2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【新定義問(wèn)題】數(shù)與式中的新定義問(wèn)題（原卷版）

數(shù)與式中的新定義問(wèn)題知識(shí)方法精講1．解新定義題型的方法：方法一:從定義知識(shí)的新情景問(wèn)題入手這種題型它要求學(xué)生在新定義的條件下，對(duì)提出的說(shuō)法作出判斷，主要考查學(xué)生閱讀理解能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．因此在解這類型題時(shí)就必須先認(rèn)真閱讀，正理解新定義的含義；再運(yùn)用新定義解決問(wèn)題；然后得出結(jié)論。方法二：從數(shù)學(xué)理論應(yīng)用探究問(wèn)題入手對(duì)于涉及到數(shù)學(xué)理論的題目，要解決后面提出的新問(wèn)題，必須仔細(xì)研究前面的問(wèn)題解法．即前面解決問(wèn)題過(guò)程中用到的知識(shí)在后面問(wèn)題中很可能還會(huì)用到，因此在解決新問(wèn)題時(shí)，認(rèn)真閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關(guān)問(wèn)題和內(nèi)容，并注意這些新知識(shí)運(yùn)用的方法步驟．方法三：從日常生活中的實(shí)際問(wèn)題入手對(duì)于一些新定義問(wèn)題，出題的方向通常借助生活問(wèn)題，那么處理此類問(wèn)題需要結(jié)合生活實(shí)際，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)知識(shí)、或者將生活圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形，從而利用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答。2．解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問(wèn)題.3．列代數(shù)式（1）定義：把問(wèn)題中與數(shù)量有關(guān)的詞語(yǔ)，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來(lái)，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義．列代數(shù)式時(shí)，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)，仔細(xì)辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．③注意運(yùn)算順序．列代數(shù)式時(shí)，一般應(yīng)在語(yǔ)言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級(jí)運(yùn)算的語(yǔ)言，且又要體現(xiàn)出先低級(jí)運(yùn)算，要把代數(shù)式中代表低級(jí)運(yùn)算的這部分括起來(lái)．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時(shí)要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號(hào)不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號(hào)；除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱什么時(shí)不加括號(hào)，什么時(shí)要加括號(hào)．注意代數(shù)式括號(hào)的適當(dāng)運(yùn)用．⑤正確進(jìn)行代換．列代數(shù)式時(shí)，有時(shí)需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換．【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個(gè)問(wèn)題1．在同一個(gè)式子或具體問(wèn)題中，每一個(gè)字母只能代表一個(gè)量．2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡(jiǎn)寫作“?”或者省略不寫．3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個(gè)數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)要把它化成假分?jǐn)?shù)．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號(hào)），而是寫成分?jǐn)?shù)的形式．4．規(guī)律型：數(shù)字的變化類探究題是近幾年中考命題的亮點(diǎn)，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律．（1）探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問(wèn)題的方法，通常將數(shù)字與序號(hào)建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算，從而得出通項(xiàng)公式．（2）利用方程解決問(wèn)題．