第五節(jié)數(shù)學(xué)歸納法(要點(diǎn)歸納夯實(shí)基礎(chǔ)練)

第五節(jié)數(shù)學(xué)歸納法【要點(diǎn)歸納】數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵點(diǎn)1．驗(yàn)證是基礎(chǔ)：數(shù)學(xué)歸納法的原理表明：第一個(gè)步驟是要找一個(gè)數(shù)n0，這個(gè)n0，就是我們要證明的命題對(duì)象對(duì)應(yīng)的最小自然數(shù)，這個(gè)自然數(shù)并不一定都是“1”，因此“找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)”是第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)．2．遞推是關(guān)鍵：數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“k”到“k＋1”的過(guò)程中，要正確分析式子項(xiàng)數(shù)的變化．關(guān)鍵是弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，弄清由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)．3．利用假設(shè)是核心：在第二步證明n＝k＋1成立時(shí)，一定要利用歸納假設(shè)，即必須把歸納假設(shè)“n＝k時(shí)命題成立”作為條件來(lái)導(dǎo)出“n＝k＋1”，在書寫f(k＋1)時(shí)，一定要把包含f(k)的式子寫出來(lái)，尤其是f(k)中的最后一項(xiàng)，這是數(shù)學(xué)歸納法的核心．不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法．【夯實(shí)基礎(chǔ)練】1．(2022?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三九模)利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(，)的過(guò)程中，由到時(shí)，左邊增加了()A．1項(xiàng) B．k項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)【解析】當(dāng)時(shí)，不等式左邊的最后一項(xiàng)為，而當(dāng)時(shí)，最后一項(xiàng)為，并且不等式左邊分式每一項(xiàng)分母的變化規(guī)律是每一項(xiàng)比前一項(xiàng)加，所以增加了項(xiàng).故選：D【答案】D2．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，從到等式左邊需增添的項(xiàng)是()A．B．C．D．【解析】當(dāng)時(shí)，左邊，共個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加，當(dāng)時(shí)，左邊，所以從到，等式左邊需增添的項(xiàng)是.故選：C.【答案】C3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式()時(shí)，以下說(shuō)法正確的是()A．第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)時(shí)不等式成立B．從“到”左邊需要增加的代數(shù)式是C．從“到”左邊需要增加項(xiàng)D．從“到”左邊需要增加的代數(shù)式是【解析】第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)時(shí)不等式成立，所以不正確；因?yàn)?，所以從“到”左邊需要增加的代?shù)式是，所以不正確；所以從“到”左邊需要增加項(xiàng)，所以不正確.故選:D.【答案】D4．已知，證明不等式時(shí)，比多的項(xiàng)數(shù)是()A．項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．以上都不對(duì)【解析】因?yàn)?，，所以，所以比多的?xiàng)數(shù)是.故選：C.【答案】C5．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)從“”變到“”時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)是______________.【解析】當(dāng)時(shí)，等式為，當(dāng)時(shí)，等式為，因此，從“”變到“”時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)是.故答案為：.【答案】6．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：，驗(yàn)證時(shí)，等式左邊=________.【解析】用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)，在驗(yàn)證時(shí)，把當(dāng)代入，左端.故答案為：.【答案】.7．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．(1)計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；(2)求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．【解析】(1)由題意可得，，由數(shù)列的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即，證明如下：當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)時(shí)，成立.那么時(shí)，也成立.則對(duì)任意的，都有成立；(2)由(1)可知，，①，②由①②得：，即.【答案】(1)，，，證明見(jiàn)解析；(2).8．?dāng)?shù)列滿足.(1)計(jì)算，并猜想的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴；由此猜想；(2)證明：①當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，②假設(shè)