2021年新教材高中數(shù)學(xué)第8章 學(xué)案新人教A版必修第二冊(cè)

第八章立體幾何初步

8.1基本立體圖形

第1課時(shí)棱柱、棱錐、棱臺(tái)

［目標(biāo)］1.記住棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義及結(jié)構(gòu)特征；2.理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)之間的

關(guān)系；3.能用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義及結(jié)構(gòu)特征解答一些簡(jiǎn)單的有關(guān)問(wèn)題.

［重點(diǎn)］棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義及結(jié)構(gòu)特征.

［難點(diǎn)］棱柱、棱錐、棱臺(tái)之間關(guān)系的理解.

要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)一空間幾何體

［填一填1

1.空間幾何體的定義

空間中的物體都占據(jù)著空間的一部分，如果只考慮這些物體的續(xù)和大小，而不考慮

其他因素，那么由這些物體抽象出來(lái)的空間圖形就叫做空間幾何體.

2.空間幾何體的分類

(1)多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個(gè)鈕彪

叫做多面體的面：兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共息叫做多面體的頂點(diǎn).

(2)旋轉(zhuǎn)體：一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定亙線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面

叫做旋轉(zhuǎn)面,封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做施技體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.

［答一答］

I.多面體與旋轉(zhuǎn)體的主要區(qū)別是什么？

提示：多面體是由多個(gè)多邊形圍成的幾何體，旋轉(zhuǎn)體是由平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而形成的

幾何體.

2.多面體最少有幾個(gè)面，幾個(gè)頂點(diǎn)，幾條棱？

提示：多面體最少有4個(gè)面、4個(gè)頂點(diǎn)和6條棱.

知識(shí)點(diǎn)二棱柱的結(jié)構(gòu)特征

［填一填］

I.有兩個(gè)面互相亞，其余各面都是四邊形,并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相

平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.在棱柱中，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面,

它們是全等的多邊形:其余各面叫做棱柱的側(cè)向,它們都是平行四邊形；相鄰側(cè)面的公共邊

叫做棱柱的側(cè)棱;側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的項(xiàng)息.

2.一般地，我們把側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直援掛，側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫

做斜棱柱,底面是正多邊形的直多柱叫做正棱柱,底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六

面體.

［答一答］

3.棱柱的各側(cè)棱是什么關(guān)系？各側(cè)面是什么樣的多邊形？?jī)蓚€(gè)底面的關(guān)系是怎樣

的？

提示：根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各側(cè)棱互相平行，惻面是平行四邊形，兩個(gè)底面是全

等的多邊形.

4.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱嗎？

提示：不一定，因?yàn)椤捌溆喔髅娑际瞧叫兴倪呅巍辈⒉坏葍r(jià)于"相鄰兩個(gè)四邊形的公

共邊都互相平行”，如圖所示.

知識(shí)點(diǎn)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征

［填一填］

有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的多面

體叫做棱錐.這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面；有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的惻面:

相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的鯉陵；各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn).底面是正多邊形,

并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正技筵.

［答一答］

5.棱錐的側(cè)面是什么樣的多邊形？有什么特征？

提示：根據(jù)棱錐的定義，棱錐的側(cè)面一定是三角形，且各個(gè)三角形有公共頂點(diǎn).

6.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體一定是棱錐嗎？

提示：不一定，因?yàn)椤捌溆喔髅娑际侨切巍辈⒉坏葍r(jià)于“其余各面都是有一個(gè)公共

頂點(diǎn)的三角形”，如圖所示.

知識(shí)點(diǎn)四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

［填一填］

用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做

棱臺(tái).在棱臺(tái)中，原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的上底面和上底面.

I答一答I

7.桂臺(tái)的各側(cè)槌是什么關(guān)系？各側(cè)面是什么樣的多邊形？?jī)蓚€(gè)底面是什么關(guān)系？

提示：棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)，各側(cè)面是梯形，兩個(gè)底面是相似的多邊形.

8.觀察下面的幾何體，思考問(wèn)題：

圖①是棱臺(tái)嗎？圖②用任意一個(gè)平面去截棱錐，一定能得到核臺(tái)嗎？

提示：題圖①不是棱臺(tái)，因?yàn)楦鱾?cè)棱延長(zhǎng)后不交于一點(diǎn).不一定，題圖②中只有用平

行于底面的平面去截才能得到棱臺(tái).

典例講練破題型

類型一棱柱的結(jié)構(gòu)特征

［例1］下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法：

(1)所有的面都是平行四邊形；

(2)每一個(gè)面都不會(huì)是三角形；

(3)兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行；

(4)被平面截成的兩部分可以都是棱柱.

其中正確說(shuō)法的序號(hào)是.

［分析］根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特怎進(jìn)行判斷.

［解析］(1)錯(cuò)誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形；

(2)錯(cuò)誤，棱柱的底面可以是三角形；

(3)正確，由棱柱的定義易知；

(4)正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個(gè)棱柱.

所以說(shuō)法正確的序號(hào)是(3)(4).

［答案］(3)(4)

通法提煉

棱柱的結(jié)構(gòu)特征：(1)有兩個(gè)面互相平行；(2)其余各面是四邊形；(3)相鄰兩個(gè)四邊形

的公共邊都互相平行.求解時(shí)，首先看是否有兩個(gè)平行的面作為底面，再看是否滿足其他特

征.

［變式訓(xùn)練1］如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A1BCQ1.

(1)這個(gè)長(zhǎng)方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？

(2)用平面BCFE把這個(gè)長(zhǎng)方體分成兩部分后，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果

是，是幾棱柱？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)是棱柱，并且是四棱柱.因?yàn)橐蚤L(zhǎng)方體相對(duì)的兩個(gè)面作為底面，則底面都是四

邊形，其余各面都是矩彩，矩彩當(dāng)然是平行四邊形，并且?guī)缀误w的四條側(cè)棱互相平行.

