2022-2023學年六年級數(shù)學上冊典型例題之期末復習專題四長方體和正方體篇

20222023學年六年級數(shù)學上冊典型例題系列——期末復習特別篇期末復習專題四：長方體和正方體篇（解析版）編者的話：期末復習特別篇，它是在《20222023學年六年級數(shù)學上冊典型例題系列》的基礎(chǔ)上，結(jié)合常年考點考題總結(jié)與編輯而成的，主要分為期末專題復習篇、期末典例專項篇、期末題型專項篇、期末檢測卷四大部分。期末專題復習篇結(jié)合典型例題系列，統(tǒng)觀整冊內(nèi)容，按照篇目劃分為計算和應用部分，其優(yōu)點在于知識精煉，考題精準，練習精細。期末典例專項篇選取最高頻考點內(nèi)容、最重點難點內(nèi)容進行專項練習，按照難易程度和頻次高低進行編排，其優(yōu)點是內(nèi)容涵蓋廣泛，選題精準典型，各類考題豐富（部分專項選題較廣，建議選擇性使用）。期末題型專項篇選取具有易錯易混特點的高頻真題，按照期末試卷題型進行分類編輯，其優(yōu)點是理清脈絡(luò)，鞏固基礎(chǔ)，精細化練習。期末檢測卷依據(jù)歷年高頻考題真題進行變式測試，主要分為期末專項卷、期末模擬卷、期末壓軸卷。本專題是期末復習專題四：長方體和正方體篇篇，它包括長方體和正方體的認識、表面積、體積等內(nèi)容，考題綜合性強，部分考點難度較大，一共劃分為五大篇目，建議作為期末復習核心內(nèi)容進行講解，歡迎使用。【篇目一】長方體和正方體的棱長和?！局R總覽】一、長方體的認識。1.長方體的特征：注意：長方體的6個面都是長方形，特殊情況有兩個面是正方形。2.長方體的長、寬、高：相交于一個頂點的三條棱分別叫做長方體的長、寬、高。二、正方體的認識。1.正方體的特征：（1）正方體的6個面都是正方形，且大小完全相同。（2）正方體有12條棱，且正方體的12條棱長度都相等。2.正方體和長方體的關(guān)系：總結(jié)：正方體是特殊的長方體。三、長方體的棱長和。1.棱長和一般表示的是12條棱的長度之和。2.長方體的棱長和=4×長+4×寬+4×高=4×（長+寬+高）。3.根據(jù)棱長和公式反求長、寬、高。長=棱長和÷4寬高寬=棱長和÷4長高高=棱長和÷4長寬四、正方體的棱長和。1.正方體的棱長和=12×棱長2.反求棱長，棱長=棱長和÷12【典型例題1】長方體的棱長和。1.用鐵絲焊接一個長6厘米、寬5厘米、高4厘米的長方體框架，至少需要鐵絲()厘米。解析：602.一個長方體的棱長總和是80cm，其中長是10cm，寬是7cm，高是()cm。解析：80÷4－10－7＝20－10－7＝3（cm）3.小軍過生日，爸爸媽媽給他訂了一個長方體形狀的蛋糕。蛋糕盒的外面用彩帶進行了捆扎，接頭處長20厘米，一共用彩帶多少厘米？解析：40×2＋60×2＋30×4＋20＝80＋120＋120＋20＝200＋120＋20＝320＋20＝340（厘米）答：至少要用340厘米的絲帶捆扎這個禮品盒?！镜湫屠}2】正方體的棱長和。1.一個正方體的棱長是a厘米，棱長總和是()厘米。解析：12a2.一根長96厘米的鐵絲圍成一個正方體，這個正方體的棱長是()厘米。解析：83.媽媽給奶奶買了一件母親節(jié)禮物，她用絲帶把禮物按照下圖的方法捆扎，打結(jié)處需要45厘米。捆扎這個禮物一共需要多少厘米絲帶？解析：8×25＋45＝200＋45＝245（厘米）答：捆扎這個禮物一共需要245厘米絲帶?！镜湫屠}3】等長轉(zhuǎn)化問題。1.一個棱長6分米的正方體鋼塊，把它融化后鍛造成寬2.5分米，高3分米的長方體鋼條，能鍛造多長？解析：6×6×6÷（2.5×3）＝216÷7.5＝28.8（分米）答：能鍛造28.8分米長。2.用一根鐵絲圍成一個長方體，長是12分米，寬是8分米，高是4分米。如果用這根鐵絲改圍成一個正方體，那么這個正方體的棱長是多少分米？解析：（12＋8＋4）×4÷12＝24×4÷12＝8（分米）答：這個正方體的棱長是8分米?！酒慷块L方體和正方體的表面積?！局R總覽】一、長方體的表面積。1.長方體的表面積=2×（長×寬+長×高+寬×高），用字母表示為S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。2.已知表面積，反求長、寬、高：方程法。二、正方體的表面積。正方體的表面積=6×棱長×棱長，用字母表示為：S=6a2。三、長方體和正方體的棱長擴倍問題。1.如果正方體的棱長擴大到原來的n倍，那么它的表面積就擴大到原來的n2倍。2.如果長方體的長、寬、高同時擴大到原來的n倍，那么它的表面積就擴大到原來的n2倍，體積就會擴大倍數(shù)的立方倍?！