2025年中考數(shù)學思想方法復(fù)習系列 【分類討論】圓中的分類討論思想（解析版）

圓中的分類討論思想知識方法精講1．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．2．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對角互補．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時要注意是對角，而不是鄰角互補．3．點與圓的位置關(guān)系（1）點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r②點P在圓上?d＝r①點P在圓內(nèi)?d＜r（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系．（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．4．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個．5．直線與圓的位置關(guān)系（1）直線和圓的三種位置關(guān)系：①相離：一條直線和圓沒有公共點．②相切：一條直線和圓只有一個公共點，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點叫切點．③相交：一條直線和圓有兩個公共點，此時叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線．（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．①直線l和⊙O相交?d＜r②直線l和⊙O相切?d＝r③直線l和⊙O相離?d＞r．6．切線的性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直．（3）切線性質(zhì)的運用由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡記作：見切點，連半徑，見垂直．7．切線的判定與性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（3）常見的輔助線的：①判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”；②有切線時，常?！坝龅角悬c連圓心得半徑”．8.分類討論思想每個HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學問題中，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"字母的取值不同也會影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學思想，稱之為分類討論思想。一．選擇題（共9小題）1．（2021秋?崇川區(qū)校級月考）是的弦，，則弦所對的圓周角是A． B． C．或 D．或【考點】圓周角定理【分析】由的弦所對的圓心角，根據(jù)圓周角定理與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可求得弦所對的圓周角的度數(shù)【解答】解解：的弦所對的圓心角，弦所對的圓周角的度數(shù)為：或．故選：．【點評】此題考查了圓周角定理．此題難度不大，注意弦所對的圓周角有一對且互補．2．（2020秋?溧陽市期末）已知是半徑為2的圓內(nèi)接三角形，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．或【考點】垂徑定理；圓周角定理；特殊角的三角函數(shù)值【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后由圓周角定理與含角的直角三角形的性質(zhì)，求得答案．【解答】解：如圖，作直徑，連接，則，是半徑為2的圓內(nèi)接三角形，，，，，，，，的度數(shù)為：或．故選：．【點評】此題考查了圓周角定理與含角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．是的弦，，則弦所對的圓周角是A． B．或 C． D．或【考點】圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)【分析】此題要分兩種情況：當圓周角的頂點在優(yōu)弧上時；當圓周角的頂點在劣弧上時；通過分析，從而得到答案．【解答】解：當圓周角的頂點在優(yōu)弧上時，根據(jù)圓周角定理，得圓周角：；當圓周角的頂點在劣弧上時，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得此圓周角：；所以弦所對的圓周角是或．故選：．【點評】注意：弦所對的圓周角有兩種情況，且兩種情況的角是互補的關(guān)系．4．已知在半徑為2的中，圓內(nèi)接的邊，則的度數(shù)為A． B． C．或 D．或【考點】圓周角定理；解直角三角形【分析】過圓心作的垂線，在構(gòu)建的直角三角形中，易求得圓心角的度數(shù)，由此可求出的度數(shù)．（注意所對的弧可能是優(yōu)弧，也可能是劣?。窘獯稹拷猓喝鐖D，連接、，過作于．在中，，，，，．