2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十一章概率11.2古典概型學(xué)案文含解析新人教A版_第1頁
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文檔簡介

PAGE11.2古典概型必備學(xué)問預(yù)案自診學(xué)問梳理1.基本領(lǐng)件在一次試驗中,我們常常要關(guān)切的是全部可能發(fā)生的基本結(jié)果,它們是試驗中不能再分的最簡潔的隨機事務(wù),其他事務(wù)可以用它們來描繪,這樣的事務(wù)稱為.

2.基本領(lǐng)件的特點(1)任何兩個基本領(lǐng)件是的.

(2)任何事務(wù)(除不行能事務(wù))都可以表示成的和.

3.古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型.(1)有限性:試驗中全部可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件.

(2)等可能性:每個基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性.

4.古典概型的概率公式P(A)=A包含的基本事件的個數(shù)1.任一隨機事務(wù)的概率都等于構(gòu)成它的每一個基本領(lǐng)件概率的和.2.求試驗的基本領(lǐng)件數(shù)及事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件數(shù)的方法有列舉法、列表法和樹狀圖法.考點自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)在一次古典概型試驗中,其基本領(lǐng)件的發(fā)生肯定是等可能的.()(2)基本領(lǐng)件的概率都是1n.若某個事務(wù)A包含的結(jié)果有m個,則P(A)=mn.((3)擲一枚質(zhì)地勻稱的硬幣兩次,出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”,這三個結(jié)果是等可能事務(wù).()(4)在古典概型中,假如事務(wù)A中基本領(lǐng)件構(gòu)成集合A,全部的基本領(lǐng)件構(gòu)成集合I,那么事務(wù)A的概率為card(A)card(5)從1,2,3,4,5中任取出兩個不同的數(shù),其和為5的概率是0.2.()2.某同學(xué)準(zhǔn)備編織一條毛線圍巾送給媽媽,確定從媽媽喜愛的白色、黃色和紫色中隨機選擇兩種顏色的毛線編織,那么這條圍巾是由白色、紫色兩種顏色的毛線編織的概率是()A.14 B.13 C.123.(2024全國3,3)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機排成一列,則兩位女同學(xué)相鄰的概率是()A.16 B.14 C.134.從集合A={1,3,5,7,9}和集合B={2,4,6,8}中各取一個數(shù),那么這兩個數(shù)之和除以3余1的概率是()A.13 B.15 C.255.(2024江蘇,4)將一顆質(zhì)地勻稱的正方體骰子先后拋擲2次,視察向上的點數(shù),則點數(shù)和為5的概率是.

關(guān)鍵實力學(xué)案突破考點古典概型的概率【例1】(1)《史記》卷六十五《孫子吳起列傳第五》中有這樣一道題:齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬,田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬,田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機選一匹馬進(jìn)行一場競賽,齊王獲勝的概率是()A.23 B.35 C.59(2)(2024云南昆明一中高三月考)把分別寫有1,2,3,4的四張卡片全部分給甲、乙、丙三個人,每人至少一張,且若分得的卡片超過一張,則必需是連號,那么2,3連號的概率為()A.23 B.13 C.35解題心得求有關(guān)古典概型的概率問題的解題策略(1)求古典概型的概率的步驟是:①推斷本次試驗的結(jié)果是否是等可能的,設(shè)所求的事務(wù)為A;②分別計算基本領(lǐng)件的總數(shù)n和所求的事務(wù)A所包含的基本領(lǐng)件個數(shù)m;③利用古典概型的概率公式P(A)=mn,求出事務(wù)A的概率(2)對與依次相關(guān)的問題處理方法為:若把依次看作有區(qū)分,則在求試驗的基本領(lǐng)件的總數(shù)和事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件的個數(shù)時都看作有區(qū)分,反之都看作沒區(qū)分.(3)基本領(lǐng)件個數(shù)的確定方法方法適用條件列表法此法適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗,也可看成是坐標(biāo)法樹狀圖法樹狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法,適合于有依次的問題及較困難問題中基本領(lǐng)件數(shù)的探求對點訓(xùn)練1(1)在《周易》中,長橫“”表示陽爻,兩個短橫“”表示陰爻,有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦,共有23=8種組合方法,這便是《系辭傳》所說:“太極生兩儀,兩儀生四象,四象生八卦”,有放回地取陽爻和陰爻一次有兩種不同的狀況,有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種不同的狀況,有放回地取陽爻和陰爻三次有八種不同的狀況,即為八卦.在一次卜卦中,恰好出現(xiàn)2個陽爻1個陰爻的概率是()A.18 B.1C.38 D.(2)一個盒中有形態(tài)、大小、質(zhì)地完全相同的5張撲克牌,其中3張紅桃,1張黑桃,1張梅花.現(xiàn)從盒中一次性隨機抽出2張撲克牌,則這2張撲克牌花色不同的概率為()A.45 B.710 C.35考點古典概型與其他學(xué)問的交匯問題(多考向探究)考向1古典概型與平面對量的交匯【例2】連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m和n,記向量a=(m,n)與向量b=(1,-1)的夾角為θ,則θ∈0,π2的概率是()A.512 B.1C.712 D.解題心得由兩個向量的數(shù)量積公式,得出它們的夾角的余弦值的表達(dá)式,由夾角的范圍得出點數(shù)m和n的關(guān)系m≥n,然后分別求m=n和m>n對應(yīng)的事務(wù)個數(shù),從而也清晰了基本領(lǐng)件的個數(shù)就是點數(shù)m和n組成的點的坐標(biāo)數(shù).對點訓(xùn)練2把一顆骰子投擲兩次,視察出現(xiàn)的點數(shù),并記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a,其次次出現(xiàn)的點數(shù)為b,向量m=(a,b),n=(1,-2),則向量m與向量n垂直的概率是()A.16 B.112 C.19考向2古典概型與解析幾何的交匯【例3】(2024貴州貴陽一中高三月考)設(shè)a,b是從集合{1,2,3,4}中隨機選取的數(shù),則直線ax+by+4=0與圓x2+y2=2沒有公共點的概率為.