當(dāng)問(wèn)題中有多個(gè)未知數(shù)時(shí)，可先設(shè)出其中一個(gè)為x，再利用它們之間的關(guān)系，設(shè)出其他未知數(shù)，然后列方程．5．取整函數(shù)取整函數(shù)．不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x]．x﹣[x]稱為x的小數(shù)部分，記作{x}．（需要注意的是，對(duì)于負(fù)數(shù)，[x]指的并不是x小數(shù)點(diǎn)做右邊的部分，{x}指的是x小數(shù)點(diǎn)右邊的部分，例如對(duì)于負(fù)數(shù)﹣3.7，[﹣3.7]＝﹣4，而不是﹣3，此時(shí){x}＝﹣3.7﹣（﹣4）＝0.3，而不是﹣0.7）取整函數(shù)的圖象一般都有跳躍性．一．選擇題（共6小題）1．（2021秋?南沙區(qū)期末）定義新運(yùn)算“”：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，都有，其中等式右邊是通常的加法、減法和乘法運(yùn)算，如．若為實(shí)數(shù)）是關(guān)于的方程，且是這個(gè)方程的一個(gè)根，則的值是A．4 B．或4 C．0或4 D．1或42．（2021秋?洪山區(qū)期末）定義：如果，那么叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作．例如：因?yàn)椋?；因?yàn)?，所以．則下列說(shuō)法中正確的有個(gè)．①；②；③若，則；④；A．4 B．3 C．2 D．13．（2020秋?安新縣期末）定義為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為，那么當(dāng)時(shí)，二階行列式的值為A．7 B． C．1 D．4．（2021秋?六盤水月考）對(duì)于有理數(shù)，，定義，則化簡(jiǎn)后得A． B． C． D．5．（2021秋?瑞安市月考）格子乘法是由明代數(shù)學(xué)家吳敬在其撰寫的《九章算法類比大全》一書中提出，例如圖1所示計(jì)算，將被乘數(shù)89計(jì)入上行，乘數(shù)65計(jì)入右行．然后以乘數(shù)65的每位數(shù)字乘被乘數(shù)89的每個(gè)數(shù)字，將結(jié)果計(jì)入相應(yīng)格子中，最后斜行加起來(lái)，即得5785．現(xiàn)用格子乘法進(jìn)行如圖2計(jì)算，問(wèn)：根據(jù)該計(jì)算得到的最終結(jié)果是A．3056 B．3058 C．4056 D．40586．（2021秋?德城區(qū)校級(jí)月考）對(duì)于正整數(shù)，我們定義一種“運(yùn)算”：①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為；②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果，并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如，取，則若，則第2019次運(yùn)算的結(jié)果是A．2018 B．2017 C．2 D．1二．填空題（共7小題）7．（2021秋?海曙區(qū)期末）對(duì)實(shí)數(shù)、規(guī)定一種新運(yùn)算△，若△，則方程△的解是．8．（2021秋?順義區(qū)期末）對(duì)于任意的正數(shù)，，定義運(yùn)算“”如下：，計(jì)算的結(jié)果為．9．（2021秋?遷安市期末）對(duì)于實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：用表示不小于的最小整數(shù)．例如：，，現(xiàn)在對(duì)72進(jìn)行如下操作：，即對(duì)72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?．類比上述操作：對(duì)36只需進(jìn)行次操作后變?yōu)?；如果只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中最大的數(shù)為．10．（2021秋?金牛區(qū)期末）規(guī)定“”是一種新的運(yùn)算符號(hào)：，已知，則．11．（2021秋?成都期末）對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義新運(yùn)算：，其中，，是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知，，那么．12．（2021秋?福田區(qū)校級(jí)期末）規(guī)定：符號(hào)叫做取整符號(hào)，它表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如：，，．現(xiàn)在有一列非負(fù)數(shù)，，，，已知，當(dāng)時(shí)，，則的值為．13．（2021?金鳳區(qū)二模）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，都有⊕，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運(yùn)算，比如：3⊕．（1）2⊕．（2）若⊕等于，則．三．解答題（共13小題）14．（2021秋?順德區(qū)期末）用“”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任何有理數(shù)和，規(guī)定．（1）求的值；（2）若，求的最大整數(shù)；（3）若關(guān)于的方程滿足：，求的值；（4）若，，且，求的值．