點的位置有兩種情況：①當點在如圖位置時，；②當點在點位置時，．故選：．【點評】本題主要考查了垂徑定理以及解直角三角形的應(yīng)用．注意點的位置有兩種情況，不要漏解．5．如圖，的半徑為1，是的一條弦，且，則弦所對圓周角的度數(shù)為A． B． C．或 D．或【考點】垂徑定理；圓周角定理【分析】連接、，過作的垂線，通過解直角三角形，易得出的度數(shù)；由于弦所對的弧有兩段：一段是優(yōu)弧，一段是劣弧；所以弦所對的圓周角也有兩個，因此要分類求解．【解答】解：如圖，連接、，過作的垂線；在中，，；，；；四邊形是的內(nèi)接四邊形，；因此弦所對的圓周角有兩個：或；故選：．【點評】本題考查的是圓周角定理、垂徑定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；注意：弦所對圓周角有兩個，不要漏解．6．（2021秋?孝南區(qū)月考）點到的最近點的距離為，最遠點的距離為，則的半徑是A．或 B． C． D．或【考點】點與圓的位置關(guān)系【分析】根據(jù)已知條件能求出圓的直徑，即可求出半徑，此題點的位置不確定所以要分類討論．【解答】解：①當點在圓外時，圓外一點和圓周的最短距離為2，最長距離為7，圓的直徑為，該圓的半徑是2.5；②當點在圓內(nèi)時，點到圓周的最短距離為2，最長距離為7，圓的直徑，圓的半徑為4.5，故選：．【點評】本題考查了點和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，能根據(jù)已知條件求出圓的直徑是解此題的關(guān)鍵．7．一個點到圓的最小距離為，最大距離為，則該圓的半徑是A．或 B． C． D．或【考點】點與圓的位置關(guān)系【分析】設(shè)此點為點，圓為，最大距離為，最小距離為，有兩種情況：①當此點在圓內(nèi)；②當此點在圓外；分別求出半徑值即可．【解答】解：設(shè)此點為點，圓為，最大距離為，最小距離為，則：此點與圓心的連線所在的直線與圓的交點即為此點到圓心的最大、最小距離有兩種情況：當此點在圓內(nèi)時，如圖所示，半徑；當此點在圓外時，如圖所示，半徑；故圓的半徑為或故選：．【點評】注意到分兩種情況進行討論是解決本題的關(guān)鍵．8．一個點到圓的最小距離為，最大距離為，則該圓的半徑是A． B． C．或 D．或【考點】點與圓的位置關(guān)系【分析】點應(yīng)分為位于圓的內(nèi)部于外部兩種情況討論．當點在圓內(nèi)時，直徑最小距離最大距離；當點在圓外時，直徑最大距離最小距離．【解答】解：分為兩種情況：①當點在圓內(nèi)時，最近點的距離為，最遠點的距離為，則直徑是，因而半徑是；②當點在圓外時，最近點的距離為，最遠點的距離為，則直徑是，因而半徑是．故選：．【點評】注意到分兩種情況進行討論是解決本題的關(guān)鍵．9．（2020秋?麗水期末）已知外接圓的半徑為2，，則的度數(shù)是A． B．或 C．或 D．或【考點】三角形的外接圓與外心【分析】作直徑，點在上，點在上，如圖，根據(jù)圓周角定理得到，再利用正弦的定義求出，則利用圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到和的度數(shù)．【解答】解：作直徑，點在上，點在上，如圖，為直徑，，在中，，，，，即的度數(shù)是或．故選：．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．也考查了圓周角定理．二．填空題（共7小題）10．（2020秋?佳木斯期末）的半徑為，，是的兩條弦，，，．則和之間的距離為或．【考點】垂徑定理；平行線之間的距離；勾股定理【分析】分兩種情形討論：①如圖1中，和在圓心的同側(cè)，連接，，作直線于交于點，由，即可推出，則為，之間的距離，通過垂徑定理和勾股定理求出和的長度即可．②如圖2中，和在圓心兩側(cè)，連接，，作直線于交于點，由，即可推出，則為，之間的距離，通過垂徑定理和勾股定理求出和的長度即可．【解答】解：①如圖1，當和在圓心的同側(cè)，連接，，作直線于交于點，，，，，，，的半徑為，，，，，．②如圖2，當和在圓心兩側(cè)，連接，，作直線于交于點，，，，，，，的半徑為，，，，，．平行弦，之間的距離為或．故答案為：或．【點評】本題主要考查垂徑定理和勾股定理的運用，平行線間的距離的定義，平行線的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．11．（2020?棗陽市校級模擬）在半徑為2的中，弦的長為2，則弦所對的圓周角的度數(shù)為或．【考點】圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)【分析】根據(jù)弦長等于半徑，得這條弦和兩條半徑組成了等邊三角形，則弦所對的圓心角是，要計算它所對的圓周角，應(yīng)考慮兩種情況：當圓周角的頂點在優(yōu)弧上時，則根據(jù)圓周角定理，得此圓周角是；當圓周角的頂點在劣弧上時，則根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補，得此圓周角是．【解答】解：根據(jù)題意，弦與兩半徑組成等邊三角形，先所對的圓心角，①圓周角在優(yōu)弧上時，圓周角，②圓周角在劣弧上時，圓周角．圓周角的度數(shù)為或．【點評】注意：弦所對的圓周角有兩種情況，且兩種情況的角是互補的．12．（2021秋?臺安縣期中）一個已知點到圓周上的最長距離是9，最短距離是3，則此圓的半徑是6或3．