解題心得直線與圓沒有公共點,即圓心到直線的距離大于半徑,由此得出a2+b2<8,則滿意a2+b2<8的基本領(lǐng)件的個數(shù)就能求出來,從而轉(zhuǎn)化成古典概型問題.對點訓(xùn)練3設(shè)集合A={x|x2-3x-10<0,x∈Z},從集合A中任取兩個元素a,b,且ab≠0,則方程x2a+y2b=1考向3古典概型與函數(shù)的交匯【例4】設(shè)a∈{2,4},b∈{1,3},函數(shù)f(x)=12ax2+bx+1(1)求f(x)在區(qū)間(-∞,-1]上是減函數(shù)的概率;(2)從f(x)中隨機抽取兩個,求它們在(1,f(1))處的切線相互平行的概率.解題心得f(x)在區(qū)間(-∞,1]上是減函數(shù)可轉(zhuǎn)化成開口向上的二次函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸與x軸的交點的橫坐標(biāo)大于或等于-1,從而得出b≤a,從而不難得出b≤a包含的基本領(lǐng)件數(shù).因此也就轉(zhuǎn)化成了與概率的基本領(lǐng)件有關(guān)的問題.對點訓(xùn)練4隨機拋擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子,記正面對上的點數(shù)為a,則函數(shù)f(x)=x2+2ax+2有兩個不同零點的概率為()A.13 B.12 C.23考點古典概型與統(tǒng)計的綜合問題【例5】(2024云南德宏高三質(zhì)檢)共享單車進(jìn)駐城市,綠色出行引領(lǐng)時尚.某市2024年對共享單車的運用狀況進(jìn)行了調(diào)查,數(shù)據(jù)顯示,該市共享單車用戶年齡分布如圖1所示,一周內(nèi)市民運用單車的頻率分布扇形圖如圖2所示.若將共享單車用戶依據(jù)年齡分為“年輕人”(20歲~39歲)和“非年輕人”(19歲及以下或者40歲及以上)兩類,將一周內(nèi)運用的次數(shù)為6次或6次以上的稱為“常常運用共享單車用戶”,運用次數(shù)為5次或不足5次的稱為“不常運用共享單車用戶”.已知在“常常運用共享單車用戶”中有56是“年輕人”(1)現(xiàn)對該市市民進(jìn)行“常常運用共享單車與年齡關(guān)系”的分析,采納隨機抽樣的方法,抽取了一個容量為200的樣本.請你依據(jù)題目中的數(shù)據(jù),補全下列2×2列聯(lián)表:是否常常運用共享單車年輕人非年輕人合計常常運用120不常運用80合計16040200依據(jù)列聯(lián)表獨立性檢驗,推斷有多大把握認(rèn)為常常運用共享單車與年齡有關(guān)?參考數(shù)據(jù):P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635其中,K2=n(ad(2)以頻率為概率,把共享單車用戶按常常運用與不常常運用進(jìn)行分層,用分層抽樣的方法在(1)的200戶用戶中抽取一個容量為5的樣本,從中任選2戶,求至少有1戶常常運用共享單車的概率.解題心得求概率與統(tǒng)計問題的一般步驟第一步:依據(jù)概率統(tǒng)計的學(xué)問確定元素(總體、個體)以及要解決的概率模型;其次步:將全部基本領(lǐng)件列舉出來(可用樹狀圖);第三步:計算基本領(lǐng)件總數(shù)n,事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件數(shù)m,代入公式P(A)=mn第四步:回到所求問題,規(guī)范作答.對點訓(xùn)練5(2024河北唐山高三月考)街道辦在小區(qū)東、西兩區(qū)域分別設(shè)置10個攤位,供群眾銷售商品.某日街道辦統(tǒng)計攤主的當(dāng)日利潤(單位:元),繪制如下莖葉圖.(1)依據(jù)莖葉圖,計算東區(qū)10位攤主當(dāng)日利潤的平均數(shù),方差;(2)從當(dāng)日利潤90元以上的攤主中,選出2位進(jìn)行閱歷推介,求選出的2位攤主恰好東、西區(qū)域各1位的概率.數(shù)學(xué)建模主要體現(xiàn)在利用實際問題,正確列出基本領(lǐng)件,建立古典概率模型.古典概型中基本領(lǐng)件數(shù)的探求方法主要有:列舉法、樹形圖法、列表法.方法1列舉法求解古典概型【例1】已知國家某5A級大型景區(qū)對每日游客數(shù)量擁擠等級規(guī)定如下表:游客數(shù)量/百人[0,100)[100,200)[200,300)≥300擁擠等級優(yōu)良擁擠嚴(yán)峻擁擠該景區(qū)對6月份的游客數(shù)量作出如圖的統(tǒng)計數(shù)據(jù):(1)下面是依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到的頻率分布表,求a,b的值;游客數(shù)量/百人[0,100)[100,200)[200,300)[300,400]天數(shù)a1041頻率b121(2)估計該景區(qū)6月份游客人數(shù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(3)某人選擇在6月1日至6月5日這5天中任選2天到該景區(qū)游玩,求他這2天遇到的游客擁擠等級均為優(yōu)的概率.解(1)游客人數(shù)在[0,100)范圍內(nèi)的天數(shù)有15天,故a=15,b=1530(2)由題可得游客人數(shù)的平均數(shù)為50×15+150×10+250×(3)從5天中任選2天的選擇方案有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10種,其中游客擁擠等級均為優(yōu)的有(1,4),(1,5),(4,5),共3種,故所求的概率為310解題心得1.數(shù)學(xué)建模主要體現(xiàn)在利用實際問題,正確列出基本領(lǐng)件,建立古典概率模型.古典概型中基本領(lǐng)件數(shù)的探求方法主要有:(1)列舉法;(2)樹狀圖法:適合于較為困難的問題中的基本領(lǐng)件的探求.對于基本領(lǐng)件有“有序”與“無序”區(qū)分的題目,常采納樹狀圖法;(3)列表法:適用于多元素基本領(lǐng)件的求解問題,通過列表把困難的題目簡潔化、抽象的題目詳細(xì)化.2.對于簡潔問題且基本領(lǐng)件數(shù)目不大的題目,一般采納列舉法,列舉時肯定按肯定的規(guī)則進(jìn)行,做到不重不漏.對點訓(xùn)練1(2024廣西防城港高三模擬)設(shè)連續(xù)拋擲骰子兩次所得的點數(shù)x,y構(gòu)成點M(x,y),則點M落在圓x2+y2=10內(nèi)的概率為()A.12 B.14 C.16方法2樹形圖法求解古典概型【例2】在電視臺實行的某競賽中,甲,乙,丙三位評委對選手的綜合表現(xiàn),分別給出“待定”或“通過”的結(jié)論.對于選手A,只有甲、乙兩位評委給出相同結(jié)論的概率為.

