2024北京日壇中學八年級（上）期中數學（教師版）

第1頁/共1頁2024北京日壇中學初二（上）期中數學一、選擇題（每題3分，共24分）1．在剛過去的10月份中，同學們以飽滿的精神狀態(tài)參加了北京市中學生體育過程性考核．在下列常見的體測項目圖標中，是軸對稱圖形的是（）A．坐位體前屈 B．立定跳遠 C．仰臥起坐 D．引體向上2．下列四個圖形中，線段BE是△ABC的高的是（）A． B． C． D．3．課堂上，老師組織大家用小棒擺三角形．已知三條線段的長分別是4，4，m，若它們能構成三角形，則整數m的最大值是（）A．10 B．8 C．7 D．44．一副三角板拼成如圖所示的圖形，那么∠DAC的度數為（）A．60° B．75° C．90° D．105°5．若一個多邊形的內角和是外角和的1.5倍，則這個多邊形是（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形6．如圖是一個平分角的儀器，其中AB＝AD，BC＝DC．將點A放在一個角的頂點，AB和AD沿著這個角的兩邊放下，利用全等三角形的性質就能說明射線AC是這個角的平分線，這里判定△ABC和△ADC是全等三角形的依據是（）A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS7．把一張長方形紙片沿對角線折疊，使折疊后的圖形如圖所示．若∠BAC＝35°，則∠CBD為（）A．35° B．20° C．30° D．25°8．如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線MD相交于點D，DE⊥AB交AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，現(xiàn)有下列結論：①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC＝2AE．其中正確的有（）A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④二、填空題（每題3分，共24分）9．點P（﹣1，3）關于x軸對稱的點的坐標是．10．如圖是南通八佰伴商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖．其中AB、CD分別表示一樓、二樓地面的水平線，∠ABC＝150°，BC的長是10m，則乘電梯從點B到點C上升的高度h是．11．如圖，點B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，∠B＝∠DEF，AB＝DE，請補充條件：（寫出一個即可），使△ABC≌△DEF．12．一個等腰三角形的一個角為50°，則它的頂角的度數是．13．如圖，在△ABC中，BD是邊AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于點E，DE＝2，BC＝5，則△BCE的面積為．14．如圖，△ABC中邊AB的垂直平分線分別交BC、AB于點D、E，AE＝3cm，△ADC的周長為9cm，則△ABC的周長是．15．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于D，交BC于E；②分別以D，E為圓心，以大于DE的同樣長為半徑作弧，兩弧交于點M；③作射線BM交AC于N．如果BN＝NC，∠A＝57°，那么∠ABN的度數為．16．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（6，0），B（0，8），P，Q是兩個動點，其中點P以每秒2個單位長度的速度沿折線AOB（按照A﹣O﹣B）的路線運動，點Q以每秒5個單位長度的速度沿折線BOA（按照B﹣O﹣A）的路線運動，運動過程中點P和Q同時開始，而且都要運動到各自的終點時停止．設運動時間為t秒，直線l經過原點O，且l∥AB，過點P，Q分別作l的垂線段，垂足為E，F(xiàn)，當△OPE與△OQF全等時，t的值為．三、解答題（共9題，共52分.17題6分，18、19題5分，20-22題每題6分，23題4分，24題7分，25題7分）17．（6分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的角平分線AD交BC于點E，BD⊥AB，∠ABC＝40°．求∠D和∠CED的度數．18．（5分）在證明“三角形的內角和是180°”的結論時，有如下兩種實驗方法（如圖1）．小明受實驗方法1的啟發(fā)，形成了證明該結論的思路，寫出了已知、求證，并進行了證明（如圖2），如下：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三個內角．求證：∠A+∠B+∠C＝180°．證明：延長BC，過點C作CM∥BA，∠A＝∠1，B＝∠2．∠1+∠2+∠ACB＝180°，∠A+∠B+∠ACB＝180°．請你參考小明的思路，寫出實驗方法2的證明過程．19．（5分）已知：如圖，點C為AB中點，CD＝BE，CD∥BE．求證：△ACD≌△CBE．20．