專題75三角恒等變換（精講精析篇）-新高考高中數(shù)學核心知識點全透視（原卷版）

專題7.5三角恒等變換（精講精析篇）一、核心素養(yǎng)1.結(jié)合拆角、配角方法，將兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等相結(jié)合，考查三角函數(shù)式的化簡求值或求角問題，凸顯邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．2．與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合考查三角恒等變換的應用，凸顯邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．二、考試要求1.和與差的三角函數(shù)公式(1)會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式.(2)能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式.(3)能利用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦、余弦、正切公式,導出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.2.簡單的三角恒等變換能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括導出積化和差、和差化積、半角公式,但對這三組公式不要求記憶).

三、主干知識梳理（一）兩角和與差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；T(α－β)：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).變形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)；.sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ，cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ，函數(shù)f(α)＝acosα＋bsinα(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)或f(α)＝eq\r(a2＋b2)cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一確定．（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；T2α：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).變形公式：降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)配方變形：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)21±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2,1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)（三）常見變換規(guī)律(1)角的變換：明確各個角之間的關(guān)系(包括非特殊角與特殊角、已知角與未知角)，熟悉角的變換技巧，及半角與倍角的相互轉(zhuǎn)化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(π,2)，eq\f(α,2)＝2×eq\f(α,4)等．(2)名的變換：明確各個三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系，常常用到同角關(guān)系、誘導公式，把正弦、余弦化為正切，或者把正切化為正弦、余弦．一、命題規(guī)律1.客觀題主要考查三角函數(shù)的定義，圖象與性質(zhì)，同角三角函數(shù)關(guān)系，誘導公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知識.2.解答題涉及知識點較為綜合．涉及三角函數(shù)圖象與性質(zhì)、三角恒等變換與解三角形知識較為常見.二、真題展示1．（2021·全國·高考真題（文））若，則（）A． B． C． D．2．（2021·浙江·高考真題）設函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在上的最大值.考點01兩角和與差的三角函數(shù)公式的應用【典例1】（2020·全國高考真題（文））已知，則（）A． B． C． D．【典例2】（2020·全國高考真題（理））已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=（）A．–2 B．–1 C．1 D．2【典例3】（2021·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學高三月考（理））已知，，則（）A． B． C． D．【典例4】（2018·全國高考真題（文））已知，則__________．【方法技巧】1.三角公式化簡求值的策略(1)使用兩角和、差及倍角公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號變化規(guī)律．例如兩角差的余弦公式可簡記為：“同名相乘，符號反”．(2)使用公式求值，應注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導公式的綜合應用．(3)使用公式求值，應注意配方法、因式分解和整體代換思想的應用．2.注意三角函數(shù)公式逆用和變形用的兩個問題(1)公式逆用時一定要注意公式成立的條件和角之間的關(guān)系．(2)注意特殊角的應用，當式子中出現(xiàn)eq\f(1,2)，1，eq\f(\r(3),2)，eq\r(3)等這些數(shù)值時，一定要考慮引入特殊角，把“值變角”構(gòu)造適合公式的形式．考點02二倍（半）角公式的運用【典例5】（2021·全國·高考真題（文））（）A． B． C． D．【典例6】（2019·全國高考真題（理））已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=（）A． B．C． D．【總結(jié)提升】1．運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練，準確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多種變形等．2．應熟悉公式的逆用和變形應用，公式的正用是常見的，但逆用和變形應用則往往容易被忽視，公式的逆用和變形應用更能開拓思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力，只有熟悉了公式的逆用和變形應用后，才能真正掌握公式的應用．提醒：在T(α＋β)與T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即保證tanα，tanβ，tan(α＋β)都有意義；若α，β中有一角是kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可利用誘導公式化簡．考點03三角函數(shù)恒等變換中“角、名、式”的變換【典例7】（2021·浙江省桐廬中學高一月考）已知，，則（）A． B． C． D．【典例8】（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三期中（理））值是（）A． B． C． D．【典例9】（2018屆河南省鄭州外國語學校高三第十五次調(diào)研）已知α∈[π4,π3],β∈[π2【典例10】（2018·浙江高考真題）已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β滿足sin（α+β）=，求cosβ的值．【總結(jié)提升】1.三角函數(shù)式的化簡遵循的三個原則(1)一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的變換，從而正確使用公式．(2)二看“名”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”或“弦化切”．(3)三看“形”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降冪”等．2.三角函數(shù)式化簡的方法(1)弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．(2)在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號中含有三角函數(shù)式時，一般需要升次，去掉根號．3.三角恒等式的證明方法(1)從等式的比較復雜的一邊化簡變形到另一邊，相當于解決化簡題目．(2)等式兩邊同時變形，變形后的結(jié)果為同一個式子．(3)先將要證明的式子進行等價變形，再證明變形后的式子成立．提醒：開平方時正負號的選取易出現(xiàn)錯誤，所以要根據(jù)已知和未知的角之間的關(guān)系，恰當?shù)匕呀遣鸱?，根?jù)角的范圍確定三角函數(shù)的符號．考點04三角恒等變換應用1.三角恒等變換在研究三角函數(shù)圖象和性質(zhì)中的應用先根據(jù)和角公式、輔助角公式、倍角公式等，把函數(shù)表達式變?yōu)檎倚秃瘮?shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式.2.由的圖象變換出的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換,利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少.途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將的圖象向左或向右平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?)，便得的圖象.途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換：先將的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?)，再沿軸向左()或向右()平移個單位，便得的圖象.注意：函數(shù)的圖象，可以看作把曲線上所有點向左(當時)或向右(當時)平行移動個單位長度而得到.3.函數(shù)性質(zhì)的綜合運用（1）的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.（2）對于和來說，對稱中心與零點相聯(lián)系，對稱軸與最值點聯(lián)系.的圖象有無窮多條對稱軸，可由方程解出；它還有無窮多個對稱中心，它們是圖象與軸的交點，可由，解得，即其對稱中心為．（3）若為偶函數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有.（4）的最小正周期都是.【典例11】（2021·四川·成都外國語學校高一月考（文））將函數(shù)，的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖像，若在上為增函數(shù)，則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【典例12】（2021·天津·靜海一中高三月考）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.（1）求的解析式.（2）求的最大值.（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的(縱坐標變)，得到函數(shù)的圖象，求的解析式.【總結(jié)提升】1.由的圖象求其函數(shù)式：已知函數(shù)的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點、最低點或特殊點求；由函數(shù)的周期確定；確定常根據(jù)“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置．2.利用圖象變換求解析式：由的圖象向左或向右平移個單位，，得到函數(shù)，將圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?)，便得，將圖象上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?)，便得.3.圖象的變換：由函數(shù)y＝sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象有兩種途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”，注意二者的“不同”之處．4.研究函數(shù)的性質(zhì)，要注意“復合函數(shù)”這一特征.考點05三角函數(shù)模型的應用