镜湫屠}1】長方體的表面積。1.一節(jié)長方體的通風管長是3分米，寬是2分米，高是8分米。做一節(jié)這樣的通風管至少需要多大的鐵皮？解析：3×2×2＋2×8×2＝12＋32＝44（平方分米）答：做一節(jié)這樣的通風管至少需要44平方分米的鐵皮。2.一個長方體的表面積是242平方厘米，它的寬是7厘米，高是3厘米。那么，聰明的你知道這個長方體的長是多少厘米嗎?解析：方法一：用算術(shù)方法求解∶（242÷221）÷（7+3）=10。方法二：用方程求解∶解：設(shè)長為c厘米，那么根據(jù)表面積公式可得出如下的方程：2×（21+7×x+3×x）=242解方程可得：x=10答：這個長方體的長是10厘米。3.下圖是長方體盒子的展開圖，原來長方體盒子的表面積是多少平方米？解析：高：8－5＝3（米）長：（20－3×2）÷2＝（20－6）÷2＝14÷2＝7（米）寬：8－3×2＝8－6＝2（米）（7×2＋7×3＋2×3）×2＝（14＋21＋6）×2＝41×2＝82（平方米）答：原來長方體盒子的表面積是82平方米?！镜湫屠}2】正方體的表面積。1.一個玻璃魚缸的形狀是正方體，棱長5分米，制作這個魚缸至少需多少平方分米的玻璃？解析：5×5×5＝25×5＝125（平方分米）答：制作這個魚缸至少需要125平方分米的玻璃。2.一個正方體的表面積是150平方分米，它的棱長是（）分米。解析：5。【典型例題3】棱長擴倍問題。1.正方體的棱長擴大到原來的3倍，它的表面積擴大到原來的（）倍。A.3B.9C.12D.27解析：B2.一個長方體的長、寬、高分別是3厘米、2厘米、1厘米，把它的長、寬、高都擴大至原來的2倍，它的表面積擴大為原來的多少倍?解析：4倍。3.長、寬、高各擴大2倍，體積就會擴大到原來的（）倍。解析：8【典型例題4】不規(guī)則立體圖形的表面積。1.把一個棱長為3分米的正方體木塊至上而下（如圖）切去一個長方體，剩下木塊的表面積是多少？解析：3×3×6－1×1×2＋3×1×2＝54－2＋6＝58（平方分米）答：剩下部分的表面積是58平方分米。2.求下面幾何形體的表面積。（單位：厘米）解析：5×5×6＋5×2×4＝25×6＋10×4＝150＋40＝190（平方厘米）【篇目三】表面積增減變化問題?！局R總覽】表面積的增減變化問題主要有三種，一種是切片問題，表面積會相應增加，一種是拼接問題，表面積會相應減少，一種是高的變化引起的表面積變化。一、切片問題。1.切一刀增加兩個切面，沿著不同的方向切，多出的表面積一般是不一樣的，其中正方體比較特殊，它的表面積的增減變化都是都是正方形在進行變化，相對比較簡單。2.刀數(shù)×2=切面?zhèn)€數(shù)。二、拼接問題。1.長方體或正方體的拼接會使表面積減少，兩個正方體的拼接，有兩個重合面，會減少兩個正方形的面積，同理，三個正方體的拼接會減少四個正方形的面積，與切片問題類似，可以先判斷刀數(shù)，再根據(jù)刀數(shù)去推正方形的個數(shù)，但是長方體的拼接要根據(jù)不同的拼接面來判斷具體減少的面積。2.段數(shù)1=刀數(shù)；刀數(shù)×2=切面?zhèn)€數(shù)。三、高的變化問題。1.正方體高的變化，即棱長的增減變化，會引起正方體側(cè)面積的增減變化。2.長方體高的變化，會引起長方體側(cè)面積的增減變化，長方體的側(cè)面指的是前后左右四個面?！镜湫屠}1】切片問題。1.把一個長12厘米，寬和高都是4厘米的長方體，分割成棱長4厘米的正方體，表面積比原來增加了多少？解析：4×4×4＝16×4＝64（平方厘米）答：表面積比原來增加了64平方厘米。2.把一個棱長是2cm的正方體切成兩個完全一樣的長方體后，表面積比原來增加了（）平方厘米，每個小長方體的表面積是（）平方厘米。解析：8；163.一根長1米的長方體木料鋸成2段后，表面積增加了6平方分米。這根木料的體積是多少立方分米？如果每立方分米木料重1.5千克，這根木料重多少千克？解析：1米＝10分米6÷2×10＝3×10＝30（立方分米）1.5×30＝45（千克）答：這根木料的體積是30立方分米，這根木料重45千克。【典型例題2】高的變化問題。1.如果一個長方體的高減少4分米后，表面積就減少了1600平方厘米，這時正好變成了一個正方體，原長方體的體積是多少？解析：減少的面的寬（剩下正方體的棱長）1600÷4÷40＝400÷40＝10（厘米）原來長方體的高：10＋40＝50（分米）原來的體積：10×10×50＝100×50＝5000（立方厘米）答：原長方體的體積是5000立方厘米。2.一個正方體的底面周長是40厘米，如果把它的高增加3厘米，則表面積比原來增加多少平方厘米？