(2)截面BCFE上方的部分是棱柱，且是三棱柱BEB「CFC|,其中4BEB］和△CFC1是

底面.

城面BCFE下方的部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA「DCFDi,其中四邊形ABEA1和

四邊形DCFD1是底面.

類型二棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

［例2］(1)下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說(shuō)法：

①棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；

②棱錐的側(cè)面只能是三角形；

③由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；

④棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.

其中正確說(shuō)法的序號(hào)是.

(2)如圖，在三棱臺(tái)A'8'C'-ABC中，截去三棱錐A'-ABC,則剩余部分是()

A.三棱錐B.四棱錐

C.三棱柱D.三棱臺(tái)

［分析］根據(jù)棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷.

［解析］

(1)①正確，棱臺(tái)的側(cè)面都是梯形.

②正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形.

③正確，由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐.

④錯(cuò)誤，如圖所示，四棱錐被平面極成的兩部分都是棱錐.

(2)由題圖知，在三棱臺(tái)A'B'C'-ABC中，城去三棱維A'?ABC,剩下的部分如

圖所示，故剩余部分是四棱般A'-BB'CC.故選區(qū)

［答案］⑴①②③(2)B

通法提煉

判斷棱錐、棱臺(tái)形狀的兩個(gè)方法

(I)舉反例法：

結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說(shuō)法不正確.

(2)直接法：

棱錐棱臺(tái)

定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為底面

看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)

［變式訓(xùn)練2］下列特征不是棱臺(tái)必須具有的是（C）

A.兩底面平行

B.側(cè)面都是梯形

C.側(cè)棱長(zhǎng)都相等

D.側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)

解析：用平行于棱錐底面的平面截棱錐，截面和底面之間的部分叫做棱臺(tái)，A,B,D

正確，選C.

課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典

I.有兩個(gè)血平行的多曲體不可能是（B）

A.棱柱B.棱錐

C.棱臺(tái)D.長(zhǎng)方體

解析：棱錐的任意兩個(gè)面都相交，不可能有兩個(gè)面平行，所以不可能是棱錐.

2.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，下列說(shuō)法不正確的是（B）

A.棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)都相等

B.四棱錐有五個(gè)頂點(diǎn)

C.三棱臺(tái)的上、下底面是相似三角形

D.有的棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等

解析：根據(jù)枝錐頂點(diǎn)的定義可知，四棱錐只有一個(gè)頂點(diǎn)，故B不正確.

3.下列幾何體中，①?④是棱柱,⑥是棱錐，⑤是棱臺(tái)（僅填相應(yīng)序號(hào)）.

解析：結(jié)合棱柱、棱錐和棱臺(tái)的定義可知①③④是棱柱，⑥是棱錐，⑤是棱臺(tái).

4.一個(gè)棱臺(tái)至少有&個(gè)面，面數(shù)最少的棱臺(tái)有2個(gè)頂點(diǎn)，有￡條棱.

解析：面數(shù)最少的棱臺(tái)是三棱臺(tái)，共有5個(gè)面，6個(gè)頂點(diǎn)，9條棱.

5.如圖所示的幾何體中，所有棱長(zhǎng)都相等，分析此幾何體的構(gòu)成，有幾個(gè)面、幾個(gè)

頂點(diǎn)、幾條棱?

S]

解：這個(gè)幾何體是由兩個(gè)同底面的四棱錐組合而成的八面體，有8個(gè)面，都是全等的

正三角形；有6個(gè)頂點(diǎn)；有】2條棱.

(5—?

.課堂小結(jié)

——本課須掌握的四大問(wèn)題

1.對(duì)于多面體概念的理解，注意以下兩個(gè)方面：

(1)多面體是由平面多邊形圍成的，圍成一個(gè)多面體至少要四個(gè)面.

(2)多面體是一個(gè)“封閉”的幾何體.

2.對(duì)于棱柱的定義注意以下三個(gè)方面：

(1)有兩個(gè)面互相平行，各側(cè)棱都平行，各側(cè)面都是平行四邊形.

(2)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱.

(3)從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看，棱柱可以看成是一個(gè)平面多邊形，從一個(gè)位置沿一條不與其共面

的直線運(yùn)動(dòng)到另一位置時(shí)，形成的幾何體.

3.對(duì)于棱錐要注意有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐,

必須強(qiáng)調(diào)其余各面是共頂點(diǎn)的三角形.

4.棱臺(tái)中各側(cè)棱延長(zhǎng)后必相交于一點(diǎn)，否則不是棱臺(tái).

學(xué)科素養(yǎng)培優(yōu)精品微課堂

柱、錐、臺(tái)結(jié)構(gòu)特征判斷中的誤區(qū)

*3開(kāi)講啦(1)解答過(guò)程中易忽視側(cè)棱的延長(zhǎng)線不能交于一點(diǎn)，直觀感覺(jué)是棱臺(tái)，而

不注意邏輯推理.

(2)解答空間幾何體概念的判斷題時(shí)，要注意緊扣定義，切忌只憑圖形主觀臆斷.

I典例]如圖所示，幾何體的正確說(shuō)法的序號(hào)為.

（1）這是一個(gè)六面體；（2）這是一個(gè)四棱臺(tái)；（3）這是一個(gè)四棱柱；（4）此幾何體可由三棱

柱截去一個(gè)小三棱柱得到；（5）此幾何體可由四棱柱截去一個(gè)三棱柱得到.

［解析］（1）正確，因?yàn)橛辛鶄€(gè)面，屬于六面體的范圍；（2）錯(cuò)誤，因?yàn)閭?cè)棱的延長(zhǎng)線不

能交于一點(diǎn)，所以不正確：（3）正確，如果把幾何體放倒就會(huì)發(fā)現(xiàn)是一個(gè)四棱柱；（4）（5）都正

確，如圖①②所示.