15．（2021秋?門頭溝區(qū)期末）對(duì)于任意兩個(gè)非零實(shí)數(shù)，，定義運(yùn)算如下：．如：，．根據(jù)上述定義，解決下列問(wèn)題：（1），；（2）如果，那么；（3）如果，求的值．16．（2021秋?通州區(qū)期末）現(xiàn)有四個(gè)正整數(shù)分布在正方形上，規(guī)定一次操作為；將相鄰的兩個(gè)數(shù)作差再取絕對(duì)值．圖1是小歡兩次操作的示意圖：（1）圖2是兩次操作的過(guò)程，請(qǐng)將空缺的數(shù)補(bǔ)全；（2）在經(jīng)過(guò)若干次操作后，如果這4個(gè)整數(shù)最終都變?yōu)?，我們就稱其進(jìn)入了“穩(wěn)定狀態(tài)”．請(qǐng)將1，2，3，4以某種順序排列在圖3所示的正方形上，通過(guò)若干次操作，使其進(jìn)入“穩(wěn)定狀態(tài)”，請(qǐng)畫圖呈現(xiàn)操作次數(shù)最少的過(guò)程；（3）1，3，6，這4個(gè)正整數(shù)以如圖4的方式排列在正方形上．如果通過(guò)三次操作進(jìn)入“穩(wěn)定狀態(tài)”，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的值．17．（2021秋?魯?shù)榭h期末）用“△”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)、，規(guī)定：△，例如：1△．（1）求△3的值；（2）求△3的值；（3）若△，求的值．18．（2021秋?武昌區(qū)期末）知識(shí)背景：已知，為有理數(shù)，規(guī)定：（a），（b），例如：，．知識(shí)應(yīng)用：（1）若（a）（b），求的值；（2）求的最值；知識(shí)遷移：若有理數(shù)，，滿足，且關(guān)于的方程有無(wú)數(shù)解，，求的值．19．（2021秋?北京期末）我們規(guī)定：使得成立的一對(duì)數(shù)，為“積差等數(shù)對(duì)”，記為．例如，因?yàn)?，，所以?shù)對(duì)，都是“積差等數(shù)對(duì)”．（1）下列數(shù)對(duì)中，是“積差等數(shù)對(duì)”的是；①；②；③，．（2）若是“積差等數(shù)對(duì)”，求的值；（3）若是“積差等數(shù)對(duì)”，求代數(shù)式的值．20．（2021秋?工業(yè)園區(qū)期末）對(duì)于任意有理數(shù)、，如果滿足，那么稱它們?yōu)椤鞍閭H數(shù)對(duì)”，記為．（1）若是“伴侶數(shù)對(duì)”，求的值；（2）若是“伴侶數(shù)對(duì)”，求的值．21．（2021?九龍坡區(qū)校級(jí)模擬）對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)，如果滿足各數(shù)位上的數(shù)字不全相同且均不為0，它的千位數(shù)字減去個(gè)位數(shù)字之差等于百位數(shù)字減去十位數(shù)字之差，那么稱這個(gè)數(shù)為“差同數(shù)”．對(duì)于一個(gè)“差同數(shù)”，將它的千位和個(gè)位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)所得差記為，將它的千位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百位和個(gè)位構(gòu)成的兩位數(shù)所得差記為，規(guī)定：．例如：，因?yàn)?，故?513是一個(gè)“差同數(shù)”．所以：，則：．（1）請(qǐng)判斷2586、8734是否是“差同數(shù)”．如果是，請(qǐng)求出的值；（2）若自然數(shù)，都是“差同數(shù)”，其中，，，，，，，，都是整數(shù)），規(guī)定：，當(dāng)能被11整除時(shí)，求的最小值．22．（2021?寧波模擬）規(guī)定一種新運(yùn)算※．（1）求※2的值；（2）這種新運(yùn)算滿足交換律嗎？若不滿足請(qǐng)舉反例，若滿足請(qǐng)說(shuō)明理由．23．（2020?河北一模）有一種用“☆”定義的新運(yùn)算，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，都有☆．例如7☆．（1）已知☆3的結(jié)果是，則．（2）將兩個(gè)實(shí)數(shù)和用這種新定義“☆”加以運(yùn)算，結(jié)果為9，則的值是多少？24．（2021秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）在數(shù)軸上，為原點(diǎn)，點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是，，為線段的中點(diǎn)．給出如下定義：若，則稱是的“正比點(diǎn)”；若，則稱是的“反比點(diǎn)”．例如，時(shí)，是的“正比點(diǎn)”；，時(shí)，是的“反比點(diǎn)”．（1）若，則對(duì)應(yīng)的數(shù)為，下列說(shuō)法正確的是（填序號(hào)）．①是的“正比點(diǎn)”；②是的“反比點(diǎn)”；③是的“正比點(diǎn)”；④是的“反比點(diǎn)”；（2）若，且是的“正比點(diǎn)”，求的值；（3）若，且既是，其中一點(diǎn)的“正比點(diǎn)”，又是另一點(diǎn)的“反比點(diǎn)”，直接寫出的值．25．（2021秋?西城區(qū)校級(jí)期末）