【考點】點與圓的位置關(guān)系【分析】根據(jù)已知條件能求出圓的直徑，即可求出半徑，此題點的位置不確定所以要分類討論．【解答】解：①當點在圓外時，圓外一點和圓周的最短距離為3，最長距離為9，圓的直徑為，該圓的半徑是3；②當點在圓內(nèi)時，點到圓周的最短距離為3，最長距離為9，圓的直徑，圓的半徑為6，故答案為6或3．【點評】本題考查了點和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，能根據(jù)已知條件求出圓的直徑是解此題的關(guān)鍵．13．平面上一點到上一點的距離最長為，最短為，則的半徑為5或2．【考點】點與圓的位置關(guān)系【分析】解答此題應(yīng)進行分類討論，點可能位于圓的內(nèi)部，也可能位于圓的外部．【解答】解：當點在圓內(nèi)時，則直徑，因而半徑是；當點在圓外時，直徑，因而半徑是．故答案為5或2．【點評】解決本題的關(guān)鍵是首先要進行分類討論，其次是理解最長距離和最短距離和或差的意義．14．在中，，，．若以點為圓心，為半徑所作的圓與斜邊只有一個公共點，則的取值范圍是或．【考點】垂線段最短；勾股定理；直線與圓的位置關(guān)系【分析】此題注意兩種情況：（1）圓與相切時；（2）點在圓內(nèi)部，點在圓上或圓外時．根據(jù)勾股定理以及直角三角形的面積計算出其斜邊上的高，再根據(jù)位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系進行求解．【解答】解：如圖，，以為圓心，為半徑所作的圓與斜邊只有一個公共點．根據(jù)勾股定理求得．分兩種情況：（1）圓與相切時，即；（2）點在圓內(nèi)部，點在圓上或圓外時，此時，即．或．【點評】本題利用的知識點：勾股定理和垂線段最短的定理；直角三角形的面積公式求解；直線與圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系．15．（2022秋?武漢期末）如圖，，分別與相切于，兩點，為上異于，的一點，連接，．若，則的大小是或．【考點】圓周角定理；切線的性質(zhì)【分析】連接、，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，，進而求出，分點在優(yōu)弧上、點在劣弧上兩種情況，根據(jù)圓周角定理計算即可．【解答】解：連接、，，分別與相切于，兩點，，，，，當點在優(yōu)弧上時，，當點在劣弧上時，，故答案為：或．【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．16．如圖，中，，，點在邊上，，．點是線段上一動點，當半徑為1的與的一邊相切時，的長為或或．【考點】切線的判定與性質(zhì)【分析】分三種情況討論解答：①與邊相切，②與邊相切，③與邊相切，依據(jù)題意畫出圖形，利用切線的性質(zhì)，過點分別作各邊的垂線段，利用比例式即可求得結(jié)論．【解答】解：①當與邊相切時，如圖，過點作，則為切點，．，．．，，；此時，點與點重合．②當與邊相切時，如圖，過點作，則為切點，．，．．由①得：，．，解得：；③當與邊相切時，如圖，過點作于點，則為切點，．過點作于點，，，．．，，．．．．，，．．，．綜上，當半徑為1的與的一邊相切時，的長為或或．故答案為：或或．【點評】本題主要考查了切線的判定與性質(zhì)，利用切線的性質(zhì)得到圓心到直線的距離等于圓的半徑和利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共2小題）17．（2021秋?新榮區(qū)月考）綜合與實踐問題情境：數(shù)學活動課上，老師出示了一個直角三角板和量角器，把量角器的中心點放置在的中點上，與直角邊重合，如圖1所示，，，，，量角器交于點，，現(xiàn)將量角器繞點旋轉(zhuǎn)，如圖2所示．（1）點到邊的距離為．（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，求點到距離的最小值．（3）若半圓與的直角邊相切，設(shè)切點為，求的長．【考點】圓的綜合題【分析】（1）如圖1，過點作于點，利用勾股定理求得，再利用，即可求得答案．（2）當時，點到的距離最小，再由，即可求得答案．（3）分兩種情況：①當半圓與相切時，如圖2，設(shè)切點為，連接，運用勾股定理即可求得答案；②當半圓與相切時，如圖3，設(shè)切點為，連接，運用勾股定理求得，再利用勾股定理即可求得．【解答】解：（1）如圖1，過點作于點，，，，，，，，即點到邊的距離為，故答案為：（2）為的中點，，當時，點到的距離最小，，點到距離的最小值為．（3）①當半圓與相切時，如圖2，設(shè)切點為，連接，，在中，，，，；②當半圓與相切時，如圖3，設(shè)切點為，連接，，在中，，，，在中，；綜上所述，的長為或．【點評】本題是幾何綜合題，考查了圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積，解題關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)等相關(guān)知識，運用分類討論思想解決問題．18．如圖1，平行四邊形中，，，．點為射線上一點，以為直徑作交、于、兩點．設(shè)的半徑為．（1）如圖2，當與相切時，4．（2）如圖3，當點與點重合時，①求線段長度；②求陰影部分