答案1解析畫出樹狀圖來說明評委給出A選手的全部可能結(jié)果:由上可知評委給出A選手全部可能的結(jié)果有8種.對于A選手,“只有甲,乙兩位評委給出相同結(jié)論”有2種,即“通過—通過—待定”“待定—待定—通過”,所以對于A選手“只有甲,乙兩位評委給出相同結(jié)論”的概率是14解題心得1.本題是通過現(xiàn)實操作的過程建模成為古典概型的,列出樹形圖,按樹枝數(shù)目求解基本領(lǐng)件的數(shù)目.2.樹狀圖法:適合于較為困難的問題中的基本領(lǐng)件的探求.對于基本領(lǐng)件有“有序”與“無序”區(qū)分的題目,常采納樹狀圖法.在找基本領(lǐng)件個數(shù)時,肯定要按依次逐個寫出:先(A1,B1),(A1,B2)…(A1,Bn),再(A2,B1),(A2,B2)…(A2,Bn),依次(A3,B1),(A3,B2)…(A3,Bn)…這樣才能避開多寫,漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.對點訓(xùn)練2“石頭、剪刀、布”是廣為流傳的嬉戲,嬉戲時甲、乙雙方每次出“石頭”“剪刀”“布”三種手勢中一種,規(guī)定“石頭”勝“剪刀”、“剪刀”勝“布”、“布”勝“石頭”,同樣手勢不分輸贏,假定甲、乙兩人每次都是等可能地出這三種手勢,則兩人同種手勢的概率為.