圖①圖②

［答案］（1）⑶（4）（5）

［對(duì)應(yīng)訓(xùn)練］如圖，將裝有水的長(zhǎng)方體水槽固定底面一邊后傾斜一個(gè)小角度，則傾斜

后水槽中的水形成的兒何體是（A）

A.棱柱B.棱臺(tái)

C.棱柱與棱錐的組合體D.不能確定

解析：符合棱柱的定義.

第2課時(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球、簡(jiǎn)單組合體

［目標(biāo)］1.記住圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義及它們的結(jié)構(gòu)特征；2.能用圓柱、圓錐、

圓臺(tái)的定義及結(jié)構(gòu)特征解答一些相關(guān)問(wèn)題；3.了解組合體的概念.

［重點(diǎn)］圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義及結(jié)構(gòu)特征.

［難點(diǎn)］圓柱、圓錐、圓臺(tái)之間關(guān)系的理解.

要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)一圓柱

［填一填］

1.以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫

做圓柱.

2.旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸

的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的刨面；無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面

的母線.

3.棱柱和圓柱統(tǒng)稱為柱體.

［答一答］

1.(1)在圓柱中，圓柱的任意兩條母線是什么關(guān)系？過(guò)兩條母線的截面是怎樣的圖形？

(2)在圓柱中，過(guò)軸的截面是軸截面，圓柱的軸截面是什么圖形？軸截面含有哪些重要

的量？

(3)圓柱上底面圓周上任一點(diǎn)與下底面圓周上任一點(diǎn)的連線是圓柱的母線嗎？

提示：(。圓柱的任意兩條母線平行，過(guò)兩條母線的截面是矩形，

(2)圓柱的軸截面是矩形，軸截面中含有圓柱的底面直徑與圓柱的母線.

(3)不一定.圓柱的母線與軸是平行的.

知識(shí)點(diǎn)二圓錐

［填一填］

1.以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所困

成的旋轉(zhuǎn)佟叫做圓錐.

2.棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體.

［答一答］

2.直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都

s

sr

是圓錐嗎？

提示：不是.當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體

不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底面圓錐組成的幾何體.

知識(shí)點(diǎn)三圓臺(tái)

［填一填］

I.用班于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái).

2.棱食與小統(tǒng)稱為臺(tái)體.

I答一答I

3.類比圓柱、圓錐的形成過(guò)程，圓臺(tái)可以由平面圖形旋轉(zhuǎn)而成嗎？

提示：(1)圓臺(tái)可以看作是直角梯形以垂直底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其他三邊旋

轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成的幾何依.

(2)圓臺(tái)也可以看作是等腰梯形以其兩底邊的中點(diǎn)連線為軸，各邊旋轉(zhuǎn)半周形成的曲面

所圍成的幾何體.

知識(shí)點(diǎn)四球

［填一填］

生圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做毯面，球面所圍成的旋

轉(zhuǎn)體叫做球體,簡(jiǎn)稱球.半圓的圓心叫做球的球心:連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做

球的半徑；連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)球心的線段叫做球的直徑.

［答一答］

4.半圓或圓繞它的直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成什么？它與球有區(qū)別嗎？

提示：半圓或圓繞它的直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球面.球面是一曲面，它只能度量

面積而不能度量體積；球是由球面圍成的幾何體，它不僅可以度量球的表面積，還可以度量

其體積.

5.用一個(gè)平面去截球，得到的是一個(gè)圓嗎？

提示：不是，得到的是一個(gè)圓面，球是一個(gè)幾何體，包括表面及其內(nèi)部.

知識(shí)點(diǎn)五簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

［填一填］

I.定義：由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體稱為簡(jiǎn)單組合體.

2.簡(jiǎn)單組合體構(gòu)成的兩種基本形式

由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成:

簡(jiǎn)單組合體，

由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成.

I答一答I

6.組合體的形式有哪些？

提示：(1)多面體與多面體的組合體.

(2)旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體.

(3)多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體.

典例講練破題型

類型一旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

［例IJ下列命題正確的是.

①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；

②圓柱的母線是連接圓柱上底面上一點(diǎn)和下底面上一點(diǎn)的直線：

③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；

④以等腰三角形的底邊上的高所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍

成的幾何體是圓錐；

⑤球面上四個(gè)不同的點(diǎn)一定不在同一平面內(nèi)；

⑥球的半徑是球面上任意一點(diǎn)和球心的連線段；

⑦球面上任意三點(diǎn)可能在一條直線上；

⑧用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面.

［分析］準(zhǔn)確理解旋轉(zhuǎn)體的定義，在此基礎(chǔ)上掌握各旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)，才能更好地把握

它們的結(jié)構(gòu)特征，以作出準(zhǔn)確的判斷.

［解析］①以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓錐，故①錯(cuò)誤；②

圓柱的母線是連接圓柱上底面上一點(diǎn)和下底面上一點(diǎn)的線段，且這條坡段與軸平行，故②錯(cuò)

誤；③它們的底面為圓面，故③錯(cuò)誤；④正確；作球的一個(gè)截面，在截面的圓周上任意取四

點(diǎn)，則這四點(diǎn)就在球面上，故⑤錯(cuò)誤；根據(jù)球的半徑定義可知⑥正確；球面上任意三點(diǎn)一定

不共線，故⑦錯(cuò)誤：用一個(gè)平面去板球，一定截,得一個(gè)圓面，故⑧正確.

［答案］④⑥⑧

通法提煉

簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體判斷問(wèn)題的解題策略,(1)準(zhǔn)確掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)和球的生成過(guò)程及其

特征性質(zhì)是解決此類概念問(wèn)題的關(guān)鍵.,(2)解題時(shí)要注意兩個(gè)明確：，①明確由哪個(gè)平面圖形旋

轉(zhuǎn)而成；，②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線.

