而根據(jù)三角換元得，再根據(jù)三角函數(shù)最值求解即可.【詳解】解：法一：（基本不等式）設(shè)，則，條件，所以，即.故選：D.法二：（三角換元）由條件，故可設(shè)，即，由于，，故，解得所以，，所以,當且僅當時取等號.故選：D.題型二求數(shù)、式的范圍【例21】若正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，則(1)ab的取值范圍是__；(2)a＋b的取值范圍是____．【答案】（1）_[9，＋∞)（2）[6，＋∞)[解析](1)∵ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab)＋3，令t＝eq\r(ab)>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0．∴t≥3即eq\r(ab)≥3，∴ab≥9，當且僅當a＝b＝3時取等號．(2)∵ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3≤(eq\f(a＋b,2))2．今t＝a＋b>0，∴t2－4t－12≥0，∴(t－6)(t＋2)≥0．∴t≥6即a＋b≥6，當且僅當a＝b＝3時取等號．【例22】已知，，當時，不等式恒成立，則的取值范圍是?！敬鸢浮俊窘馕觥恳驗椋?，，所以.因為不等式恒成立，所以，整理得，解得，即.歸納總結(jié)：【練習(xí)21】若，，且，則的最小值為（

）A．9 B．16 C．49 D．81【答案】D【解析】【分析】由基本不等式結(jié)合一元二次不等式的解法得出最小值.【詳解】由題意得，得，解得，即，當且僅當時，等號成立．故選：D題型三證明不等式【例31】（1）設(shè)且．證明：；（2）已知為正數(shù)，且滿足．證明：【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）將展開可得，由題意可得，，都不為，則即可求證；（2）利用基本不等式可得，三式相加，結(jié)合，可得結(jié)論【詳解】（1）因為，所以，因為，所以，，都不為，則，所以.（2）因為a，b，c為正數(shù)，，所以，所以，因為，所以，當且僅當時取等號，即【例32】設(shè)，為正實數(shù)，求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】利用基本不等式計算可得；【詳解】解：因為，為正實數(shù)，所以，，，當且僅當時取等號，所以，即，當且僅當時取等號；歸納總結(jié)：【練習(xí)31】設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)基本不等式得到三個同向不等式，再相加即可得證；（2）根據(jù)均值不等式可證不等式成立.(1)因為，當且僅當時，等號成立，，當且僅當時，等號成立，，當且僅當時，等號成立，所以，即，即，當且僅當時，等號成立.(2)因為,所以，當且僅當時，等號成立，即，即，所以，當且僅當時，等號成立.題型四實際應(yīng)用【例41】在中，角所對的邊分別為，已知，且的面積，則周長的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由已知利用三角形的面積公式可求的，進而可得，，由余弦定理，基本不等式可求，根據(jù)三角形的周長即可求解其最大值．【詳解】，即，又，解得，，又，由余弦定理可得：，，即當且僅當時取等號，則周長的最大值是，故選：B【例42】的外接圓半徑，角，則面積的最大值為（

）A． B． C．4 D．【答案】A【解析】【分析】由正弦定理得，進而結(jié)合余弦定理得，再根據(jù)基本不等式得，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可.【詳解】解：由正弦定理得，所以由余弦定理得：，所以，當且僅當時等號成立，所以，所以.故選：A【例43】春節(jié)期間，車流量較大，可以通過管控車流量，提高行車安全，在某高速公路上的某時間段內(nèi)車流量（單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：萬輛/小時）與汽車的平均速度（單位：千米/小時）、平均車長（單位：米）之間滿足的函數(shù)關(guān)系（），已知某種車型的汽車的平均速度為100千米/小時時，車流量為1萬輛/小時．(1)求該車型的平均車長；(2)該車型的汽車在該時間段內(nèi)行駛，當汽車的平均速度為多少時車流量達到最大值？【答案】(1)5(2)80千米/小時【解析】【分析】（1）依題意當時，，代入計算可得；（2）由（1）可得，利用基本不等式計算可得；(1)解：由題意：當時，，，．該車型的平均車長為5米．(2)解：由（1）知，函數(shù)的表達式為（）．，．當且僅當，即時取等號．故當汽車的平均速度為千米/小時時車流量達到最大值．歸納總結(jié)：【練習(xí)41】如圖，將一矩形花壇擴建成一個更大的矩形花壇，要求點在上，點在上，且對角線過點，已知，，那么當_______時，矩形花壇的面積最小，最小面積為______.【答案】