（6分）在△ABC中，AB＝AC，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AE＝AF，BF與CE相交于點P，（1）求證：△ABF≌△ACE；（2）求證：PB＝PC．21．（6分）已知：如圖，點B是∠MAN邊AM上的一定點（其中∠MAN＜45°），求作：△ABC，使其滿足：①點C在射線AN上，②∠ACB＝2∠A．下面是小兵設計的尺規(guī)作圖過程．作法：①作線段AB的垂直平分線l，直線l交射線AN于點D；②以點B為圓心，BD長為半徑作弧，交射線AN于另一點C；③連接BC，則△ABC即為所求三角形．根據小兵設計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵直線l為線段AB的垂直平分線，∴AD＝BD（），（填推理的依據）∴∠A＝∠，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A；∵BC＝BD，∴∠ACB＝∠BDC（），（填推理的依據）∴∠ACB＝2∠A．22．（6分）已知：點A（2，2），B（3，﹣1）．（1）在平面直角坐標系xOy中畫出△OAB；（2）利用關于坐標軸對稱的點的坐標的特點，畫出△OAB關于y軸對稱的圖形△OCD，其中點A對應點為C，則點D坐標為；（3）在（2）的條件下，分別連結AC、BD，則AC與BD的位置關系是，∠AOC＝．23．（4分）如圖，在3×3的正方形格紙中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形．圖中△ABC是一個格點三角形．請你分別在下列每張圖中畫出一個以D、E、F為頂點的格點三角形，使它與△ABC關于某條直線對稱．（所畫的4個圖形不能重復）24．（7分）如圖，在等邊△ABC中，點D是邊CB延長線上一動點（BD＜BC），連接AD，點B關于直線AD的對稱點為E，過D作DF∥AB交CE于點F，連接AE，DE．（1）依題意補全圖形；（2）若∠DCE＝α，則∠EAC＝；（用含α的式子表示）（3）寫出線段AD，CF之間的數量關系并證明．25．（7分）在平面直角坐標系xOy中，作直線l垂直x軸于點P（a，0），已知點A（1，1），點B（1，7），以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，點C在第一象限．△ABC關于直線..的對稱圖形是△A′B′C′．給出如下定義：如果點M在△A′B′C′上或內部，那么稱點M是△ABC關于直線l的“稱心點”．（1）當a＝0時，在點D（﹣4，5），E（﹣3，3），F(xiàn)（﹣，2）中，△ABC關于直線l的“稱心點”是；（2）當△ABC上只有1個點是△ABC關于直線l的“稱心點”時，直接寫出a的值；（3）點H是△ABC關于直線l的“稱心點”，且總有△HBC的面積大于△ABC的面積，求a的取值范圍．

參考答案一、選擇題（每題3分，共24分）1．【分析】根據軸對稱圖形的概念逐項分析判斷即可，軸對稱圖形的概念：平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．【解答】解：選項A、B、C的圖形均不能找到一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以不是軸對稱圖形；選項D的圖形能找到一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以是軸對稱圖形．故選：D．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．【分析】根據三角形高的畫法知，過點B作AC邊上的高，垂足為E，其中線段BE是△ABC的高，再結合圖形進行判斷．【解答】解：線段BE是△ABC的高的圖是選項C．故選：C．【點評】本題主要考查了三角形的高，三角形的高是指從三角形的一個頂點向對邊作垂線，連接頂點與垂足之間的線段．熟記定義是解題的關鍵．3．【分析】根據三角形的三邊關系確定第三邊的取值范圍，進而解答即可．【解答】解：根據三角形的三邊關系，得m的長大于0而小于8．故選：C．【點評】考查了三角形的三邊關系．三角形的三邊關系：第三邊大于兩邊之差而小于兩邊之和．4．【分析】由題意可得∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，由三角形的外角性質即可求解．【解答】解：由題意得：∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝105°．故選：D．【點評】本題主要考查三角形的外角性質，解答的關鍵是明確三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內角之和．5．【分析】根據多邊形的內角和公式與多邊形的外角和是360°即可求出答案．【解答】解：設該多邊形的邊數為n，由題意可得：（n﹣2）?180°＝1.5×360°，解得：n＝5，故選：C．【點評】本題考查多邊形的內角和與外角和，解題的關鍵是熟記多邊形的內角和公式及多邊形的外角和是360°．