解析：根據(jù)題意可知，增加的面為前后、左右四個面，根據(jù)棱長＝底面周長÷4求出棱長，再根據(jù)“表面積增加的數(shù)量＝棱長×增加的高度×4”，解答即可。40÷4＝10（厘米）10×3×4＝30×4＝120（平方厘米）3.一個長方體（如圖），如果高增加4厘米，就變成了棱長是10厘米的正方體。體積增加了多少立方厘米？解析：10×10×10－10×10×（10－4）＝1000－100×6＝1000－600＝400（立方厘米）答：體積增加了400立方厘米?！酒克摹块L方體和正方體的體積?！局R總覽】一、體積及容積單位。1.容積：容積是指物體所能容納物體的體積大小，常見的容積單位有：升（L）、毫升（mL）。2.體積：體積是指物體本身所占空間的大小，常見的體積單位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相當于一個手指尖的體積。3.由于測量方法的不同，體積一般大于容積。4.體積及容積單位進率：1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。二、長方體的體積。1.長方體的體積=長×寬×高，用字母表示V=abh。2.長=體積÷寬÷高，a=V÷b÷h。3.寬=體積÷長÷高，b=V÷a÷h。4.高=體積÷長÷寬，h=V÷a÷b。三、正方體的體積。正方體的體積=棱長×棱長×棱長，用字母表示V=a×a×a=a3。【典型例題1】單位換算。單位換算。()m2＝520dm2＝()cm2

3.6L＝()mL＝()cm3=()dm3解析：5.2；52000；3600；3600；3.6【典型例題2】長方體的體積。1.某工地運來9.6立方米的沙子，鋪在一個長6米、寬2.5米的沙坑里，可以鋪多厚？解析：9.6÷6÷2.5＝0.64（米）答：可以鋪0.64米。2.學校要砌一道長20米、寬2.4分米、高2米的墻，每立方米需要525塊磚，學校需要買多少塊磚？解析：2.4分米＝0.24米20×0.24×2＝4.8×2＝9.6（立方米）525×9.6＝5040（塊）答：學校需要買5040塊磚。3.一塊長、寬的長方形鐵皮（如下圖），從四個角各切掉一個邊長的正方形，然后做成盒子。（1）這個盒子用了多少平方厘米的鐵皮？（2）它的容積是多少？解析：

（1）80×40－10×10×4＝3200－400＝2800（平方厘米）答：這個盒子用了2800平方厘米的鐵皮。（2）（立方厘米）答：它的容積是12000立方厘米?！镜湫屠}3】正方體的體積。一個正方體玻璃容器的棱長是15厘米，體積是多少立方厘米？解析：15×15×15＝225×15＝3375（立方厘米）答：體積是3375立方厘米?！镜湫屠}4】等積變化問題。1.一個正方體實心鐵塊的棱長總和是48分米，現(xiàn)將它熔鑄成一個底面積是32平方分米的實心長方體鐵塊，熔鑄成的實心長方體鐵塊的高是多少分米？解析：48÷12＝4（分米）4×4×4÷32＝16×4÷32＝64÷32＝2（分米）答：熔鑄成的實心長方體鐵塊的高是2分米。2.一個正方體玻璃缸，棱長6分米，用它裝滿水，再把水全部倒入一個底面積為30平方分米，高為10分米的長方體水槽中，水深多少？解析：6×6×6÷30＝216÷30＝7.2（分米）答：水深7.2分米。3.如下圖所示，密閉的容器中裝有5厘米深的水。如果以這個容器的右側(cè)面為底面把容器豎起來，這時水深多少厘米？解析：30×10×5÷（10×15）＝300×5÷150＝1500÷150＝10（厘米）答：這時水深10厘米。【篇目五】排水法與不規(guī)則立體圖形。【知識總覽】一、排水法。形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積。排水法的公式：V物體=V現(xiàn)在－V原來也可以V物體=S×(h現(xiàn)在h原來)V物體=S×h升高二、溢水問題。物體完全浸沒在水中，如果物體的體積超過空白部分的體積，就會溢出，求溢出部分的體積需要用物體的體積減去空白部分的體積。三、不規(guī)則及組合立體圖形的體積。求不規(guī)則及組合立體圖形的體積，往往采用加法或減法的方式解決，即將各部分立體圖形的體積相加或用圖形整體的體積減去空白部分的體積?！镜湫屠}1】排水法與溢水問題。1.在一個底面長20厘米，寬15厘米的長方體水箱中，水面高度為10厘米，一塊石頭后水面上升到14厘米。這塊石頭的體積是多少？解析：20×15×（14－10）＝300×4＝1200（立方厘米）答：這塊石頭的體積是1200立方厘米。2.一個長為25厘米，寬為18厘米的長方形玻璃缸，水