方法3列表法求解古典概型【例3】如圖,有兩個可以自由轉(zhuǎn)動的勻稱轉(zhuǎn)盤A,B,轉(zhuǎn)盤A被勻稱地分成4等份,每份分別標(biāo)上1,2,3,4四個數(shù)字;轉(zhuǎn)盤B被勻稱地分成6等份,每份分別標(biāo)上1,2,3,4,5,6六個數(shù)字.同時轉(zhuǎn)動A,B兩個轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤停止后,指針各指向一個數(shù)字,將所指的兩個數(shù)字作和,則事務(wù)“數(shù)字之和為奇數(shù)”發(fā)生的概率為;事務(wù)“數(shù)字之和為偶數(shù)”發(fā)生的概率為.

答案1解析全部可能得到的數(shù)字之和如下表:AB12345612345672345678345678945678910由上表可知,兩數(shù)之和的狀況共有24種,所以,P(數(shù)字之和為奇數(shù))=1224P(數(shù)字之和為偶數(shù))=1224解題心得1.本題是依據(jù)問題形成的緣由進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的,利用圖表描述同時轉(zhuǎn)動A,B兩個轉(zhuǎn)盤,指針各指向一個數(shù)字的組合,從而建立古典概型模型.2.列表法:適用于多元素基本領(lǐng)件的求解問題,通過列表把困難的題目簡潔化、抽象的題目詳細(xì)化.對點訓(xùn)練3兩個布袋中分別裝有三個小球,這三個小球的顏色分別為紅色、白色、綠色,其他沒有區(qū)分.把兩袋小球都攪勻后,再分別從兩袋中各取出一個小球,則取出兩個相同顏色小球的概率為.