［變式訓(xùn)練1J下列命題：①任意平面截圓柱，截面都是圓面；②圓錐的頂點(diǎn)與底面

圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線；③在圓臺(tái)上、下兩底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)

的連線是圓臺(tái)的母線，其中正確的是(O)

A.B.??C.D.②

解析：過(guò)圓柱兩母線的截面為矩形，有時(shí)斜的截面為橢圓，故①錯(cuò)誤；圓臺(tái)的母線不

是上底面和下底面上任意兩點(diǎn)的連線，③錯(cuò)誤；由圓錐母線的定義知②正確，故選D.

類型二旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)計(jì)算

命題視角1：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的計(jì)算問(wèn)題

［例2］已知一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為12cm,兩底面的面積分別為4乃°52和25乃。療，求:

(1)圓臺(tái)的高；

(2)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng).

［分析］在解答有關(guān)臺(tái)體的問(wèn)題時(shí)，一般要把臺(tái)體還原成錐體，這就是常應(yīng)用的“還

臺(tái)為錐”的思想，不僅在作圖時(shí)應(yīng)用，而且在計(jì)算時(shí)也常應(yīng)用此思想尋求元素間的關(guān)系，以

便解決問(wèn)題.

［解］(1)設(shè)圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形ABCD(如圖所示).

S

由題意可得上底的一半O|A=2c/n,下底的一半0B=5an,腰長(zhǎng)AB=12cm,所以

圓臺(tái)的高AM=^/122-(5-2)2=3V15(cm).

(2)如圖，延長(zhǎng)BA,00),CD,交于點(diǎn)S,設(shè)極得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為law,

1—122

則由△SAO］S/\SBO,得—j-=予

解得1=20.

故我得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為20cm.

通法提煉

旋轉(zhuǎn)體中有關(guān)底面半徑、母線、高的計(jì)算，可利用軸截面求解，即將立體問(wèn)題平面化.

對(duì)于圓臺(tái)的軸截面，可將兩腰延長(zhǎng)相交后在三角形中求解.這是解答圓臺(tái)問(wèn)題常用的方法.

［變式訓(xùn)練2］如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、

卜底面的面積之比為116,截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3cm,求圓臺(tái)O'O的母線長(zhǎng).

解：設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為1cm,由截得圓臺(tái)上、下底面面積之比為116,可設(shè)截得圓

臺(tái)的上、下底面的

半徑分別為r、4r.過(guò)軸SO作截面,

如圖所示.則△SO'A'^ASOA,SA'=3cm.

.SA，_O,A，.3_r_l

-SA=0A'?，3+i=4r=4-

解得1=9.

即圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9cm.

命題視角2：球的截面問(wèn)題

［例3］已知半徑為10的球的兩個(gè)平行截面的周長(zhǎng)分別是12%和16兀，求這兩個(gè)截面

間的距離.

［分析］畫(huà)出球的截面圖，球心與極面圓心連線垂直于截面所在的平面，構(gòu)造直角三

角形解決.對(duì)于球的兩個(gè)平行截面要注意討論它們?cè)谇蛐耐瑐?cè)還是異側(cè)，否則容易漏解.

［解］設(shè)球的大圓為圓O,C,D兩點(diǎn)為兩截面圓的圓心，AB為經(jīng)過(guò)C,0,D三點(diǎn)

的直徑且兩截面圓的半徑分別是6和8.

(1)(2)

當(dāng)兩截面在球心同側(cè)時(shí)，如圖(1),此時(shí)CD=OC-OD=，5匹市一45Pzz5諾=8

-6=2.

當(dāng)兩極面在球心兩側(cè)時(shí)，如圖(2),此時(shí)CD=OC+OD=，6匹記+而產(chǎn)東=8

+6=14.

故兩極面間的距離為2或14.

通法提煉

利用球的截面，將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題是解決球的有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵.

［變式訓(xùn)練3］一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為不，則球的直徑為

2y［2.

解析：設(shè)球心到平面的距離為d,極面圓的半徑為r,則一=元,Ar=l,

設(shè)球的半徑為R,則R=^/d2+r2=V2,故球的直徑為

類型三簡(jiǎn)單組合體

命題視角1：簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

［例4］(1)如圖①所示的物體為燕尾槽工件，請(qǐng)說(shuō)明該物體是1±哪些幾何體構(gòu)成的.

(2)指出圖②中三個(gè)幾何體的主要結(jié)構(gòu)特征.

［分析］由多面體和旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷.

［解］(1)題圖①中的幾何體可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體割去一個(gè)四枝柱所得的幾何體，也

可以看成是一個(gè)長(zhǎng)方體與兩個(gè)四棱柱組合而成的幾何體(如圖所示).

5可/

補(bǔ)上兩個(gè)

四棱柱四棱柱

(2)(A)中的幾何體由一個(gè)三棱柱挖去一個(gè)圓柱后剩余部分組合而成，其中圓柱內(nèi)切于

三棱柱.

(8)中的幾何體由一個(gè)圓錐挖去一個(gè)四棱柱后剩余部分組合而成，其中四棱柱內(nèi)接于圓

錐.

(C)中的幾何體由一個(gè)球挖去一個(gè)三棱錐后剩余部分組合而成.其中三棱錐內(nèi)接于球.

通法提煉

會(huì)識(shí)別較復(fù)雜的圖形是學(xué)好立體幾何的第一步，我們應(yīng)注意觀察周圍的物體，然后將

它們“分拆”成幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何低，進(jìn)而培養(yǎng)我們的空間想象能力和識(shí)圖能力.