6．【分析】根據題目所給條件可利用SSS定理判定△ADC≌△ABC，進而得到∠DAC＝∠BAC．【解答】解：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC＝∠BAC，∴AC就是∠DAB的平分線．故選：A．【點評】本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等，本題是一道較為簡單的題目．7．【分析】由折疊性質得出∠BAE＝∠BAC＝35°，∠C＝∠E＝90°，利用直角三角形的兩銳角互余性質可得∠CBA＝90°﹣∠BAC，求出∠CBA的度數，再根據長方形的性質可得：BF∥AE，利用平行線的性質可得∠DBA＝∠BAE＝35°，進而得出結果．【解答】解：如圖，由折疊性質可知，∠BAE＝∠BAC＝35°，∠C＝∠E＝90°，∴∴∠CBA+∠BAC＝90°，∴∠CBA＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．∵在長方形AEBF中，BF∥AE，∴∠DBA＝∠BAE＝35°，∴∠CBD＝∠CBA﹣∠DBA＝55°﹣35°＝20°．故選：B．【點評】本題考查了長方形的翻折與平行線的性質，直角三角形兩銳角互余性質，角的計算，熟練掌握折疊性質，平行線的性質，直角三角形兩銳角互余性質是解題的關鍵．8．【分析】①由角平分線的性質可知①正確；②由題意可知∠EAD＝∠FAD＝30°，故此可知ED＝AD，DF＝AD，從而可證明②正確；③若DM平分∠EDF，則∠EDM＝90°，從而得到∠ABC為直角三角形，條件不足，不能確定，故③錯誤；④連接BD、DC，然后證明△EBD≌△DFC，從而得到BE＝FC，從而可證明④．【解答】解：如圖所示：連接BD、DC．①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED＝DF．故①正確．②∵∠EAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD＝30°．∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°．∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴ED＝AD．同理：DF＝AD．∴DE+DF＝AD．故②正確．③由題意可知：∠EDA＝∠ADF＝60°．假設MD平分∠ADF，則∠ADM＝30°．則∠EDM＝90°，又∵∠E＝∠BMD＝90°，∴∠EBM＝90°．∴∠ABC＝90°．∵∠ABC是否等于90°不知道，∴不能判定MD平分∠EDF．故③錯誤．④∵DM是BC的垂直平分線，∴DB＝DC．在Rt△BED和Rt△CFD中，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）．∴BE＝FC．∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+FC又∵AE＝AF，BE＝FC，∴AB+AC＝2AE．故④正確．故選：C．【點評】本題主要考查的是全等三角形的性質和判定、角平分線的性質、線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．二、填空題（每題3分，共24分）9．【分析】根據關于x軸對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數可得答案．【解答】解：點P（﹣1，3）關于x軸對稱的點的坐標是（﹣1，﹣3），故答案為：（﹣1，﹣3）．【點評】此題主要考查了關于x軸對稱點的坐標特點，關鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律．10．【分析】過C作CM⊥AB于M，求出∠CBM＝30°，根據BC＝10m，利用三角函數的知識解直角三角形即可．【解答】解：過C作CM⊥AB于M，∵∠ABC＝150°，∴∠CBM＝180°﹣150°＝30°，在Rt△CBM中，∵BC＝10m，∠CBM＝30°，∴＝sin∠CBM＝sin30°＝，∴CM＝BC＝5m，即從點B到點C上升的高度h是5m．故答案為：5m．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是根據坡角建立直角三角形，利用三角函數解直角三角形．11．【分析】在已知條件中有一對角相等和一組邊相等，根據全等三角形的判定方法可以補充∠B和∠DEF的另一邊相等，也可補充另一組角相等．【解答】解：∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，∴可再補充∠A＝∠D，利用ASA可以判定△ABC≌△DEF，也可以補充∠ACB＝∠DFE，利用AAS；也可補充BC＝EF，利用SAS；也可補充BE＝CF，從而可得到BC＝EF，利用SAS，故答案為：∠A＝∠D（或∠ACB＝∠DFE或BC＝EF或BE＝CF）．【點評】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解題的關鍵．