4

48【解析】【分析】設(shè)，則，則，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】解：設(shè)，則，則，則，當且僅當，即時等號成立，故矩形花壇的面積最小值為．即當時，矩形花壇的面積最小，最小面積為48.故答案為：4；48.【練習(xí)42】根據(jù)不同的程序，3D打印既能打印實心的幾何體模型，也能打印空心的幾何體模型．如圖所示的空心模型是體積為的球挖去一個三棱錐后得到的幾何體，其中，平面PAB，．不考慮打印損耗，求當用料最省時，AC的長．【答案】．【解析】【分析】用料最省時，即三棱錐體積最大，由垂直關(guān)系確定為球直徑，由球體積求得，設(shè)，表示出棱錐體積，由基本不等式得最大值．【詳解】解：設(shè)球的半徑為R，由球的體積，解得．因為平面PAB，與平面內(nèi)直線垂直，即，，．因為，，平面，所以平面ABC，而平面，所以．所以中點是球心，所以．由可知，AC為截面圓的直徑，故可設(shè)，在中，，在中，，所以．當且僅當，即時，等號成立．所以當用料最省時，．【練習(xí)43】在中，點P滿足，過點P的直線與AB，AC所在的直線分別交于點M，N，若，（，），則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形利用平面向量的線性運算與共線定理，結(jié)合基本不等式即可求得的最小值．【詳解】連接，如圖，中，，點滿足，,，，（，）,,因為，，三點共線，所以，，,所以=()()==，當且僅當,即時取“”，則的最小值為.故選：A.【請完成課時作業(yè)（五）】

【課時作業(yè)（五）】A組基礎(chǔ)題1．若、，且，則的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)基本不等式計算求解.【詳解】因為、，所以，即，所以，即，當僅當，即時，等號成立.故選：A.2．已知，，且，則的最小值為（

）A．8 B． C．9 D．【答案】C【解析】【分析】由題得，再利用基本不等式“1”的代換求最值.【詳解】因為，，，所以，∴，當且僅當取得等號，則的最小值為9.故選：C3．已知是圓上一點，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式計算可得；【詳解】解：因為，所以，即，所以，當且僅當時取等號（），要使盡可能大，則，依題意，所以，所以，當且僅當時取等號．故選：B4．設(shè)內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.若，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．3【答案】B【解析】【分析】由結(jié)合正弦定理可得，再利用余弦定理可求得，則可得，從而可求出面積的最大值【詳解】因為，所以由正弦定理可得，得，由余弦定理得，，所以，當且僅當時取等號，所以，所以，所以，當且僅當時取等號，所以面積的最大值為，故選：B5．已知雙曲線的一個焦點坐標為，當取最小值時，雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由焦點坐標可得，由，利用基本不等式取等條件可確定當取最小值時，由此可得雙曲線離心率.【詳解】由題意得：；（當且僅當時取等號），當取最小值時，雙曲線的離心率為.故選：C.6．若a，，，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式即可求解.【詳解】，當且僅當時，等號成立；又，當且僅當時，即，等號成立；，解得，，所以的最大值為故選：A7．若、、均大于0，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】注意,而,從而溝通了問題與已知的聯(lián)系,然后利用基本不等式求最值.【詳解】解：、、均大于0,當且僅當時取“=”,的最大值為.故選:C8．（多選題)設(shè)正實數(shù)m、n滿足，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為3 B．的最大值為1C．的最小值為2 D．的最小值為2【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式判斷．【詳解】因為正實數(shù)m、n，所以，當且僅當且m+n=2，即m=n=1時取等號，此時取得最小值3，A正確；由，當且僅當m=n=1時，mn取得最大值1，B正確；因為，當且僅當m=n=1時取等號，故≤2即最大值為2，C錯誤；，當且僅當時取等號，此處取得最小值2，故D正確.故選：ABD9．已知正實數(shù)、滿足，則的最小值為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)均值不等式及二次不等式的解法求解即可.【詳解】10．已知，若不等式恒成立，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)將分離出來，基本不等式求最值即可求解.【詳解】由得．又，當且僅當，即當時等號成立，∴，∴的最大值為．故答案為：11．已知，且，則的最小值為_____.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式可求最小值.【詳解】，而，當且僅當時等號成立，由可得或，故，當且僅當或等號成立，故的最小值為.故答案為：.12．能源是國家的命脈，降低能源消耗費用是重要抓手之一，為此，某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某建筑物準備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當年的物價，每厘米厚的隔熱層造價成本是9萬元人民幣.又根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間的每年的能源消耗費用（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：厘米）滿足關(guān)系：，經(jīng)測算知道，如果不建隔熱層，那么30年間的每年的能源消耗費用為10萬元人民幣.設(shè)為隔熱層的建造費用與共30年的能源消耗費用總和，那么使達到最小值時，隔熱層厚度__________厘米.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意解得參數(shù)的值，及函數(shù)的解析式，利用基本不等式求解函數(shù)的最小值即可.【詳解】解：由題意得，當時，，解得，又，所以，當且僅當，即時，等號成立.故答案為：.13．在中，角所對的邊分別為，已知.(1)求角的大??；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡，結(jié)合角度的范圍與正切函數(shù)值即可；（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式、三角形三邊的關(guān)系求解即可因為，所以，當且僅當時等號成立，即，解得或（舍去），即的最小值為4，當且僅當時等號成立.故答案為：4(1)∵，∴，即，∵，∴，∵，∴.(2)由余弦定理可知，代入可得，當且僅當時取等號，∴，又，∴的取值范圍是.B組能力提升能1．已知，，，且，則（

）A．有最大值 B．有最大值1 C．有最小值 D．有最小值1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，在同理得到其他不等式，將不等式相加化簡即可得出結(jié)論【詳解】，，有①當且僅當時等號成立

②當且僅當時等號成立

③