11.2古典概型必備學(xué)問·預(yù)案自診學(xué)問梳理1.基本領(lǐng)件2.(1)互斥(2)基本領(lǐng)件3.(1)只有有限個(2)相等考點自診1.(1)√(2)√(3)×(4)√(5)√2.B由題意,該同學(xué)選擇的兩種顏色的基本狀況有:(白,黃),(白,紫),(黃,紫),共3種狀況;其中滿意要求的基本狀況有1種,故所求概率為133.D兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)排成一列,共有24種排法.兩位女同學(xué)相鄰的排法有12種,故兩位女同學(xué)相鄰的概率是12.故選D4.D從集合A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8}各取一個數(shù),基本領(lǐng)件有(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(7,2),(7,4),(7,6),(7,8),(9,2),(9,4),(9,6),(9,8)共20個;其中兩個數(shù)的和除以3余1基本領(lǐng)件有(1,6),(3,4),(5,2),(5,8),(7,6),(9,4)共6個,∴兩個數(shù)的和除以3余1的概率為p=620=3105.19第1,2次向上的點數(shù)分別記為a,b,每個樣本點記為(a,b),則全部(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共36個,其中,點數(shù)和為5的樣本點為(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),故所求概率為436關(guān)鍵實力·學(xué)案突破例1(1)A(2)B(1)因為雙方各有3匹馬,所以“從雙方的馬匹中隨機選一匹馬進(jìn)行一場競賽”的事務(wù)數(shù)為9種,滿意“齊王獲勝”的這一條件的狀況為:齊王派出上等馬,則獲勝的事務(wù)數(shù)為3;齊王派出中等馬,則獲勝的事務(wù)數(shù)為2;齊王派出下等馬,則獲勝的事務(wù)數(shù)為1;故滿意“齊王獲勝”這一條件的事務(wù)數(shù)為6種,依據(jù)古典概型公式可得,齊王獲勝的概率P=69=23(2)分三類狀況,第一類1,2連號,則甲、乙、丙三個人拿到的卡片可能為(12,3,4),(12,4,3),(3,12,4),(4,12,3),(3,4,12),(4,3,12),有6種分法;其次類2,3連號,則甲、乙、丙三個人拿到的卡片可能為(1,23,4),(4,23,1),(23,1,4),(23,4,1),(1,4,23),(4,1,23),有6種分法;第三類3,4連號,則甲、乙、丙三個人拿到的卡片可能為(1,2,34),(2,1,34),(34,1,2),(34,2,1),(1,34,2),(2,34,1),有6種分法;共有18種分法,則2,3連號的概率為618對點訓(xùn)練1(1)C(2)B(1)在一次卜卦中得到六爻,基本領(lǐng)件總數(shù)n=23=8,這六爻恰好有2個陽爻1個陰爻包含的基本領(lǐng)件m=3,則這六爻恰好有2個陽爻1個陰爻的概率是P=mn=38(2)全部會出現(xiàn)的狀況有(紅1,黑1),(紅1,梅1),(紅2,黑1),(紅2,梅1),(紅3,黑1),(紅3,梅1),(紅1,紅2),(紅1,紅3),(紅2,紅3),(黑1,梅1)共10種.其中符合花色不同的狀況有(紅1,黑1),(紅1,梅1),(紅2,黑1),(紅2,梅1),(紅3,黑1),(紅3,梅1),(黑1,梅1),共7種,依據(jù)古典概型的概率公式得P=710.故選B例2C∵cosθ=m-nm2+n2·2,滿意條件m=n的概率為636滿意條件m>n的概率為1536∴θ∈0,π2的概率為16對點訓(xùn)練2D拋擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子包含6個基本領(lǐng)件,由函數(shù)f(x)=x2+2ax+2有兩個不同零點,得Δ=4a2-8>0,解得a<-2或a>2.又a為正整數(shù),故a的取值有2,3,4,5,6,共5種結(jié)果,所以函數(shù)f(x)=x2+2ax+2有兩個不同零點的概率為56.故選D例314當(dāng)圓心到直線距離d=|4|a2+b2>2時,直線與圓沒有公共點,即a2又(a,b)共有如下結(jié)果:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16種,使得a2+b2<8成立的有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4種,所以直線與圓沒有公共點的概率是416對點訓(xùn)練315易得A={x|-2<x<5,x∈Z}={-由條件知,(a,b)的全部可能取法有(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-1,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(1,-1),(2,-1),(3,-1),(4,-1),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3),共20種,方程x2a+y2b=1表示焦點在x軸上的雙曲線滿意條件的有(1,-1),(2,-1),(3,-1),(4,-1)共4種,故所求的概率為420例4解(1)由題意-b2×12a≥-1,而(a,b)可能為(2,1),(2,3),(4,1),(4,3),共4種,滿意b≤a的有3種,故所求的概率為34(2)由(1)可知,函數(shù)f(x)共有4種可能,從中隨機抽取兩個,有6種抽法.因為函數(shù)f(x)在(1,f(1))處的切線的斜率為f'(1)=a+b,所以這兩個函數(shù)中的a與b之和應(yīng)當(dāng)相等,而只有(2,3),(4,1)這1組滿意,故所求的概率為16對點訓(xùn)練4D拋擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子包含6個基本領(lǐng)件,由函數(shù)f(x)=x2+2ax+2有兩個不同零點,得Δ=4a2-8>0,解得a<-2或a>2.又a為正整數(shù),故a的取值有2,3,4,5,6,共5種結(jié)果,所以函數(shù)f(x)=x2+2ax+2有兩個不同零點的概率為56.故選D例5解(1)補全的列聯(lián)表如下:是否常常運用共享單車年輕人非年輕人合計常常運用10020120不常運用602080合計16040200∵a=100,b=20,c=60,d=20,∴K2的觀測值k=200×(100×20-20×即有85%以上的把握認(rèn)為常常運用共享單車與年齡有關(guān).(2)由(1)知,用分層抽樣從常常運用共享單車的用戶中抽取3戶,記為1,2,3;從不常運用共享單車的用戶中抽取2戶,記為a,b;從中任選2戶有如下基本領(lǐng)件:(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b),共10種可能;其中至少有1戶常常運用共享單車的有:(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),共9種可能,故所求概率為910對點訓(xùn)練5解(1)東區(qū)10位攤主利潤的平均數(shù)是80,方差是110×[(68-80)2+(69-80)2+(75-80)2+(73-80)2+(78-80)2+(80-80)2+(89-80)2+(81-80)2+(

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