12．【分析】等腰三角形一內角為50°，沒說明是頂角還是底角，所以有兩種情況．【解答】解：（1）當50°角為頂角，頂角度數即為50°；（2）當50°為底角時，頂角＝180°﹣2×50°＝80°．故填50°或80°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關鍵．13．【分析】作EF⊥BC于F，根據角平分線的性質求得EF＝DE＝2，然后根據三角形面積公式求得即可．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴S△BCE＝BC?EF＝×5×2＝5．故答案為：5．【點評】本題考查了角平分線的性質以及三角形的面積，作出輔助線求得三角形的高是解題的關鍵．14．【分析】根據線段垂直平分線的性質得到DA＝DB，AB＝6cm，根據三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：∵DE是線段AB的垂直平分線，AE＝3cm，∴DA＝DB，AB＝6cm，∵△ADC的周長為9cm，∴AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝9cm，∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝15（cm），故答案為：15cm．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．15．【分析】根據作圖方法可得BN是∠ABC的角平分線，進而可得∠ABN＝∠CBN，根據等邊對等角可得∠C＝∠NBC，設∠ABN＝x°，則∠CBN＝∠C＝x°，利用三角形內角和為180°列出方程，再計算出x的值即可．【解答】解：根據作圖方法可得BN是∠ABC的角平分線，∴∠ABN＝∠CBN，∵BN＝NC，∴∠C＝∠NBC，設∠ABN＝x°，則∠CBN＝∠C＝x°，x+x+x+57＝180，解得：x＝41，故答案為：41°．【點評】此題主要考查了基本作圖，以及三角形內角和定理，關鍵是掌握角平分線的作法．16．【分析】判斷出OP＝OQ，再分三種情況討論，表示出OP，OQ建立方程求解即可．【解答】解：由題意，OP和OQ是兩直角三角形的斜邊，當△OPE與△OQF全等時，OP＝OQ，Ⅰ、當點P在OA上，點Q在OB上時，OP＝6﹣2t，OQ＝8﹣5t，∴6﹣2t＝8﹣5t，∴t＝，Ⅱ、當點P，Q都在OA上時，點P，Q重合時，兩三角形重合時，OP＝6﹣2t，OQ＝5t﹣8，∴6﹣2t＝5t﹣8，∴t＝2，Ⅲ、當點P在OB上，點Q在OA上且點Q與點A重合時，OP＝2t﹣6，OQ＝6，∴2t﹣6＝6，∴t＝6，即：滿足題意的t的值為2或或6．【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的性質，解本題的關鍵是分情況表示出OP和OQ，用方程的思想也是解本題的關鍵．三、解答題（共9題，共52分.17題6分，18、19題5分，20-22題每題6分，23題4分，24題7分，25題7分）17．【分析】在△ABC中，利用三角形內角和定理可求出∠CAB的度數，由AD平分∠CAB，利用角平分線的定義可求出∠BAD的度數，在△ABE中，利用三角形內角和定理可求出∠AEB的度數，結合對頂角相等可得出∠CED的度數，再在△ABD中，利用三角形內角和定理可求出∠D的度數．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝40°，∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣40°＝50°．∵AD平分∠CAB，∴∠BAD＝∠CAB＝×50°＝25°．在△ABE中，∠BAE＝25°，∠ABE＝40°，∴∠AEB＝180°﹣∠BAE﹣∠ABE＝180°﹣25°﹣40°＝115°，∴∠CED＝∠AEB＝115°．∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°．在△ABD中，∠BAD＝25°，∠ABD＝90°，∴∠D＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝180°﹣25°﹣90°＝65°．【點評】本題考查了三角形內角和定理、角平分線的定義以及對頂角，牢記三角形內角和是180°是解題的關鍵．18．【分析】過點A作DE∥BC，根據兩直線平行，內錯角相等得出∠2＝∠B，∠3＝∠C，由平角的定義得出∠1+∠2+∠3＝180°，從而證得∠BAC+∠B+∠C＝180°．【解答】證明：過點A作DE∥BC，∴∠2＝∠B，∠3＝∠C，∵∠1+∠2+∠3＝180°，∴∠1+∠B+∠C＝180°，即∠BAC+∠B+∠C＝180°．【點評】本題考查了三角形內角和定理，正確添加輔助線，利用平行線的性質證明是解題的關鍵．19．【分析】根據中點定義求出AC＝CB，根據兩直線平行，同位角相等，求出∠ACD＝∠B，然后利用SAS即可證明△ACD≌△CBE．【解答】證明：∵C是AB的中點（已知），∴AC＝CB（線段中點的定義）．