專題06 三角恒等變換與解三角形（知識梳理+考點(diǎn)精講精練+實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練）

專題06三角恒等變換與解三角形目錄TOC\o"1-2"\h\u明晰學(xué)考要求 1基礎(chǔ)知識梳理 1考點(diǎn)精講講練 3考點(diǎn)一：利用三角恒等變換公式求值 3考點(diǎn)二：三角恒等變換與三角函數(shù)綜合 4考點(diǎn)三：利用正余弦定理解三角形 5考點(diǎn)四：正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用 6實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練 7明晰學(xué)考要求1、了解兩角和與差的余弦、正弦、正切公式的推導(dǎo)過程；2、能利用兩角差與和的余弦、正弦、正切公式進(jìn)行求值、計(jì)算；3、能利用余弦、正弦、正切的二倍角公式求值、計(jì)算；4、了解正弦定理，能利用正弦定理解三角形；5、了解余弦定理，能利用余弦定理解三角形；6、能利用正弦定理、余弦定理解決簡單的實(shí)際問題.基礎(chǔ)知識梳理1、兩角和與差的余弦、正弦、正切公式（1）兩角和與差的余弦公式：簡記公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；（2）兩角和與差的正弦公式簡記公式S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβS(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ（3）兩角和與差的正切公式簡記符號公式使用條件T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)α，β，α＋β均不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)T(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)α，β，α－β均不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)2、二倍角公式（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式記法公式S2αsin2α＝2sinαcosαC2αcos2α＝cos2α－sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1T2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)（2）注意余弦的二倍角公式的逆用：1-2sin2α=cos2α，2cos2α-1=cos2α，1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α等.3、輔助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ).其中tanφ＝eq\f(b,a)，φ所在象限由a和b的符號確定.4、正弦定理（1）正弦定理：三角形的各邊與它所對角的正弦的比相等，即在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC的外接圓的半徑).（2）正弦定理變形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).5、余弦定理（1）余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.（2）推論：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).考點(diǎn)精講講練考點(diǎn)一：利用三角恒等變換公式求值【典型例題】例題1．（2024高二上·江蘇揚(yáng)州·學(xué)業(yè)考試）化簡，得（

）A． B． C． D．例題2．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）已知，則（

）A． B． C． D．例題3．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）在中，已知，則（

）A． B． C． D．例題4．（2024高三上·江蘇南京·學(xué)業(yè)考試）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【即時演練】1．（

）A． B． C．1 D．22.的值是（

）A． B． C． D．3．（2024江蘇省揚(yáng)州市學(xué)業(yè)水平考試模擬）已知，且，則的值為（）A．-7 B．7 C．1 D．-14.已知角是第一象限角，，則（）A． B．C． D．考點(diǎn)二：三角恒等變換與三角函數(shù)綜合【典型例題】例題1．（2024·江蘇省揚(yáng)州市學(xué)業(yè)水平考試模擬）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．例題2．函數(shù)的最大值是（

）A．1 B． C． D．例題3．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的最大值為4，則正實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．2 C．或2 D．2或【即時演練】1．函數(shù)，的最大值為（

）A． B． C． D．2．若函數(shù)的最大值為，則，的一個對稱中心為3.已知函數(shù).(1)求的值；(2)設(shè)，求的單調(diào)遞增區(qū)間.考點(diǎn)三：利用正余弦定理解三角形【典型例題】例題1．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）在中，邊長，則邊長（

）A． B． C． D．例題2．（2023·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）在中，若，則（

）A． B． C． D．例題3．（2024高三上·江蘇南京·學(xué)業(yè)考試）在中，且均為整數(shù)，D為AC中點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．1例題4．（2024·江蘇省揚(yáng)州市學(xué)業(yè)水平考試模擬）ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，已知.（1）求B；（2）若的周長為的面積.【即時演練】1．在中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B． C． D．2.在中，內(nèi)角所對的邊分別是．若，，則的面積是（

）A． B． C． D．3．在中，已知(1)求角(2)若，求邊的取值范圍.考點(diǎn)四：正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用【典型例題】例題1．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）已知兩座燈塔和與海洋觀察站的距離都等于，燈塔在觀察站的北偏東，燈塔在觀察站的南偏東，則燈塔與燈塔的距離為（）A． B． C． D．例題2．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）兩游艇自某地同時出發(fā)，一艇以的速度向正北方向行駛，另一艇以的速度向北偏東（）角的方向行駛.若經(jīng)過，兩艇相距，則（

）A． B． C． D．例題3．為了測量一座底部不可到達(dá)的建筑物的高度，復(fù)興中學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如下測量方案：如圖，設(shè)A，B分別為建筑物的最高點(diǎn)和底部．選擇一條水平基線HG，使得H，G，B三點(diǎn)在同一直線上，在G，H兩點(diǎn)用測角儀測得A的仰角分別是和，，測角儀器的高度是h．由此可計(jì)算出建筑物的高度AB，若，則此建筑物的高度是（

）A． B． C． D．【即時演練】1．某飛機(jī)在空中沿水平方向飛行，飛行至處飛行員觀察地面目標(biāo)測得俯角為30°，繼續(xù)飛行800（單位：米）至處觀察目標(biāo)測得俯角為60°．已知在同一個鉛垂平面內(nèi)，則該飛機(jī)飛行的高度為（

）A．400 B． C．800 D．2.如圖，一艘船向正北航行，航行速度為每小時30海里，在A處看燈塔S在船的北偏東的方向上．1小時后，船航行到B處，在B處看燈塔S在船的北偏東的方向上，則船航行到B處時與燈塔S的距離為（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里3．如圖，在鐵路建設(shè)中需要確定隧道的長度，已測得隧道兩端的兩點(diǎn)到某一點(diǎn)的距離分別是，及，則兩點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．實(shí)戰(zhàn)能考點(diǎn)精講講練力訓(xùn)練1.若，則（

）A． B． C．1 D．2.的內(nèi)角的對邊分別為，c．若，．，則等于（

）A． B． C． D．3.已知，則（

）A． B． C． D．4.如圖，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于，燈塔A在觀察站C的北偏東的方向，燈塔B在觀察站C的南偏東的方向，則燈塔A與燈塔B間的距離為（

）A． B． C． D．5.中，角，，，的對邊分別為，，，若，，，則（

）A． B． C． D．6.已知，，則的值為（

）A． B．1 C． D．7.已知中，，其中A，B，C為的內(nèi)角，a，b，