［變式訓(xùn)練4］如圖，繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的旋轉(zhuǎn)體是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的？

解：如圖所示，由一個(gè)圓錐0Q5，一個(gè)圓柱。3。4及一個(gè)圓臺(tái)。1。3中挖去圓錐

組成的.

Os

命題視角2:與球有關(guān)的“切”與“接”問(wèn)題

［例5］已知正方體的棱長(zhǎng)為a,分別求出它的內(nèi)切球及與各棱都相切的球的半徑.

［分析I解決此題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)軸截面，建立半徑與棱長(zhǎng)的關(guān)系.

［解］（1）正方體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)為正方體各面的中心，故作出經(jīng)過(guò)正方體相對(duì)

兩面的中心且與棱平行的截面，則球的一個(gè)大圓是其正方形截面的內(nèi)切圓，如圖（1）所示，

設(shè)球的半徑為Ri,易得R|=/

（2）與正方體的各棱均相切的球與正方體相連接的點(diǎn)是正方體各棱的中點(diǎn)，故應(yīng)作出經(jīng)

過(guò)正方體一組平行棱中點(diǎn)的極面，則球的軸極面是其正方形截面的外接圓，如圖Q）所示，

設(shè)球的半徑為R2,易求得球的半徑R2=^a.

通法提煉

組合體問(wèn)題應(yīng)分清各部分之間是如何組合起來(lái)的，以便轉(zhuǎn)化為平面圖形進(jìn)行計(jì)算.正

方體的內(nèi)切球直徑等于正方體的棱長(zhǎng)；外接球直徑等于其體對(duì)角線的長(zhǎng)；球與正方體各棱都

相切，則球的直徑等于正方體面對(duì)角線的長(zhǎng).

［變式訓(xùn)練5］正三棱錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，經(jīng)過(guò)棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的

圖形是（C）

解析：正三棱錐的內(nèi)切球與各個(gè)面的切點(diǎn)為正三棱錐各面的中心，所以過(guò)一條側(cè)棱和

高的橫面必過(guò)該棱所對(duì)面的高線，故C正確.

課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典

I.下列說(shuō)法正確的是（C）

A.用一平面去截圓臺(tái)，截面一定是圓面

B.通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)條母線

C.圓臺(tái)的任意兩條母線延長(zhǎng)后相交于同一點(diǎn)

D.圓錐的母線可能平行

解析：對(duì)于A,用一平面去截圓臺(tái)，當(dāng)截面與底面不平行時(shí)，橫面不是圓面；對(duì)于B,

通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，只有一條母線：對(duì)于D,圓錐的母線延長(zhǎng)后交于頂點(diǎn)，因此不可能平

行.

2.下圖中的幾何體由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)

的圓錐而得.現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是(D)

A.(1)(2)

C.(1)(4)D.(1)(5)

解析：由題圖得當(dāng)微面過(guò)旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，嵌面圖形是(1);當(dāng)我面不過(guò)旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，城面圖形

是(5),故選D

3.已知圓錐SO的母線長(zhǎng)為5,底面直徑為8,則圓錐SO的高h(yuǎn)=3.

解析：如圖，???圓錐的底面直徑AB=8,

又：SA=5,

???圓錐的高h(yuǎn)=SO=^52-42=3.

4.下列說(shuō)法正確的是②③④.(填序號(hào))

①以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；

②矩形任意一條邊所在的直線都可以作為軸，其他邊繞其旋轉(zhuǎn)形成圓柱；

③半圓面繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球；

④用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面.

解析：①以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周可得到圓臺(tái)；②③④正

確.

5.已知圓錐底面半徑r=lC7",母線I=6c〃?，現(xiàn)有一只螞蟻，從圓錐底面圓周上的

點(diǎn)A沿側(cè)面爬一周后又回到點(diǎn)A,求它至少要爬的路程.

解：如圖，將圓錐側(cè)面沿母線PA展開(kāi)，所得扇形的圓心角吟

連接AA',則AA'的長(zhǎng)度就是螞蟻爬的最短距離.

因?yàn)锳AA'P是等邊三角形，

所以AA'=AP=6cm,

即螞蟻至少要爬6cm.

課堂小結(jié)

本課須掌握的四大問(wèn)題

I.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的關(guān)系如圖所示.

上底縮小

上底擴(kuò)大至：頂點(diǎn)拓展為

與下底面全等k二：與底面平行

但不全等的

上底面

2.處理臺(tái)體問(wèn)題常采用還臺(tái)為錐的補(bǔ)體思想.

3.重視圓柱、圓錐、圓臺(tái)的軸截面在解決幾何問(wèn)題中的特殊作用，切實(shí)體會(huì)空間幾

何平面化的思想.

4.簡(jiǎn)單組合體的構(gòu)成有兩種基本形式：一種是拼接而成；一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去

或挖去一部分而成.具體可以分為以下三類：

(1)多面體與多面體的組合

由兩個(gè)或兩個(gè)以上的多面體組合而成，如圖(1)是一個(gè)正方體截去一個(gè)三棱錐的組合

體.

(2)多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合

由多面體和旋轉(zhuǎn)體組合而成，如圖Q)是一個(gè)六棱柱與一個(gè)圓柱的組合體.

(3)旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合

由兩個(gè)或兩個(gè)以上的旋轉(zhuǎn)體組合而成，如圖(3)是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐的組合體.

8.2立體圖形的直觀圖

［目標(biāo)］1.掌握斜二測(cè)畫(huà)法的步躲；2.會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出一些簡(jiǎn)單平面圖形和立體圖

形的直觀圖.

［重點(diǎn)］用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)簡(jiǎn)單的平面圖形與幾何體的直觀圖.

［難點(diǎn)］用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)簡(jiǎn)單的平面圖形與幾何體的直觀圖.