【典例13】如圖為一半徑為的水輪，水輪圓心距水面，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)圈，水輪上的點到水面距離（單位：）與時間（單位：）滿足關(guān)系式，則有（）A. B. C. D.【典例14】某港口一天內(nèi)的水深（米）是時間（，單位：時）的函數(shù)，下面是水深數(shù)據(jù)：（時）03691215182124（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.0據(jù)上述數(shù)據(jù)描成的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦型函數(shù)的圖象.（1）試根據(jù)數(shù)據(jù)和曲線，求出的解析式.（2）一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于米是安全的，如果某船的吃水度（船底與水面的距離）為米，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間？（忽略離港所用的時間）【總結(jié)提升】三角函數(shù)模型的應用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學問題；二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，建立數(shù)學模型再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題．鞏固提升1.（2021·全國·高考真題（文））函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（）A．和 B．和2 C．和 D．和22.（2020·阜新市第二高級中學高一期末）式子的值為()A． B．0 C．1 D．3．（2020·四川南充?高二期末（理））若，則（）A． B． C． D．4．（2021·北京·高考真題）函數(shù)是（）A．奇函數(shù)，且最大值為2 B．偶函數(shù)，且最大值為2C．奇函數(shù)，且最大值為 D．偶函數(shù)，且最大值為5．（2018·全國高考真題（文））已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有兩點，，且，則（）A． B．