∵CD∥BE（已知），∴∠ACD＝∠B（兩直線平行，同位角相等）．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS）．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．20．【分析】（1）根據AE＝AF，AB＝AC，∠A＝∠A即可證明三角形全等；（2）根據（1）結論可證∠ABF＝∠ACE，即可證明∠PBC＝∠PCB，即可解題．【解答】證明：（1）在△ABF和△ACE中，，∴△ABF≌△ACE（SAS）；（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵△ABF≌△ACE，∴∠ABF＝∠ACE，∴∠PBC＝∠PCB，∴BP＝CP．【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應角相等的性質，本題中求證△ABF≌△ACE是解題的關鍵．21．【分析】（1）根據要求作出圖形即可．（2）利用線段的垂直平分線的性質，以及等腰三角形的性質解決問題即可．【解答】解：（1）如圖，△ABC即為所求．（2）∵直線l為線段AB的垂直平分線，∴AD＝BD（線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等），∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，∵BC＝BD，∴∠ACB＝∠BDC（等邊對等角），∴∠ACB＝2∠A．故答案為：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等，∠ABD，等邊對等角．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，線段的垂直平分線，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．22．【分析】（1）根據點A，B的坐標描點再連線即可．（2）根據軸對稱的性質作圖，即可得出答案．（3）由圖可直接得出答案．【解答】解：（1）如圖，△OAB即為所求．（2）如圖，△OCD即為所求．由圖可得，點D坐標為（﹣3，﹣1）．故答案為：（﹣3，﹣1）．（3）由圖可得，AC與BD的位置關系是AC∥BD，∠AOC＝90°．故答案為：AC∥BD；90°．【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，熟練掌握軸對稱的性質是解答本題的關鍵．23．【分析】所學確定對稱軸，再畫出對稱圖形即可．【解答】解：△DEF如圖所示，圖中虛線是對稱軸．【點評】本題考查作圖﹣應用與設計作圖，軸對稱的性質，解題的關鍵是掌握軸對稱變換的性質．24．【分析】（1）根據要求畫出圖形即可解決問題．（2）證出∠AEC＝∠ACE，則可得出答案；（3）如圖2中，連接AE，BE，BF，設AD交EC于O．想辦法證明△FBC≌△DBA（SAS）可得結論．【解答】解：（1）圖形如圖1所示，（2）∵點B關于直線AD的對稱點為E，∴AE＝AB，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝60°，∴AC＝AE，∴∠AEC＝∠ACE，∵∠DCE＝α，∴∠ACE＝60°﹣α，∴∠EAC＝180°﹣2∠ACE＝180°﹣2（60°﹣α）＝60°+2α．故答案為：60°+2α；（3）AD＝CF．證明：如圖2中，連接AE，BE，BF，設AD交EC于O．∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°∵B，E關于AD對稱，∴AE＝AB，∴AE＝AB＝AC，∴點A是△BCE的外接圓的圓心，∴∠BEC＝∠BAC＝30°，∵AD垂直平分線段BE，∴OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE＝30°，∴∠COB＝∠OEB+∠OBE＝60°，∴∠BOC＝∠BAC，∴O，B，C，A四點共圓，∴∠AOC＝∠ABC＝60°，∴∠BOD＝60°，∴∠DOF＝60°，∠BOF＝120°，∵DF∥AB，∴∠FDB＝∠ABC＝60°，∴∠FDB+∠FOB＝180°，∴D，F(xiàn)，O，B四點共圓，∴∠DFB＝∠DOB＝60°，∴△DFB是等邊三角形，∴∠FBD＝60°，BD＝BF，∵AB＝CB，∠DBA＝∠FBC＝120°，∴△FBC≌△DBA（SAS），∴CF＝AD．【點評】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，三角形外角的性質等知識點，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．25．【分析】（1）由題意確定C點坐標，從而確定A'（﹣1，1），B′（﹣1，7），C′（﹣3，3），即可判斷△ABC關于直線l的“稱心點”；（2）由圖形的軸對稱判定即可；（3）過點A作直線m∥BC，延長AC至點M，使CM