要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)

1.畫(huà)軸：在已知圖形中取互相垂直的x軸和)，軸，兩軸相交于點(diǎn)0.畫(huà)直觀圖時(shí)，把

它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x'軸與y'軸，兩軸相交于點(diǎn)0',且使0')，'=45。(或135。),它

們確定的平面表示水壬面.

2.畫(huà)線：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于/軸或

y'軸的線段.

3.取長(zhǎng)度：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變,平行于y

軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.

［答一答］

1.斜二測(cè)畫(huà)法中“斜”和“二測(cè)”分別指什么？

提示：“斜”是指在已知圖形的平面內(nèi)與x軸垂直的線段，在直觀圖中均與/

軸成45?；?35。：“二測(cè)”是指兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于/軸的線段長(zhǎng)度不

變；平行于＜軸的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半.

2.相等的角或線段在直觀圖中仍然相等嗎？

提示：不一定相等，如正方形的邊長(zhǎng)和內(nèi)角分別相等，但是它的直觀圖是平行四邊形，

相鄰兩邊邊長(zhǎng)不相等，相鄰兩內(nèi)角也不相等.

知識(shí)點(diǎn)二空間幾何體直觀圖的畫(huà)法

［填一填］

1.畫(huà)軸：與平面圖形的直觀圖畫(huà)法相比多了一個(gè)二軸.

2.畫(huà)平面：平面xOy表示水平平面,平面yOz和xOz表示豎直平面.

3.取長(zhǎng)度：已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長(zhǎng)度

都不變.

4.成圖處理：成圖后，去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線.

I答一答］

3.畫(huà)直觀圖時(shí)，如何區(qū)別實(shí)線和虛線？

提示：直觀圖是一個(gè)平面圖形，我們用它表示空間圖形，為了增強(qiáng)空間感，畫(huà)圖要分

實(shí)線和虛線，其中被面擋住的部分要畫(huà)成虛線.看得見(jiàn)的部分要畫(huà)成實(shí)線.

4.空間幾何體的直觀圖唯一嗎？

提示：不唯一.作直觀圖時(shí)，由于選軸不同，所畫(huà)直觀圖就不一定相同.

典例講練破題型

類型一水平放置的平面圖形直觀圖的畫(huà)法

［例I］如圖所示，梯形ABCD中，AB〃CD,AB=4cm,CD=2cm,ZDAB=30°,

AD=3cm,試畫(huà)出它的直觀圖.

［分析］以AB所在直線為x軸，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.只需確定四個(gè)頂

點(diǎn)A,B,C,D在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)即可.

［解］畫(huà)法步驟：

(1)如圖甲所示，在梯形A8CO中，以邊AB所在的直線為x軸，點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立平

面直角坐標(biāo)系xOy.如圖乙所示，面出對(duì)應(yīng)的『軸，y'軸，使Nx'O'y'=45°.

丙

(2)在圖甲中，過(guò)。點(diǎn)作。及Lx軸，垂足為E.在/軸上取A'B'=AB=4cm,A'E'

=AE=￥勺2.598(cm);過(guò)點(diǎn)E'作E'O'//y1軸，使E'O'=^ED=1X|=0.75(cm),

再過(guò)點(diǎn)O'作O'CHx'軸，且使O'C=DC=2cm.

(3)連接4'D：B，C‘，并擦去f軸與y'軸及其他一些輔助線，如圖丙所示，

則四邊形4'B'CD'就是所求作的直觀圖.

通法提煉

在畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使

得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，便于畫(huà)點(diǎn)；原圖中的共線點(diǎn)在直觀圖中仍是共線

點(diǎn)；原圖中的共點(diǎn)線，在直觀圖口仍是共點(diǎn)線；原圖中的平行線，在直觀圖中仍是平行線.

本題中，關(guān)鍵在于點(diǎn)。'的位置的確定，這里我們采用作垂線的方法，先找到垂足E的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)E',再去確定的位置.

［變式訓(xùn)練1］畫(huà)邊長(zhǎng)為1cm的正三角形的水平放置的直觀圖.

解：(1)如圖①所示，以邊所在直線為x軸，以邊上的高線AO所在直線為y

軸，再畫(huà)對(duì)應(yīng)的/軸與y軸，兩軸相交于點(diǎn)O',使O'y'=45°,如圖②所示.

1yK

(2)在一軸上極取O'B'=。'C=0.5cm,在4軸上截取。'A'=那。=當(dāng)

cm,連接A'8'、A'C',則△/!'B'C即為正三角形ABC的直觀圖.

(3)擦去％'、yr軸得直觀圖B'C,如圖③所示.

類型二畫(huà)空間幾何體的直觀圖

［例2］用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)長(zhǎng)、寬、高分別是4cm、3cm、2cm的長(zhǎng)方體

ABCD-A'B'CD'的直觀圖.

［分析］利用畫(huà)軸、畫(huà)底面、畫(huà)側(cè)棱、成圖進(jìn)行作圖.

［解］(1)畫(huà)軸.如圖①所示，畫(huà)x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O,使/x0y=45°,

ZxOz=90°.

(2)畫(huà)底面.以點(diǎn)0為中心，在x軸上取線段MN,使MN=4cm;在)，軸上取線段PQ,

使PQ=；cm,分別過(guò)點(diǎn)M和點(diǎn)N作)，軸的平行線，過(guò)點(diǎn)P和Q作工軸的平行線，設(shè)它們

的交點(diǎn)分別為A、B、C、D,四邊形ABC。就是長(zhǎng)方體的底面A8CD

(3)畫(huà)側(cè)棱.過(guò)A、8、C、。各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2

cm長(zhǎng)的線段A4'、BB'、CC、DD'.

(4)成圖.順次連接A'、"、C'、O',并加以整理(擦掉輔助線，將被遮擋的線改

為虛線)，就得到長(zhǎng)方體的直觀圖(如圖②).

通法提煉

(1)畫(huà)空間幾何體的直觀圖，可先畫(huà)出底面的平面圖形，然后畫(huà)出豎軸.此外，坐標(biāo)系

的建立要充分利用圖形的對(duì)稱性，以便方便、準(zhǔn)確的確定頂點(diǎn)；

(2)對(duì)于一些常見(jiàn)幾何體(如柱、錐、臺(tái)、球)的直觀圖，應(yīng)該記住它們的大致形狀，以

便可以又快又準(zhǔn)的畫(huà)出.

[變式訓(xùn)練2]一個(gè)幾何體，它的下面是一個(gè)圓柱，上面是一個(gè)圓錐，并且圓錐的底

面與圓柱的上底面重合，圓柱的底面直徑為3cm,高為4cm,圓錐的高為3cm,畫(huà)出此幾

何體的直觀圖.

圖1圖2

解：(1)畫(huà)軸，如圖1所示，畫(huà)x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O,使Nx0y=45°,

ZxOz=90°.

(2)畫(huà)圓柱的兩底面，在x軸上取A、B兩點(diǎn)，使48的長(zhǎng)度等于3cm,且。4=。8.選

擇橢圓模板中適當(dāng)?shù)臋E圓過(guò)4、8兩點(diǎn)，使它為圓柱的下底面.在Oz上截取點(diǎn)O',使。0'

=4cm,過(guò)。'作Qr,Oy的平行線O'/，O'y',類似圓柱下底面的作法作出圓柱的

上底面.

(3)畫(huà)圓錐的頂點(diǎn).在Oz上截取點(diǎn)P,使P0'等于圓錐的高3cm.

(4)成圖.連接A'4、B'B、PA'、PB',擦掉輔助線，將其被遮擋的線改為虛線,

整理得到此幾何體的直觀圖.如圖2所示.

類型三由直觀圖還原成原圖

［例3］如圖所示，梯形Ai&GS是一平面圖形A8CO的直觀圖.若A5〃。'y',

2

AB|=1CNi=2,4。］=0'1.求原四邊形ABCO的面積.

［分析］利用斜二測(cè)畫(huà)法的法則得到原圖和直觀圖的關(guān)系.

［解］如圖，建立平面直角坐標(biāo)系X。)，，在x軸上截取0。=0'2=1,OC=O'G

在過(guò)點(diǎn)D的1y軸的平行線上截取DA=2D|A)=2.

在過(guò)點(diǎn)A的x軸的平行線上橫取4?=4歸1=2.連接BC,即得到了原圖形(如圖).

由作法可知，原四邊形ABCO是直角梯形，上、下底長(zhǎng)度分別為A8=2,8=3,直

角腰長(zhǎng)度為40=2.

2+3

所以面積為5=方=X2=5.

通法提煉

由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與X,軸，曠軸平行的直線或線段，且平行于廣

軸的線段還原時(shí)長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖中相應(yīng)線段長(zhǎng)的2倍，

由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn)，順次連接即可.

［變式訓(xùn)練3］如圖，矩形OA'B'C是水平放置的一個(gè)平面圖形用斜二測(cè)畫(huà)法得

到的直觀圖，其中O'A'=6cm,O'C'=2cm,則原圖形是(C)

B'

orAfx

A.正方形B.矩形C.菱形D.梯形

解析：將直觀圖還原得到平行四邊形。ABC,如圖所示，由題意知。'=啦0'C

=2y[2cm,OD=2O,D'=4小cm,C'D'=O'C=2cm,：.CD=2cm,0C=

^/CD24-OD2=6cm,又0A=。'A'=6cm,：.OA=OC,???原圖形為菱形.

課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典

1.利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)邊長(zhǎng)為3cm的正方形的直觀圖，正確的是圖中的（C）

33

AB

解析：選項(xiàng)A是平面圖，選項(xiàng)8中角度有誤，選項(xiàng)。中的邊長(zhǎng)有誤.

2.一個(gè)建筑物上部為四棱錐，下部為長(zhǎng)方體，且四棱錐的底面與長(zhǎng)方體的上底面尺

寸一樣，己知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為20〃?、5〃?、10m,四棱錐H勺高為8/〃，若按1

500的比例畫(huà)出它的直觀圖，那么直觀圖中，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和棱錐的高分別為（C）

A.4cm,lcm,2cm,1.6cm

B.4cm,0.5cm,2cm,0.8cm

C.4cm,0.5cm,2cm,1.6cm

D.2cm,0.5cm,1cm,0.8cm

解析：由比例尺可知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和四棱錐的高分別為4cm,1cm,2cm和

1.6cm,再結(jié)合斜二測(cè)畫(huà)法，可知直觀圖的相應(yīng)尺寸應(yīng)分別為4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.

3.水平放置的AABC的直觀圖如圖所示，已知A'C=3,B'C=2,則48邊上

的中線的實(shí)際長(zhǎng)度為空.

解析：由于在直觀圖中NA'CB'=45°,則在原圖形中N4C8=90。，AC=3,BC

=4,AB=5tJAB邊上的中線為2.5.

4.如圖所示，XNBfC是水平放置的△ABC用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖，則在

△ABC的三邊及中線AD中，最長(zhǎng)的線段是這.

解析：畫(huà)出原圖形如圖所示，△ABC為直角三角形，顯然，4c邊最長(zhǎng).

5.如圖所示，四邊形ABCD是一個(gè)梯形，CD//AB,CD=AO=\t三角形AOO為等

腰直角三角形，。為A8的中點(diǎn)，試求梯形ABCD水平放置的直觀圖的面積.

解：在梯形A8CO中，48=2,高00=1,由于梯形A8CQ水二放鼠的直觀圖仍為梯

形，且上底CO和下底A3的長(zhǎng)度都不變，在直觀圖中，O'D1=；0。，梆形的高。E1

=乎，于是梯形A'B'CD'的面積為義乂（1+2）乂乎=平.

.課堂小結(jié)

—本課須掌握的兩大問(wèn)題

1.畫(huà)水平放置的平面多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形的頂點(diǎn)位置.頂點(diǎn)位置可

以分為兩類：一類是在軸上或在與軸平行的線段上，這類頂點(diǎn)比較容易確定；另一類是不在

軸上且不在與軸平行的線段上，確定這類頂點(diǎn)一般過(guò)此點(diǎn)作與軸平行的直線，將此點(diǎn)轉(zhuǎn)到與

軸平行的線段上來(lái).

2.要畫(huà)好對(duì)應(yīng)平面圖形的直觀圖，首先應(yīng)在原圖形中建立平面直角坐標(biāo)系，盡量利

用原有線段或圖形的對(duì)稱軸畫(huà)坐標(biāo)軸，圖形的對(duì)稱中心作為坐標(biāo)原點(diǎn)，讓盡可能多的頂點(diǎn)在

坐標(biāo)軸上.

學(xué)科素養(yǎng)培優(yōu)精品微課堂

關(guān)于直觀圖面積的一個(gè)結(jié)論

*'開(kāi)講啦若設(shè)原平面圖形的面積為S,則其直觀圖的面積為5'=昔5由于其他多

邊形均可以劃分為若干個(gè)三角形，故上述結(jié)論對(duì)其他多邊形也成立.

［典例］證明：已知某三角形的面積為S,則其直觀圖的面積為S'=%.

［分析］利用三角形的底邊和高的關(guān)系，找出兩個(gè)面積的關(guān)系.

［證明］如圖⑴，在△4BC中，AD±BCt其面積S=：AZ>BC,在其直觀圖（如圖⑵）

中，作4'M_L夕C,則直觀圖的面積為S'=4B'C'M=；B'CrDfs加45。

=^義/BCAD=*S.

［對(duì)應(yīng)訓(xùn)練］有一個(gè)長(zhǎng)為5cm,寬為4cm的矩形，則其直觀圖的面積為5，5cm

解析：由于該矩形的面積為5=5X4=20(5?),所以由典例中的公式可得，其直觀圖

=^S=5y/2(cm2).

的面積為S

8.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積

［目標(biāo)］1.會(huì)求棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積；2.會(huì)求棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.

［重點(diǎn)］求棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積.

［難點(diǎn)］棱臺(tái)的體積.

要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)一棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積

［填一填］

1.棱柱的表面積

棱柱的表面積：S-=S俏+2S收.

①其中底面周長(zhǎng)為C,高為人的直棱柱的側(cè)面積：5蝴=0；

②長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c的長(zhǎng)方體的表面積：5%=2(ab+ac+bc)；

③棱長(zhǎng)為a的正方體的表面積：5&=艇.

2.棱錐的表面積

棱錐的表面積：S夫=s/建：底面周長(zhǎng)為C,斜高(側(cè)面三角形底邊上的高)為"的

1

26

正棱錐的側(cè)面積:S用_

3.棱臺(tái)的表面積

棱臺(tái)的表面積：S&=S值+S1底+S卜&

多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積之和.

［答一答I

1.幾何體的側(cè)面積與表面枳有何區(qū)別？

提示：側(cè)面積指的是幾何體側(cè)面的面積，而表面積是指整個(gè)幾何體表面的面積.表面

積等于側(cè)面積與底面積之和，因此，側(cè)面積僅是幾何體表面積的一部分.

知識(shí)點(diǎn)二棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

［填一填］

1.棱柱的體積

(1)棱柱的高是指兩底面之間的距離,即從一底面上任意一點(diǎn)向另一個(gè)底面作垂線，這

個(gè)點(diǎn)與垂足(垂線與底面的交點(diǎn))之間的距離.

(2)棱柱的底面積S,高為兒其體積V=曲.

2.棱錐的體積

(1)棱錐的高是指從頂點(diǎn)向底面作垂線，頂點(diǎn)與垂足(垂線與底面的交點(diǎn))之間的距離.

(2)棱錐的底面積為S,高為小其體積曠=如.

3.棱臺(tái)的體積

(1)棱臺(tái)的高是指兩個(gè)底面之間的距離.

(2)棱臺(tái)的上、下底面面積分別是S'、S,而為h,其體積V=<(S'飛+5).

［答一答］

2.對(duì)于三棱錐在求體積時(shí)，底面固定嗎？怎樣確定哪個(gè)面為底面？

提示：不固定，三棱錐的任何一個(gè)面都可以作為它的底面，關(guān)鍵是哪個(gè)底面的面積和

相應(yīng)的高容易求出，就選哪個(gè)面為底面.

典例講練破題型

類型一多面體的表面積

［例1］己知正三棱臺(tái)(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面

的中心)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm,側(cè)棱長(zhǎng)是加cm,則該三棱臺(tái)的表面積為

［分析］利用側(cè)面是等腰梯杉求出棱臺(tái)的側(cè)面積，再求出其表面積.

［解析］正三棱臺(tái)的表面積即上下兩個(gè)正三角形的面積與三個(gè)例面的面積和，其中三

個(gè)側(cè)面均為等腰梯形，易求出斜高為小cm,故三棱臺(tái)的表面積為3X^X(2+4)X#+；X2

+小+^X4X2巾=5小+味.

［答案］(5小+味)5?

通法提煉

在掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)側(cè)面積公式的基礎(chǔ)上，對(duì)于一些較簡(jiǎn)單的組合體，能

夠?qū)⑵浞纸獬芍㈠F、臺(tái)體，再進(jìn)一步分解為平面圖形（正多邊形、三角形、梯形等），以求

得其表面積，要注意對(duì)各幾何體相重疊部分的面積的處理.

［變